高中数学课件_第2章_第2节_《函数的定义域和值域》

当x＜0时，g(x)＝x，
(x＋|x|)＝ (x－x)＝0.
∴ f[g(x)]＝
由于当x≥0时，x2≥0，故f[g(x)]的值域为[0，＋∞). 答案：
练习
1.函数y＝ A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0}
＋x的定义域为 B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1}
(
)
解析： 答案：C
或x＝0.
[考题印证] (2009· 宁夏、海南高考)用min{a，b，c}表示a、b、c三个
数中的最小值.设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的
最大值为 A.4 C.6 ( ) B.5 D.7
【解析】
f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图.
令x＋2＝10－x，x＝4.
x轴上的投影所覆盖的实数的集合. 3.当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析 式有意义的实数的集合. 4.当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问 题的意义确定.
求下列函数的定义域：
(1)y＝ ＋ ；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.
域，这是求值域的重要环节.
求下列函数的值域. (1)y＝ ；
(2)y＝2x＋
(3)y＝x＋ [思路点拨] .
；
[课堂笔记] (1)∵y＝
＝
＝1－
，
又∵x2＋1 ≥1，∴0＜
∴0≤1－ ＜1，
≤1.
即函数y＝
的值域为[0,1).
(2)设t＝
，则x＝ )2＋
. .
∴y＝1－t2＋t＝－(t－
∵二次函数的对称轴为t＝
解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间
[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因 此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案：1
5.设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在 x轴的正半轴上移动，l(x)表示AB的长，则函数
3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.
设函数f(x)＝
， g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为 h(a). (1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(a)的图象并指出h(a)的最小值.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)g(x)＝
，
①当a＜0时，函数g(x)是区间[1,3]上的增函数，
解：(1)要使函数有意义，则 函数的定义域为[0,1].
∴0≤x≤1，
∵函数y＝
－
为减函数，
∴函数的值域为[－1,1]. (2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0<x<2. ∴函数的定义域为(0,2). 又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，
∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0].
此时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，
g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a； ②当a＞1时，函数g(x)是区间[1,3]上的减函数， 此时，g(x)min＝g(3)＝2－3a， g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1； 若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，有g(2)＜g(x)≤g(3)；
∴在[0，＋∞)上y＝－(t－
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2＋ 的最大值为 ，无
最小值，
其值域为(－∞， ].
(3)∵函数y＝x＋
是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故
其图象关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时 的最值和值域. ∵当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝4.
当且仅当x＝2时，等号成立，
∴当x＜0时，y≤－4.
)
A.[1，＋∞)
C.(1,2)
B.(－∞，2)
D.[1,2)
解析：要使函数有意义，只须
∴1≤x＜2. 答案：D
，即
，
2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,3]，则函数y＝f(x2－1) 的定义域是 ( A.[－2,2] ) B.[－1,3]
C.[－1，＋∞)
D.[－
]
解析：∵f(x)的定义域为[－1,3]
法求解.
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2
条件“一正、二定、三相等”.
(a>0，b>0)求数
的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用
4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－∞，－ (0， ). ]和[ (p>0)的单调性： ＋∞)，减区间为(－ ,0)和
即函数的值域为(－∞，0].
(3)函数定义域为{x∈R|x≠0}， 函数值域为{y∈R|0<y<1或y>1}.
(4)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，
函数值域为{2,3,4,5,6,7}.
综上所述：
h(a)＝
，
(2)画出y＝h(a)的图象，如图所示. 数形结合，可得h(a)min＝h( )＝ .
数形结合的思想是每年高考的必考内容，09年宁夏、
海南高考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合， 综合考查了考生对函数图象以及数形结合思想的理解和 应用，很好的考查了考生综合分析问题、解决问题的能 力，这是一个高考命题的新方向.
③当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， 故当0≤a≤ 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a，
∴－1≤x2－1≤3即0≤x2≤4∴－2≤x≤2. 答案：A
3.函数f(x)＝ A.[0,1] C.(0,1]
(x∈R)的值域是 B.[0,1) D.(0,1) ≤1
(
)
解析：∵1＋x2≥1∴0＜
答案：C
4.若 为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域是
.
解析：∵
为实数，∴x≥0，
)2－ －5，
∵y＝x2＋3x－5＝(x＋ ∴当x＝0时，ymin＝－5. 答案：[－5，＋∞)
即f(2x＋1)的定义域为{x|－
函数值域的求法
1.配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的
值域，其关键在于正确化成完全平方式. 2.换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y＝ax ＋b± (a，b，c，d均为常数且ac≠0)的函数常用此
的值域为
.
解析：依题意有x＞0，l(x)＝
所以y＝ 由于1－ 所以 故0＜y≤ ＋ ＝ ＝25( ≥ ， － ＝ )2＋ ，
＝
，
，
，即函数y＝
的值域是(0， ].
答案：(0，
]
6.求下列关于x的函数的定义域和值域：
(1)y＝
－ ；
(2)y＝log2(－x2＋2x)； (3)y＝e (4) x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7
当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6.
【答案】
C
[自主体验] 已知f(x)＝ ＝ (x＋|x|)，g(x)＝ . 函数f[g(x)]
，值域为
解析：当x≥0时，g(x)＝x2， 故f[g(x)]＝f(x2)＝ 故f[g(x)]＝f(x)＝ (x2＋|x2|)＝ (x2＋x2)＝x2；
2.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝
定义域是 ( )
的
A.[0,1]
C.[0,1)∪(1,4]
B.[0,1)
D.(0,1) 解得0≤x＜1，故
解析：要使g(x)有意义，则 定义域为[0,1). 答案：B
3.函数y＝log2x＋logx(2x)的值域为 ( A.(－∞，－1] C.[－1,3] B.[3，＋∞)
)
D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：y＝log2x＋logx2＋1，
∵log2x＋logx2≥2或log2x＋logx2≤－2， 从而y≥3或y≤－1.
答案：D
4.定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y ＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b] 的长度的最大值与最小值的差为 .
综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).
变式 如何求y＝ 解： ＋ 的值域？
表示点（x，0）到点（0，-1）的距离；
表示点（x，0）到
点（2，2）的距离，
故
故值域为
1.对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域 上用相应方法求函数值域. 2.若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影 响，即要考虑分类讨论.
1.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围 叫 A
做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，
函数值的集合 叫做函数的值域.
[思考探究]
函数的值域由哪些因素决定？
提示：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.
2.确定函数定义域的依据
1.函数y＝
＋ln(2－x)的定义域是 (
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)要使函数y＝ 应有 即 有
＋
有意义，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}. (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
∴1＜2x＋1＜3， 即f(x)的定义域是(1,3).
变式 若本例(2)中交换f(2x＋1)与f(x)的位置，结论如何？ 解：∵f(x)的定义域为(0,1)， ∴0＜2x＋1＜1， ∴－ ＜x＜0. ＜x＜0}.
5.若函数f(x)＝
为 .
的定义域为R，则a的取值范围
解析：由题意知2
－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0
恒成立，其等价于Δ＝4a2＋4a≤0⇒－1≤a≤0. 答案：[－1,0]
确定函数定义域的原则 1.当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中 实数x的集合.
2.当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在
[特别警示] (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变
量x是否属于R.
(2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义