高次不等式的解法
分式不等式高次不等式的解法
分式不等式高次不等式的解法好嘞，今天咱们就聊聊分式不等式和高次不等式。
听起来可能有点深奥，但其实它们就像一块块拼图，慢慢拼起来，最终能看到完整的画面。
分式不等式就像那种在食堂排队的场景，前面有人，后面有人，你得算好什么时候能吃到好吃的。
而高次不等式呢，哎呀，就像是那种复杂的关系，很多变量在里面，让人头疼不已，但别担心，咱们慢慢来，大家一起摸索。
分式不等式可真是个“小怪兽”，它的形式一般是这样的：(frac{f(x){g(x) > 0) 或者(frac{f(x){g(x) < 0)。
听起来是不是有点吓人？但最重要的就是分子和分母的零点。
说白了，找到那些能让分式为零的地方，就像找到了藏宝图的关键点。
找到了零点，接下来就得分析它们在哪个区间内是正数，在哪个区间内是负数。
就像做一道菜，得先把材料准备齐全，再慢慢调味。
在分析区间的时候，可以把数轴拿出来，标上分子和分母的零点。
这样一来，数轴就像一条长长的铁路，每一个零点都是一个车站。
我们从左往右走，观察每一个区间的符号变化。
要是分子和分母都是正的，嘿，这区间就肯定是正的；反之亦然。
这里面呢，还有一种情况，就是分母不能为零，这一点得时刻记心上，不然可就“翻车”了。
咱们再来说说高次不等式。
这玩意儿一般看起来都是个大方程，比如说 (ax^n +bx^{n1 + ... > 0)。
一看到这个就感觉头皮发麻，没关系，咱们可以分步来解决。
高次不等式就像是一场足球比赛，首先得找出关键球员，也就是它的零点。
这个时候你需要用到求根公式、因式分解，甚至是图像法。
每个零点就像是比赛中的进球，一旦找到，比赛的走势就清楚多了。
找到了零点之后，接下来的步骤就像在赛场上找到合适的战术。
得把数轴又拿出来，看看在每个区间内，函数的符号到底是怎样的。
这就需要我们根据函数的次数，来判断在某些区间是正是负。
高次项的系数一旦确定了，整个比赛的结果也就差不多了。
正的就代表胜利，负的就得痛痛快快地接受失败。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
高次不等式解法口诀
高次不等式解法口诀高次不等式是数学中的一种常见不等式，其解法口诀是我们需要掌握的基本知识。
在高中和大学的数学学习中，我们经常会遇到很多高次不等式，因此，掌握解法口诀是我们必须具备的能力。
首先是求解一元一次高次不等式的方法。
这种方法通常是将不等式化为标准形式，即ax+b<c，然后解出x的值。
但是，有时候我们需要解的是多个一元一次不等式，这时就需要用到不等式的解法口诀。
解法口诀一是：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。
这个口诀告诉我们，在一元一次不等式中，如果a>0，那么x的值就是小于(c-b)/a；如果a<0，那么x的值就是大于(c-b)/a。
这个口诀的实质是利用了a的正负性，将不等式转化为两个简单的不等式。
解法口诀二是：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。
这个口诀与上面的口诀类似，只是将a的正负性调换了。
这个口诀的意义在于，它提供了一种通用的解法，不论a的正负性如何，都可以用这个口诀来解一元一次不等式。
接下来是解法口诀三：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。
这个口诀与解法口诀一类似，只是将c替换成了a+b。
这个口诀的意义在于，它可以将一元一次不等式转化为两个简单的一元一次不等式，从而更容易地求解。
除了这三个口诀，还有一些其他的解法口诀，如解法口诀四：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>[(c-b)/a]。
这个口诀告诉我们在解法口诀一的基础上，将不等式中的x求反了。
还有一些其他的解法口诀，如解法口诀五：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>[(c-b)/a]。
一元高次不等式的解法
一元高次方程的解法
分解因式法
通过因式分解将高次方程 化为低次方程，从而求解。
公式法
利用一元高次方程的求根 公式进行求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的 解。
一元高次不等式的变种
区间不等式
在给定区间内解一元高次不等式。
参数不等式
含有参数的一元高次不等式，需 要讨论参数的取值范围。
绝对值不等式
含有绝对值符号的一元高次不等 式，需要去掉绝对值符号进行求
配方法
总结词
通过配方将高次不等式化为完全平方形式，便于求解。
详细描述
配方法是另一种常用的解一元高次不等式的方法。它通过将高次多项式配成完全平方的形式，将高次 不等式转化为易于解决的一元二次不等式。在进行配方时，需要注意项的调整和符号的处理，以确保 不等式的正确性。
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近解，适用于求解复杂 或难以因式分解的高次不等式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ决策分析
在决策分析中，一元高次不等式可 以用来描述成本、收益和风险等因 素之间的关系，帮助决策者做出最 优选择。
04 一元高次不等式的注意事 项
符号判断
符号判断是解一元高次不等式的重要步骤，需要根据不等式的性质和一元函数的单 调性来判断解集的符号。
在判断符号时，需要特别注意不等式的临界点和拐点，这些点可能会导致符号发生 变化。
特殊情况处理
特殊情况是指一些特殊形式的一 元高次不等式，如等根、重根、
不等式两边同时为0等。
在处理特殊情况时，需要根据具 体情况采用不同的方法，如因式
分解、配方法、参数方程等。
特殊情况处理需要综合考虑不等 式的形式和性质，以及解的取值 范围和实际意义，采用合适的方
分式不等式与高次不等式解法
-1
2/3
3
所以原不等式的解集为
x
1
x
2 3
或x
3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正； 2、求零点x； 3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
练习1:解不等式
(x 1)2 (x 2) 0 (x 4)
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
(1) (x 1)3(x 2) 0 x3
(2) (x 2)(x 1)2 (x 1)3(x 3) 0
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
复习指导
解分式不等式的关键就 是如何等价转化（化归） 所给不等式！
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
所以原不等式的解集为
x
g (x)
f (x) g (x)
0
f (x)g(x) g(x) 0
0
4.解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
5. 解不等式 2x 1 1 x5
高次绝对值无理不等式解法
第二讲 解一元高次、绝对值、无理不等式一、学习目标：掌握一元高次、绝对值、无理不等式的解法重点：一元高次、绝对值的解法难点：绝对值不等式的解法二、学习对象：（一） 一元高次不等式的解法（数轴标根法）1.数轴标根法解高次不等式（整式和分式）的步骤：(1）转化找根：把不等号一边化为零，另一边分解为几个一次因式的积或商的形式，且一次项系数为正，找出不等式对应方程的所有根.(2) 画轴标根：画出数轴，把根从小到大依次在数轴上表示出来.(3) 画出曲线：自右而左，自上而下，依次穿根（重根的处理： “奇穿偶切”）.（4）写出结论：根据波浪线在数轴的上方（>0）还是下方(<0)，写出这个不等式的解集。
注意解集能不能带等号.（二）.绝对值不等式的解法（去绝对值号）1.|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .2..|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3.|f (x )|＞g (x )⇔ f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )， |f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x ).4. |f (x )|>| g (x )| ⇔22)()(x g x f > , |f (x )|<| g (x )| ⇔22)()(x g x f <5.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 （零点分段讨论法）方法：设数轴上与a ，b 对应的点分别是A ，B ，以A ，B 为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集.（三）.无理不等式（无理化有理）题型1⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 题型2：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 题型3：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 三、随堂练习1解下列不等式：（1）(x-1)(x+4)(x-3)>0； (2)(1-2x)(x-1)(x+2)≥ 0 （3）0)3()1()2(32≤--+x x x2. （1）|1－2x |≤3.； （2）x ＋|2x －1|<3 （3）|x ＋2|＋|x －1|≤4.3.（1）125->-x x （2） 125>-x四、自主测评1.不等式|x －2|>x －2的解集是( )A.(－∞，2B.(－∞，＋∞)C.(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞) 2.不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.（1）0322322<--+-x x x x . （2）|x －1|＋|x －2|≥5。
高三数学 不等式的解法 分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握 可化为
及 不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
解高次不等式
解高次不等式
解高次不等式
一、解高次不等式的方法：
1、先化简：
首先先将不等式本身化简，如果能化简得到一个二次以内的不等式，就可以进行求解，如果不能，就需要进一步化简。
2、先分解：
如果不能进行化简，可以尝试用方程求解的方法做分解，将整个不等式分成多个不等式来求解，这样比较容易求解。
3、合并：
有时候，如果不等式的右边有多个项，可以将多个项合并，这样可以把高次不等式简化为低次不等式，从而较容易求解。
4、变形求解：
有时，不等式右边有多项时，可以利用变量变换，将不等式右边的多项变换成一个式子，就可以较容易求解。
二、实例演示
例题：已知a>0，求解不等式：
a^3-3a^2+2a≤0
解：将不等式化简，令f(a)=a^3-3a^2+2a，
f'(a)=3a^2-6a+2=3(a-1)(a-2)，
可以得出f(a)在a=1处取得最小值，f(1)=0，
即a^3-3a^2+2a=0，
所以a≤1时，不等式a^3-3a^2+2a≤0成立。
高次不等式的解法完整版
高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
分式与高次不等式的解法举例
2、解不等式
x1 x2
0.
尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
Байду номын сангаасx20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为{x x 2或x 1}
不等式的解集为{x1 x 2或x 3}.
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
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若改为：x1 2x
0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：
{ { （x1)(x2)0 (1)或 （x1)(x2)0 (2)
x30
x 30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
+
+
-1
2- 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.
不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt
例子1
解析1
例子2
解析2
分式不等式的例子及解析
01
02
03
04
04
特殊类型不等式的解法
绝对值不等式具有一些特殊的性质，例如，如果$|a| > |b|$，那么$a^2 > b^2$。利用这些性质可以简化绝对值不等式的证明过程。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的解法一般采用零点分段法，即根据绝对值的定义将不等式转化为若干个不等式组，然后分别求解。
优化问题
热力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述热力学中的某些不等关系，例如在热力学第二定律中，热量总是自发地从高温物体传导到低温物体。
力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述两个物体之间的作用力和反作用力，例如在牛顿第三定律中，作用力和反作用力总是相等且方向相反。
电学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述电路中的电压和电流之间的关系，例如在欧姆定律中，电流与电压成正比，与电阻成反比。
高次不等式的例子及解析
例子1
解不等式x^2 - 4x + 4 > 0
解析
原不等式转化为(x-2)^2 > 0，利用平方差公式可得解集为{x|x≠2}。
例子2
解不等式x^3 - x^2 - 2x + 2> 0
03
分式不等式的解法
定义
分式不等式是一种含有未知数的不等式，其分子是一个多项式，分母是一个多项式或一个一次式。
分解因式
将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式，便于求解。
高次不等式的定义
高次不等式的解法公式
利用平方差公式或者完全平方公式将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式。
分式与高次不等式的解法举例(201911)
若改为：x1 2x
0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：
{ { （x1)(x2)0 (1)或 （x1)(x2)0 (2)
x30
x 30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的- 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.
总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
； 郑州鹰眼大数据:
一、问题尝试:
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集,
不等式的解集为{x1 x 2或x 3}.
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
；
坊 诸州无常员 左右司阶各二人 然后去 ○大都督府 从八品下；得情为下考；号
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例 1:解不等式
(1)
(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2)
x2-4x+1 3x2-7x+2
≤1
解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图
-5 -4 不等式解集为{x∣x>2 或 x<-4 且 x≠5}.
2
(2)Biblioteka 变形为(2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2)
高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号
不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫
奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成
当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式 φ（ｘ）／ｈ（ｘ） ＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）… （ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、 φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的 方法称为序轴标根法。
∵ ｘ２＋ｘ＋１＞０对一切ｘ恒成立，
∴ ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，由图４可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ ＜－１或０＜ｘ＜１或ｘ＞２｝
二．
数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为 0。（注意：一定要保
证 x 前的系数为 正数）
例如：将 x^3-2x^2-x+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后 又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果 不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶 不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1 或 x>2。 运用序轴标根法解题时常见错误分析
≥0
根据穿根法如图
1 3
11 2
2
不等式解集为
{xx<
1 3
或
1 2
≤x≤1
或
x>2}.
【例 2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f(x)＞0(或 f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解 法是：
解 原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、 ３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。
２． 出现重根时，机械地“穿针引线” 例２ 解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ－４）３＜０ 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得， 原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时， 所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折 回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可 得到不等式的解集 ｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝ ３． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例３ 解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ ３－１）＞０ 解 原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ ２＋ｘ＋１）＞０，有些 同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的 积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）＞０，
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的 点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： １． 出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例１ 解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。 解 ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴 上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。
解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影 部分．
(2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5 或-5＜x＜-4 或 x＞2｝．
【说明】 用．“．穿．根．法．”．解．不．等．式．时．应．注．意．：．①．各．一．次．项．中．x．的． 系．数．必．为．正．；．②．对．于．偶．次．或．奇．次．重．根．可．参．照．(．2．)．的．解．法．转．化．为．不．含．重． 根．的．不．等．式．，．也．可．直．接．用．“．穿．根．法．”．，．但．注．意．“．奇．穿．偶．不．穿．”．．．其．法． 如．图．(．5．－．2．)．．．