高中数学课件_第2章_第2节_《函数的定义域和值域》
高中数学课件第二章《第2节函数的定义域和值域》
恒成立,其等价于Δ=4a2+4a≤0⇒-1≤a≤0.
答案:[-1,0]
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11
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12
确定函数定义域的原则
1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格中
实数x的集合.
2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象在
x轴上的投影所覆盖的实数的集合.
3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析
2.换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值域
容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形如y=ax
+b±
(a,b,c,d均为常数且ac≠0)的函数常用此
法求解.
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17
3.不等式法:借助于基本不等式a+b≥2 (a>0,b>0)求数 的值域.用不等式法求值域时,要注意基本不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”.
3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.
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25
设函数f(x)=
, g(x)=f(x)-ax,
x∈[1,3],其中a∈R,记函数g(x)的最大值与最小值的差
为h(a).
(1)求函数h(a)的解析式;
(2)画出函数y=h(a)的图象并指出h(a)的最小值.
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)g(x)=
ห้องสมุดไป่ตู้
,
①当a<0时,函数g(x)是区间[1,3]上的增函数,
此时,g(x)max=g(3)=2-3a, g(x)min=g(1)=1-a,所以h(a)=1-2a; ②当a>1时,函数g(x)是区间[1,3]上的减函数,
此时,g(x)min=g(3)=2-3a, g(x)max=g(1)=1-a,所以h(a)=2a-1; ③当0≤a≤1时,若x∈[1,2],则g(x)=1-ax,有g(2)≤g(x)≤g(1);
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第2课时 函数的定义域与值域
大一轮复习讲义
题型一 函数的定义域
1.函数f(x)=ln(4x-x2)+x-1 2 的定义域为
A.(0,4)
B.[0,2)∪(2,4]
√C.(0,2)∪(2,4)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 要使函数有意义, 4x-x2>0,
则x-2≠0, 解得0<x<4且x≠2.
师生共研
(2)y=2xx-+31;
解 (分离常数法)y=2xx-+31=2x-x-33+7=2+x-7 3, 显然x-7 3≠0,∴y≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(3)y=2x- x-1;
解 (换元法)设 t= x-1,则 x=t2+1,且 t≥0, ∴y=2(t2+1)-t=2t-142+185, 由 t≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数 的值域为185,+∞.
3.若函数f(x)的定义域为[0,8],则函数g(x)= f2x 的定义域为_[_0_,_3_) _. 8-2x
解析 依题意有08≤-22xx>≤0,8, 解得0≤x<3, ∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合, 求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式 (组)的解集即可. (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等 式a≤g(x)≤b求出; ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b] 上的值域.
2
∴xx- -11>≤02,, 解得1<x≤3.
第二章第2讲函数的定义域和值域
第2讲 函数的定义域和值域1.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y =a x (a >0且a ≠1),y =sin x ,y =cos x ,定义域均为R .(5)y =tan x 的定义域为{x |x ≠k π+π2,k ∈Z }.2.基本初等函数的值域(1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R . (2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:当a >0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac -b 24a ; 当a <0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac -b 24a . (3)y =kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}. (5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y =sin x ,y =cos x 的值域是[-1,1]. (7)y =tan x 的值域是R . [做一做] 1.(2015·浙江杭州模拟)函数y =16-4x 的值域是( ) A .[0,+∞)B .[0,4]C .[0,4)D .(0,4) 解析:选C.∵4x >0,∴0≤16-4x <16,∴0≤y <4.2.函数y =x +1+12-x的定义域为________.答案:[-1,2)∪(2,+∞)1.求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接. 2.求函数值域的六种基本方法(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.(3)换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,且a ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数用三角函数代换求值域.(4)分离常数法:形如y =cx +dax +b(a ≠0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域.[做一做]3.函数y =1log 2(x -2)的定义域是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞) 答案:C4.若x -4有意义,则函数y =x 2-6x +7的值域是________.解析:∵x -4有意义,∴x -4≥0,即x ≥4.又∵y =x 2-6x +7=(x -3)2-2,∴y min =(4-3)2-2=1-2=-1.∴其值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)考点一__求函数的定义域(高频考点)____________函数的定义域是高考的重点内容,考查时多以选择题和填空题形式出现,一般难度较小,高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度: (1)求分式型函数的定义域; (2)求无理型函数的定义域; (3)求对数型函数的定义域; (4)求抽象函数的定义域.(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f (x )=log 2(3x -1)的定义域为( ) A .[1,+∞) B .(1,+∞)C .[0,+∞) D .(0,+∞)(2)函数f (x )=1-|x -1|x -1的定义域为____________.(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6],则函数y =f (2x )log 12(2-x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32,+∞B.⎣⎡⎭⎫32,2C.⎝⎛⎭⎫32,+∞D.⎣⎡⎭⎫12,2 [解析] (1)要使函数有意义,必须满足3x -1>0,解得x >0,故选D. (2)由⎩⎨⎧1-|x -1|≥0x ≠1⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠1⇒0≤x <1或1<x ≤2.(3)要使函数y =f (2x )log 12(2-x )有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6log 12(2-x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤30<2-x <1⇒32≤x <2.故选B.[答案] (1)D (2)[0,1)∪(1,2] (3)B本例(2)变为函数f (x )=1-|x -1|a x -1(a >0且a ≠1),结果如何?解:由⎩⎪⎨⎪⎧1-|x -1|≥0a x -1≠0⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠0⇒0<x ≤2,故所求函数的定义域为(0,2].[规律方法] 简单函数定义域的类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)已知f (x )的定义域是[a ,b ],求f (g (x ))的定义域,是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ].1.(1)(2013·高考山东卷)函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为( ) A .(-3,0] B .(-3,1] C .(-∞,-3)∪(-3,0] D .(-∞,-3)∪(-3,1](2)函数y =lg (2-x )12+x -x 2+(x -1)0的定义域是__________. (3)(2015·广东佛山模拟)已知f (x 2-1)的定义域为[0,3],则函数y =f (x )的定义域为__________.解析:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,解得-3<x ≤0,所以函数f (x )的定义域为(-3,0],故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2-x >0,12+x -x 2>0x -1≠0,得⎩⎪⎨⎪⎧x <2,-3<x <4,x ≠1,所以-3<x <2且x ≠1,故所求函数的定义域为{x |-3<x <2且x ≠1}.(3)∵0≤x ≤3,∴0≤x 2≤9, ∴-1≤x 2-1≤8,∴函数y =f (x )的定义域是[-1,8].答案:(1)A (2){x |-3<x <2且x ≠1} (3)[-1,8] 考点二__求函数的值域________________________求下列函数的值域.(1)y =x 2+2x (x ∈[0,3]);(2)y =1-x 21+x 2;(3)y =x +4x (x <0);(4)f (x )=x -1-2x . [解] (1)(配方法)y =x 2+2x =(x +1)2-1, ∵y =(x +1)2-1在[0,3]上为增函数,∴0≤y ≤15, 即函数y =x 2+2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].(2)y =1-x 21+x 2=21+x 2-1,∵1+x 2≥1,∴0<21+x 2≤2.∴-1<21+x2-1≤1.即y ∈(-1,1].∴函数的值域为(-1,1]. (3)∵x <0,∴x +4x=-⎝⎛⎭⎫-x -4x ≤-4,当且仅当x =-2时等号成立, ∴y ∈(-∞,-4].∴函数的值域为(-∞,-4]. (4)法一:(换元法)令1-2x =t ,则t ≥0且x =1-t 22,于是y =1-t 22-t =-12(t +1)2+1,由于t ≥0,所以y ≤12,故函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,12. 法二:(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤-∞,12,容易判断f (x )为增函数,所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12=12,即函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,12. [规律方法] 求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,而常用的方法有:(1)观察法;(2)配方法;(3)换元法;(4)分离常数法;(5)单调性法;(6)数形结合法.在求函数值域时,除了上述常用的方法外,还有很多方法,应注意选择最优的解法.总之,求函数值域的关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.2.求下列函数的值域:(1)y =x -3x +1; (2)y =x 2-x x 2-x +1; (3)y =log 3x +log x 3-1(x >1).解:(1)法一:y =x -3x +1=x +1-4x +1=1-4x +1.因为4x +1≠0,所以1-4x +1≠1,即函数的值域是{y |y ∈R ,y ≠1}.法二:由y =x -3x +1,得yx +y =x -3.解得x =y +31-y ,所以y ≠1,即函数的值域是{y |y ∈R ,y ≠1}.(2)y =x 2-x +1-1x 2-x +1=1-1x 2-x +1,∵x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34≥34,∴0<1x 2-x +1≤43,∴-13≤y <1,即函数的值域为⎣⎡⎭⎫-13,1. (3)y =log 3x +1log 3x -1,令log 3x =t ,则y =t +1t -1(t ≠0),x >1,t >0,y ≥2t ·1t -1=1,当且仅当t =1t即log 3x =1,x =3时,等号成立,故函数的值域是[1,+∞).考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__若函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A .(0,34]B .(0,34)C .[0,34]D .[0,34)[解析] 要使函数的定义域为R ,则mx 2+4mx +3≠0恒成立.①当m =0时,得到不等式3≠0,恒成立;②当m ≠0时,要使不等式恒成立,须⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ=(4m )2-4×m ×3<0,即⎩⎨⎧m >0m (4m -3)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧m <0,m (4m -3)<0.解得0<m <34.由①②得0≤m <34.故选D.[答案] D[规律方法] 求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时,都是依据题意对问题进行转化,转化为不等式恒成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判别式法,二是利用分离参数法,有时还可利用数形结合法.3.已知函数f (x )=4|x |+2-1的定义域是[a ,b ](a ,b ∈Z ),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a ,b )共有________个.解析:由0≤4|x |+2-1≤1,即1≤4|x |+2≤2,得0≤|x |≤2,满足整数数对的有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共5个.答案:5,[学生用书P 18])考题溯源——求函数的定义域(2014·高考山东卷)函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞)C.⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D.⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2x )2>1,解得x >2或0<x <12.故选C.[答案] C[考题溯源] 本题源于教材人教A 必修1P 73,练习第2题,“求下列函数的定义域.(2)y =1log 2x ,(4)y =log 3x ”.1.函数f (x )=ln (x +1)-x 2-3x +4的定义域为__________.解析:要使函数有意义,必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0-x 2-3x +4>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x >-1(x +4)(x -1)<0,解不等式组得-1<x <1.因此函数f (x )的定义域为(-1,1).答案:(-1,1)2.若函数f (x )= 2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围为________.解析:函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2+2ax -a -1≥0对x ∈R 恒成立,即2x 2+2ax -a ≥1,x 2+2ax -a ≥0恒成立,因此有Δ=(2a )2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0. 答案:[-1,0]1.已知a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是R 的是( )A .f (x )=x 2+aB .f (x )=ax 2+1C .f (x )=ax 2+x +1D .f (x )=x 2+ax +1解析:选C.当a =0时,f (x )=ax 2+x +1=x +1为一次函数,其定义域和值域都是R . 2.函数f (x )=10+9x -x 2lg (x -1)的定义域为( )A .[1,10]B .[1,2)∪(2,10]C .(1,10]D .(1,2)∪(2,10] 解析:选D.要使函数有意义,则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10+9x -x 2≥0,x -1>0,lg (x -1)≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)(x -10)≤0,①x >1,x ≠2,解①得-1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10].故选D. 3.函数y =2--x 2+4x 的值域是( )A .[-2,2]B .[1,2]C .[0,2]D .[-2,2] 解析:选C.-x 2+4x =-(x -2)2+4≤4,0≤-x 2+4x ≤2,-2≤--x 2+4x ≤0,0≤2--x 2+4x ≤2,所以0≤y ≤2.4.若函数y =f (x )的定义域是[0,2 016],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是( )A .[-1,2015]B .[-1,1)∪(1,2015]C .[0,2016]D .[-1,1)∪(1,2016] 解析:选B.令t =x +1,则由已知函数y =f (x )的定义域为[0,2 016]可知f (t )中0≤t ≤2 016,故要使函数f (x +1)有意义,则0≤x +1≤2 016,解得-1≤x ≤2 015,故函数f (x +1)的定义域为[-1,2 015].所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤2 015,x -1≠0解得-1≤x <1或1<x ≤2015.故函数g (x )的定义域为[-1,1)∪(1,2 015].5.设函数g (x )=x 2-2(x ∈R ),f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧g (x )+x +4,x <g (x ),g (x )-x ,x ≥g (x ).,则f (x )的值域是( )A .[-94,0]∪(1,+∞)B .[0,+∞)C .[-94,+∞)D .[-94,0]∪(2,+∞)解析:选D.令x <g (x ),即x 2-x -2>0,解得x <-1或x >2.令x ≥g (x ),即x 2-x -2≤0,解得-1≤x ≤2.故函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +2(x <-1或x >2),x 2-x -2(-1≤x ≤2).当x <-1或x >2时,函数f (x )>f (-1)=2;当-1≤x ≤2时,函数f (12)≤f (x )≤f (-1),即-94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[-94,0]∪(2,+∞).6.下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是________.解析:函数值只有四个数2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}. 答案:{2,3,4,5}7.已知函数f (x )=1x +1,则函数f [f (x )]的定义域是__________.解析:根据题意可得f [f (x )]=11x +1+1,要使函数有意义,只需⎩⎨⎧x +1≠0,1x +1+1≠0,解得x ≠-1且x ≠-2,故函数f [f (x )]的定义域为{x |x ≠-1且x ≠-2}.答案:{x |x ≠-1且x ≠-2}8.(2015·温州模拟)若函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13,1,则a +b =________.解析:∵由题意知x -1>0,又x ∈[a ,b ],∴a >1.则f (x )=1x -1在[a ,b ]上为减函数, 则f (a )=1a -1=1且f (b )=1b -1=13,∴a =2,b =4,a +b =6.答案:69.若函数f (x )=12x 2-x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a ,b 的值.解:∵f (x )=12(x -1)2+a -12,∴其对称轴为x =1.即函数f (x )在[1,b ]上单调递增.∴f (x )min =f (1)=a -12=1,①f (x )max =f (b )=12b 2-b +a =b .②又b >1,由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =3.∴a ,b 的值分别为32,3.10.已知函数f (x )的值域为[38,49],求函数g (x )=f (x )+1-2f (x )的值域.解:∵38≤f (x )≤49,∴13≤1-2f (x )≤12,令t =1-2f (x ),则f (x )=12(1-t 2),令y =g (x ),∴y =-12(t 2-1)+t .∴当t =13时,y 有最小值79,当t =12时,y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79,78.1.(2015·河南漯河模拟)已知A ,B 是非空数集,定义A ⊕B ={x |x ∈A ∪B ,且x ∉A ∩B }.若A ={x |y =x 2-3x },B ={y |y =3x },则A ⊕B =( )A .[0,3)B .(-∞,3)C .(-∞,0)∪(3,+∞)D .[0,3]解析:选B.分析得到A =(-∞,0]∪[3,+∞),B =(0,+∞),A ∪B =R ,A ∩B =[3,+∞),所以A ⊕B =(-∞,3).2.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若对任意的x ∈[a ,b ],都有|f (x )-g (x )|≤1成立,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“亲密函数”,区间[a ,b ]称为“亲密区间”.若f (x )=x 2+x +2与g (x )=2x +1在[a ,b ]上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是( )A .[0,2]B .[0,1]C .[1,2]D .[-1,0]解析:选B.在同一坐标系中作出函数f (x )及g (x )的图象,如图所示.由题意作出与g (x )=2x +1的距离为1的平行线y =2x +2的图象,由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0,1].3.已知函数f (x )的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数f (x +2)的定义域为________,值域为________.解析:由已知可得x +2∈[0,1],故x ∈[-2,-1],所以函数f (x +2)的定义域为[-2,-1].函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x +2)的图象,所以值域不发生变化,所以函数f (x +2)的值域仍为[1,2].答案:[-2,-1] [1,2]4.若函数y =kx 2-6kx +(k +8)的值域为[0,+∞),则k 的取值范围是________.解析:当k =0时,原函数可化为y =8=22,此时值域不是[0,+∞),从而k ≠0. 当k ≠0时,想满足题意,则有⎩⎪⎨⎪⎧k >0,Δ=(-6k )2-4×k ×(k +8)≥0.解得k ≥1,从而k 的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞)5.已知函数f (x )=x 2+4ax +2a +6.(1)若函数f (x )的值域为[0,+∞),求a 的值;(2)若函数f (x )的函数值均为非负数,求g (a )=2-a |a +3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a 2-4(2a +6)=0⇒2a 2-a -3=0⇒a =-1或a =32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负,∴Δ=8(2a 2-a -3)≤0⇒-1≤a ≤32.∴a +3>0.∴g (a )=2-a |a +3|=-a 2-3a +2=-⎝⎛⎭⎫a +322+174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤-1,32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤-1,32上单调递减, ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (-1),即-194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤-194,4. 6.(选做题)已知函数g (x )=x +1,h (x )=1x +3,x ∈(-3,a ],其中a 为常数且a >0,令函数f (x )=g (x )·h (x ).(1)求函数f (x )的表达式,并求其定义域;(2)当a =14时,求函数f (x )的值域.解:(1)f (x )=x +1x +3,x ∈[0,a ](a >0).(2)当a =14时,函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0,14, 令x +1=t ,则x =(t -1)2,t ∈⎣⎡⎦⎤1,32, f (x )=F (t )=t t 2-2t +4=1t +4t -2,当t =4t时,t =±2∉⎣⎡⎦⎤1,32, 又t ∈⎣⎡⎦⎤1,32时,t +4t单调递减,F (t )单调递增,F (t )∈⎣⎡⎦⎤13,613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13,613.。
新北师大版高中数学必修1课件:第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
高中数学 第2章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
k>0,b<0
第一、三、四象限
k<0,b>0
第一、二、四象限
k<0,b<0
第二、三、四象限
第二十一页,共三十六页。
题型一
题型三
题型二
题型四
【变式训练(xùnliàn)2】 如果ab>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大
致形状是(
)
解析:函数可化为 y=− − . 因为ab>0,bc<0,
∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,
即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.
2
∴m= 5.
反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念(gàiniàn)
及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.
第十五页,共三十六页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 若函数 f(x)=(t-2)
…
Δy
…
10
10
10
由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.
事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,
则y2=5(a+2)-3,
所以Δy=y2-y1=10.
一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则
y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,
2.2 一次函数
和二次函数
(hánshù)
第一页,共三十六页。
(hánshù)
2.2.1 一次函数的性质
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此, 因此,g(x)min=g(2)=1-2a, = - , 而g(3)-g(1)=(2-3a)-(1-a)=1-2a, - = - - - = - , 故当0≤a≤ 故当 当 时,g(x)max=g(3)=2-3a,有h(a)=1-a; = - , = - ;
<a≤1时,g(x)max=g(1)=1-a,有h(a)=a, 时 = - , = ,
3.不等式法:借助于基本不等式a+b≥2 不等式法:借助于基本不等式 + 不等式法
(a>0,b>0)求数 , 求数
的值域.用不等式法求值域时, 的值域 用不等式法求值域时,要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法:首先确定函数的定义域, 4.单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域,常用到函数 = + 性求函数的值域,常用到函数y=x+ 增区间为(- ,- 增区间为 -∞,- (0, ). , ]和[ 和 (p>0)的单调性: 的单调性: 的单调性
+∞),减区间为 - ,0)和 ,减区间为(- 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时,需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时, 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化;用判别式求函数值域时, 量的范围变化;用判别式求函数值域时,一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时,需认真分析其等号能否成立; 用不等式法求函数值域时,需认真分析其等号能否成立; 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时,准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时,准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析,再取并集 分段函数的值域应分段分析,再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域,都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域, 不论用哪种方法求函数的值域 域,这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
高三数学第一轮复习第二章《函数》课件
解析 (1)∵y=11- +xx=-1+1+2 x ∴当 1+x>0 或 1+x<0 时,此函数均为减函数, 故减区间为(-1,+∞)、(-∞,-1) (2)由11- +xx≥0 得 x∈(-1,1],此即为递减区间.
2.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断,要注意掌握“同增异减”.
• 2.根据定义证明函数单调性的一般步骤:设值(x1,x2且 x1<x2)→作差(f(x1)-f(x2))→变形→定号→结论.
• 3.对于函数f(x)的单调性,也可直接求f′(x),当f′(x)>0时 为增函数,当f′(x)<0时为减函数.
• 4.单调性法是求最值(或值域)的常用方法.
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)=x2a-x 1(a≠0)在区间(-1,11<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=axx121x-2+11x22x-2-1x 1. ∵x1xx212-+11xx222--1x1>0, ∴a>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数; a<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为增函数.
A.y=1-x2
B.y=x2+x
C.y=- -x
D.y=x-x 1
• 答案 D
• 3.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数, 则b的取值范围是( )
• A.b≥0
B.b≤0
• C.b>0
D.b<0
• 答案 A
解析 由-b2≤0,得 b≥0.
• 4.函数f(x)=log0.5(x2-2x-8)的增区间________;减区 间________.
新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第1课时函数概念一课件北师大版必修第一册
域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是
()
C
[分析] (1)如何利用函数定义.对于集合A中的元素通过对应关系在 集合B中有唯一元素与之对应进行判断.
(2)当对应关系用图象表示时,怎样判断是否为函数关系.
[解析] (1)对于 A 项,x2+y2=1 可化为 y=± 1-x2,显然对任 x∈A, y 值不唯一,故不符合.对于 B 项,符合函数的定义.对于 C 项,2∈A, 但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故不符合.对于 D 项,-1∈A, 但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故不符合.
(2)记法:y= f(x),x∈A.
(3)定义域:x的取值范围A;值域:与x的值对应的y值叫作函数值,即 集合_____{_f_(_x_)|_x∈__A__}.
思考1:(1)对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗?为什么? (2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗?为什么? (3)f(x)的含义是什么? 提示:(1)不一定.值域是集合B的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B. (2)不一定.可以是数表,也可以是图象. (3)集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
[解析] 要使函数 y= 7+6x-x2有意义,应满足 7+6x-x2≥0, ∴x2-6x-7≤0,∴(x-7)(x+1)≤0, ∴-1≤x≤7, ∴函数 y= 7+6x-x2的定义域是[-1,7].
4.已知f(x)=2-1 x,g(x)=-x2+2. (1)求 f(3),g(3)的值; (2)求 f[g(2)]的值; (3)求 f[g(x)]的解析式. [解析] (1)f(3)=2-1 3=-1,g(3)=-32+2=-7. (2)f[g(2)]=2-1g(2)=2-(-122+2)=41. (3)f[g(x)]=2-1g(x)=2+x12-2=x12.
高中数学必修1第2章第2节对数函数课件《对数函数及其性质》(共11张PPT)
上是减函数,则a的取值范围.
思考1:已知函数y lg( x 2 ax 1)
(1)当定义域为R时,求a的取值范围; (2)当值域为R时,求a的取值范围.
思考2:
已知二次函数 f (x) x2 (lg a 2)x lgb 满足
f (1) 2 ,且满足对于任意 x R ,恒有
f (x) 2x 成立,求实数 a 、b 的值.
1
不等于零
1、求 y log7 1 3x 的定义域、值域.
2、求 y log2(x2 2x 5) 的定义域、
值域.
练习:
y 1、求:(1) logx1(16 x) 的定义域.
2 f (x) log1 x 3 2的定义域.
2
(3)y log2 (x2 3x 2)的值域.
二 函数的单调性、奇偶性、图象变换问题
、f
x ,其中0
(1) 的大小. 3
a
1,试比
三 含参数的问题:
1.已知 log0.7 2m log0.7 (m 1),求m的取值范围
2、若函数 f (x) loga x a 1 在区间[a, 2a]
a 上的最大值与最小值之差为 1,求 的值.
3、已知
loga
3
0 ,求
2
a
的取值范围.
5
4.已知函数 y loga (2 ax) 在[0,1]
奇偶性
对称性
图象随a
的变化
图象的 分布
非奇非偶函数
x y loga x与y log1 x 关于 轴对称 a X>1时底大图低 X>1时底大图低
x∈(0, 1)时,y<0; x∈(1, +∞)时,y>0.
x∈(0, 1)时,y>0 x∈(1, +∞)时,y<0.
新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第2课时函数概念二课件北师大版必修第一册
[解析] (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足x|x+|-2x≠≠00,,即 x|x≠|≠-x,2,解得 x<0,且 x≠-2.
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0). (2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足4x--1x≥ ≠00, ,即xx≤≠41,. 故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
【对点练习】❶ (2021·合肥高一检测)函数 f(x)=2x2-3-9x+x 4的定义
域是
(C)
A.(-∞,3]
B.-∞,12∪12,3
C.-∞,12∪21,3
D.(3,4)∪(4,+∞)
[解析] 要使函数有意义,则32-x2-x≥9x0+,4≠0,
x≤3, 得x≠4且x≠12,得
x≤3
且
x≠21,
[归纳提升] 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的值域 (1)对称轴在限定区间的左边,则函数在限定区间左端点取最小值,右 端点取最大值. (2)对称轴在限定区间的右边,则函数在限定区间左端点取最大值,右 端点取最小值. (3)对称轴在限定区间内,则函数在对称轴处取最小值,限定区间中距 离对称轴较远的端点取最大值.
[分析] (1)f(x)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2).f(2x+1) 中x的取值范围(定义域)可由2x+1∈(-1,2)求得.
(2)f(2x+1)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2),由此求得2x+ 1的取值范围即为f(x)的定义域.
2.函数 f(x)=x+2 1+ 3-x的定义域为
A.(-∞,-1)∪(-1,3] B.(-∞,3]
C.(-1,3]
D.(-∞,-1)
(A)
[解析] 函数 f(x)=x+2 1+ 3-x,令x3+-1x≠ ≥00, ,解得 x≤3 且 x≠-1. 所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].
【三维设计】高考数学第二章第二节函数的定义域和值域课件新人教A版
5.y=logax(a>0且a≠1)的定义域为 (0,+∞) . π 6.y=tan x的定义域为 {x|x≠kπ+2,k∈Z} . 7.实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有
意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
二、函数的值域
1.在函数概念的三要素中,值域是由 定义域 和 对应关系 所
为(-1,1)∪(1,+∞).
答案:C
1 3.函数y= 2 的值域为 x +2 A.R 1 C.{y|y≤2}
2
(
)
1 B.{y|y≥2} 1 D.{y|0<y≤2}
1 1 1 解析:∵x +2≥2,∴0< 2 ≤ .∴0<y≤2. x +2 2
答案: D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x- 4 4.(教材习题改编)函数f(x)= 的定义域为________. |x|-5
1 (2011· 江西高考)若 f(x)= ,则 f(x)的定 log 1 2x+1
2
(
)
[自主解答]
1 x>- , 2x+1>0, 2 由已知得 log 1 2x+1≠0, ∴ 2x+1≠1. 2
1 即x>-2且x≠0.
[答案]
C
2x-1 若本例中的函数变为f(x)= ,试求f(x)的定义域. log 1 2x+1
确定的,因此,在研究函数值域时,既要重视对应关系的 作用,又要特别注意定义域对值域的制约作用. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为 2 2 4 ac - b 4ac-b {y|y≥ 4a } ;当a<0时,值域为 {y|y≥ 4a } .
高中数学人教A版必修一课件:第二章 2.1.2指数函数 (共17张PPT)
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义:
函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。
第四页,编辑于星期日:二十三点 十四分。
探究1:为什么要规定a>0,且a
1呢? zxxk
什么?
分裂次数:1,2,3,4,…,x 细胞个数:2,4,8,16,…,y
由上面的对应关系. 可知,函数关系是
y 2x
引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,
设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的
函数关系式为
y 0.85x
第三页,编辑于星期日:二十三点 十四分。
在 y 2 x , y 0.85x 中指数x是自变量,
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
第八页,编辑于星期日:二十三点 十四分。
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
0.5 1 2
3
…
1.4 2 4
8
…
0.71 0.5 0.25 0.13 …
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5
…8
4
2
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
1 x … 15.6 9
3
3
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)=lg x,则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3=10,则x=103.
1 D. 3 10
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2024年高考数学一轮复习课件(新高考版)
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y=x-2 1与 v=t-2 1的定义域都是(-∞,1)∪(1,+∞),对应关系也相 同,所以是同一个函数,故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)=lenx,x,x≤x>00,,
则函数
f
f
13等于
A.3
B.-3
√C.13
D.-13
由题意可知,f 13=ln 13=-ln 3,
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其 中的x的取值集合; (2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出; (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a,b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地,设A,B是 非空的实数集 ,如果对于集合A中的 任意 一个数x, 按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应,那 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素: 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,则这两个函 数为同一个函数.
新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
列表法
量对应的函数值
对应的函数值
基础自测
1.已知 f(x)=π(x∈R),则 f(π2)等于
A.π2
B.π
C. π
D.不确定
[解析] 因为π2∈R,所以f(π2)=π.
( B)
2.已知函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定
义域是
( C)
A.(-∞,1)∪(1,+∞)
B.R
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
列表法表示函数
例 1某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收 款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
[ 分 析 ] 函 数 的 定 义 域 是 {1 , 2 , 3 , … , 10} , 值 域 是 {3 000 , 6 000 , 9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示.分析题意得到表达y与x关系的解 析式,注意定义域.
[解析] (1)列表法:
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 21 24 27 30
y(元) 3 000 6 000 9 000 000 000 000 000 000 000 000
(2)图象法:如图所示: (3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
第1课时 函数的表示法
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点 表示函数的三种方法
解析法 列表法 图象法
用__数__学__表__达__式____表示两个变量之间的对应关系 列出__表__格____来表示两个变量之间的对应关系 用__图__象____表示两个变量之间的关系
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第2讲 函数的定义域与值域课件 文
须mΔ>=0,(4m)2-4×m×3<0,
12/13/2021
第三十三页,共四十一页。
或mΔ<=0,(4m)2-4×m×3<0,
即m>0,
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第三十一页,共四十一页。
已知函数的值域求参数的值或取值范围问题,通常按求函数 值域的方法求出其值域,然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围.
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第三十二页,共四十一页。
若函数 y=mx2m+x4-m1x+3的定义域为 R,则
实数 m 的取值范围是___0_,__34__.
【解析】 (1)要使函数 y= 3-2x-x2有意义, 则 3-2x-x2≥0, 解得-3≤x≤1, 则函数 y= 3-2x-x2的定义域是[-3,1]. (2)要使函数 g(x)=(f(x-2x1))0有意义,则必须有1x≤-21x≠≤02,,
所以12≤x<1,故函数 g(x)的定义域为12,1.
0≤x+12≤2, 0≤x-12≤2,
解得12≤x≤32,
所以函数 g(x)的定义域是12,32.
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第二十二页,共四十一页。
求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]); (2)y=11-+xx22; (3)y=x+4x(x<0); (4)f(x)=x- 1-2x.
或m<0,
解得
m(4m-3)<0 m(4m-3)<0.
所以 1≤f(x)≤10.
2、2第二节 函数的定义域和值域
)
解析:由题意得 0≤16-4x<16,0≤ 16-4x< 16=4,即函数 y= 16-4x的值域为[0,4).
答案:C
考向三 函数定义域、值域的综合应用 [例 3]
1x (2013 年黄冈模拟)已知函数 f(x)=3 , x∈[-1,1], 函数 g(x)
=f2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
本小节结束
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2,8],选 C.
答案:C
3.(课本习题改编)函数y=x2-2x的定义域为 {0,1,2,3}.则其值域为( )
A.{-1,0,3}
C.{y|-1≤y≤3} 答案:A
B.{0,1,2,3}
D.{y|0≤y≤3}
解析:由y=x2-2x,且x∈{0,1,2,3}得y∈{-1,0,3}.
B.(-∞,-2) D.[-2,2]
【错解】 函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的值域为(-∞,0],
【错因】 解题过程中误认为值域为(-∞,0]等价于 f(x)≤0恒成立,其实不然,若f(x)的值域为(-∞,0],则 函数f(x)的最大值为0,而f(x)≤0恒成立,则不一定有函数 f(x)的最大值为0.
解析:①由 f(x)=lg(2x2-mx+3)知 2x2-mx+3>0 对 x∈R 恒成立. ∴Δ=m2-24<0,∴-2 6<m<2 6. 1 ②要使 f(x)= 2 有意义,则 2x2-mx+3≠0. 2x -mx+3 令 g(x)=2x2-mx+3 解得,函数图象开口向上. 故 Δ=m2-24<0,解得-2 6<m<2 6.
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③当0≤a≤1时,若x∈[1,2],则g(x)=1-ax,有g(2)≤g(x)≤g(1);
因此,g(x)min=g(2)=1-2a, 而g(3)-g(1)=(2-3a)-(1-a)=1-2a, 故当0≤a≤ 当 时,g(x)max=g(3)=2-3a,有h(a)=1-a;
<a≤1时,g(x)max=g(1)=1-a,有h(a)=a,
域,这是求值域的重要环节.
求下列函数的值域. (1)y= ;
(2)y=2x+
(3)y=x+ [思路点拨] .
;
[课堂笔记] (1)∵y=
=
=1-
,
又∵x2+1 ≥1,∴0<
∴0≤1- <1,
≤1.
即函数y=
的值域为[0,1).
(2)设t=
,则x= )2+
. .
∴y=1-t2+t=-(t-
∵二次函数的对称轴为t=
法求解.
3.不等式法:借助于基本不等式a+b≥2
条件“一正、二定、三相等”.
(a>0,b>0)求数
的值域.用不等式法求值域时,要注意基本不等式的使用
4.单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调 性求函数的值域,常用到函数y=x+ 增区间为(-∞,- (0, ). ]和[ (p>=-(t-
,
)2+ 的最大值为 ,无
最小值,
其值域为(-∞, ].
(3)∵函数y=x+
是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故
其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x<0时 的最值和值域. ∵当x>0时,y=x+ ≥2 =4.
当且仅当x=2时,等号成立,
∴当x<0时,y≤-4.
)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:y=log2x+logx2+1,
∵log2x+logx2≥2或log2x+logx2≤-2, 从而y≥3或y≤-1.
答案:D
4.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1.已知函数y =2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b] 的长度的最大值与最小值的差为 .
综上,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
变式 如何求y= 解: + 的值域?
表示点(x,0)到点(0,-1)的距离;
表示点(x,0)到
点(2,2)的距离,
故
故值域为
1.对既给出定义域又给出解析式的函数,可直接在定义域 上用相应方法求函数值域. 2.若函数解析式中含有参数,要注意参数对函数值域的影 响,即要考虑分类讨论.
5.若函数f(x)=
为 .
的定义域为R,则a的取值范围
解析:由题意知2
-1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0
恒成立,其等价于Δ=4a2+4a≤0⇒-1≤a≤0. 答案:[-1,0]
确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格中 实数x的集合.
2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象在
当x<0时,g(x)=x,
(x+|x|)= (x-x)=0.
∴ f[g(x)]=
由于当x≥0时,x2≥0,故f[g(x)]的值域为[0,+∞). 答案:
练习
1.函数y= A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0}
+x的定义域为 B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1}
(
)
解析: 答案:C
或x=0.
的值域为
.
解析:依题意有x>0,l(x)=
所以y= 由于1- 所以 故0<y≤ + = =25( ≥ , - = )2+ ,
=
,
,
,即函数y=
的值域是(0, ].
答案:(0,
]
6.求下列关于x的函数的定义域和值域:
(1)y=
- ;
(2)y=log2(-x2+2x); (3)y=e (4) x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7
[考题印证] (2009· 宁夏、海南高考)用min{a,b,c}表示a、b、c三个
数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的
最大值为 A.4 C.6 ( ) B.5 D.7
【解析】
f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.
令x+2=10-x,x=4.
当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=4+2=6.
【答案】
C
[自主体验] 已知f(x)= = (x+|x|),g(x)= . 函数f[g(x)]
,值域为
解析:当x≥0时,g(x)=x2, 故f[g(x)]=f(x2)= 故f[g(x)]=f(x)= (x2+|x2|)= (x2+x2)=x2;
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)要使函数y= 应有 即 有
+
有意义,
所以此函数的定义域是{x|-1≤x<1或1<x<2}. (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1),
∴1<2x+1<3, 即f(x)的定义域是(1,3).
变式 若本例(2)中交换f(2x+1)与f(x)的位置,结论如何? 解:∵f(x)的定义域为(0,1), ∴0<2x+1<1, ∴- <x<0. <x<0}.
x轴上的投影所覆盖的实数的集合. 3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析 式有意义的实数的集合. 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问 题的意义确定.
求下列函数的定义域:
(1)y= + ;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.
解:(1)要使函数有意义,则 函数的定义域为[0,1].
∴0≤x≤1,
∵函数y=
-
为减函数,
∴函数的值域为[-1,1]. (2)要使函数有意义,则-x2+2x>0,∴0<x<2. ∴函数的定义域为(0,2). 又∵当x∈(0,2)时,-x2+2x∈(0,1],
∴log2(-x2+2x)∈(-∞,0].
解析:[a,b]的长度取得最大值时[a,b]=[-1,1],区间
[a,b]的长度取得最小值时[a,b]可取[0,1]或[-1,0],因 此区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案:1
5.设O为坐标原点,给定一个定点A(4,3),而点B(x,0)在 x轴的正半轴上移动,l(x)表示AB的长,则函数
1.函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量, x的取值范围 叫 A
做函数的定义域;与x的值对应的y值叫做函数值,
函数值的集合 叫做函数的值域.
[思考探究]
函数的值域由哪些因素决定?
提示:函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.
2.确定函数定义域的依据
1.函数y=
+ln(2-x)的定义域是 (
即函数的值域为(-∞,0].
(3)函数定义域为{x∈R|x≠0}, 函数值域为{y∈R|0<y<1或y>1}.
(4)函数定义域为{0,1,2,3,4,5},
函数值域为{2,3,4,5,6,7}.
3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.
设函数f(x)=
, g(x)=f(x)-ax,
x∈[1,3],其中a∈R,记函数g(x)的最大值与最小值的差为 h(a). (1)求函数h(a)的解析式;
(2)画出函数y=h(a)的图象并指出h(a)的最小值.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)g(x)=
,
①当a<0时,函数g(x)是区间[1,3]上的增函数,
)
A.[1,+∞)
C.(1,2)
B.(-∞,2)
D.[1,2)
解析:要使函数有意义,只须
∴1≤x<2. 答案:D
,即
,
2.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,3],则函数y=f(x2-1) 的定义域是 ( A.[-2,2] ) B.[-1,3]
C.[-1,+∞)
D.[-
]
解析:∵f(x)的定义域为[-1,3]
综上所述:
h(a)=
,
(2)画出y=h(a)的图象,如图所示. 数形结合,可得h(a)min=h( )= .
数形结合的思想是每年高考的必考内容,09年宁夏、
海南高考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合, 综合考查了考生对函数图象以及数形结合思想的理解和 应用,很好的考查了考生综合分析问题、解决问题的能 力,这是一个高考命题的新方向.
[特别警示] (1)用换元法求值域时,需认真分析换元后变 量的范围变化;用判别式求函数值域时,一定要注意自变
量x是否属于R.
(2)用不等式法求函数值域时,需认真分析其等号能否成立; 利用单调性求函数值域时,准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析,再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域,都一定要先确定其定义
2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=
定义域是 ( )
的
A.[0,1]
C.[0,1)∪(1,4]
B.[0,1)
D.(0,1) 解得0≤x<1,故
解析:要使g(x)有意义,则 定义域为[0,1). 答案:B
3.函数y=log2x+logx(2x)的值域为 ( A.(-∞,-1] C.[-1,3] B.[3,+∞)
∴-1≤x2-1≤3即0≤x2≤4∴-2≤x≤2. 答案:A
3.函数f(x)= A.[0,1] C.(0,1]
(x∈R)的值域是 B.[0,1) D.(0,1) ≤1
(
)
解析:∵1+x2≥1∴0<
答案:C
4.若 为实数,则函数y=x2+3x-5的值域是
.
解析:∵
为实数,∴x≥0,