高三数学第一轮复习 第69课时 二项式定理(2)教案

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二项式定理教学教案(详案)

二项式定理教学教案(详案)

课时
2
课题
二项式定理
教学目的 要求
教学重点 教学难点
知识目标:理解二项式定理,会用二项式定理求二项展开式。理解 和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。
能力目标:会区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆 用展开式。
情感目标:让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的 简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生 的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情。
C40; 含 a3b 的项只能由 3 个括号取 a,余下的 1 个括号取 b 而得,即 C41a3b,系数为:
C41; 含 a2b2 的项只能由 2 个括号取 a,余下的 2 个括号取 b 而得,即 C42a2b2,系数为:
C42; 含的 ab3 的项只能由 1 个括号取 a,余下的 3 个括号取 b 而得,即 C43a3b,系数为:
x
注意:展开式中第
r+1
项的二项式系数
C
r n
与第
r+1
项的系数含义不同。
五、课堂小结(引导提问,10 分钟)
1、二项式定理
(a +b)n =C 0 an +C1 an-1b+…+C r a b n-r r +…+C n bn,其中各项系数就是组合数 C r ,
n
n
n
n
n
展开式共有 n+1 项,第 r+1 项是 Tr+1
C43; 含 b4 的项只能由 4 个括号都取 b 而得,即 C44b4,系数为 C44; 从而可得:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

高中数学《二项式定理》教案

高中数学《二项式定理》教案

二项式定理教案
(一)教学目标
1.知识与技能:掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳,得出二项式定理和二项展开式的通项。

②能正确区分二项式系数和某一项的系数。

③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开,并求出它的特定项。

2.过程与方法:通过定理的发现推导提高学生的观察,比较,分析,概括等能力。

(二)教学重点与难点
重点:二项式定理的发现,理解和初步应用。

难点:二项式定理的发现。

(三)教学方法
启发诱导,师生互动
(四)教学过程。

高三数学第一轮复习 二项式定理教案_

高三数学第一轮复习  二项式定理教案_

城东蜊市阳光实验学校二项式定理〔2〕一.复习目的:1.能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和.2.能纯熟地逆向运用二项式定理求和.3.能利用二项式定理求近似值,证明整除问题,证明不等式.二.课前预习:1.1003)32(+的展开式中无理项的个数是〔A 〕 ()A 84()B 85()C 86()D 872.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ,那么)(1x f-等于〔C 〕 3.假设21872221221=++++n n n n n C C C ,那么=++++n n n n n C C C C 210128. 4.n n n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n . 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -.6.假设1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ,那么=++++99531a a a a 215100-. 四.例题分析:例1.}{n a 是等比数列,公比为q ,设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= 〔其中+∈>N n n ,2〕,且n n n n n n C C C C S ++++= 2101,假设1lim n nn S S ∞→存在,求公比q 的取值范围.解:由题意11-⋅=n n q a a ,n n S 21=,)0()1()1(122111221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n n n n n n n nn n n n ∴n nn n n q a q a S S )21(2)1(111+=+=.假设1lim nn n S S ∞→存在,那么1|21|<+q 或者者121=+q , ∴212<+<-q 或者者1=q ,故13≤<-q 且0≠q .例2.(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和.(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少? 解:〔1〕设)()157()53()323()(2210673410234N n xa x a x a a x x x x x x x f n n ∈++++=--⋅-⋅---= , 其各项系数和为n a a a a ++++ 210. 又∵102674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ,∴各项系数和为102316⋅. 〔2〕设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x x x f +++=+--⋅-= , ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ,2)1(3001210=--+-=-a a a a f ,故1300131-=+++a a a ,1300020=+++a a a ,∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1,x 奇次幂各项系数和为-1.例3.证明:〔1〕∑==n k n k n k C 032)(N n ∈;〔2〕12221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈;〔3〕)(3)11(2N n nn ∈<+<;〔4〕2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n n n n n n n n C C C 由(i)知例4.小结:五.课后作业:班级学号姓名1.假设n x x )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大,那么不含x 的项为〔C 〕 ()A 462()B 252()C 210()D 102.用88除78788+,所得余数是〔〕()A 0()B 1()C 8()D 803.2002年4月20日是星期五,那么9010天后的今天是星期.4.某公司的股票今天的指数是2,以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0,那么100天后这家公司的股票指数约为42〔准确到0.001〕.5.55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-,那么 〔1〕5432a a a a +++的值是568;〔2〕=++++||||||||||54321a a a a a 2882.6.假设n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等〔*N n ∈,0≠a 〕,那么a 的取值范围为]32,21( 7.求满足500323210<+++++n n n n n nnC C C C C 的最大整数n . 原不等式化为n·2n -1<499∵27=128,∴n=8时,8·27=210=1024>500.当n=7时,7·26=7×64=448<449.故所求的最大整数为n=7.8.求证:222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++证明 由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,两边展开得:比较等式两边xn 的系数,它们应当相等,所以有:9.(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项. ∴n=15或者者n =-16(舍)设第r +1项与第r 项的系数分别为tr+1,tr∴tr+1≥tr 那么可得3(15-r +1)>r 解得r≤12∴当r 取小于12的自然数时,都有tr <tr+1当r =12时,tr+1=tr。

二项式定理教学设计高三

二项式定理教学设计高三

二项式定理教学设计高三一、教学目标1. 理解二项式定理的定义和基本性质。

2. 掌握二项式定理的运用方法。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

4. 培养学生对数学问题的兴趣和探索精神。

二、教学重点1. 掌握二项式定理的展开和应用。

2. 培养学生的数学思维和运算能力。

三、教学难点1. 帮助学生理解二项式定理的证明过程。

2. 培养学生抽象思维和推理能力。

四、教学过程1. 导入(5分钟)教师通过提问和讲述引导学生回顾高中阶段已学习的数学知识,如排列组合、多项式等内容。

然后向学生介绍今天的学习内容:二项式定理。

2. 概念解释(10分钟)教师通过示意图和具体例子,向学生阐述二项式定理的概念和基本性质。

帮助学生理解二项式定理是将两个数相加或相乘的展开式。

3. 二项式定理的展开(15分钟)教师通过板书和示范展示如何将二项式展开。

先给出一个简单的二项式,并指导学生按照二项式定理的公式进行展开。

然后通过一些具体的例子,让学生逐步掌握二项式定理展开的方法和技巧。

4. 二项式定理的应用(20分钟)教师通过实际问题和应用题,引入二项式定理的应用领域。

如组合数学、概率统计等。

通过解答一些实际问题,让学生认识到二项式定理在数学和实际生活中的重要性和应用价值。

5. 二项式定理的证明(20分钟)教师通过逻辑推理和数学推导,带领学生理解和证明二项式定理。

可以使用归纳法和数学归纳法等方法,引导学生参与证明的过程,提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。

6. 练习和巩固(15分钟)教师设计一些练习题,让学生巩固和应用所学知识。

通过学生的练习,检验学生对二项式定理的掌握程度和运算能力。

7. 总结和拓展(5分钟)教师对本节课的内容进行总结,并给出一些延伸阅读和学习资料,鼓励学生在课后继续学习和探索。

五、教学评价1. 教师通过课堂讨论、学生练习和问题解答等形式,对学生的学习情况进行评价和反馈。

2. 鼓励学生积极参与课堂活动,发表自己的观点和思考。

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》二项式定理说课稿高三第一阶段复习,也称“知识篇”。

在这一阶段,学生重温高一、高二所学课程,全面复习巩固各个知识点,熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度,对学过的知识产生全新认识。

在高一、高二时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,学的知识往往是零碎和散乱,而在第一轮复习时,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化,把各个知识点融会贯通。

对于普通高中的学生,第一轮复习更为重要,我们希望能做高考试题中一些基础题目,必须侧重基础,加强复习的针对性,讲求实效。

一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的二项式的乘方的展开式,与数学的其他部分有密切的联系:(1)二项展开式与多项式乘法有联系,本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系,利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式,因此,本小节复习可加深知识间纵横联系,形成知识网络。

(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

2、高考中二项式定理的试题几乎年年有,多数试题的难度与课本习题相当,是容易题和中等难度的试题,考察的题型稳定,通常以选择题或填空题出现,有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。

二、学校情况与学生分析(1)我校是一所镇普通高中,学生的.基础不好,记忆力较差,反应速度慢,普遍感到数学难学。

但大部分学生想考大学,主观上有学好数学的愿望。

(2)授课班是政治、地理班,学生听课积极性不高,听课率低(60﹪),注意力不能持久,不能连续从事某项数学活动。

课堂上喜欢轻松诙谐的气氛,大部分能机械的模仿,部分学生好记笔记。

三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时,本课是第一课时,主要复习二项展开式和通项。

根据历年高考对这部分的考查情况,结合学生的特点,设定如下教学目标:1、知识目标:(1)理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

完整版二项式定理教案

完整版二项式定理教案

1.3.1 二项式定理(第一课时)、教学目标1、知识与技能(1)理解二项式定理,并能简单应用(2)能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察,分析,归纳的能力,以及转化化归的意识与知识迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式。

3、情感与态度价值观通过探究问题,归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯,在自主学习中体验成功, 在思索中感受数学的魅力,让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。

、教学重点难点1、教学重点:二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点:二项式定理中单项式的系数三、教学设计:三、典例分析例1例1、求(2 _)4的展开式x解:(2 -)4C:24C4 23(丄)C4 22(-)2C:2 (-)3C:』)x x x x x “32 24 8 116 2 3 4x x x x例2 (1)求(1 2x)5的展开式中第3项5 23 2 3解.(1 2x)的展开式的第3项疋T2 1 C5 1 (2x) 40 x,1 9 3例3.求(x -)9的展开式中x3的系数x1解:••• (x -)9的展开式的通项是xT k 1 C9x9 k(1)k C9k x9 2k,x二9 2k 3 , k 3,二x3的系数C: 84课堂检测:1.(2a b)4的展开式中的第2项•解:T2 1 C4(2a)3b 32a3b,2.(x 1)10的展开式的第6项的系数(D )厂6 厂6 厂5 厂5A. C10B. C10C. C10D. C10x 5 23.(1 )5的展开式中x2的系数为(C )25A. 10B. 5C. -D. 12四、小结X二项式定理:通理J(灯+小『=Ctf+U十%+…彳U旷方*+…+6弟斤十]域的一,顼成乘数区别:展开式中第2项的系数,第2项二项式系数4思考:展开式中第3项的系数,第3项二项式系数通过例题让学生更好的理解二项式定理强调:通项公式的应用进一步巩固二项式定理学生应用二项式定理明确通项的作用板书设计:1.3.1 二项式定理一. 二项式定理:(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n(n N* )1.项数:n 1项;2•指数:字母a , b的指数和为n ,a 的指数由n 递减至0,b的指数由0递增至n ;3.二项式系数:C n0,C n1,C n2,L ,C n k L ,C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项:第k 1项:T k 1 C n k a n k b k二. 典例三. 作业。

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》作为一名老师,常常要写一份优秀的教案,编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

我们应该怎么写教案呢?以下是小编整理的高三数学教案《二项式定理》,欢迎阅读与收藏。

一、教材分析:1、知识内容:二项式定理及简单应用2、地位及重要性二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容,其形成过程是组合知识的应用,同时也是自成体系的知识块,为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计,作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系,本节知识的学习,必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题,例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标A、知识目标:(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程,掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开B、能力目标:(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中,培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力c、情感目标:(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心;(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美;(3)培养学生的民族自豪感,在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点:重点:(1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律;(2)能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点:二项式定理的发现。

二、教法学法分析为了达到这节课的目标:掌握并能运用二项式定理,让学生主动探索展开式的由来是关键。

“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则,以启发学生主动学习,积极探索为主。

36751_《二项式定理》教案2(人教A版选修2-3)

36751_《二项式定理》教案2(人教A版选修2-3)

1.3二项式定理学习目标:1掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:1.二项式定理及其特例: (1)01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,(2)1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2.二项展开式的通项公式:1rn rr r n T C ab -+=3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表(杨辉三角)()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ,定义域是{0,1,2,,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵mn mn n C C -=).直线2nr=是图象的对称轴. (2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间一项2n nC 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC-,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和: ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122nrnn n n n n C C C C C =++++++二、讲解范例:例1.设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++,当012254n a a a a ++++=时,求n 的值解:令1x =得:230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-,∴2128,7nn ==,点评:对于101()()()nn n f x a x a a x a a -=-+-++,令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值;令1,x a -=-即1x a =-,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2.求证:1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.证(法一)倒序相加:设S =12323nnn n n C C C nC ++++①又∵S=1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②∵rn rn n C C -=,∴011,,n n n n n n C C C C -==,由①+②得:()0122nn n n n S n C C C C =++++,∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅,即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅.(法二):左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---,∴()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅.例3.已知:223(3)nx x +的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项 解:令1x =,则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=,又展开式中二项式系数和为2n, ∴222992nn -=,5n =.(1)∵5n =,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项, ∴223226335()(3)90T C x x x ==,22232233345()(3)270T C x x x ==,(2)设展开式中第1r +项系数最大,则21045233155()(3)3r rrrrr r T C x x C x+-+==,∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩,∴4r =,即展开式中第5项系数最大,2264243355()(3)405T C x x x ==.例4.已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n nn ,求证:当n 为偶数时,14--n S n 能被64整除分析:由二项式定理的逆用化简n S ,再把14--n S n 变形,化为含有因数64的多项式 ∵1122122221(21)nn n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =,∴14--n S n 341n n =--,∵n 为偶数,∴设2n k =(*k N ∈), ∴14--n S n 2381k k =--(81)81k k =+--011228(88)8k k k k C C C -=+++(*),当k =1时,410n S n --=显然能被64整除, 当2k≥时,(*)式能被64整除,所以,当n 为偶数时,14--n S n 能被64整除三、课堂练习:1.)()4511x +-展开式中4x 的系数为,各项系数之和为.2.多项式12233()(1)(1)(1)(1)nn n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-(6n >)的展开式中,6x 的系数为3.若二项式231(3)2n xx-(n N *∈)的展开式中含有常数项,则n 的最小值为() A.4B.5 C.6D.84.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应()A.低于5%B.在5%~6%之间C.在6%~8%之间D.在8%以上 5.在(1)nx +的展开式中,奇数项之和为p ,偶数项之和为q ,则2(1)n x -等于()A.0B.pq C.22p q + D.22p q -6.求和:()2341012311111111111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------.7.求证:当n N *∈且2n ≥时,()1322nn n ->+.8.求()102x +的展开式中系数最大的项 答案:1.45,02.0.提示:()()16n f x x n =->3.B4.C5.D6.()11n a a ---7.(略)8.33115360T x +=四、小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业:1.已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项,而2(1)na +展开式的系数的最大的项等于54,求a 的值()a R ∈答案:a =2.设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++求:①0114a a a +++②1313a a a +++.答案:①9319683=;②()953399632+=3.求值:0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-. 答案:82256=4.设296()(1)(21)f x x x x =+-+,试求()f x 的展开式中: (1)所有项的系数和;(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案:(1)63729=;(2)所有偶次项的系数和为6313642-=; 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计(略) 七、课后记:。

高中数学教案:二项式定理(说课稿)

高中数学教案:二项式定理(说课稿)

高中数学教案:二项式定理(说课稿)尊敬的各位评委、老师们:大家好!我是××中学的××,我将要为大家说课的内容是高中数学二项式定理。

一、教学背景分析:二项式定理是高中数学中的重要内容,它是高中数学中的一个较为复杂的概念,也是以后学习乘方与根式定理以及函数与导数的基础。

该内容包含很多实际应用,因此能够培养学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标:1.知识与技能:掌握二项式定理的基本概念和公式,能够应用二项式定理计算多项式的展开结果。

2.过程与方法:培养学生归纳总结的能力,激发学生的兴趣,提高观察、思维和解决问题的能力。

3.情感态度:培养学生正确的学习态度,善于思考和发现问题,培养学生的数学思维和数学逻辑思维。

三、教学重点难点:1.掌握二项式定理的基本概念和公式。

2.掌握应用二项式定理计算多项式的展开结果。

3.培养学生归纳总结的能力。

四、教学过程安排:1.导入(5分钟)首先,我会通过引导学生回忆乘方的内容,提问:如何计算(2+3)²、(4-5)³等表达式的值?通过回忆与思考,引出二项式定理的概念。

2.新课呈现(10分钟)介绍二项式定理的定义:当n为自然数,a、b为任意实数,有:(a+b)ⁿ=aⁿ+naⁿ⁻¹b+...+n(n-1)...(n-k+1)aⁿ⁻ᵏbᵏ+...+bⁿ。

引导学生通过观察与分析,发现并总结二项式定理的规律与特点。

利用例题,让学生体会并巩固二项式定理的应用。

3.合作探究(20分钟)学生自主或小组合作完成练习和问题解决。

可以设计一些展开多项式的计算题目,让学生通过计算,并灵活应用二项式定理进行展开。

4.归纳总结(10分钟)引导学生根据前面的学习和探究,总结出二项式定理的公式形式,并将其写在板书上,让学生进行回顾与复习。

5.拓展应用(10分钟)通过生活实际问题的讨论,培养学生实际应用二项式定理解决问题的能力。

高三数学教案《二项式定理》优秀3篇

高三数学教案《二项式定理》优秀3篇

高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案,主题为《二项式定理》。

这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理,帮助学生更好地理解和应用该定理,提高数学解题能力。

2. 教案一:《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质,如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题,如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合:通过讲解二项式的定义和性质,并用例题演示二项式展开的基本方法,加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论:引导学生参与讨论,思考问题的解决方法,培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固:给学生一定数量的练习题,巩固所学知识,并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价:通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况,进行教学评价•教学反馈:及时给予学生反馈,并指导学生改正错误,提高学习效果3. 教案二:《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法,如二项式系数的递推关系等–通过数学推理,证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习,提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力,通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合:通过讲解二项式定理的证明方法,并演示具体的证明过程,加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论:引导学生进行证明题的讨论和分析,提高学生的数学推理能力•练习与应用:给学生一些练习题,加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价:通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈:及时给予学生反馈,并指导学生改进学习方法,提高学习效果4. 教案三:《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目,引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题,锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示:通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系,并给出具体的例题进行演示,加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用:给学生一些练习题,锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论:引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价:通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈:及时给予学生反馈,并指导学生改进问题解决的方法,提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案,主题为《二项式定理》。

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》一、教学目标1.了解二项式定理的定义和公式2.掌握应用二项式定理求解数学问题的方法3.培养学生的数学思维和解决实际问题的能力二、教学内容1. 二项式定理的定义二项式定理是指:$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数,a和b为任意实数或复数,$C_{n}^{k} $表示组合数。

2. 二项式定理的公式二项式定理的公式为:$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数,a和b为任意实数或复数,$C_{n}^{k} $表示组合数,计算公式为:$$C_{n}^{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中n!表示n的阶乘,计算公式为:$$n! = 1 \\times 2 \\times 3 \\times ……\\times n$$3. 应用二项式定理求解数学问题的方法1.直接将a和b代入公式计算2.通过变形将问题转化为求和式3.应用组合恒等式计算三、教学方法1. 讲授法通过讲解定义、公式和应用方法,让学生了解二项式定理的基本概念和计算方法。

2. 例题教学法通过讲解例题,帮助学生理解和掌握二项式定理的应用方法,增强解题的能力。

3. 课堂练习法通过课堂练习,帮助学生巩固所学的知识和技能,提高解题能力。

4. 讨论法通过小组讨论或全班讨论,让学生分享解题思路和经验,增加互动性和合作性。

四、教学过程1. 介绍二项式定理的定义和公式教师向学生介绍二项式定理的定义和公式,让学生了解该定理的基本概念和计算方法。

2. 讲解二项式定理的应用方法教师通过讲解例题,向学生讲解二项式定理的应用方法,帮助学生掌握如何应用二项式定理来解决数学问题。

3. 课堂练习教师在课堂上进行练习,让学生巩固所学的知识和技能,提高解题能力。

4. 学生小组讨论教师安排学生小组讨论,让学生分享解题思路和经验,增加互动性和合作性。

2019-2020年高考数学一轮复习二项式定理教学案

2019-2020年高考数学一轮复习二项式定理教学案

2019-2020年高考数学一轮复习二项式定理教学案一二、教学目标 1.掌握二项式定理;2.掌握二项式系数性质,会求项的系数;3.了解杨辉三角三、重点:通项及二项式系数性质的应用。

难点:项的系数及应用二项式定理证明有关问题。

四、知识导学1.二项式定理公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的 ,它一共有 项,其中 叫做二项展开式的第项,也称为通项,用表示,即=。

2.二项式系数的性质展开式的二项式系数有如下性质:(1) (2)(3) (4)(5)(6)五、课前自学1.的展开式中第r 项是 .2.如果的展开式中所有奇数项的系数和等于512,则展开式的中间项是 .3. 在(2-x)5的展开式中,x 5的系数是 .4.二项式(a -b)11展开式中系数最小的项为_ .5.计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x = .六、合作、探究、展示例1. 求的展开式中的常数项和有理项.例2. 已知(41x+3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45,求:⑴含x3的项;⑵系数最大的项.例3.已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项例4。

设()10021000121002a a x a x a x =++++,求下列各式的值:(1); (2);(3)()()22024********a a a a a a a a ++++-++++; (4)。

七、当堂检测1.的展开式中的系数是 .2.展开式中的常数项是__ _____.3.已知 的开展式中x 3的系数为,则常数a 为 .4.若6622106x a x a x a a )mx 1(+⋯+++=+,且,则实数m 的值是__5. 5432)1x ()1x ()1x ()1x ()1x (-+---+---的展开式中的系数 .6.若n 是奇数,则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是 .八、总结反思2019-2020年高考数学一轮复习互斥事件教学案总课题概率总课时第6课时分课题互斥事件分课时第 1 课时学习目标了解互斥事件及对立事件的概念,能判断两个事件是否是互斥事件,进而判断他们是否是对立事件,了解两个互斥事件概率的加法公式, 知道对立事件概率之和为1的结论.重点难点互斥事件的概率的求法.问题3:如果将“体育成绩及格”记为事件,那么与能否同时发生?它们之间有什么关系?对立事件:公式:例题剖析一只口袋内装有大小一样的只白球和只黑球,从中依次任意摸出只球,记摸出只白球为事件,摸出只白球和只黑球为事件,问:事件与是否为互斥事件?是否为对立事件?例2 某人射击次,命中~环的概率如下图所示:命中环数环环环环概率(2)求射击次,命中不足环的概率.例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:血型 A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是型血,若小明因病需要输血.问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?例1例4:班级联欢时,主持人拟出了以下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等,指定3个男生和2个女生来参与,把5个人编号为1,2,3,4,5,其中1,2,3表示男生,4,5表示女生.将每个人的号分别写在5张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混和,每次从中随机地取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目.(1)为了取出2人来表演双人舞,连续抽取2张卡片,求取出的2人不全是男生的概率.(2)为了取出2人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分混合后再从中抽取第二张卡片,求:i)独唱和朗诵由同一个人表演的概率;ii)取出的2个不全是男生的概率例5:袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球的概率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.巩固练习1.判断:(1)若是互斥事件,则中至多有一个发生,他们可能都不发生,但不可能都发生()(2)对立事件必是互斥事件,两个互斥或对立的事件不能同时发生()(3)两个对立事件的概率之和一定等于()(4)两个互斥事件的概率之和小于或等于1 ()2.抛掷一颗骰子次,记“向上的点数是”为事件,“向上的点数是”为事件,“向上的点数是”为事件,“向上的点数是”为事件,判断下列每对事件是否为互斥事件,如果是,再判断它们是否为对立事件.(1)与(2)与(3)与课堂小结两个互斥事件概率的加法公式,知道对立事件概率之和为1.课后训练班级:高二()班姓名:____________一基础题1.从装有只红球,只白球的袋中任意取出只球,有如下几对事件:①“取出红球和只白球”与“取出只红球和只白球”;②“取出红球和只白球”与“取出只红球”;③“取出只红球”与“取出的只球中至少有只白球的”;④“取出只红球”与“取出只白球”,其中是对立事件的有___________.2.口袋中有若干红球、黄球与蓝球,摸出红球的概率为,摸出黄球的概率为,求:(1)摸出红球或黄球的概率;(2)摸出蓝球的概率.3.一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为,目标未受损的概率为,求使目标受损但未击毁的概率.4.抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”,B 为“出现偶数点”,已知P(A)=,P(B)=,求 “出现奇数点或偶数点”的概率.5(1)至多人排队等候的概率是多少? (2)至少人排队等候的概率是多少?6。

高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计

高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
接着,我会简要回顾一下多项式展开的相关知识,为学生学习二项式定理做好铺垫。然后,引出二项式定理的基本概念,让学生对即将学习的内容有一个初步的认识。
(二)讲授新知,500字
在讲授新知环节,我会按照以下步骤进行:
1.详细讲解二项式定理的基本形式,让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例,引导学生探究二项式定理的推导过程,强调组合数公式的运用。
-例如:请简述二项式定理的推导过程,以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求:学生认真撰写,培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题:推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料,了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如:阅读《数学家与二项式定理》的相关文章,了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中,我注重启发式教学,关注学生的主体地位,充分调动学生的积极性,提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用,确保学生能够熟练掌握本章节的知识点,我设计了以下几类作业:
1.基础知识巩固题:选取一些典型的题目,要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算,巩固二项式系数的计算方法。
-例如:计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求:学生独立完成,注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题:设计一些实际问题,让学生运用二项式定理解决,提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如:一个袋子里有5个红球和5个蓝球,随机取出3个球,求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求:学生通过小组合作完成,培养学生的团队协作能力。
4.教学策略:

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》

高三数学教案《二项式定理》教案标题:二项式定理教案目标:1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点:1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点:1. 二项式定理的实际应用教学准备:1. 教材:高中数学教材2. 教具:黑板、粉笔教学过程:Step 1:导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念,如:「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,求(a+b)^3是多少?」,让学生思考并回答问题。

Step 2:理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义:对于任意非负整数n,二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。

2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数,即从n个元素中取k个元素的组合数。

3. 引导学生理解二项式定理的基本性质:当n为非负整数时,有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。

Step 3:例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理,如计算(a+b)^4。

2. 给学生提供一些练习题,让他们独立进行计算,如计算(a+b)^5。

Step 4:拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用,如求整系数多项式的平方。

2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用,如概率论中的二项分布。

Step 5:小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳,并帮助学生梳理知识点。

Step 6:课堂练习布置一些课堂练习题,鼓励学生独立完成。

Step 7:课堂总结对本节课的重点内容进行总结,并让学生提问和解答疑惑。

教学延伸:1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。

2. 提供更多实际生活中的例子,引导学生思考和应用二项式定理。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版):二项式定理

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版):二项式定理

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b 1+…+C k n a n -k b k +…+C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k +1=C k n an -k b k,它表示展开式的第k +1项二项式系数C k n (k =0,1,…,n )2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间的一项2C nn取得最大值;当n 是奇数时,中间的两项12Cn n-与12Cn n+相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和:(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n.常用结论1.C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n -1.2.C m n +1=C m -1n +C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an -k b k 是(a +b )n 的展开式中的第k 项.(×)(2)(a +b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ,b 无关.(√)(3)通项公式T k +1=C k n an -k b k 中的a 和b 不能互换.(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的.(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A .45B .20C .-30D .-90答案A解析因为展开式的通项为T k +1=()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅---=-,令-10+32k =2,得k =8,所以展开式中x 2的系数为(-1)8×C 810=45.2.已知C 0n +2C 1n +22C 2n +23C 3n +…+2n C n n =243,则C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n 等于()A .31B .32C .15D .16答案A解析逆用二项式定理得C 0n +2C 1n +22C 2n +23C 3n +…+2n C n n =(1+2)n =243,即3n =35,所以n =5,所以C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n =25-1=31.3.若的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项为________.答案20解析因为二项式系数之和为2n =64,所以n =6,则T k +1=C k 6·x6-k=C k 6x6-2k,当6-2k =0,即k =3时为常数项,T 4=C 36=20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A .-45B .-10C .45D .65答案C解析由二项式定理得T k +1=C k -k(-x 2)k=55210(1)C k kk x--,令5k2-5=0得k =2,所以常数项为(-1)2C 210=45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ,x 2的系数为B ,若A +B =11,则a =__________.答案±1解析的展开式的通项为T k +1=C k 5x 5-k =(-a )k C k 5352k x.由5-32k =5,得k =0,由5-32=2,得k =2,所以A =C 05×(-a )0=1,B =C 25×(-a )2=10a 2,则由1+10a 2=11,解得a =±1.命题点2形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A .56B .84C .112D .168答案D解析在(1+x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2=28x 2,(1+y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2=6y 2,所以x 2y 2的系数为28×6=168.(2)在(2x +a 的展开式中,x 2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为()A .3204B .-160C .160D .-320答案D解析的展开式的通项为T k +1=C k 6·x 6-k =C k 6·2k ·x6-2k ,2xT k +1=C k 6·2k +1·x 7-2k,由k ∈N ,得7-2k ≠2,故不成立,aT k +1=a C k 6·2k ·x6-2k,令6-2k =2,解得k =2,则a C 26·22=60a =-120,解得a =-2,∵7-2k ≠0,在-2T k +1中,令6-2k =0,解得k =3,∴展开式中的常数项为-2C 36·23=-320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k +1,代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx +y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答).答案-28解析(x +y )8展开式的通项为T k +1=C k 8x 8-k y k ,k =0,1,…,7,8.令k =6,得T 6+1=C 68x 2y 6;令k =5,得T 5+1=C 58x 3y 5x +y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68-C 58=-28.(2)在二项式(2+x )9的展开式中,常数项是________;系数为有理数的项的个数是________.答案1625解析由题意得,(2+x )9的通项公式为T k +1=C k 9(2)9-k ·x k(k =0,1,2,…,9).当k =0时,可得常数项为T 1=C 09(2)9=16 2.若展开式的系数为有理数,则k =1,3,5,7,9,有T 2,T 4,T 6,T 8,T 10,共5个.题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则()A .二项式系数和为32B .各项系数和为128C .常数项为-135D .常数项为135答案D解析令x =1,得各项系数和为2n ,又二项式系数和为2n ,则2×2n =128,得n =6,即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A ,B 不正确;x 的展开式的通项为T k +1=C k 6·(3x )6-k =C k 6·(-1)k 36-k ·362x ,令6-32k =0,得k =4,因此展开式中的常数项为T 5=C 46·(-1)4·32=135,故C 不正确,D 正确.(2)若(1+x )10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,则a 2+a 6+a 8=________;a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10=________.答案3005120解析①由已知得(1+x )10展开式的通项为T k +1=C k 10x k,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数.故a 2+a 6+a 8=C 210+C 610+C 810=300.②对原式两边求导得,10(1+x )9=a 1+2a 2x +3a 3x 2+…+10a 10x 9.令x =1,得a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10=10×29=5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A .常数项为-160B .第4项的系数最大C .第4项的二项式系数最大D .所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k +1=C k 6-k·(-2x )k =(-2)k C k 6·x2k -6.对于A ,令2k -6=0,解得k =3,∴常数项为(-2)3C 36=-8×20=-160,A 正确;对于B ,由通项公式知,若要系数最大,k 所有可能的取值为0,2,4,6,∴T 1=x -6,T 3=4C 26x -2=60x -2,T 5=(-2)4C 46x 2=240x 2,T 7=(-2)6x 6=64x 6,∴展开式第5项的系数最大,B 错误;对于C ,展开式共有7项,得第4项的二项式系数最大,C 正确;对于D ,令x =1,则所有项的系数和为(1-2)6=1,D 正确.思维升华赋值法的应用一般地,对于多项式(a +bx )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,令g (x )=(a +bx )n ,则(a +bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1),(a +bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)+g (-1)],(a +bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)-g (-1)].跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式,下列说法正确的是()A .所有项的二项式系数和为64B .所有项的系数和为64C .常数项为1215D .系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26=64,故A 正确;在2中,令x =1,得(1-3)6=64,故B 正确;展开式的通项为T k +1=C k 6(x 2)6-k=(-3)k C k 6x12-3k (0≤k ≤6,k ∈N ),令12-3k =0,得k =4,所以常数项为(-3)4C 46=1215,故C 正确;由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值,第1项系数为1,第3项系数为(-3)2C 26=135,第5项系数为(-3)4C 46=1215,第7项系数为(-3)6C 66=729,则系数最大的项为第5项,故D 不正确.(2)设(2+x )10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,则(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2-(a 1+a 3+a 5+…+a 9)2的值为________.答案1解析令x =1有a 0+a 1+…+a 10=(2+1)10,令x =-1有a 0-a 1+a 2-…+a 10=(2-1)10,故(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2-(a 1+a 3+a 5+…+a 9)2=(a 0+a 1+a 2+…+a 10)·(a 0-a 1+a 2-…+a 10)=(2+1)10(2-1)10=1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ,且0≤a ≤13,若512023+a 能被13整除,则a 等于()A .0B .1C .11D .12答案B解析因为a ∈Z ,且0≤a ≤13,所以512023+a =(52-1)2023+a=C 020********-C 12023522022+C 22023522021-…+C 2022202352-C 20232023+a ,因为512023+a 能被13整除,所以-C 20232023+a =-1+a 能被13整除,结合选项,所以a =1.(2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是()A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34答案D解析 1.056=(1+0.05)6=C06+C16×0.05+C26×0.052+C36×0.053+…+C66×0.056=1+0.3+0.0375+0.0025+…+0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.跟踪训练3(1)设n为奇数,那么11n+C1n·11n-1+C2n·11n-2+…+C n-1n·11-1除以13的余数是()A.-3B.2C.10D.11答案C解析11n+C1n·11n-1+C2n·11n-2+…+C n-1n·11-1=C0n·11n+C1n·11n-1+C2n·11n-2+…+C n-1n·11+C n n-2=(11+1)n-2=12n-2=(13-1)n-2=C0n·13n-C1n·13n-1+…+(-1)n-1·C n-1n·13+(-1)n·C n n-2,因为n为奇数,则上式=C0n·13n-C1n·13n-1+…+(-1)n-1·C n-1n·13-3=[C0n·13n-C1n·13n-1+…+(-1)n-1·C n-1n·13-13]+10,所以11n+C1n·11n-1+C2n·11n-2+…+C n-1n·11-1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943答案B解析0.996=(1-0.01)6=C06×1-C16×0.01+C26×0.012-C36×0.013+…+C66×0.016=1-0.06+0.0015-0.00002+…+0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A .10B .20C .40D .80答案C解析由题意可得T k +1=C k 5·(x 2)5-k=(-1)k C k 5·2k ·x10-3k ,令10-3k =4,则k =2,所以所求系数为(-1)2C 25·22=40.2.(多选)若2的展开式中的常数项为1516,则实数a 的值可能为()A .2 B.12C .-2D .-12答案AC 解析2的展开式的通项为T k +1=C k 6(x 2)6-k=Cx 12-3k ,令12-3k =0,得k =4.故C46=1516,即=116,解得a =±2.3.在(x +3)的展开式中,常数项为()A .-152 B.152C .-52D.52答案A 解析原式=+,①而的通项公式为T k +1C k 6x 6-2k .当6-2k =-1时,k =72∉Z ,故①式中的前一项不会出现常数项;当6-2k=0,即k =3时,可得①式中的后一项即为所求,此时原式常数项为3×C 36=-152.4.在的展开式中,x 的指数是整数的项数是()A .2B .3C .4D.5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k +1=C k 24(x )24-=512624C kkx -,所以当k=0,6,12,18,24时,x 的指数是整数,故x 的指数是整数的有5项.5.在二项式(1-2x )n 的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为()A .-960B .960C .1120D .1680答案C解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也为128,所以在(1-2x )n 的展开式中,二项式系数之和为256,即2n =256,得n =8,则(1-2x )8的展开式的中间项为第5项,且T 5=C 48(-2)4x 4=1120x 4,即展开式的中间项的系数为1120.6.设a =3n +C 1n 3n -1+C 2n 3n -2+…+C n -1n 3,则当n =2023时,a 除以15所得余数为()A .3B .4C .7D .8答案A解析∵C 0n 3n +C 1n 3n -1+C 2n 3n -2+…+C n -1n 3+C n n 30=(3+1)n =4n,∴a =4n -1,当n =2023时,a =42023-1=4×161011-1=4×[(15+1)1011-1]+3,而(15+1)1011-1=C 010********+C 11011151010+…+C 1010101115,故此时a 除以15所得余数为3.7.(多选)在二项式的展开式中,正确的说法是()A .常数项是第3项B .各项的系数和是164C .第4项二项式系数最大D .奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k +1=C k 6·(3x )6-k=62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭--.对于A 选项,令6-2k3=0,可得k =3,故常数项是第4项,A 错误;对于B 选项,各项的系数和是=164,B 正确;对于C 选项,展开式共7项,故第4项二项式系数最大,C 正确;对于D 选项,奇数项二项式系数和为25=32,D 正确.8.(多选)(2023·沧州模拟)已知(1-2x )2023=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2023x 2023,则()A .展开式中所有项的二项式系数和为22023B .展开式中系数最大项为第1350项C .a 1+a 3+a 5+…+a 2023=32023-12D.a 12+a 222+a 323+…+a 202322023=-1答案AD解析易知(1-2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023,故A 正确;由二项式通项,知T k +1=C k 2023(-2x )k =(-2)k C k 2023x k ,所以第1350项的系数为(-2)1349C 13492023<0,所以第1350项不是系数最大项,故B 错误;当x =1时,有a 0+a 1+a 2+…+a 2023=-1,①当x =-1时,有a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2022-a 2023=32023,②①-②,可得a 1+a 3+a 5+…+a 2023=-1+320232,故C 错误;当x =0时,a 0=1,当x =12时,a 0+a 12+a 222+a 323+…+a 202322023=0,所以a 12+a 222+a 323+…+a 202322023=-a 0=-1,故D 正确.9.若x 5=a 0+a 1(x -2)+a 2(x -2)2+…+a 5(x -2)5,则a 1=________,a 1+a 2+…+a 5=________.答案80211解析因为x 5=[2+(x -2)]5,则a 1=C 15·24=80.令x =3,得a 0+a 1+a 2+…+a 5=35=243;令x =2,得a 0=25=32,故a 1+a 2+…+a 5=243-32=211.10.(1+2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等,展开式中二项式系数最大的项为________;系数最大的项为________________.答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6=C 5n (2x )5,T 7=C 6n (2x )6,依题意有C 5n ·25=C 6n ·26,得n =8.∴在(1+2x )8的展开式中,二项式系数最大的项为T 5=C 48·(2x )4=1120x 4,设第k +1k 8·2k ≥C k -18·2k -1,k 8·2k ≥C k +18·2k +1,解得5≤k ≤6.又k ∈N ,∴k =5或k =6,∴系数最大的项为T 6=1792x 5,T 7=1792x 6.11.(x +y -2z )5的展开式中,xy 2z 2的系数是()A .120B .-120C .60D .30答案A解析由题意知(x +y -2z )5=[(x +y )-2z ]5,展开式的第k +1项为C k 5(x +y )5-k(-2z )k ,令k =2,可得第3项为(-2)2C 25(x +y )3z 2,(x +y )3的展开式的第m +1项为C m 3x 3-m y m ,令m =2,可得第3项为C 23xy 2,所以(x +y -2z )5的展开式中,xy 2z 2的系数是(-2)2C 25C 23=120.12.(2023·浙江名校联盟联考)设(x -1)(2+x )3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 1=________,2a 2+3a 3+4a 4=________.答案-431解析因为x ·C 03·23·x 0-C 13·22·x 1=-4x ,所以a 1=-4,对所给等式,两边对x 求导,可得(2+x )3+3(x -1)(2+x )2=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3,令x =1,得27=a 1+2a 2+3a 3+4a 4,所以2a 2+3a 3+4a 4=31.13.若(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n 的展开式中的各项系数和为243,则a 1+2a 2+…+na n 等于()A .405B .810C .243D .64答案B解析(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,两边求导得2n (2x +1)n -1=a 1+2a 2x +…+na n x n -1.令x =1,则2n ×3n -1=a 1+2a 2+…+na n .又因为(2x +1)n 的展开式中各项系数和为243,令x =1,可得3n =243,解得n =5.所以a 1+2a 2+…+na n =2×5×34=810.14.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,若(1-2x )2023=b 0+b 1x +b 2x 2+…+b 2023x 2023,数列{a n }的首项a 1=b 12+b 222+…+b 202322023,a n +1=S n ·S n +1,则S 2023等于()A .-12023B.12023C .2023D .-2023答案A 解析令x =12,得-2023=b 0+b 12+b 222+…+b 202322023=0.令x =0,得b 0=1,所以a 1=b 12+b 222+…+b 202322023=-1.由a n +1=S n ·S n +1=S n +1-S n ,得S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1=1,所以1S n +1-1S n =-1,是首项为1S 1=-1,公差为-1的等差数列,所以1S n=-1+(n -1)·(-1)=-n ,所以S n =-1n ,所以S 2023=-12023.。

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一.复习目标:
1.能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和. 2.能熟练地逆向运用二项式定理求和.
3.能利用二项式定理求近似值,证明整除问题,证明不等式. 二.课前预习:
1.1003
)32(+的展开式中无理项的个数是 ( A ) ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2
3
4
5
++-+-=x x x x x x f ,则)(1
x f
-等于 ( C )
()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -
3.如果21872221221=++++n n n n n C C C ,则=++++n
n n n n C C C C 210128. 4.n
n
n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =1
1+n . 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为4
3290720z y x -. 6.若1001002210100
)1()1()1()
21(-++-+-+=+x a x a x a a x ,
则=++++99
531a a a a 2
15100-.
四.例题分析:
例1.已知}{n a 是等比数列,公比为q ,设n
n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= (其中
+∈>N n n ,2),且n
n n n n n C C C C S ++++= 2101,如果1
lim
n
n
n S S ∞→存在,求公比q 的取值范围.
解:由题意11-⋅=n n q a a ,n
n S 21=,
)
0()
1()1(122
1
11221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n
n n
n
n
n
n
n
n n n n
∴n
n n n n q a q a S S )21(2
)1(111+=+=.如果1lim n n n S S ∞→存在,则1|21|<+q 或121=+q , ∴212<+<-q 或1=q ,故13≤<-q 且0≠q .
例2.(1)求多项式6734102
34)157()53()
323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和.
(2)多项式1000231000
)22(+--⋅-x x x x
展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项
系数和各是多少?
解:(1)设
)
()157()53()323()(2
21067
3410234N n x
a x a x a a x x x x x x x f n
n ∈++++=--⋅-⋅---= ,
其各项系数和为n a a a a ++++ 210.
又∵102
674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ,
∴各项系数和为102
3
16⋅.
(2)设30013001101000231000
)22()(x a x a a x x x x
x f +++=+--⋅-= , ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ,2)1(3001210=--+-=-a a a a f ,故
1300131-=+++a a a ,1300020=+++a a a ,
∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1,x 奇次幂各项系数和为-1.
例3.证明:(1)
∑==n
k n k n k
C 0
32
)(N n ∈;
(2)1
2221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈;
(3))(3)
11
(2N n n
n ∈<+
<;(4)2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n n
n n n
n n n C C C
由(i)知
例4.
小结:
五.课后作业: 班级 学号 姓名 1.若n
x
x )1(23
+
的展开式中只有第6项的系数最大,则不含x 的项为( C ) ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 10
2.用88除78788
+,所得余数是 ( ) ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 80
3.已知2002年4月20日是星期五,那么90
10天后的今天是星期 .
4.某公司的股票今天的指数是2,以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0,则100天后这家公司的股票指数约为2.442(精确到0.001).
5.已知5
5443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-,则
(1)5432a a a a +++的值为568;(2)=++++||||||||||54321a a a a a 2882. 6.若n ax 2)1(+和1
2)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等(*
N n ∈,0≠a ),则a 的
取值范围为]3
2,21(
7.求满足500323210<+++++n
n n n n n nC C C C C 的最大整数n .
原不等式化为n ·2n-1
<499
∵27
=128,∴n=8时,8·27
=210
=1024>500. 当n=7时,7·26
=7×64=448<449. 故所求的最大整数为n=7.
8.求证:2
22222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++
证明 由(1+x)n ·(1+x)n =(1+x)2n
,两边展开得:
比较等式两边x n
的系数,它们应当相等,所以有:
9.已知(1+3x)n
的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中系数最大的项.
∴ n=15或 n=-16(舍)
设第 r+1项与第 r项的系数分别为t r+1,t r
∴t r+1≥t r则可得3(15-r+1)>r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时,都有t r<t r+1当r=12时,t r+1=t r。

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