原子物理学作业 云南大学

第一次作业1，证明：在pk E(氢核动能)≠0（核在动！）的条件下，用μ＝pe p e M m M m +（折合质量，M p : 质子质量）代替（4），（5）式中的m e ，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足：222041)4(21n e E n πεμ-= r n ＝22204en μπε2, 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：H e （Z ＝2）一次电离后→H e ＋；L i （Z ＝3）二次电离后→ L i ＋＋；B e （Z ＝4）三次电离后→ B e＋＋＋。

证明：2220421)4(21n e Z E n πεμ-=； r n ＝22204e Z n μπε3, H 有两个同位素（Z 相同，质量数不同的一类元素），D ＝H 21（氘: 比氢核多一个中子）和T ＝H 31（氚: 比氢核多两个中子）。

中子：M N ＝M P ，不带电荷。

求：E n =?；r n =?。

1, 分析: 氢核不动的条件下，才有E k (原子的动能)＝E k (电子动能)。

但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用力！)。

为计算E k (原子的动能)＝pk E (氢核动能)＋ek E (电子动能)，以原子的不动点r c (质心)基点。

如图示:E k (原子的动能)＝pk E ＋ek E ＝221NP V M ＋221e e V m ; 由质心公式：r c ＝pe e M m rm +及V p = r c ω; V e = (r-r c )ωE k =21μ（r ω）2 E p (原子的势能)＝re 2041πε- (仅和相对距离，r ，有关)由220241re r V M c p pπε=关系得到: →220)(41ωμπεr re = (1)→ E p ＝－μ（r ω）2，E(原子的总能量能)＝E k + E p =－21μ（r ω）2=－21re 2041πε(2)L(原子角动量)＝I p ωN ＋I e ωe =M p r c 2ω+ m e (r-r c )2ω－e m e由质心公式：r c ＝pe e M m rm +, → L ＝r 2ωμ;由定态条件：L ＝r 2ωμ ＝n ℏ; ω2＝n 2ℏ2/μ2r 4(3)(3)→(1): r ＝22204en μπε ＝r n , r n →(2):n E ne E =-=222041)4(21 πεμ. 得证！ 2, 在题1中，E p (原子的势能)＝rZe 2041πε-，220241rZe r V M c N N πε=，（N 表示原子实）。

同题1，可得：2220421)4(21n e Z E n πεμ-=； r n ＝22204eZ n μπε 。

3,H 21和H 31和H 11(氢原子,H ）的区别：H 21:M (H 21)=2M pμ(H 21)＝pe p e M m M m 22+=22+pee M m m =H 31:M (H 31)=3M pμ(H 31)＝pe p e M m M m 33+=33+pee M m m =带入：222041)4(21ne E n πεμ-=，即得： 2220421211)4()(21)(n e H H E n πεμ-=；2220431311)4()(21)(n e H H E n πεμ-= 第二次作业答案：1.4、对于氢原子、一次电离的氦离子+He 和两次电离的锂离子++Li ，分别计算它们的： （1）、第一、第二波尔轨道半径； （2）、电子在基态的结合能； （3）、第一激发电势及共振线的波长。

分析与解答：（1）、因为：01112529.0;/A a Z a n r n ==⎪⎩⎪⎨⎧===0201116.2529.01:A a Aa Z H ⎪⎩⎪⎨⎧===+0201058.12645.02:A a A a Z He ⎪⎩⎪⎨⎧===++0201705.0176.03:Aa Aa Z Li （2）、电子在基态的结合能=电子在基态的电离能⎩⎨⎧=-=∞===)1n (6evZ .13)(E )n (0)(E n /-RCZ E 222基态电离 所以：⎪⎩⎪⎨⎧====∆+++4ev.122E :Li 4ev .54E :He 6ev .13E :H E（3）、2222)Z 1/n -Rhc(11hc E Z )n111(R 1==⎩⎨⎧-=λλ共振线波长：(12n →=)7H H1009737.143R 431⨯⨯==λ m -1, 可取7H 1009677.1R ⨯= m -1, nm 122m 1022.109737.1310477H =⨯=⨯⨯=--λ 3R 4R 431H He =⨯=+λ所以：nm m 311031.03R17He =⨯==-+λ 9R 431H Li⨯=++λ 所以：13.6nm m 10136.0R 34917Li =⨯=⨯=-++λ 第一激发电势： （12n →=）22)(6.13n Z ev E n ⋅-= 21243)(6.13Z ev E E ⋅=-所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯==⨯⨯==+++)(8.919436.13)(8.404436.13)(2.10V u V u V u LiHeH 1.8、处于激发态的原子在真空中以s m /103=υ向前运动，同时发出谱线。

发光强度将沿原子运动方向逐渐衰弱。

若在相距1.5mm 两点谱线强度之比为3.32:1，求激发态平均寿命和自发跃迁概率。

分析与解答：自发辐射强度τ/0t eI I -=（τ：激发态平均寿命） 01t t =时刻：τ/010t eI I -=330210105.1-⨯+=t t 时刻：τ/)105.1(0260-⨯--=t eI I32.3//105.1216==-⨯τeI I （题给）所以：32.3ln /105.16=⨯-τ)(1025.1~102.15.1~32.3ln 105.1666s ---⨯⨯⨯=τ)(108/115-⨯==s A τ1.12、某一能级能够向能量比他低的两个能级发生自发跃迁，跃迁概率分别是18101-⨯s 和18102-⨯s ，问此能级的寿命是多长？分析与解答：21A A A += （几率直接相加）21111τττ+= （寿命倒数和相加）其中⎪⎩⎪⎨⎧⨯==)(102/1)(10/18281s s ττ所以：)(103.3105.15.010)2/11(10210988882121s -----⨯≅⨯=⨯+⨯⨯=+⋅=τττττ1.13、证明H 原子n 轨道上电子运动速度为c n n αυ1=，其中13714120≈⋅=c e πεα称为精细结构常数（详见第三章）分析与解答：r1)4e (21E E )H (022p k ⋅-+=+=πεμυ总E1）22204n 1)4(2e ⋅-= πεμ 2）由： r2220r e 41μυπε=⋅ （电场力提供向心力）221μυ=k E =⋅⋅re 412120πε 所以：=-=-==+k p k E r e E E E 204121πε总22204n 1)4(2e ⋅- πεμ所以：222204k 21n1)4(2e E μυπεμ=⋅= ，c n 1n 14e 02απευ=⋅=第三次作业答案： 补充题：求无限深势阱中的定态能量和定态波函数。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=≤≥≤≥=<<<<=)y ,x (V )0y ,b (y 0)x ,a (x 0)y ,x (V )b y 0()a x 0(),(阱外阱内y x V分析与解答：定态eq .S ：)y ,x (E )y ,x ()]y ,x (V 2m[22ψψ=+∇- (1) 阱内：0)y ,x (V =；二维：22222yx ∂∂+∂∂=∇，设)()()y ,x (y x ψψψ=代入(1) )()()]()()()([222222y x E y yx x x y m ψψψψψψ=∂∂+∂∂- 阱内0)()(≠y x ψψ，用)()(y x ψψ通除上式得：02)()()()(22222=+∂∂+∂∂mEy y y x x x ψψψψ，独立变量x ，y 的函数之和为一常数，要求各函数分别为一常数。

设222 mE k =；2122)()(k x x x -=∂∂ψψ；2222)()(k y yy -=∂∂ψψ 解2122)()(k x xx -=∂∂ψψ得 ]s i n [)(11k x k A x δψ+= 由0=x 时，0)0(==x ψ知01=k δ；由a x =时，0)(==a x ψ知π11n a k =；（ 3,2,11=n ）a n k π11=∴；x an A x πψ1sin )(= 同理，b n k π22=∴；y bn B y πψ2sin )(=；（ 3,2,12=n ） 由2222212mEk k k ==+得][2222221222,1b n a n m E E n n +==π y bn x a n AB y x y x y x n n ππψψψψ212,1sin sin),()()(),(=== 归一化后得：y bn x a n ab y x n n ππψ212,1sin sin 4),(∙=2.1求电子动能为10ev,10Mev 时的德布罗意波长。

由此推断，电子有可能稳定地处于原子系统中，而不能存在于原子核中。

分析与解答： 由)(225.1)2(21nm Vm E h Vm h P h e k e ====λλ1=0.38 nm (V=10v), λ2=0.00038 nm (V=107v)))2(;21,(212e k e k m E V V m E mV P ===原子尺寸：05.0A a ≈；轨道周长：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>121~214.3~2210λπλππa aA a即：在轨道内能容纳多个物质波波长，从而可能形成稳定结构（驻波）核尺寸：05151010~A m a --=；轨道周长：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<⨯-12121028.6~22105λπλππa aA a 即：在轨道内均不能容纳一个物质波波长，从而不可能形成稳定结构。

2.2用激光冷却法可把原子冷至极低温度，试求Cs 133原子在uK 1温度时的德布罗意波长。

从物质结构的角度来考虑，这个长度大约是一个什么尺度？K uK 6101-= 时，Cs 133的热动能：22123mV kT E k ==，212)3(;3m kT V m kT V ==∴ )(102.2~10101.9836.133.11836133)(25531133kg m Cs m e --⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=J J kT 256231038.1)(101038.1---⨯=⨯⨯=)/(109.77.1)103.63()102.21038.13(3215212529s m V ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=∴07325342200102.2109.7102.27.11063.6A m p h =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ（微米尺寸）2.3 一个静止的原子发射nm 600=λ的谱线，其波长不确定为)(107λλ∆-。