自动控制原理根轨迹分析法

K : 0 0.25, s1 : 0 0.5, s2 : 1 0.5
（即0≤K≤1/4，两根为实根）
Im
K 1, 4
s1, 2 0.5 0.5 j 4 K 1
(两根为共轭复数根，其实部为－0.5)
K , Re(s1, 2 ) 0.5, Im( s1, 2 )
离 点 离 点
×
K=∞ K=∞ K=0
×
K=0
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
由求极值的公式求出：
N ( s) 1 H ( s)G( s) 1 K 0 D( s )
*
D( s ) K N ( s)
*
在实轴根轨迹上，求使K*达到最大（最小）值的s 值:
dK * D' ( s ) N ( s ) D( s ) N ' ( s ) 0 D' ( s ) N ( s ) D( s ) N ' ( s ) 0 2 ds N ( s) 即D' ( s) N ( s) D( s) N ' ( s)
如果n > m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而 另n-m条根轨迹趋向无穷远处。 对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止 于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。
例2
某单位反馈系统 要求画出根轨迹。
z1 5, p1 0,
K * ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
s( s 1)( s 2) K * ( s 5) 0
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则三、
证明：（1）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化 时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连 续的。 证明：（2）对称性 因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以 根轨迹对称于实轴。
K
*
幅值条件
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s z m
k 0, 1, 2,
注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的， 所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们 在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
第四章 根轨迹分析法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。
伊凡思(W.R. Evans)创立根轨迹法（1948） 几何图解求解特征根
l 系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。 l 利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。 l 常规根轨迹法以开环根轨迹增益K做为参数画出根 轨迹的。 l 可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。
● × ● × ﹣1 ﹣0.5 0
Re
二、根轨迹与系统性能
1、稳定性
Im
2、稳态性能
● × ● × 0 ﹣1 ﹣0.5
Re
3、动态性能
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G (s ) 的一般式：
R(s)
G(s)
H(s)
C(s)
画法： 1. 利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连 成根轨迹。 2. 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的 K*值。
4-2 绘制根轨迹的基本规则
法则一、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环 极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是K*从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起于K* =0处，止于K* =∞处。 观察幅值条件： K
求出2个闭环特征根：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
K取不同值：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
K G( s) H ( s ) s( s 1)
（等于两个开环极点） K 0, s1 0, s2 1, 1 K , s1 0.5, s2 0.5, (两根重合于－0.5处) 4
i
(s z )
i 1
m
其中：K*:开环根轨迹增益，
zi , i 1,2,m
— 开环零点，
pi , i 1,2,n, n m — 开环极点。
G( s) 闭环传递函数： 1 G( s) H ( s)
G－) H ( s ) K * (s
-1
G(s) ( s zi ) φ
● × ● × ﹣1 ﹣0.5 0
Re
总结：
K G( s) H ( s ) s( s 1)
这是个？阶系统，有两个闭环极点，有2条根轨迹。 2 根轨迹是从开环极点出发点。 根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。
Im
通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。 如果根轨迹上某一点满足动态特 性要求，可以计算该点的K值实现 设计要求。
法则三、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
( 2k 1) 1800 渐近线与实轴的夹角为： k 0,1,2,.. nm
渐近线与实轴的交点为：
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
l 可用于单变量系统和多变量系统。
本章主要内容
以K*为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法
根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
4.1 根轨迹的基本概念
定义：
根轨迹 —是指开环系统某个参数由0变化 到∞，闭环系统特征方程的根在s平 面上变化的轨迹。
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
j
)
(s p )
i
* * K * K G K H 开环系统根轨迹增益
则闭环传递函数为：
K (s)
n
* G
(s z ) (s p )
i j i 1 j 1 m * i j
f
h
(s p ) K (s z
j 1
l
(s p
j 1
h
j
)
K H 反馈通路根轨迹增益
则开环传递函数为：
G ( s) H ( s)
K * ( s zi ) ( s z j )
i 1 j 1
f
l
f l m qhn
( s p ) ( s p
i i 1 j 1
q
h
K*
H(s) ( s pi )
i 1 i 1 n
m
闭环特征方程为：
百度文库
1 G( s) H ( s) 0,
即 G( s) H ( s) 1
G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：
G( s ) H ( s ) G( s ) H ( s ) e jG ( s ) H ( s ) Me j 1
四、根轨迹方程
G(s)
典型的反馈控制系统如图: 其开环传递函数： a( s) G( s ) H ( s ) K b( s )
*
－× H(s)
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) K * in 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s pi)
G ( s)
K G ( i s 1)
i 1
f
(T s 1)
i i 1
q

* K G ( s zi ) i 1
f
(s p )
i i 1
q
K G 前向通路增益
* K G 前向通路根轨迹增益
H (s )的一般式：
H (s)
K H (s z j )
K
*
0
幅值条件 （积的模等于模的积，商的模等于模的商）
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
k 0, 1, 2,
相角条件
[( s z1 ) ( s z2 ) ( s zm )] [( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )] ( 2k 1) 1800
绘制根轨迹必须满足的基本条件： 相角条件 （相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）
[ ( s z1 ) ( s z2 ) ( s zm )]
[ ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )] ( 2k 1) 180
i 1 j 1
)
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益，等于前向通路根轨迹 增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等 于开环系统根轨迹增益。 （2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反 馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统闭环 零点就是开环零点。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增 益均有关。
i 1 m i 1
n
pi )
i
(s z )
( 2k 1) 1800
k 0, 1, 2,
( K *
(s z )
i
m
(s p )
i i 1
i 1 n
) (2k 1) 1800
K*
(s
i 1 m i 1
n
pi )
i
(s z )
×
0
﹣5
根轨迹的分离点：当两条根轨迹在复平面上相遇 法则五、
又分开的点叫作分离点 性质: (重点讨论实轴上的分离点） 在此点上必出现重根。 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻开环极点间时，必有一分离点。 若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷 分 分 远处）时，必有一分离点。
法则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数 开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。 对于例题， 在实轴上的根轨迹：
K * ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
一条始于开环极点，止于开环零点，
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
●
×
﹣2
×
﹣1
它们满足：
* i ( KG1 s ) H ( s) 1 n( ) ( s pi ) i 1
(s z )
i
m
(s z ) 1 K ( s ) H ( s ) 1 1, G K (s p )
i i 1 n i i 1
m
*
K*
(s
*
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
K * ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
K * 0, 必有 s pi i 1,2...n K * , 必有 s zi i 1,2,...m
注意：求出结果，需经判断，保留合理解。 如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
在例题2中，
K ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
s( s 1)( s 2) s 3 3s 2 2s K ( s 5) s5
dK ( 3 s 2 6 s 2)( s 5) ( s 3 3 s 2 2 s ) ( s 5) 2 ds
分析：1个开环零点，3个开环极点，
p2 1, p3 2
●
-5
× -2
× × 0 -1
法则二、 根轨迹的分支数，对称性和连续性
K * ( s 5) 3阶, 例中， G( s) H ( s) s( s 1)( s 2) K * ( s 5) 闭环特征方程1 G( s) H ( s) 1 0 s( s 1)( s 2)
1 根轨迹举例
例4-1 二阶系统的结构图如下，绘制它的根轨迹。 开环传递函数：G( s ) H ( s ) 闭环传递函数：
K s( s 1)
－
K
1 s(s 1)
G( s ) K 2 1 G( s) H ( s) s s K
分析： 有2个开环极点 p1 0, p2 1 , 没有开环零点。 闭环特征方程 1 G( s ) H ( s ) 0, s 2 s K 0