17.2勾股定理的逆定理2、3—子龙
《勾股定理的逆定理》PPT免费课件(第2课时)
田的面积为（ A ）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
课堂检测 基础巩固题
B
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他 们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ D ）
A.
B.
B
C.
D.
课堂检测
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东 25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( B ) A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
课堂检测
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
A
B组行了9×2=18(km)，
Байду номын сангаас
巩固练习
解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里， OA＝16×1.5＝24海里， 又∵AB＝30海里， ∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°. ∵∠DOA＝40°， ∴∠BOD＝50°. 则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
探究新知
知识点 2 利用勾股定理的逆定理解答面积问题
应用 方法
航海问题
与勾股定理结合解决不规 则图形等问题
认真审题,画出符合题意的图 形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题
勾股定理的逆定理ppt
为什么需要研究逆定理
逆定理在数学研究中具有重要的意义，它可以帮助我们更 好地理解和应用勾股定理。
逆定理可以用来判断一组正整数是否是勾股数，这在解决 一些数学问题时非常有用。
逆定理的应用场景
逆定理可以应用于一些几何问题中，例如勾股定理的一些变 式问题。
勾股定理逆定理的证明方法2
平面几何法
在平面上任取三个点$A、B、C$，使得$A、B、C$不共线，作$AB \perp BC$， 通过证明$AB^2 + BC^2 = AC^2$，从而证明原命题成立。
三角函数法
在三角形ABC中，设三个角分别为$A、B、C$，通过利用三角函数公式证明 $sin^2(A) + sin^2(B) = sin^2(C)$，从而得出原命题的结论。
逆定理在其他领域的应用
工程学
在工程学中，勾股定理的逆定理可以用于计算和确定物体的高度、距离等。 例如，在建筑、航天、航海等领域都有应用。
物理学
在物理学中，勾股定理的逆定理可以用于计算和确定力的合成与分解、运动 轨迹等。例如，在力学、电磁学等领域都有应用。
06
结论
逆定理的意义
1 2 3
几何学的应用
当这个公式成立时，我们可以得出结论：三角形的一个角是直角，即三角形是直 角三角形。
逆定理与原定理的关系
01
02
03
勾股定理的逆定理是原定理的一个逆 命题，即原定理的否定。
原定理和逆定理的条件和结论正好相 反，即原定理是“如果一个三角形是 直角三角形，那么它的三条边满足 a²+b²=c²”，而逆定理是“如果一个 三角形的三条边满足a²+b²=c²，那么 这个三角形是直角三角形”。
勾股定理的逆定理 课件
=2 =0
( 2 − 8)2 = 0
=
=2
=2 2
等腰三角形
2 + 2 = 2
直角三角形
等腰直角三角形
【例题3】如图，已知等腰三角形的底边 = 20，是腰上一点，且
= 16， = 12，求三角形的周长.
分析： 设 = ， 则AB = = ， ∴ = − 12.
这样的每一组数都称为勾股数.
【例题2】在三角形中，三边长, , 满足( − )2 + = 2 + ( 2 − 8)2 = 0，
则此三角形为（ C ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
分析： ( − )2 + = 2 + ( 2 − 8)2 = 0
如定理 “两条直线平行，内错角相等”的逆定理为“内错角相等，两条直
线平行”.
而定理 “对顶角相等”没有逆定理.
【例题1】下列定理中没有逆定理的是（ C ）
A.直角三角形的两锐角互余
B.若三角形三边长, , （最大），满足2 + 2 = 2，则该三角形是直
角三角形
C.全等三角形的对应角相等
2
2
在∆和∆中，根据勾股定理，得
2
2 +
= ( 40)2 ,
2
42 + 2 = 160, ①
整理，得൝ 2
2
+ 4 2 = 100. ②
2
2
+ =5 .
2
①+②，得 2 + 2 = 52. 在∆中，由勾股定理，得
2 = 2 + 2 = 52.
17.2勾股定理的逆定理2—子龙
A B
CD 2 3 AC 2 19
D
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高.
AD 12
S ABC 60
120 A BE 13
A
A
E
两个直角三角形中，如果有一条公共边， 可利用勾股定理建立方程求解 C B C B .
已知：如图，四边形ABCD中，∠A ＝900，AB＝3， BC＝12 ，CD＝13 , AD＝4，求四边形ABCD的面积?
SABCD 6 30 36 SABCD 30 6 24
A 4 3 B
D
3 4 A 13 12 C
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD= 3 ,DE=3,求证:AD⊥CD
D
3
90
3
C
60° A 4
2
E
2 3 2 3
2 3 60°
B
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各 边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？此时四 边形ABCD的面积是多少? C C 13 D D 30 12 46 5 A B A3 B
SABCD 6 30 36
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD ∵AB=AC，∴BE=CE
人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理》优质课教学设计_9
.17.2勾股定理的逆定理1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.[设计意图]介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.导入二：你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.[设计意图]通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.①这三组数都满足a2+b2=c2吗?②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.[设计意图]让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证：∠C=90°.追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,由勾股定理得A'B'===c,∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.[设计意图]引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.2.例题讲解(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.解：(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142≠152,(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12, .[设计意图]通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.[知识拓展]勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,则此三角形是锐角三角形.(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°,由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,即“海天”号沿西北方向航行.[设计意图]学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.师生共同回顾本节课所学主要内容：(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ()A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,4解析：A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故准确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中准确的有 ()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解：如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)归纳猜想(2)原命题、逆命题(3)勾股定理的逆定理的证明2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第34页习题17.2第7题.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.。
勾股定理的逆定理
17.2《勾股定理的逆定理》教学设计导读：本节课安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理逆定理的证明是难点。
勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种方法。
一、内容和内容解析1.内容勾股定理的逆定理证明及简单应用，原命题、逆命题的概念既及互关系。
2.内容解析勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是利用三边长关系来判断三角形是直角三角形的一种方法。
勾股定理的逆命题是真命题，勾股定理和它的的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反。
应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法。
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究并证明勾股定理的逆定理。
二、目标和目标解析1.目标（1）理解，并应用勾股定理的逆定理，经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。
（2）通过勾股定理逆定理的证明体会有特殊到一般和数形结合思想方法在问题解决中的作用。
（3）了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
2.目标解析目标（1）要求经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，要求能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形。
目标（2）培养学生学生数学思想方法和罗辑思维的能力。
目标（3）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
理解判断逆命题为假命题只要举出反例即可，但要说明逆命题为真命题必须通过证明。
三、教学问题诊断分析证明勾股定理逆定理的实质，是通过ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 证明三角形中有一个角为90。
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。
如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。
如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。
证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。
（证毕）证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。
（证毕）证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。
∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。
又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
17.2 勾股定理逆定理
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角 三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15
(2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a=9 b=40 c=41
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
1．三角形三边长分别为6、8、10，那么它 最短边上的高为______． 2．测得一个三角形花坛的三边长分别为 5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是 ________． 3．直角三角形三边是连续整数，则这三角 形的各边分别为＿＿＿
4．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的 周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
已知∠ACB=90°,
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
A D 3 C B
求CD的长.
解 由三角形面积公式得
S ABC 1 1 AB CD BC AC 2 2
4
所以 AB· CD＝BC· AC
BC AC CD AB
3 4 12 5 5
已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm， 练习 BC=25cm，AD是BC边上的高。求AD的长。
练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的立方相等．
逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等.
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
小正方形的边 长是１，请剪 拼出一个面积 是5的正方形。
勾股定理逆定理
第五讲勾股定理逆定理知识要点：一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a、b、c，满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形.（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”。
二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如c）.验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若222a b c+=，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若222+≠，则△ABC不是直角三角形.a b c当222+＜时，此三角形为钝角三角形；a b c当222+＞时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.a b c三、勾股数满足不定方程222a b c+=的三个正整数，称为勾股数（又称为毕达哥拉斯数），显然，以a、b、c为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……四、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.五、勾股定理逆定理的证明：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.例题分析：1．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A) a＝6，b＝8，c＝10 (B)(C) (D)2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角之比为5∶6∶1B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5 : 2 : 33．一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:24. ΔABC三边a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则ΔABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）6. a,b,c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：①能组成一个三角形②能组成三角形③能组成直角三角形④能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4。
(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)
第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
精编初二数学下学期《勾股定理的逆定理》知识点整理
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精编初二数学下学期《勾股定理的逆定理》知识
点整理
查字典大学网给大家整理勾股定理的逆定理知识点整理，大家可以参考阅读，希望能帮助大家取得好成绩。
勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;
(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角
形的一般步骤：
(1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论：
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
有了上文梳理的勾股定理的逆定理知识点整理，相信大家对考试充满了信心，同时预祝大家考试取得好成绩。
《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
勾股定理的逆定理
知识讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们
都是直角三角形吗？
都是直角三角形
知识讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
知识讲解
方法技巧：
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
（1）找：确定三角形的最长边；
（2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
解： AB 2 BC 2 62
AC 2
AB 2
82
100，
100，
BC 2
AC 2，
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
AD 2
AD2
DC 2
(5 2 ) 2
(5 2 ) 2
100，
AC 2，
DC 2
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角，
∴S 四边形 ABCD=
1
2
6 8
1
2
5 2
5 2
49.
可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
知识讲解
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理第一篇：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理18.2_勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理编辑本段勾股定理的逆定理定义在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
这就是勾股定理的逆定理。
概论勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边:如果A×A+B×B=C×C，则△ABC是直角三角形。
如果A×A+B×B>C×C，则△ABC是锐角三角形。
如果A×A+B×B＜C×C,则△ABC是钝角三角形。
证明方法勾股定理逆定理的证明方法?1、统一法构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a,b由勾股定理，斜边为c。
根据边边边公理。
得到2个三角形全等，所以原三角形为直角三角形。
2、三角函数Cos90如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足，AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB，比较两式得，COSB=0，B=90度。
3、相似三角形证明依题意作△ABC，设BC=a、AC=b、AB=c，满足a^2+b^2=c^2（a的平方+b的平方=c的平方）此时，在AB 边上截取点D使∠DCB=∠A,在△DCB与△ACB中，∠DBC=∠ABC∠DCB=∠A∴△DCB∽△ACB∴DC:AC=BC:AB=BD:BC∴把BC=a、AB=c代入，可求得BD= a^2∕c（c分之a的平方）把AC=b 代入，可求得CD= ab∕c∴AC=AB―BC=c-（a^2∕c）（c-c分之a平方）= c^2-a^2（c平方-a平方）= b^2∕c（c分之b平方）∴在△ACD与△DC B中，DC:AD=BC:AC=BD:CD=a：b∴△ACD∽△DCB∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°∴原命题得证第二篇：勾股定理逆定理说课稿勾股定理的逆定理说课稿一、教材分析（一）、本节课在教材中的地位作用“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。
勾股定理的逆定理ppt
如果三角形的三条边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形就是直角三角形 。
在物理学中的应用
勾股定理的逆定理在物理学中也有着重要的应用。
例如，在研究物体运动时，可以使用勾股定理的逆 定理来计算物体的位移。
勾股定理的逆定理的应用非常广泛，它不仅在几何学中 有着重要的应用，还在物理学、工程学、计算机科学等 领域有着广泛的应用。
勾股定理的逆定理的证明方法有多种，其中比较经典的 是欧几里得证明法，此外还有反证法、解析几何证明法 等。
对未来研究方向的展望
01
勾股定理的逆定理是几何学中的经典定理之一，但是随着科学技术的发展，对 勾股定理的逆定理的研究也在不断深入。未来可以进一步探索勾股定理的逆定 理在其他领域的应用，以及寻找新的证明方法和应用实例。
勾股定理的逆定理ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 勾股定理的逆定理介绍 • 勾股定理的逆定理证明方法 • 勾股定理的逆定理的应用 • 勾股定理的逆定理的推广与拓展 • 总结与展望
01
勾股定理的逆定理介绍
什么是勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理定义
如果一个三角形的三条边满足两边的平方和等于第三边的平 方，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理证明方法
通过勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角 形，同时也可以计算出直角的角度。
勾股定理的逆定理的重要性
实际应用
勾股定理的逆定理在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程学、物理学、 几何学等领域中，都需要使用勾股定理的逆定理来计算或判断某些物体的形 状或大小。
数学学科的基础
勾股定理的逆定理(2)
12
C
3 4
D
13
A
议一议：
如果△ABC的三边分别为a、b、c且满 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的 形状.
X
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则 有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15
N 海天 R P Q 远航 E
例2、一个零件如图所示，工人师傅量 得这个零件各个边长尺寸如下(单位cm) AB=3,AD=4,BC=12,CD=13 且∠DAB=90°,你能求出这个零件的 面积吗？ 12
B C
3
A4D源自13变式：如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____
_____ ;
0 ∠ B=90 _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
是 ____
0 是 ∠ C=90 _____ _____ ;
例1： “远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
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40米
2秒后
P76练习3： 练1、A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地 的正东方向，C在B地的什么方向？ 解：∵ BC2+AB2=52+122=169 C AC2 =132=169 13cm 2 2 2 ∴BC +AB =AC 5cm 即△ABC是直角三角形 A ∠B=90° B 12cm 答：C在B地的正北方向． 练2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳 1cm，又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原 点，问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所 跳距离是多少厘米？
D
90
7
24
25
C 15
A
90
20
B
变式
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD= 3 ， DE=3,求证:AD⊥CD
D
3
90
3
C
60° A 4
2
E
2 3 2 3
2 3 60°
B
1. 已 知 ： 在 △ ABC 中 ， AB ＝ 13cm ， BC ＝ 10cm ， BC 边 上 的 中 线 AD ＝ 12cm．求证：AB＝AC． A
A
8 6 15
8 6
D
17
10 B C
15
补充练习1：
1、在△ABC中，AD是BC边上的高，若 AB=l0，AD=8，AC=17，求△ABC的面积.
10
8
17 CB=9 36
S△ABC=84或36
BD=6 CD=15 CB=21 84
补充练习2：
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折叠, 使C落到AB上的E处,求CD的长度,
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
例6、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使 顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。 若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
E C
D
A
G
F
B
5
3 O
10
x 9-x
A
方程思想：直角三 角形中，已知一条 边，以及另外两条 6 边的数量关系时， 可利用勾股定理建 立方程求解. C x X=3
6 x
D
10
E
4
8-x
B
8
变式练习1：如图，在直角坐标系中， △ABC 的顶点A为（0，6），B为（8，0），AD平分 ∠BAC交x轴于点D， DE⊥AB于E. （1）求△ABD的面积； y （2）求点E的坐标. X=3 E( 24/5 , 12/5 ) x
E
变式4、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
X=4.76 AD=16.32 25-x
A
B
Dx
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
新支点P42第8题
A E
D A B C
例7、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2. 求四边形ABCD的面积.
AB 500 500 3
OB
北 A
2
500 3 500 3
2
O
60° 45°
500 3
500
C东
500 3
5002
3 3 500 6
500 6
B
甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以 15 2km/h的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以15km/h 的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处时发现渔 具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏东75°方向追赶， 结果两船在B处相遇． （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？ 3) 2 15 15 3 北 速度 (30 30 B 北
园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要 在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公 路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此 公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
400
A
x x 250 60° 30° C B D 1000
3 CD 3x BD x 3 3 x 3x 1000 3
A
F
D C
D
B
S ABCD 6 3
4 2
B
DM 2 3
M
BM 4 3
C
变式训练1：如图，在平面直角坐标系中，点C的 坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2， 求点B的坐标.
B(4 3 3, 3 )
C
y
B O A x
例8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平 分∠BAC， AC=6cm，BC=8cm，（1）求线段CD 的长；（2）求△ABD的面积15 .
B
3
4
E1 C
AEF 是直角三角形
∴AF⊥EF．
例4、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零 件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？此 时四边形ABCD的面积是多少? C C 13 D D 30 12 46 5 A B A3 B
SABCD 6 30 36
3 433
变式
如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园 的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路 将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此公 路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
50米
30米
小汽车
北
30° 60°
车速检测仪
在城市街路上速度不得超过70千米/ 时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边 车速检测仪的北偏东30°距离30米处， 过了2秒后行驶了50米，此时小汽车 与车速检测仪间的距离为40米. 问： 小汽车 2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方 向?这辆小汽车超速了吗? 30米 北 30° 小汽车在车速检测仪的 50米 北偏西60°方向或南偏 车速检测仪 东60°方向 60° 25米/秒=90千米/时 >70千米/时∴小汽车超速了
练4、在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向 相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经 过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处， 求:（1）此时快艇航行了多少米（即AB 的长）？ （2）距离哨所多少米（即OB的长） ？
OC 10002 5002 5002 22 1 500 3
13 12
B
13
5
C
5
90 90 D
P76第4题
例 2 、求证：m2－n2，m2＋n2，2mn (m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条 边长。
分析：先来判断m2－n2，m2＋n2，2mn三边 哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值 来试，如m=5,n=4.则分别为9，40，41， 则 m2＋n2 最大。
逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2 那么这个三角形是直角三角形。
知识&回顾☞
实际应用
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰 以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以 40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时 北 后两舰相距多远？
甲(A)
30
西
50
O
东
40
乙(B) 南
设BC为x AB=x+2 x=8 AB=10
C D
设CD为m BD=8-m DE=m BE=10-6=4
B
E
A
m=3
作业：新支点P47 第二课时
回顾与思考 勾股定理的逆定理的内容和作用是什么？ 逆定理: 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b 2 = c2 那么这个三角形是直角三角形。 作用： 判定直角三角形
练2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳 1cm，又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点， 问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离 y 是多少厘米？
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是 东北方向； 所跳距离是 2 2 厘 米．
O 1
2 2
2
2
3
2
x
练3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再 沿另一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又 向哪个方向走的？
知识&回顾☞
2.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30
海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以一定 的速度向西南方向航行，它们离开港口2小时后 测得两船的距离为100千米，求轮船B的速度是 甲(A) 北 多少？
60
西
100
O
东
80
乙(B) 南
例1、已知:如图,四边形ABCD中，AB=20， BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90° 求证:∠A+∠C=180°
C
BD=2
AD=6+2=8
4
A B
CD 2 3 AC 2 19
D
变式3、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ， BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.
AD 12
S ABC 60
120 A BE 13
A
A
两个直角三角形中，如果有一条公共边，可 利用勾股定理建立方程求解 . B C B C B D
3
x
1
变式1： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.