-图论与算法-第九讲 最小费用流
最小费用最大流
Spfa实现
概念
• 网络流图论中的一种理论与方法，研究网络 上的一类最优化问题 。 • 所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权 有向图 D＝(V、E、C) ， 其中V 是该图的 顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容 量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。 网络上的流就是由起点流向终点的可行流， 这是定义在网络上的非负函数，它一方面受 到容量的限制，另一方面除去起点和终点以 外，在所有中途点要求保持流入量和流出量 是平衡的。
(3,3,1)
v0
(2,2,1) v3
(1,1,1)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
如果 f 是可行流,则对收、发点vt、vs有
∑fsi =∑fjt =Wf ,
即从vs点发出的物质总量 = vt点输入的量.Wf 称为网络流 f 的总流量.
上述概念可以这样来理解,如G是一个运输网络,则 发点vs表示发送站,收点vt表示接收站,中间点vk表示中间 转运站,可行流 fij 表示某条运输线上通过的运输量,容量 Cij表示某条运输线能承担的最大运输量,Wf 表示运输总 量.
将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短 增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的 流值。
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn
(3,3,0)
v0
(2,2,0) v3
(1,1,0)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短 增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的 流值。
最小费用流
(4,6,2)
v2
(2,3,0) (2,2,2)
再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，路长为 14，可增加1单位的流值。（v3v1反向弧，同 最大流处理）
v1
(4,3,2)
v4 (2,5,3) vn (9,3,0) v5 (3,4,2)
(3,3,3)
v0
(2,2,1) v3
(1,1,1)
b
17,3 (c )
c
（4）在 sbct 路中，每边的容量减 5， wsb ，如图 d。求最小费 用通路 sabct， 单位流费用和为 4 (2) 3 2 7, f0 3 ， 边 ( c, t ) 饱 和。
s
0,
12, 4
a
13,6
0,
t
3, 2
11, 2
b
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn
(3,3,0)
v0
(2,2,0) v3
(1,1,0)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
(单位运费，边容量，流值）
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn (9,3,0) v5 (3,4,0)
(3,3,0)
s
0,
b
9, 4
8, 2
a
0,
t
0,
13, 6
9, 3
(e)
c
s
16
6
8
a
0
14
t
8
b
8
c
(f)
实际问题实例：一个工厂要将产品送 到火车站，可以有许多道路供其选择，在 不同路线上每吨货物的运费并不相同，而 且每条路线只能有限重量的货物运输，那 么要将w吨的产品从工厂送到火车站，用 什么方法可以使运费最少？
最小费用流
s
a W
t
b
Edmonds和Karp
• 假设增广前s到u的距离为d(u), 增广后的费 用函数为w(e), 对于弧e=uv定义一个新的权 值w*(e) = w(e) + d(u) – d(v), 则对于任意s-t 路X, 有w*(X) = w(X) – d(x), 即对于权函数 w(e), w*(e), 从s出发的单源最短路树完全一 样 • 改进算法: 用w*(e)=w(e)+d(u)-d(v)作为权函 数计算单源最短路d*(x), 然后计算出真正的 新最短路
消圈定理
• 消圈定理: 流量为f的可行流x为流量为f的最 小费用流当且仅当x没有负费用增广圈 • 必要性显然，用反证法证明充分性。 • 假设存在不同的可行流x0使得它的费用比x 更低，则它们的差x1=x0-x是网络中的负费 用循环流。既然是循环流，x1一定可以分解 为至多m个非零圈流之和，则它们中至少有 一个圈是负费用的（有限个非负费用之和 仍是非负的），这个圈就是题目中非负增 广圈，矛盾
例1. Another Assignment Problem (SPOJ 684)
• 第i类工人有a(i)个, 第j类工作有b(j)个, 第i类 工人做第j类工作的代价是c(i,j). 用最小代价 把所有工人安排好位
目录
• 消圈算法及其正确性 • 连续最短路算法及其改进 • 应用
最小费用流
• 如下图, 弧上除了网络外还有一个费用值 • 总费用等于每条弧的流量与费用的乘积
残量网络
• 残量网络N’=(G’,c’,s,t) • c’的定义同不带费用的网络流问题 • 费用定义
– 正向弧费用为w(e) – 反向弧费用为-w(e)
连续最短路算法
图论专题小结：最小费用最大流算法
图论专题小结：最小费用最大流算法一，给定流量F，求最小费用题意：网络中有两台计算机s,t。
现在每秒钟要从s到t传输大小为F的数据到t。
该网络中一共有N台计算机，其中有一些靠单向电缆相连接每条电缆用（from,to,cap,cost）表示从from发送给to，最大容量是cap，单位传输费用是cost。
问传输数据最小的花费是多少？解决最小费用流的一般思路是：每次都沿着最短路进行增广，增广一次之后累加本次增广的总费用，同时修改剩余的流量F，当F≤0时或dist[t]==INF时退出。
利用改进的Dijkstra算法求解（1）概述：题目要求在存在流量为F的前提下，总花费最少。
这类问题就是最小费用流问题。
该问题可以采用加入“势函数”后的Dijkstra算法解决。
因为对于每条边e=(u,v)，有如下事实成立：h(v)≤h(u)+e.cost(其中h[u]表示s到u的最短距离)。
因此令dist[v]=dist[u]+e.cost+h[u]-h[v],。
那么所有的dist值必然大于等于0，这样就能用Dijkstra算法求解了。
下面代码中用了一个优先队列，每次优先出列dist值小的元素。
整个算法的时间复杂度是O(F*ElogV)（F是流量，E是边数，V是顶点数）。
1.#include<iostream>2.#include<algorithm>3.#include<string>4.#include<sstream>5.#include<set>6.#include<vector>7.#include<stack>8.#include<map>9.#include<queue>10.#include<deque>11.#include<cstdlib>12.#include<cstdio>13.#include<cstring>14.#include<cmath>15.#include<ctime>16.#include<functional>ing namespace std;18.19.#define N 100020.#define INF 10000000021.typedef pair<int, int>P;//first保存最短距离，second保存顶点的编号22.23.struct Edge24.{25.int to, cap, cost, rev;//终点，容量（指残量网络中的），费用，反向边编号26.Edge(int t, int c, int cc, int r) :to(t), cap(c), cost(cc), rev(r){}27.};28.int V;//顶点数29.vector<Edge>G[N];//图的邻接表30.int h[N];//顶点的势31.int dist[N];//最短距离32.int prevv[N];//最短路中的父结点33.int preve[N];//最短路中的父边34.35.void addedge(int from, int to, int cap, int cost)36.{37.G[from].push_back(Edge( to, cap, cost,G[to].size()));38.G[to].push_back(Edge( from, 0, -cost, G[from].size() - 1 ));39.}40.int min_cost_flow(int s, int t, int f)//返回最小费用41.{42.int res = 0;43.fill(h, h + V, 0);44.while (f>0)//f>0时还需要继续增广45.{46.priority_queue<P, vector<P>, greater<P> >q;47.fill(dist, dist + V, INF);//距离初始化为INF48.dist[s] = 0;49.q.push(P(0, s));50.while (!q.empty())51.{52.P p = q.top(); q.pop();53.int v = p.second;54.if (dist[v]<p.first)continue;//p.first是v入队列时候的值，dist[v]是目前的值，如果目前的更优，扔掉旧值55.for (int i = 0; i<G[v].size(); i++)56.{57.Edge&e = G[v][i];58.if (e.cap>0 && dist[e.to]>dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to])//松弛操作59.{60.dist[e.to] = dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to];61.prevv[e.to] = v;//更新父结点62.preve[e.to] = i;//更新父边编号63.q.push(P(dist[e.to], e.to));64.}65.}66.}67.if (dist[t] == INF)//如果dist[t]还是初始时候的INF，那么说明s-t不连通，不能再增广了68.return -1;69.for (int j = 0; j<V; j++)//更新h70.h[j] += dist[j];71.int d = f;72.for (int x = t; x != s; x = prevv[x])73. d = min(d, G[prevv[x]][preve[x]].cap);//从t出发沿着最短路返回s找可改进量74. f -= d;75.res += d*h[t];//h[t]表示最短距离的同时，也代表了这条最短路上的费用之和，乘以流量d即可得到本次增广所需的费用76.for (int x = t; x != s; x = prevv[x])77.{78.Edge&e = G[prevv[x]][preve[x]];79. e.cap -= d;//修改残量值80.G[x][e.rev].cap += d;81.}82.}83.return res;84.}85.86.int main()87.{88.freopen("t.txt", "r", stdin);89.int m;90.while (cin >> V >> m)91.{92.for (int i = 0; i<m; i++)93.{94.int from, to, cap, cost;95.cin >> from >> to >> cap >> cost;96.addedge(from, to, cap, cost);97.}98.int s, t, f;99.cin >> s >> t >> f;100.cout << min_cost_flow(s, t, f) << endl;101.}102.return 0;103.}104.二，网络输出最大流时，求出最小的费用这就是最小费用最大流问题：既要求出最大流，又要求出达到最大流时候的最小费用。
最小费用最大流问题(课堂PPT)
f : (vi , v j ) { f (vi , v j )},
为网络的一个流,并称 f (vi , v j ) 为弧
简记为
f ij .
(vi , v j ) 上的流量，
4
二、可行流与最大流
去掉所有的标号,对新的可行流重新进入标号过程.
v2 (v1,1) (4,3) v4 (v2 ,1)
(3,3)
(5,3)
v2 (4,3) (3,3)
v4 (5,3) vt
vs
(0,)
(1,1) (1,1)
(5,1) v1 (vs ,4) (2,2)
(3,0)
vt (v3 ,1)
(2,1)
v3 (v2 ,1)
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件:对 aij (vi , v j ) A 0 fij cij ;
(2) 平衡条件:
对中间点:流出量=流入量,即
i(i s,t)
fij
f ji 0;
(vi ,v j )A (v j ,vi )A
对于发点 vs ,记
f sj
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2 的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
在弧 (v2 , v4 )上 , f 24 c24 则, v4 的标号为 (v2 , l(v4 )).. 其中, l(v4 ) min[ l(v2 ), (c24 f24 )] min[1,4 3] 1
最小费用流算法
最小费用流算法
最小费用流算法是一种简单的费用流算法，它旨在解决费用流问题，其中边权最小化。
它可以用于解决实际应用中的资源分配问题，表示流程网络（Flow Network）中使用费用
流算法利用边权来最小化流量路线。
最小费用流算法是一种基于增广路径的状态搜索算法。
它主要由两步组成：一是从源结点到汇结点的增广搜索；二是根据找到的增广路径调
整边权。
只要满足三个要求：1. 所有结点都有非负出度；2. 所有边都具有非负权；3.
所有结点都有相同的进入现金流，则最小费用流算法就可以得到最优解。
在最小费用流问题中，要求最小化所有边上的流入和流出时消耗的权重和，考虑到这
些约束，最小费用流算法具有一定的优越性。
首先，最小费用流算法可以在常数时间内完
成寻路，寻路的次数不会太多，其逻辑清晰，容易理解，对于每个结点，只需要搜索到可
达目的地的路径，而不需要考虑搜索路径的可行性。
由于最小费用流算法在查找算法中总
是具有优先权，因此它也可以改善整体优化算法，提供快速和可靠的结果。
最小费用流算法在实际应用中比较广泛，它可以用于解决很多实际问题，包括报价，
补给，物流等。
最小费用流算法可以帮助用户充分利用现有资源、实现最低开销，同时还
保持最大的流动性，从而降低建设成本和管理成本，使企业经营更加高效。
运筹学_最小费用流问题ppt课件
⑷在G中与这条最短路相应的可增广链μ上,
做 f (k) = fμ(k-1)θ
其中θ =min{μm+ in(cij
-
fi
(k-1)
j
),mμ-in
f
(k-1)
ij
}
此时 f (k)的流量为 W (f (k-1)) +θ , 若W (f (k-1)) +θ = v则停,
否则 令 f (k) 代替 f (k-1) ，返回⑵.
每条边用两条方向相反的有向边代替, 各边的权lij按如下
规则： 1. 当边 (vi , vj) ∈E, 令 lij =
dij 当 f ij < c ij +∞ 当 f ij = 0
( 其中+∞的意义是: 这条边已饱和, 不能再增大流量, 否则
要花费很高的代价, 实际无法实现, 因此权为+∞的边可从
网络中去掉. )
(10,0)
(7,5)
(10,4)
vs (8,5)
(5,5)
(2,0)
vt (0,0)
vs
1 1(－2) (2,6)
vt
-1
(2,2)
v2 (10,0) v3
v2 (10,3) v3
(c) f (1) W( f (1))=5
(d) L ( f (1) )
d (f (1)) = 5×1+5×2+ 5×1= 20
p160 - 166 6.12(c).
定义 已知网络G=(V, E, C, d), f 是G上的一个可行流, μ
为从v s到v t的(关于 f 的)可增广链, d (μ) = ∑ d i j - ∑ d i j
μ+
6.05-最小费用流
bij wij bij w ji
f ij cij f ij cij f ij 0 f ij 0
在网络图中找最小费用增广链等价于在赋权图W(f)中寻找 从 vs 到 的最短路 ,直至没有最小费用增广链为止. vt
Vs
(4,0) 10 - 0 (2, 5)
(1, 5)
(1,5) 7-5=2 (6, 0)
最小
Vt
在最短 路上增 加流量
(2, 0)
V2
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
V1 (1,7) Vt (2, 5) (1, 5) (6, 0)
(,2)
Vs
(2, 0)
V2
(4,0)
V3
=2 得到新 的流量 f (2)=7 新的流 量图如 图所示
求最小费用最大流算法
V1 (1,7) Vt (2, 4) 5-1 (6, 0)
(4,3)
(2, 4)
(1, 8)
*注意 在负向 弧上减 去增量 值
V2
(4,4)
V3
求最小费用最大流算法
(4,3) (-4,3) Vs (-2, 5) (-1, 8) (2, 5)(6, 0) V1 (-1,7) Vt
上求出 最短路
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 8) V1 (-1,7) (-1,5) (6, 0) Vt
在初始 赋权图 (0) W(f )
(2, 3)
(-4,3) V2 V3 (4,3)
上求出 最短路
求最小费用最大流算法
V1 (1,7) Vt (6, 0)
最小费用流问题
10.3 最大流与最小费用流.ppt
┍┑
点①出发的车辆数应该与点⑦到达的车辆数相同，除 ①和⑦以外的各中间点，进的车辆数应该与离去的车辆数 应该相同。
线 性 规 划 方 法
┕┙
x12 + x13 + x14 = x57 + x67 = f
x12 + x32 x + x 23 13 x14 + x34 x + x 35 25 x36 + x 46 = x 23 + x 25 = x32 + x34 + x35 + x36 = x 46 + x65 = x56 + x57 + x56 = x65 + x67
①为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流问题 （譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
3 0 2 2 2 1 5 6 0 3 3 0 0 4 5 3 7
0 5 0 1
8 0 7 0 1 0 6 0 t 7
5 s
图10.3.2
在图10.3.2中，每条弧
Vij
上标有两个数字，其中，
x71 = x12 + x13 + x14
x57 + x67 = x 71
（10.3.8） （10.3.9） （10.3.10）
最大流问题的目标为
x71 = max
┍┑
线 性 规 划 方 法
┕┙
所以，对于发点为Vs，收点为Vt 的网络N（V，U）， 当增加一条约束为cts=∞的假想弧（t，s）后，最大流问题 就成为： 容量约束： 平衡条件：
图10.3.2
我们取
V1 = {1,2,3} V2 = {4,5,6,7} ， ，则截集为
最小费用最大流简介
6
最大流=f1+f2+f3=4+2+2=8
最小费用=48+26+30=104
算法设计：贪心策略
设p是图的一条增广路径，定义路径p的长度为：
w[i, j ]
w[i, j ]
i , j P
i ,。
如果p是一条最短（单位费用最小）的可增广路径， 称p是一条最小费用可增广路。
(4,6)
实例：
（容量，单位费用）
(2,5)
2
(5,7)
3
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
①、最小费用可增广路（最短路径） 1436 长度（单位流量总费用） =2+7+3=12 f 1=4 cost1=4*12=48
(4,6) (2,5)
2
4
(5,7) 4
3
4
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
4 (5,7) 4
3
4
(4,3)
1
②、最小费用可增广路 1456 长度（单位流量总费用） =2+6+5=13 f2 =2 cost2=2*13=26
6 5
(8,5)
(6,2)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
(5,7) 2 4 2 (7,6)
// short[i]:i到源点1的最短距离(最小费用);
b:array[1..maxn] of integer; // b[i]:最小费用可增广路 径上结点i的前驱
说说网络流与最小费用问题
说说网络流与最小费用问题网络流与最小费用问题是图论中的一个重要研究方向，涉及网络流量的分配和优化问题。
本文将对网络流与最小费用问题进行详细的介绍和分析。
一、网络流网络流指的是在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，通过这个网络，从源节点向汇节点发送流量。
在网络流问题中，我们需要找到一种最优的方法来分配流量，使得流量能够有效传输，并且满足各个节点的需求和容量限制。
二、最小费用问题最小费用问题是在网络流问题的基础上引入一种费用的考虑，即给每条边赋予一个权重，表示通过该边传输流量的成本。
最小费用问题旨在找到一种最优的流量分配方案，使得总花费最小化。
三、网络流与最小费用问题的关系网络流与最小费用问题密切相关，实际上最小费用问题可以看作是网络流问题的一个特例。
在最小费用问题中，我们通过引入费用的考虑，进一步优化流量的分配方案，使得在满足容量限制的同时，总花费最少。
四、网络流与最小费用问题的求解方法1. 网络流问题的求解方法：- 最大流问题：通过寻找一个从源节点到汇节点的路径，使得路径上的流量最大化，从而达到最大化整个网络中的流量。
- 最小割问题：寻找一个割集，将源节点和汇节点分割开，使得被割掉的边的容量之和最小。
最小割问题与最大流问题是互补的关系。
- 最小费用流问题：在网络流问题的基础上引入费用的思考，目标是找到一个流量分配方案，使得总花费最小化。
2. 最小费用问题的求解方法：- 费用流算法：费用流算法是解决最小费用问题的一种常用方法，主要包括增广路算法和最短路算法。
- 增广路算法：增广路算法是一种通过不断寻找增广路来优化流量分配方案的方法。
增广路是指一条从源节点到汇节点的路径，通过增加路径上的流量，可以降低总花费。
- 最短路算法：最短路算法是一种基于图的最短路径问题求解思想的方法。
通过在网络中寻找最短的路径来优化流量分配方案，并不断更新路径上的费用。
五、网络流与最小费用问题的应用网络流与最小费用问题有着广泛的应用场景，包括但不限于以下几个方面：1. 运输规划：在城市道路或物流配送中，通过网络流问题的求解，可以实现货物的最优分配和运输路径规划，从而提高运输效率和节约成本。
最大流 最小费用流
截集a: 截集c:
Ca=C01+C02+C0n Cc=C1n+C12+ C02+ C0n
截集b: Cb=C1n+C2n+C0n
截集d: Cd=C01+C21+ C2n+ C0n
S
v0
v1
v2
vn
c
S 在截集c中边v2v1是反向的，
其容量视为零。
d
v1
S
v0
v2
vn
S
在截集d中边v1v2是反向 的，其容量视为零。
定义：若 (P)=0 称P为f 的饱和的； 若 (P)>0 称P为f 的不饱和的。
定义：一条从发点到收点的 f不饱和通路u称为 f 的增长道路（增流路或增广路），即满足：
1.u+(与u方向相同的弧)上：0 fij<Cij 2.u-(与u方向相反的弧)上： fij>0
在一个网络中，f 的增长道路的存在 表示 f 不是最大流。所以。沿着P增 加一个值为 (P)的附加流，得到一个 新流：
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(0,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(0,5)
(0,3) v3
(0,5)
v1 (0,6) (0,3) (0,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(0,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(0,5)
(0,3) v3
(7,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (7,10) v4 (3,5)
(5,5)
最小费用流问题
05
最小费用流问题的扩展问题
多源和多汇问题
多个源点
当网络中有多个源点时，每个源点都有自己的供应量，要求流经整个网络并从指定的汇点流出。最小 费用流问题需要找到一种分配方式，使得从各个源点出发的流量的总和等于各自的供应量，同时总费 用最小。
多个汇点
与多源点类似，当网络中有多个汇点时，每个汇点都有自己的需求量，要求流经整个网络并流入各个 汇点。最小费用流问题需要找到一种分配方式，使得从源点出发的流量能够满足各个汇点的需求，同 时总费用最小。
问题背景和重要性
• 最小费用流问题在实际生活中有着广泛的应用，如物流网 络中的最优路径选择、通信网络中的数据流优化、电力网 络中的电力分配等。解决最小费用流问题可以为企业和组 织节省大量的成本和资源，提高运营效率。
问题的限制和假设
限制
最小费用流问题通常需要考虑图中可能存在的瓶颈和约束条件，如边的容量限 制、流量方向限制等。
动态变化
实际网络中流量的变化可能导致 最小费用流问题需要不断更新求 解，需要设计能够适应动态变化 的算法。
多目标优化
在实际应用中，最小费用流问题 常常需要考虑多个目标，如费用、 时间、可靠性等，需要发展多目 标优化的方法。
感谢观看
THANKS
最小费用流问
• 最小费用流问题概述 • 最小费用流问题的数学模型 • 最小费用流问题的算法 • 最小费用流问题的应用场景 • 最小费用流问题的扩展问题 • 最小费用流问题的挑战和未来研
究方向
目录
01
最小费用流问题概述
问题定义
• 最小费用流问题是在给定一个有向图或无向图中，寻找一条或 多条路径，使得从源点到汇点的总流量最大，且每条边的流量 不超过该边的容量，同时要求总费用最小。
最小流算法
最小流算法是网络流的一种算法，主要用于解决最小费用流问题。
最小费用流问题是在给定一个有向图中，寻找一条从源点s到汇点t的流量最大的流，使得整个流的费用最小。
最小流算法的基本思想是：首先找到一个增广路径，然后沿着这个路径进行增广，直到没有增广路径为止。
在增广路径上，每条边的流量可以增加，费用也随之增加；而在非增广路径上，每条边的流量不能增加，否则就会违反容量限制。
因此，最小流算法的关键在于找到增广路径。
最小流算法的实现可以采用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法。
Ford-Fulkerson算法的基本思想是：不断寻找增广路径并对其进行增广，直到没有增广路径为止。
Edmonds-Karp 算法则是Ford-Fulkerson算法的一种改进版本，可以更快地找到增广路径。
在实现最小流算法时，需要注意以下几点：
必须判断是否存在可行流，即源点s到汇点t是否存在一条流量大于等于0的路径。
在增广路径上，每条边的流量可以增加，但必须保证不违反容量限制。
在非增广路径上，每条边的流量不能增加，否则就会违反容量限制。
必须记录每条边的当前流量和最小费用，以便后续的增广操作。
必须判断是否还有增广路径存在，否则需要停止增广操作。
最小流算法的时间复杂度取决于找到增广路径的方法。
如果采用BFS（宽度优先搜索）方法，时间复杂度为O(V^2E)，其中V是顶点数，E是边数；如果采用Dijkstra算法或Bellman-Ford 算法，时间复杂度为O(V^3E)。
图论—最大流及最小费用流
的下一个流f ；若不存在
可增路，则当前流即为
最大流。
算法步骤：
第一步：.标号过程, 通过标号过程来寻找可增广链： (1)给原点标上； (2)任选一已标未查顶点u，检查其所有尚未标号的邻点： (a)对u的尚未标号的出邻点v，(即 u,v A),若c(u,v) f (u,v)， 则给v标号 : l(v) min{l(u),c(u,v) f (u,v)}.否则,不给v标号； (b)对u的尚未标号的入邻点v，(即 v,u A)若f (v,u) 0，则给 v标号 : l(v) min{l(u), f (v,u)}.否则,不给v标号； (3)重复(2)直到收点被标号或收点不能被标记；
v6
1
v1
(5.2)
v4
3
3
(4.2) v2
(3.0)
v5 (3.3)
vs
2
3
2
vt
1
v3
(2.2)
v6
标号：
得到增广链：s—2—5—1—4—t
求调整量：q =min[，2，3，3，3，2] = 2
2
v1
(5.4)
v4
(4.4) v2 (3.2) vs
v5 (3.3)
vt
v3
(2.2)
v6
调整可行流：去掉所有标号，重新标号
f
(a),
a是p的方向弧；
则沿路可增的流量为f (a) min f (a),该值称为f可增路 a p
p上流的增量或可增量；
(5,3) x
(4,2)
(4,2) (3,1)
(3,1) (3,3)
(3,1) y
(5,4)
例(从网络中取出来的可增路)：
x
（5,3）
教案图与网络最小费用流
教案图与网络最小费用流教案一：图的基本概念1. 图的定义：图是由顶点集合和边集合组成的数学结构，用于表示对象之间的某种关系。
2. 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表。
3. 图的类型：无向图、有向图、加权图、无权图。
4. 图的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。
5. 图的连通性：图的连通性是指图中任意两个节点之间都存在路径。
教案二：网络与流1. 网络的定义：网络是由节点集合和边集合组成的数学结构，用于表示实体之间的联系。
2. 流的定义：在网络中，流是指从源节点到汇节点的非负实数值函数，满足流量守恒和容量限制的条件。
3. 网络的表示方法：邻接矩阵、邻接表。
4. 网络的类型：有向网络、无向网络、加权网络、无权网络。
5. 网络的最小费用流问题：在加权网络中，寻找一条从源节点到汇节点的流，使得总费用最小。
教案三：最小费用流算法1. 最小费用流问题的意义：在实际应用中，最小费用流问题可以用于优化资源分配、交通运输、通信网络等领域。
2. 最小费用流算法的概述：最小费用流算法是用于解决最小费用流问题的计算方法。
3. 常用的最小费用流算法：Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、Edmonds-Karp 算法。
4. 最小费用流算法的实现步骤：图的表示、费用函数的定义、流的存在性判断、流的更新、费用计算。
5. 最小费用流算法的应用实例：网络中的资源分配问题。
教案四：最小费用流问题的应用1. 最小费用流问题在交通运输领域的应用：道路建设、航线规划、货物运输等。
2. 最小费用流问题在通信网络领域的应用：基站建设、光纤布局、网络优化等。
3. 最小费用流问题在水力发电领域的应用：水源分配、管道布局、能源优化等。
4. 最小费用流问题的在其他领域的应用：人员调度、物流配送、资金分配等。
5. 最小费用流问题的实际意义：通过优化资源分配，提高效率，降低成本，实现社会经济的可持续发展。
教案五：最小费用流问题的拓展1. 最小费用流问题的拓展：最大流问题、最小费用最大流问题、网络流问题的其他变种。
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简化费用(reduced cost)
– 公式: c*(u,v)=c(u,v)-(phi[u]-phi[v]) – 解释: 从结点u买流以后运到v后卖掉
简化费用可以即需即算, 无需存储
顶点势
如果顶点势让可行树所有边的简化费用为0, 称顶 点势是有效的(valid). 定理: 所有有效顶点势相差一个常数. 可任意指定一个点为树根, 势为0, 其他可以算出
构造可行树
方法一: 求最大流. 若 部分弧形成圈, 沿圈 增广填满一些弧, 再 加入满弧或空弧, 构 成可行树
构造可行树
方法二: 附加弧(s,t), 容量和费用都很大, 则求出 最大流后, 只有(s,t)是部分弧, 在剩下图中任意构 造一棵生成树, 加入(s,t)即可
算法思想
可行树: 由于可行弧在Gf中都是双向的, 任意再加 一条弧一定可以形成一个圈. 思想: 快速找到加入哪一条弧得到的圈为负 顶点势(vertex potential)
– 必要性. 若存在负费用圈, 沿它增广将得到相同流量费 用更小的流 – 充分性. 不存在负费用圈, 却有更小费用流为f', 则f'-f是 循环流, 可分解为圈的并, 但这些圈费用为正
二,消圈算法
算法思想
消圈算法 先求最大流, 再在Gf中寻找负费用圈并 消圈算法: 沿它增广 改进: 增加附加弧(s, t), 费用大于s-t最大费用路(如 VC), 弧上的初始流大于s-t最大流(如s出发的弧容 s-t ( s 量和加1) 消圈算法将让尽量多的流移出附加弧, 因此得到的 流是最大流. 最后附加弧可能有余量,应当忽略 实际效果: 最小费用增广路算法, 因为Gf中任何s-t 路和t-s一定构成负费用圈
合格弧
称一条弧是合格(eligible)的, 如果它和可行 树构成了一个负费用圈 定理: 一条弧是合格的当且仅当
– 它是满弧, 且有正简化费用, 或 – 它是空弧, 且有负简化费用
证明: 把圈上所有弧的简化费用等式叠加, 则费用和=非树边的简化费用 定理: 若不存在合格弧, 得到最小费用流
可行树的维护
若找到合格边, 则沿负费用圈增广
�
分析
最坏情况分析: 每次找负费用圈O(VE), 每次 只把费用更新1, 一共需要ECM次(M为最大 费用, C为容量), 在稀疏图中总时间复杂度 为O(VE2CM)=O(V3CM) 改进方向
– 每次不重新找圈, 而是从中间状态找 – 每次不随意找圈, 而是只找满足某些条件的圈
存在消圈算法, 一共只找O(VE)个圈
《算法艺术与信息学竞赛》
算法图论 第九讲 最小费用流
声明
本系列教学幻灯片属于刘汝佳,黄亮著 《算法艺术与信息学竞赛》配套幻灯片 本幻灯片可从本书blog上免费下载,即使您 并未购买本书. 若作为教学使用,欢迎和作者联系以取得 技术支持,也欢迎提供有不同针对性的修 改版本,方便更多人使用 有任何意见,欢迎在blog上评论 Blog地址:
内容介绍
一,最小费用流问题 ຫໍສະໝຸດ ,消圈算法 三,网络单纯形法 四,应用举例
一,最小费用流问题
问题描述
如果给流网络的每条弧新加一个权cost(u,v),代表 单位流量的费用,则总费用为每条弧的 f(u,v)*cost(u,v)之和 以下三个流流量相同, 但中图的费用最小 ,
分布网络
分布网络(distribution network): 带弧容量, 费用和点权(supply或demand)的网络 定理: 分布网络最小费用可行流问题等价于 s-t网络最小费用最大流问题 以后未加说明, 我们只考虑分布网络的最小 费用可行流问题, 简称最小费用流问题 (mincost flow problem)
三,网络单纯形法
算法思想
思想: 维护可行树, 并使用重加权技术加速 负圈寻找并减少迭代次数 弧的三种状态: 空(empty), 满(full), 部分 (partial), Gf中分别只有u-v, 只有v-u和都有 若部分弧不形成环, 则可行树 可行树是网络中包含 可行树 所有部分弧的任意生成树. 忽略弧的方向. 注意部分弧代表正反向弧都在Gf中的弧
残量网络
设(u,v)的容量为c, 流量为f, 费用为x
– 若f>0, Gf中存在弧(v, u), 容量为f, 费用为x – 若f<c, Gf中存在弧(u, v), 容量为c-f, 费用为-x
因为有负费用, 所以有可能有负费用圈 定理: 流f是相同流量的流中费用最小的流当且仅 当Gf不存在负费用圈