原子物理学作业 云南大学

第一次作业

1，证明：在p

k E

(氢核动能)≠0（核在动！

）的条件下，用μ＝

p

e p e M m M m +（折合质量，M p : 质子质量）代替（4），（5）

式中的m e ，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足：

222041

)4(21n e E n πεμ-= r n ＝2

2204e

n μπε

2, 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：H e （Z ＝2）一次电离后→H e ＋；L i （Z ＝3）二次电离后→ L i ＋＋

；

B e （Z ＝4）三次电离后→ B e

＋＋＋

。证明：

2

220421

)4(21n e Z E n πεμ-

=； r n ＝2

2

204e Z n μπε

3, H 有两个同位素（Z 相同，质量数不同的一类元素），D ＝H 21（氘: 比氢核多一个中子）和T ＝H 3

1（氚: 比氢核多

两个中子）。中子：M N ＝M P ，不带电荷。求：E n =?；r n =?。 1, 分析: 氢核不动的条件下，才有E k (原子的动能)＝E k (电子动能)。但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用

力！)。为计算E k (原子的动能)＝p

k E (氢核动能)＋e

k E (电子动能)，以原子的不动点r c (质心)基点。如图示:

E k (原子的动能)＝p

k E ＋e

k E ＝221N

P V M ＋2

2

1e e V m ; 由质心公式：r c ＝

p

e e M m r

m +及V p = r c ω; V e = (r-r c )ω

E k =

2

1

μ（r ω）2 E p (原子的势能)＝r

e 2

041

πε- (仅和相对距离，r ，有关)

由2

2

02

41r

e r V M c p p

πε=关系得到: →22

0)(41

ωμπεr r

e = (1)

→ E p ＝－μ（r ω）2，

E(原子的总能量能)＝E k + E p =－21μ（r ω）2

=－21r

e 2041πε

(2)

L(原子角动量)＝I p ωN ＋I e ωe =

M p r c 2ω+ m e (r-r c )2ω

－e m e

由质心公式：r c ＝

p

e e M m r

m +, → L ＝r 2ωμ;

由定态条件：L ＝r 2ωμ ＝n ℏ; ω2＝n 2ℏ2/μ2r 4

(3)

(3)→(1): r ＝2

2

204e

n μπε ＝r n , r n →(2):

n E n

e E =-=2

22041)4(21 πεμ. 得证！ 2, 在题1中，

E p (原子的势能)＝r

Ze 2

041

πε-，

2

2

0241r

Ze r V M c N N πε=，（N 表示原子实）。

同题1，可得：

2220421

)4(21n e Z E n πεμ-=； r n ＝2

2204e

Z n μπε 。 3,

H 2

1

和H 31和H 1

1(氢原子,H ）的区别：

H 21

:

M (H 2

1)=2M p

μ(H 2

1)＝

p

e p e M m M m 22+=

2

2+p

e

e M m m =

H 31

:

M (H 3

1)=3M p

μ(H 3

1)＝

p

e p e M m M m 33+=

3

3+p

e

e M m m =

带入：2

22041

)4(21n

e E n πεμ-=，即得： 22204212

1

1)4()(21)(n e H H E n πεμ-

=；22204313

11)4()(21)(n e H H E n πεμ-= 第二次作业答案：

1.4、对于氢原子、一次电离的氦离子+He 和两次电离的锂离子++Li ，分别计算它们的： （1）、第一、第二波尔轨道半径； （2）、电子在基态的结合能； （3）、第一激发电势及共振线的波长。 分析与解答：

（1）、因为：0

1112

529.0;/A a Z a n r n ==

⎪⎩⎪⎨⎧

===0

20

1116.2529.01

:A a A

a Z H ⎪⎩⎪⎨⎧

===+0

20

1058

.12645.02:A a A a Z He ⎪⎩⎪⎨⎧

===++0

201705.0176.03

:A

a A

a Z Li （2）、电子在基态的结合能=电子在基态的电离能

⎩⎨⎧=-=∞===)1n (6evZ .13)(E )n (0)(E n /-RCZ E 2

2

2基态电离 所以：⎪⎩

⎪⎨⎧====∆+++4ev

.122E :Li 4ev .54E :He 6ev .13E :

H E

（3）、2

222)Z 1/n -Rhc(11

hc E Z )n

111(R 1==⎩⎨⎧-=λ

λ

共振线波长：(12n →=)

7H H

1009737.14

3

R 431

⨯⨯==

λ m -1, 可取7H 1009677.1R ⨯= m -1, nm 122m 1022.109737.1310477H =⨯=⨯⨯=--λ 3R 4R 4

31H He =⨯=+λ

所以：nm m 311031.03R

1

7He =⨯==

-+λ 9R 4

3

1

H Li

⨯=

+

+λ 所以：13.6nm m 10136.0R 3

4

917Li =⨯=⨯=

-++λ 第一激发电势： （12n →=）

22)(6.13n Z ev E n ⋅-= 2124

3

)(6.13Z ev E E ⋅=-

所以：

⎪⎪

⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧

=⨯⨯==⨯⨯==+++)(8.919436.13)(8.404436.13)(2.10V u V u V u Li

He

H 1.8、处于激发态的原子在真空中以s m /103=υ向前运动，同时发出谱线。发光强度将沿原子运动方向逐渐衰弱。若在相距1.5mm 两点谱线强度之比为3.32:1，求激发态平均寿命和自发跃迁概率。 分析与解答：