412圆的一般方程34402

x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
2020/7/10
思考
方程 x2y22 x4 y10表示什么图形？ 对方程 x2y22 x4 y10配方，可得
(x 12)(y 22)4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
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方程 x2y22 x4 y60表示什么图形？
对方程 x2y22 x4 y60配方，可得
圆的一般方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2
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圆的一般方程与标准方程的关系： （1） aD ,bE ,r1D 2E 24F
2 22 （2）标准方程易于看出圆心与半径。
一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项。
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解这个方程组，得
D 6E ,8F ,0.
所求圆的方程为：
x2y26 x8y 0
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为 r1 D2E24F5 2
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求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤： ①根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。 ②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E，F 的方程。 ③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入 方程，就得到要求的方程。
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过程与方法
➢通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示 圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力。
情感态度与价值观
➢渗透数形结合、化归与转化等数学思 想方法，提高学生的整体素质，激励 学生创新，勇于探索。
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教学重难点
重点
➢圆的一般方程的代数特征，一般方程 与标准方程间的互化，根据已知条件 确定方程中的系数：D、E、F。
(x 12)(y 22)-1, 由于不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所 以这个方程不表示任何图形。
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探究
方程 x2y2Dx E y F0在什么条件下
表示圆？
配方可得：(x D)2(y E)2D 2E24F
2
2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以 心，以 1 D2 E2 4F为半径的圆;
注意不是a， 而是|a|.
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4.1.2 圆的一般方程
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教学目标
知识与能力
➢在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一 般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心 半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 条件。 ➢能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标 准方程，能用待定系数法求圆的方程。 ➢培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
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注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别： 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而 轨迹是对几何图形的描述。如例六中， M的轨迹方程是 x2y22 x30 M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
y2 y 1 x3 x6
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例六 1
求点M过的点轨M迹与方两程个。定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是 3 设点M的坐标为（x,y）,根据题意有
M { M ||M A | 2 |M O |} 。
因为O(0,0),A(3,0)，所以有
(x3)2y22x2y2。
化简，得 x2y22 x30
新课导入
知识回顾 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
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练练手
指出下面圆的圆心和半径：
Hale Waihona Puke Baidu
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2),2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2),5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) (-a,2|a),|
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由以上过程可知，满足条件 M {M ||M A |2|M O |}.
的点满足方程 x2y22 x30
反过来，坐标满足 x2y22 x30的点也满足
(x3)2y22x2y2。
即满足条件 M {M |M | | 2 |A M |}O .
因此所求点M的轨迹方程是 x2y22 x30 即 (x12)y24 点M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
x3 x6
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。B A •P
•c
。 O 3x
化简得： x2y23 x 2 y 1 80
所以所求轨迹为圆 x2y23 x 2 y 1 80
在已知圆内的一段弧（不含端点）。 y
。B
A •P
•c
•-6
。
O 3x
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求曲线轨迹的问题的关键是找出点P（x，y） 与已知点之间的位置关系，在本题中就是与M，C 之间的坐标关系：
难点
➢对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
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把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得 x 2 y 2 2 a 2x b a 2 b y 2 r 2 0
由于a, b, r均为常数 令 2 a D 2, b E a 2 ,b 2 r 2 F 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
(
D 2
,
E 2
)
为圆
2
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（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组实数解
， xD,yE表, 示一个点 ( D , E )
2
2
22
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以 不表示任何图形。
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E24F>0）可表示圆的方程。
2020/7/10
2020/7/10
例四
求过三点A（0，0），B（6，0），C（3，1） 的圆的方程。
分析：由于A，B，C三点不在同一条直线上， 因此经过A，B，C三点有唯一的圆。
解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0, 36 6D F 0, 9 1 3D E F 0。
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例五
过点M（-6，0）作圆 C：x2y26 x4 y90 的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的 轨迹。
解：圆的方程可化为 (x 32)(y 22)4
∴其圆心为C（3，2）半径为2.
y
设P（x，y）是轨迹上任意一点 CPMP
kCPkMP 1 即：y 2 y 1
•-6