电动力学考卷

福州大学 2008～2009学年第2学期考试B 卷

S E H =⨯， 动量密度表示g 为1

2

ω=

真空中的麦克斯韦方程组为 ∂εμ+μ=⨯∂∂-

=⨯J B B

E t

,,x y z e e e 用来表示三个坐标轴方向的单位矢量）

01

()2

x y A B ye xe =-+，则磁场0z B B e =。 判断题（每题3分，共30分）

两平行无穷大导体平面之间能够传播TEM 电磁波。 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即W =⎰

0E 和0B ，那么电磁波在真空中的能量密

亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方

,)A ϕ，根据一个标量函数,)A ϕ''的规范变换式为,A A ψϕϕ''=+∇=-

趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面证明题（每题分，共20分）

试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下导体外的

()(,,,)(,)z i k z t E x y z t E x y e ω-=0E i H ωμ=及0H i E ωε∇⨯=-，证明电磁场所有分量都可用,)x y 这两个分量表示。

．(1) 在静电情况下，导体内场强01=E 由于012=-t t E E ，则02=t E

沿z 轴传播的电磁波及电场和磁场可以写成：

()()()()()(),,,,,,,,,z z i k z t i k z t E x y z t E x y e H x y z t H x y e ωω--== 有麦克斯韦方程组可得：

000,B E E i H H i E t t

ωμεωε∂∂⨯=-

=∇⨯==-∂∂ 写成分量式：

0y z

z y x E E ik E i H z y

ωμ∂∂-=-=∂∂ （1）

E E

∂∂

由（1）、（4）消去x H ：02221

z z y z z H E E k x y i k c ωμω∂∂⎛

⎫=

- ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭

- ⎪⎝⎭

由（1）、（4）消去y E ：02

221

z z x z z H E H k x y i k c ωμω∂∂⎛

⎫=

-+ ⎪∂∂⎛⎫⎝

⎭- ⎪⎝⎭

由（2）、（3）消去x E ：02221

z z y z z H E H k y x i k c ωμω∂∂⎛

⎫=

-- ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭

- ⎪⎝⎭

四、

计算题（每题10分，共20分，其中三题任选两题）

1. 同轴传输线内导线半径为a ，外导线半径为b ，两导线间为均匀绝缘介质(如

图所示)．导线载有电流I ，两导线间的电压为U ．忽略导线的电阻，计算介质中的能流S 和传输功率P ；

（计算题第1题图） （计算题第2题图）

2. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图所示2，半球的球心在导

体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b (b a >), 求空间P 点电势。（0/2,R a θπ≤<>）

3. 有一个内外半径为R 1和R 2的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为

μ，空腔内的磁感应强度B 可由如下关系式表示：

3

1200300122011(2)(2)2()R R B H R R μμμμμμμ⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭=-⎢⎥⎛⎫++⎢⎥

- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣

⎦ 试讨论空心球的磁屏蔽作用。

【解】1. 以距对称轴为r 的半径作一圆周()a r b <<，应用安培环路定律，由对称性得

2rH I θπ=，因而

2I H r

θπ=

导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷（电荷线密度）为τ，应用高斯定理，由对称性可得2r rE τ

πε

=

，因而 2r E r

τ

πε=

能流密度为

r z S E H E H e θ=⨯=，ln 2b

r a

r

b

U E dr a

πε==

⎰，212ln

z

UI

S e b r a

π= 1

2ln b b

a

a

UI P S rdr dr UI b r a

π=⋅==⎰⎰

2. 如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可以确定三个镜像的电量和位置：

2

11,a a Q Q r r b b

=-=

2

22,a a Q Q r r b b ==-

33,Q Q r br =-=-

222242

2

21

1

[

42cos 2cos 2cos Q a

R b Rb R b Rb a a b R R b b

ϕπεθ

θ

θ

=

-

+

+-++++

42

2

2], 0, 22cos a

R a a a b R R b b

πθθ

⎛⎫

+

≤<> ⎪⎝⎭

+-

3. 当0μ

μ时，

()()

()

002

02212μμμμμμ++≈- 因此10B =

即球壳腔中无磁场，类似与静电场中的静电屏蔽

由此可见，当磁壳的相对磁导率

0μμμ=r 很大时，磁壳内的磁

感应强度比无磁壳时(00H μ)大大减弱了，这就是磁壳对外磁场的磁屏蔽作用．通常在实验上采用高磁导率的材料(例如

510=r μ量级)，实现磁屏蔽．如图所示就是磁屏蔽的B 线分布情况．因为r μ是有

限的，所以不能完全实现磁屏蔽．