概率论模拟试卷2及参考答案

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概率论与数理统计试卷(二)

课程概率论与数理统计模拟试题（二）课程代码：考核方式: 闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：一、填空题（每题2分，共20分）P（AB）=8次取到红球的概3、已知F0.05(3,4)=6.59，则F0.95(4,3)=________________;已知F～F(5，9)，则F1～_____分布4、随机变量X服从参数为λ的指数分布，则EX = EX2=5、根据泊松定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，其成功次数X近似的服从参数为λ= 的泊松分布。

6、设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数ρxy=12, 则COV(X,Y)=_______7、对于连续型随机向量，X与Y独立的充分必要条件是，对于任何（x，y）∈R2，有f（x，y）=8、T服从n个自由度的t分布，则T2服从自由度为的分布9、设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ、σ2未知，则μ的置信度1-α(0<α<1)的置信区间为__________10、设X～N(1,3) ，则(X-1)2/3～________________分布。

二、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内，多选不给分。

每题2分，共20 分）1.设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0，P(B)>0，则下列关系成立的是( ).A. A，B相互独立B. A，B不相互独立C. A，B互为对立事件D. A，B不互为对立事件2、对于任意两个随机事件A 与B ，有P(A-B)为（）．①②③. ④.3、对任意随机变量X，若E(X)存在，则E(E(E(X)))等于( )。

①. 0 ②. X ③. (E(X))3 ④. E(X)4、设随机变量X的分布函数为F(x),. Y=2X+1,则Y的分布函数为( )①. F(y /2-1/2)②. F(y/2+1)③. 2F(x)+1④. 1/2F(y)-1/25、若E(XY)=E(X))(YE⋅,则必有( )①D(XY)=D(X)D(Y) ②D(X+Y)=D(X)+D(Y)③X与Y相互独立④X与Y不相互独立6、设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{}σμ≤-X应（）①单调增大②单调减小③保持不变④不能确定7、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1）则（）①P{}1≤+YX=1/2 ②P{}0≤+YX=1/2③P{}1.5X Y+≥=1/2 ④P{}0≥+YX=1/28、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，则EY=（）①10 ② 4 ③-2 ④–1/29、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果的显著水平0.05下拒绝H0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论正确的是（）第 1 页座位号第 2 页① 必接受H 0 ②可能接受,也可能拒绝H 0 ③ 必拒绝H 0 ④ 不接受也不拒绝H 0 10、设),(21X X 是来自总体X 的一个容量为2的样本,则在下列E(X)的无偏估计量中, 最有效的估计量是 ( )① 2Ｘ1／３＋Ｘ2／３ ②Ｘ1／４＋３Ｘ2／４ ③ ２Ｘ1／５＋３Ｘ2／５ ④ Ｘ1／２＋Ｘ2／２三、判断题：（共12分） A,B 一定独立。

概率论模拟卷1~6及答案

一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。

三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。

四、（12分）设 ,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。

五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。

求：（1）的矩估计量；（2）的方差。

七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。

试求常数，使得服从分布。

八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：, , , ,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。

若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。

三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。

四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ．（1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。

概率论与数理统计试卷及问题详解

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1）求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2）问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3）计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

概率论综合练习题2及参考答案

概率论综合练习2：一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.53.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示).5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y 相互独立，下列随机变量服从2χ分布的是【】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率. 2.a EX DX 3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩. (1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个，求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 三、计算题（36%）1.(,)X Y ()P X Y =2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.0251.96z=，0.025(8) 2.306t=.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.概率论综合练习题2参考解答一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.【解析】()()()()0.7()0.3P A B P A AB P A P AB P AB -=-=-=-=,解得 ()0.4P AB =. 2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.5 【解析】由,A B 相互独立，可得()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ====0.6，应选B. 3.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由密度函数的性质()0f x ≥及()cos 1If x dx xdx +∞-∞==⎰⎰可知，A 正确，选项B,C,D 错误.4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示). 【解析】~(1,2)Z X Y N =--~(0,1)N =,(0)12P Z P P P >=>=>=-≤5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y χ分布的是【】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +【解析】由~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ~(0,1)N , 所以，222~(2)2Y X χ+，应选B.6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++【解析】容易计算四个选项中的估计量的数学期望均为μ(即都是μ的无偏估计)，而22122()242X X D σσ+==,22223245()399X X D σσσ++==, 22213395()4168X X D σσσ++==,221233()393X X X D σσ++==,应选D.二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率.【解】记1A ——乘火车，2A ——乘船，3A ——乘汽车， 4A ——乘飞机，B ——迟到. (1) 1234()()P B P A B A B A B A B =()1234()()()P A B P A B P A B P A B =+++11223344()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++1110.30.20.10.404312=⨯+⨯+⨯+⨯ 1.80.1512==, (2) 1111()()(|)0.30.25(|)0.5()()0.15P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.2.设随机变量X 的分布律如下标所示：X0 1 2 3 Pa 0.2 0.3 0.1 (1)求a 的值； (2)求EX ； (3)求DX . 【解】(1) 10.20.30.10.4a =---=；(2) 00.410.220.330.1 1.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=;(3) 200.410.240.390.1 2.3EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 222() 2.3 1.1 1.09DX EX EX =-=-=.3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩.(1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个，求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 【解】(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得 21000100011000A A A dx x x +∞+∞=-==⎰,解得1000A =; (2) 220002000100010001(2000)2P X dx x x +∞+∞>==-=⎰； (3) 设Y 为4个部件中寿命大于2000小时的个数，则~(4,0.5)Y B ,(P 任取4个，至少有一个寿命2000)>1(P =-4个的寿命都小于2000)441151(0)10.511616P Y C =-==-=-=. 三、计算题（36%）1. 设,X Y 相互独立，其分布律分别为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 P0.3 0.4 0.3 (1) 求(,)X Y 的联合分布律； (2) 求()P X Y =.【解】(1)由,X Y 的独立性及各自的边缘分布律可得(,)X Y 的联合分布律:Y X1 2 3 ()i P X x = 1 0.09 0.12 0.09 0.3 2 0.15 0.20 0.15 0.5 3 0.06 0.08 0.06 0.2 ()j P Y y = 0.3 0.4 0.3 1 (2) ()(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.090.20.060.35=++=. 2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由. 【解】（1）边缘密度：166(1),01()(,)0,xX xdy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧⎪=-≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰，2063,01()(,)0,y Y xdx y y f y f x y dx other +∞-∞⎧⎪=≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰； (2) 在0,01x y y <<<<内，2(,)6()()18(1)X Y f x y x f x f y xy x =≠=-，所以，,X Y 不相互独立.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.【解】(1) 5186127133884345335x ++++==，0011xt EX xe dx te dt λλλλ+∞+∞--===⎰⎰，由EX X =得λ的矩估计量1X λ=，矩估计值11533x λ==； (2) i X 的密度函数为：,0()0,0i x i i ie xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,2,,i n =似然函数：12()1()()n x x x n n L f x f x e λλ-+++==，10,0n x x >>，对数似然函数：1ln ln ni i L n x λλ==-∑，令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑得 11nii nxxλ===∑，即λ的最大似然估计值为1533x λ==.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X 服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.025 1.96z =，0.025(8) 2.306t =. 【解】0:72H μ=;1:72H μ≠ 当0H 成立时，检验统计量72~(8)/9X T t S -=，拒绝域：0.025{||(8) 2.306}W t t =>=，由61820668.66793x ==≈， 4.583s =得检验统计量T 的值 2.1820t =-W ∉,因此，在显著性水平0.05α=之下认为患者的脉搏次数与正常人没有显著差异.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.【解】记误差变量为X ,则~(0.5,0.5)X U -, 0.50.502EX -+==, 2[0.5(0.5)]11212DX --==, 11200,,X X 为来自总体X 的样本，据独立同分布中心极限定理，得11200X X ++近似服从(0,100)N , 11(||10)(1010)n n P X X P X X ++<=-<++<111010()(11)10101010n nX X X X P P ++++=-<<=-<<(1)(1)2(1)1≈Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.20.841310.6826。

概率论期末模拟题

所以不独立;
(2) ;
(3) ，
.
六.（本题12分）
设二维随机变量的概率密度为
求:(1) 的边缘密度函数； (2) ； (3) . 解 (1) (2) ; (3) .
七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05，规定总长度为mm时产品合格，试求产品合格的概率.
1.设表示3个事件，则表示（）
(A) 中有一个发生 (C) 都不发生解本题应选C.
(B) 中不多于一个发生 (D) 中恰有两个发生
2.已知=（）.
(A)
(B)
(C)
(D)
解，
.
故本题应选A.
3.设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和，则（）
(A)
(B)
(C)
(D)
解，，故本题应选B.
（4）.
六.(本题12分)
设随机变量X的密度函数为，
试求: (1) 的值； (2) ； (3) 的密度函数. 解 (1) 因，从而; (2) ;
(3) 当时，;当时，，
所以，两边关于y求导可得，故Y的密度函数为
七.(本题6分) 某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.
第一步假设:=，统计量~，经检验，接受:=；
第二步假设:，统计量经检验，接受，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)
十.（本题5分）

概率论第二章自测题答案与提示

03
重点与难点解析
重点概念解析
概率
描述随机事件发生的可能性大小，取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事
件，1表示必然事件。
期望值
描述随机变量取值的平均水平，计算公式为E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn
。
独立性
若两随机事件之间没有相互影响，则称它们是独立的。
方差
描述随机变量取值分散程度，计算公式为D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。
难点问题解析
如何判断随机事件的独立性
通过计算事件之间的联合概率来判断，如果联合概率等于各事件概率的乘积，则两事件独立。
如何计算随机变量的期望值和方差
期望值通过将每个可能取值的概率乘以该取值得到，方差则通过计算每个取值的平方与相应概率的乘积后求和，再减去期望值的平方得到。
易错点解析
混淆概率与频率
件，事件A包含1个基本事件，因此$P(A) = frac{1}{3}$。
03
填空题3
答案为$2$。此题考查数学期望的计算公式，$E(X) = sum x_i p_i$，
其中$x_i$是随机变量X的可能取值，$p_i$是对案为$frac{1}{4}$。此题考查概率的加法公式，$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
选择题3
正确答案为D。此题考查独立性的定义，若事件 A和B独立，则$P(AB) = P(A)P(B)$。
填空题解析与提示
01
填空题1
答案为$frac{1}{2}$。此题考查概率的基本性质，事件A和B是对立事件，
因此$P(A) = 1 - P(B)$。
02
填空题2

2015年10全国自考概率论与数理统计(二)模拟试题和答案

2015年10月全国自考概率论与数理统计（二）模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第2题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第3题A. =0B. =1C. >0D. 不存在【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第5题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第6题设电灯泡使用寿命在2000小时以上的概率为0.15，如果要求12个灯泡在使用2000小时以后只有一个不坏的概率，则只需用()即可算出.A. 全概率公式B. 古典概型计算公式C. 贝叶斯公式D. 贝努利概型计算公式【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第7题甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出的概率都是0.25，则密码被译出的概率为()A. 14B. 164C. 3764D. 6364【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第8题下面命题中错误的是()A. X与Y独立，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件B. E(XY)=E(X)E(Y)，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件C. Cov(X,Y)=0，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件D. D(X+Y)=D(X)+D(Y),是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题某人打靶的命中率为0.8，现独立地射击5次，那么5次中有2次命中的概率为()A. (0.8)2×0.2B. (0.8)2C. C25(0.2)2(0.8)3D. C25(0.8)2×(0.2)3【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第10题【正确答案】 D二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。

《概率论与数理统计》模拟题(二)参考答案

《概率论与数理统计》模拟题（二）及参考答案一、填空题1. 已知()()()14P A P B P C ===，()0P AB =，()()19P AC P BC ==，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .2.（1842）设事件123,,A A A 是样本空间的一个划分，且1()0.5P A =，2()0.3P A =，则3()P A = .3.（1842）设,A B 是随机事件，()0.8P A =，()0.6P AB =，则(|)P B A = .4.（1741）已知()0.5P A =，()0.6P B =，(|)0.8P B A =，则()P A B = .5. 设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为 .6. 电路由元件A 与两个并联的元件,B C 串联而成，若,,A B C 损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1，则电路断路的概率为 .7.（1841）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，1{0}P X e -==，则λ= . 8.（1841）设()F x 是随机变量X 的分布函数，且{1}0.15P X >=，则(1)F = .9.（1842）设随机变量X 的概率密度为,04,()0,,a x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它其中常数a 未知，则{11}P X -<<= . 10. 设2~(,)X N μσ，已知标准正态分布函数值(1)0.8413Φ=，则{}P X μσμσ-<<+= .11. 设2~(1,4)X N -，(0.125)0.5498Φ=，则{ 1.5}P X >-= .12.（1841）设随机变量,X Y 独立，且X 服从区间[0,1]上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则当01,0x y ≤≤>时，二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y = .13.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为则{1,2}P X Y =≤= .14. 设(,)X Y 的概率密度为1,01,02,(,)20,x y x y ϕ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它, 则X 与Y 中至少有一个小于12的概率为 . 15.（1842）设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(2)D X -= .16.（1842）设随机变量,X Y 独立，且分别服从参数为2,3的指数分布，则()D X Y -= .17.设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由切比雪夫（Chebyshev ）不等式，有{3}P X μσ-≥≤ . 18. 已知总体2~(2)X χ，2~(3)Y χ，且X 与Y 相互独立，则X Y +服从分布.19.（1841）设总体X 在区间[1,3]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且11ni i X X n ==∑，则()E X = . 20.（1842）设总体2~(,4)X N μ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，则211[()]ni i E X n μ=-=∑ .21.（1841）设总体X 的分布律为其中p 为未知参数，01p <<，设12,,,n X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，则p 的矩估计ˆp = . 22.（1841）设总体~(,1)X N μ，1216,,,X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，对假设检验问题01:0,:H H μ=0μ≠，应采用检验统计量的表达式为 . 二、单项选择题:1.（1841）设随机事件,A B 满足()0.2P A =，()0.4P B =，()0.6P B A =，则()P B A -=()A 0.16. ()B 0.2. ()C 0.28. ()D 0.32. 答【】2. 设,A B 为两个互斥事件，且()0P A >，()0P B >，则下列结论中正确的是()A (|)0P B A >. ()B (|)()P A B P A =. ()C (|)0P A B =. ()D ()()()P AB P A P B =. 答【】 3. 设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列结论中正确的是()A ()()P A B P A =. ()B ()()P AB P A =. ()C ()()P B A P B =. ()D ()()()P B A P B P A -=-. 答【】 4. 袋中有5个球（3个新球2个旧球），每次取一个，无放回地取三次，则第三次取到新球的概率为 ()A 310. ()B 34. ()C 12. ()D 35. 答【】5. 已知随机变量2~(,)X N a σ，记(){}g P X a σσ=-<，则随着σ的增大，()g σ之值()A 保持不变. ()B 单调增大. ()C 单调减小. ()D 增减性不确定. 答【】 6. 已知随机变量X 的分布律为X 的分布函数为()F x ，则(0.5)F =()A 0. ()B 0.2. ()C 0.25. ()D 0.3. 答【】 7.（1010）设随机变量~(1,4)X N ，()F x 为X 的分布函数，()x Φ为标准正态分布函数，则(3)F =()A (0.5)Φ. ()B (0.75)Φ. ()C (1)Φ. ()D (3)Φ. 答【】 8. 随机变量,X Y 都服从二项分布，且~(2,)X B p ，~(4,)Y B p ，已知{1}5P X ≥=，则{1}P Y ≥=()A 65. ()B 5681. ()C 8081. ()D 1. 答【】9.（1010）设下列函数的定义域均为(,)-∞+∞，则其中可以作为概率密度的是()A ()x f x e -=-. ()B ()x f x e -=. ()C ||1()2x f x e -=. ()D ||()x f x e -=. 答【】10. 设(,)X Y 的分布函数1,0,0,(,)0,,x y x y e e e x y F x y ----⎧--+>>=⎨⎩其它则下列结论中错误的是 ()A X 与Y 一定相互独立. ()B X 与Y 一定都服从指数分布.()C 1()2E X Y +=. ()D ()2D X Y -=. 答【】 11.（1841）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为则{}P X Y ==()A 0.16. ()B 0.36. ()C 0.48. ()D 0.52. 答【】12.（1841）设随机变量X 满足2()20E X =，()4D X =，则(2)E X =()A 4. ()B 8. ()C 16. ()D 32. 答【】 13. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是()A 8. ()B 16. ()C 28. ()D 44. 答【】14. 设随机变量~(0,1)X N ，2~(5)Y χ，且X 与Y~ ()A (5)t . ()B (4)t . ()C (1,5)F . ()D (5,1)F . 答【】15.设12,,,n X X X 及12,,,m Y Y Y 分别是来自两个独立的正态总体21(,)N μσ及22(,)N μσ的两个样本，其样本方差分别为21S 及22S ，则统计量2212F S S =服从F 分布的自由度为()A (1,1)n m --. ()B (,)n m . ()C (1,1)n m ++. ()D (1,1)m n --. 答【】注样本方差比的抽样分布：2211122222~(1,1)S F n n S σσ--.16.（1741）设总体X 的概率密度为1,2,()0,,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（0θ>）12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，___X 为样本均值，则参数θ的无偏估计为()A 12X . ()B 23X . ()C X . ()D 1X. 答【】 17.（1841）某假设检验的拒绝域为W ，当原假设0H 成立时，样本值12(,,,)n x x x 落入W 的概率为0.05，则犯第一类错误的概率为()A 0.05. ()B 0.1. ()C 0.9. ()D 0.95. 答【】三、计算题：1.（1842）设商店有某商品10件，其中一等品8件，二等品2件，售出2件后，从剩余的8件中任取一件，求取得一等品的概率.2. 设连续型随机变量X的概率密度为||1,()0,||1,x f x x <=≥⎩求：(1) 常数k . (2) 1{}2P X <. (3) X 的分布函数. 3.（1842）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，31Y X =+，求Y 的概率密度.4. 设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 2X Y +的分布律.5.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为且{0}0.4P Y ==，求：(1) 常数,a b . (2) (),()E X D X . (3) ()E XY .6. 设(,)X Y 的概率密度为(5)2,01,5,(,)0,y xe x y f x y --⎧≤≤>=⎨⎩其它. (1) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (2) 问X 与Y 是否相互独立？为什么？ (3) 求()E X .7.（1841）设随机变量X 的分布律为令3Y X =，求：(1) ()E X ，()D X . (2) ()E Y ，()D Y . (3) X 与Y 的相关系数XY ρ.8.（1741）设某批零件的长度~(,0.09)X N μ（单位：cm ），现从这批零件中抽取9个，测其长度作为样本，并算得样本均值为43x =，μ的置信度为0.95的置信区间.（0.025 1.96u =）9. 设总体X 的概率密度为(1),1,()0,x x f x ββ-+⎧>=⎨⎩其它,其中(0)ββ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n的简单随机样本，12,,,n x x x 是一相应的样本值，求参数β的最大似然估计量和最大似然估计值.10.（1842）某水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋水泥重量服从正态分布，当包装机正常工作时，每袋水泥的平均重量为50kg .某日开工后，随机抽取9袋，测得样本平均值49.9x kg =，样本标准差0.3s kg =.问当日水泥包装机工作是否正常？（显著性水平0.05α=，0.025(8) 2.306t =）《概率论与数理统计》模拟题（二）参考答案一、填空题1.1736.2.0.2.3.0.25.4.0.7.5.13.6.0.314.7.1.8.0.85.9.14. 10.0.6826.11.0.5498. 12.y e -. 13.0.3. 14.58. 15.12. 16.1336. 17.1. 18.2(5)χ. 19.2. 20.16. 21.1X -. 22.4X .二、单项选择题1.C .2.C .3.A .4.D .5.A .6.D .7.C .8.A .9.C . 10.C . 11.D . 12.B . 13.D . 14.A . 15.A . 16.B . 17.A . 二、计算题：1.解设{B =任取一件为一等品}，{i A =售出的2件商品中有i 件一等品}，0,1,2i =，则2202101()45C P A C ==，08(|)18P B A == 1128121016()45C C P A C ==，17(|)8P B A =，28221028()45C P A C ==，263(|)84P B A ==，由全概率公式得2()()()0.8i i iP B P A P B A ===∑. 2.解 (1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰，得111(arcsin )[()]122k x k k πππ--==--==⎰，故1k π=.(2)0.50.50.51111{}{0.50.5}(arcsin )[()]2663P X P X x ππππ--<=-<<===--=⎰. (3) 设X 的分布函数为()F x ，则当1x <-时，()()0x F x f t dt -∞==⎰.当11x -≤<时，()()x xF x f t dt -∞-===⎰⎰11111(arcsin )(arcsin )arcsin 22xt x x ππππ-=+=+.当1x ≥时，1()()1x F x f t dt -∞-===⎰⎰.综上X 的分布函数为 0,1,11()arcsin ,11,21,1.x F x x x x π<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩3.解 X 的概率密度,0,()0,0,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当0x >时，311y x =+>，得1(1)3x y =-，3y '=，此时131()13()|3|3y X Y y f f y e ---==，故Y 的概率密度131,1,()30,y Y ey f y --⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.4.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由题设有故2X Y +的分布律为5.解 (1) 由{0}{0,0}{1,0}0.10.4P Y P X Y P X Y b ====+===+=，得0.3b =.再由分布律的定义知0.10.20.1a ++++0.21b +=，得0.1a =.综上0.1a =，0.3b =.(2) (,)X Y 关于X 的边缘分布律为则()0.6E X =，()0.6(10.6)0.24D X =-=.(3) ()1(1)0.1110.20.1E XY =⨯-⨯+⨯⨯=.6.解 (1) (5)52,01,2,01,()(,)0,0,y X xe dy x x x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它1(5)(5)02,5,,5,()(,)0,0,y y Y xe dx y e y f y f x y dx ----+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它(2) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.(3) 102()()23X E X xf x dx x xdx +∞-∞==⋅=⎰⎰. 7.解 (1) 111()(1)010333E X =-⨯+⨯+⨯=，22221112()(1)013333E X =-⨯+⨯+⨯=，222()()[()]3D XE X E X =-=.(2) 由题设得随机变量Y 与X 具有相同的分布，则()0E Y =，2()3D Y =.(3) 4X 的分布律为则42()3E X =，故4()()231()()2XY E XY E X D X D X ρ=====.8.解 43x =，20.09σ=，9n =，10.95α-=，0.05α=，20.025 1.96u u α==，所求置信区间为()(43 1.96)x α±=±，即(42.804,43.196).9.解样本的似然函数(1)(1)111,1,(),1,()()0,,0,,n n n nii i i i i i i x x x x L f x βββββ-+-+===⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它当1(1,2,,)i x i n >=时，()0L β>，且11ln ()ln (1)ln()ln (1)ln nni i i i L n x n x θββββ===-+=-+∑∏，令ln ()0dL d ββ=，即1ln 0n i i n x β=-=∑，解得θ的最大似然估计值为1ˆln nii nxθ==∑.θ的最大似然估计量为1ˆln nii nXθ==∑.10.解依题意，需检验假设0010:50,:H H μμμμ==≠.统计量~(1)X t t n =-，0.05α=时，拒绝域为||(1)t t n α≥-= 0.025(8) 2.306t =.由于||1 2.306x t ===<，所以应接受0H ，即认为当日水泥包装机工作正常.。

中国政法大学-概率论模拟试卷2及参考答案

概率论与数理统计模拟试卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）＞P （B ）＞0，则A ． P(A)=1-P(B)B ．P(AB)=P(A)P(B) B ．C ．P(A ∪B)=1D ．1AB P ）＝（ 2．设A ，B 为随机事件，P （B ）＞0，P （A|B ）=1,则必有A ． P(A ∪B)＝P （A ）B ．B A ⊃ B ．C ．P （A ）＝P （B ）D ．P （AB ）＝P （A ） 3．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为A ．2242 B ．2412C C C ．24A 2! D ．4!2!4．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是A ．343）（B ．41432⨯）（C ．43412⨯）（D ．22441C ）（ 5．已知随机变量X 的概率密度为fx(x)，令Y ＝－2X ，则Y 的概率密度(y)f Y 为A ．2fx(-2y)B ．)2y fx(- C ．)2y fx(-21- D ．)2y fx(-216．如果函数{b x a x,bx a x 0,f(x)≤≤><=或是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是A ．[0,1]B ．[0.2]C ．[20，]D ．[1,2] 7．下列各函数中是随机变量分布函数的为A ．+∞<<∞+=x ,x11(x)21－F B ． ⎝⎛=≤>+0x 0,0x ,x1x 2(x)FC ．+∞<<∞=x ,-e (x )F -x 3D ．+∞<<∞+=x arctgx,-2143(x)F 4π8．设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为Y X0 120 1 2121122122 121121122121122则P {X ＝0}＝A ． 1/12B ．2/12C ．4/12D ．5/12 9.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝A ． 3B ．6C ．10D ．12 10．设φ（x ）为标准正态分布函数，{,1001,2,i X A 1A 0,i ==　发生；，事件不发生；事件，且P(A)=0.8，X 1，X 2，…，X 100相互独立。

(完整版)概率论第二章答案

习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P . 解由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从而{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩ 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥ (2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩ 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=⎰可得02d 1cx x =⎰, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎧⎩ (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩ 解由概率密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN μ, 2~(,5)Y N μ, 1{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P μ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =⎰,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩ (2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===⎰;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==⎰;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--⎰⎰;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？解 (1) 由P {a <x ≤b }=P {33333}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2<X ≤5}=(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=, P {-4<X ≤10}=(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--=,{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +⨯-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩，　，　，　其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞⎰.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2YX =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X}(X X F F =-.于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) 至多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=k kkC -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=⎰得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-+∞=⎰, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某一质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少?解由{120P ≤X ≤}200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰即02e d 1x A x +∞-=⎰故2A = 1, 得到A =12.所以 φ(x ) =12e -|x |.(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰ 得到当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩e e ≥。

概率论第二章自测题及参考答案

第二章自测题（每题10分）（时间60分钟）1、设随机变量X 的分布函数为 ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=41421211213210200x x x x xx x F 试求下列概率：⑴．{}1=X P ； ⑵．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121X P ； ⑶．{23}P X ≤≤；⑷．{}4<X P ； ⑸．{}2≥X P ．2、假设在一次考试中，5名男同学与5名女同学的成绩各不相同．现将这10名同学的成绩按大小进行排列，令X 表示女同学得到的最高名次，试求X 的分布律．3、在一次试验中，设事件A 发生的概率为p()10<<p ，现将此试验独立、重复地进行下去，直至A 与A 都发生为止．设X 表示所需要的试验次数，试求X 的分布律． 4、问常数A 取什么值时，数列() ，，，54341=⎪⎭⎫⎝⎛k A k是离散型随机变量X 的分布律？5、一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？6、设连续型随机变量X 的密度函数为()()+∞<<∞-=-x Aex f x试求：⑴．常数A ；⑵．X 的分布函数；⑶．{}41<<-X P ．7、设电子元件的电阻X （单位：Ω）服从正态分布()4.1050，N ，现检查15个同类型的电子元件，求这15个元件中至少有两个元件的电阻大于55Ω的概率是多少？ 8、设连续随机变量ξ的分布函数为()arctan,()xF x a b x a=+-∞<<+∞ （1）、求系数a 、b ；（2）、P (-2<ξ<2); （3）、概率密度f (x ).9、设随机变量X 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它012)1(92)(x x x f X求：Y=X 2的概率密度10、假设一部机器在一年内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周个工作日里无故障，可获利润万元，发生一次故障仍可获利润万元；发生二次故障所获利润万元；发生三次或三次以上故障就要亏损万元，求一周内可获利润的分布律。

《概率论》模拟试卷

《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率：（1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。

概率论与数理统计模拟试卷2及答案

<北京语言大学网络教育学院概率论与数理统计模拟试卷2第I 卷（客观卷）一、单项选择题（每题3分，共45分）1、设A,B 是两个对立事件，P （A ）>0 ，P （B ）>0，则（）一定不成立。

（A ）P （A)＝1－P （B ） ' （B ）P （A│B)＝0 （C ）P （A│B )＝1（D ）P （A B )＝12、已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令X Y 2-=,则Y 的概率密度f Y (y)为（）。

（A ）2f X (-2y)（B ）f X ()-y2（C ）--122f y X () -（D ）122f y X ()-3、设A,B,C 是三个相互独立的事件，且0<P （C ）<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（）。

（A ）AB C 与（B ）AC C 与（C ）A B C -与（D ）AB C 与4、如果()F x 是（），则()F x 一定不可以是连续型随机变量的分布函数。

（A ）非负函数…（B ）连续函数（C ）有界函数（D ）单调减少函数5、下列二元函数中，（）可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

（A ）cos 01(,)220x x y f x y ππ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（B ）1cos 0(,)2220x x y g x y ππ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） cos 001(,)0x x y x y πϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它~（D ）1cos 00(,)20x x y h x y π⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它6、设F(x)是离散型随机变量的分布函数，若()P b ξ==（），则()()()P a b F b F a ξ<<=- 成立。

（A ）()()F a F b - （B ）()()F b F a - （C ）()()F a F b +（D ）17、已知随机变量ξ，η的方差D ξ，D η均存在，则下列等式中，（）一定不成立。

概率论与数理统计第二章自测题答案与提示

方向
为了更好地备考，我将关注以下几个方向：深入理解概率论的基本概念和性质；掌握条件概率的计算方法；熟悉常用随机变量的期望和方差的计算公式；提高解决实际问题的能力。同时，我也会注重培养自己的逻辑思维和分析能力，以便更好地应对各种考试挑战。
THANKS
感谢观看
通过具体例题，解析如何运用概率的基本性质和计算方法，解决复杂的概率计算问题。
随机变量分布题
通过具体例题，解析如何运用随机变量的性质和分布函数，解决随机变量分布的问题。
随机变量变换题
通过具体例题，解析如何运用随机变量的变换方法，解决随机变量变换的问题。
04
自测题答案总结与反思
答案总结
要点一
填空题答案及解析
填空题1答案：0.6
01
输标02入题
解析：此题考查概率的计算，根据概率的基本性质，互斥事件的概率和为1，因此$P(A) + P(B) = 1$，解得$P(A) = 0.6$。
03
解析：此题考查随机变量的期望和方差的计算，根据期望和方差的定义，随机变量X的期望$E(X) = sum x_i p_i$，方差$D(X) = sum (x_i - E(X))^2 p_i$。
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
• 自测题答案 • 题目解析与提示 • 重点与难点解析 • 自测题答案总结与反思
01
自测题答案
选择题答案及解析
选择题1答案：B 选择题2答案：C 选择题3答案：D
解析：此题考查概率的基本性质，事件A和B的并集概率等于它们概率之和减去它们的交集概率，即$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
建议
为了提高自己的理解和应用能力，我建议在未来的学习中更加注重基础知识的掌握，多做一些练习题来加深对概念的理解。同时，我也应该学会如何将理论知识应用于实际问题中，提高自己的分析和解决问题的能力。

概率论与数理统计试卷及答案

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X L 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。

9、设样本129,,,X X X L 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1）求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2）问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3）计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。