412圆的一般方程34402
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件新人教A版必修2
表示任何图形．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
7
一般方程课件新人教A版必修2
[思考探究]………………|辨别正误| 1．若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？ [提示] x2＋y2＋F＝0. 2．若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆， 需满足什么条件？ [提示] ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
30
一般方程课件新人教A版必修2
考向 3 定义法求动点的轨迹方程 【例 5】 已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3， 0)，求直角顶点 C 的轨迹方程． [解] 解法一：设顶点 C(x，y)，因为 AC⊥BC，且 A，B， C 三点不共线，所以 x≠3，且 x≠－1. 又因为 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
20
一般方程课件新人教A版必修2
解法二(几何法)： 由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心 C 在直线 x－y－1＝0 上，设其坐标为 C(a， a－1)． 又圆 C 的半径长 r＝|CP|＝ a－42＋a＋12. ① 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴 的距离为|a|.
复习课件
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件 新人教A版必修2
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
r=
为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 (- D , - E ) ；
22
D2 + E2 - 4F 2
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
B．2 或－1
C．－1
D．2
求轨迹方程 (直接法)
【典例】公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知 数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系 中 A(－2，0) ，B(2，0) ，则满足|PA| ＝2 积为________．
在圆上运动时,BC中点D的轨迹方程是
A.x2+y2= 1
2
B.x2+y2= 1
4
( y)
B
Cx
O
A
yC
x
O
A
C.x2+y2= 1 (x＜1)
B
22
D.x2+y2= 1 (x＜1)
44
求轨迹方程 (代入法)
【典例】已知线段AB的端点B坐标是（4,3），端点A在圆（x+1）2+y2 =4
上移动,求线段AB的中点的轨迹方程。
01 圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程课件
r = 1 D2 + E2 - 4F
-
D 2
，-
E 2
为半径为
2
配方
2.一般方程
标准方程
展开
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业 A组1、6，B组1、2、3
E 2
）.
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
-
D 2
，-
E 2
为半径为
2
配方
2.一般方程
标准方程
展开
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业 A组1、6，B组1、2、3
E 2
）.
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
4.1.2《圆的一般方程》课件
即 x+2y-6=0.②,
x 4, 解①②组成的方程组得 y 1.
2
∴圆心为(4,1),半径 r=
(4 2) (1 2) 5 .
2
17
∴圆心为(4,1),半径 r=
(4 2) (1 2) 5 .
2 2
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 ( x 4) ( y 1) 5.
2 2
D E 4F r 2
2 2
D E 表示点 , （2）当 D E 4F 0 时， 2 2
2 2 不表示任何图形 D E 4F 0 时， （3）当
7
圆的一般方程
2 2 ，其中 x y Dx Ey F 0 D E 4F 0
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
15
∴点 C 在该圆上.
D E 4F ∴圆心为(4,1),r= 5 2
2 2
E D ∵ =4, =1, 2 2
综上,可得四点共圆，圆心为(4,1),半径为 5 , 方程为 x +y -8x-2y+12=0.
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
3
问题引入：
直线方程有五种不同的形式， 它们之间可以相互变通，每一 种形式都是关于x,y的一次方程， 我们学习了圆的标准方程，它 的方程形式具备什么特点呢？ 还有其他形式吗？
y
M(x,y) O C x
4
圆的一般方程
1.圆的标准方程 展开得
x y 2ax 2by a b r 0
课件7：4.1.2 圆的一般方程
1＋16＋D＋4E＋F＝0
D＝－2
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 ，解得E＝2
.
16＋25＋4D－5E＋F＝0
F＝－23
∴△ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
跟踪练习 2 求过点 C(－1,1)和 D(1,3)且圆心在直线 y＝x 上的圆的一般方程．
解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为(－D2 ，－E2)，
F＝0
F＝0
∴22＋2D＋F＝0 ，解得D＝－2 .
32＋3E＋F＝0
E＝－3
∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x－3y＝0.
3．已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是__(_－__2_，__－__4_)___，半径是___5____.
【解析】 由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆， 故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．
因为 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)． 又因为 B、C 不能为一直径的两个端点， 所以x＋2 3≠4，且y＋2 5≠2， 即点 C 不能为(5，－1)．
故端点 C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5) 和(5，－1))，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径 的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
－D2 ＝－E2 ∴2－D＋E＋F＝0
10＋D＋3E＋F＝0
D＝－2
，∴E＝－2 . F＝－2
∴所求圆的一般方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
规律方法 求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程． 步骤如下：
【高中课件】数学412 圆的一般方程共31张PPT课件ppt.ppt
3D＋4E－F－25＝0
F＝－15
故所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
• [例3] 自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB， 求弦AB的中点轨迹方程．
• 本节学习重点：由圆的一般方程求圆心和半径及 一般二元二次方程表示圆的条件．
• 本节学习难点：据所给条件，求圆的方程．
任何一个圆的方程都可以写成一般方程：x2＋y2＋Dx
＋Ey＋F＝0.反之，这个方程并不一定表示圆，它可能只
表示一个点(D2＋E2－4F＝0 时)，也可能不表示任何图形
(D2＋E2－4F<0 时)；只有当 D2＋E2－4F>0 时，它才表示
＝32，圆心(－2,3)，半径
r＝
6 2.
• 已知方程x2＋y2－2(m－1)x－4my＋6m2－4m＋1 ＝0表示圆．
• (1)m的取值范围为________； • (2)圆心的轨迹方程为________． • [答案] (1)(0,2) (2)2x－y＋2＝0(－1<x<1) • [解析] 配方得，[x－(m－1)]2＋(y－2m)2 • ＝－m2＋2m. • (1)∵方程表示圆，∴－m2＋2m>0，∴0<m<2.
半径 r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
• 总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的 性质的解法3比用待定系数法的解法1和解法2计 算量小，充分利用圆的性质可简化解题过程．
• 2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知 条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐 标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程， 求出a、b、r即可．②如果给出圆上三个点坐标 或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一般采 用一般方程，求出D、E、F即可．
4.1.3圆的一般方程及曲线的方程
解 设所求圆的方程为
2 2
x y Dx Ey F 0 若已知条件涉及圆心和半径 , D 8 其中D, E, F 待定. F 0 我们一般采用圆的标准方程较简单 . E6. 解得 由题意得 D E F 2 0 ,
4 D 2 E F 20 0
练习：求经过三点(0,0), (2,2), (4,0) 的圆的方程.
练习、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为 4m，求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以圆拱所对的的弦 所在的直线为x轴，弦 y P （0 ，4 ） 的中点为原点建立如图 所示的坐标系，设圆心 坐标是（0，b）圆的半 x O 径是r ,则圆的方程是 A （-10，0） B （10，0） x2+(y-b)2=r2 。 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
的切线方程为 x0 x y0 y r 2 2 (2)求圆x y 1, 斜率为 1的切线方程 . 解: 设所求切线方程为 y x b.
2
|b| 则 1 y x 2. b 2 2 2 2 (3)求圆x y 1, 在y轴上的截距为 2的切线方程
y kx 2. 解: 设所求切线方程为
有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件 才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆 的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。
(5)如何利用圆的标准方程解决实际问题?
求曲线方程的步骤
选系取动点,找等量，列方程,化简
2 2
x y Dx Ey F 0 若已知条件涉及圆心和半径 , D 8 其中D, E, F 待定. F 0 我们一般采用圆的标准方程较简单 . E6. 解得 由题意得 D E F 2 0 ,
4 D 2 E F 20 0
练习：求经过三点(0,0), (2,2), (4,0) 的圆的方程.
练习、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为 4m，求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以圆拱所对的的弦 所在的直线为x轴，弦 y P （0 ，4 ） 的中点为原点建立如图 所示的坐标系，设圆心 坐标是（0，b）圆的半 x O 径是r ,则圆的方程是 A （-10，0） B （10，0） x2+(y-b)2=r2 。 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
的切线方程为 x0 x y0 y r 2 2 (2)求圆x y 1, 斜率为 1的切线方程 . 解: 设所求切线方程为 y x b.
2
|b| 则 1 y x 2. b 2 2 2 2 (3)求圆x y 1, 在y轴上的截距为 2的切线方程
y kx 2. 解: 设所求切线方程为
有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件 才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆 的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。
(5)如何利用圆的标准方程解决实际问题?
求曲线方程的步骤
选系取动点,找等量，列方程,化简
课件9：4.1.2 圆的一般方程
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0. 设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则 x1＋x2＝－D，x1x2＝F. ∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 即 D2－4F＝36.③
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0. 由 ①②③得 D＝12，E＝－22，F＝27， 或 D＝－8，E＝－2，F＝7. 故所求圆的方程为 x2＋y2＋12x－22y＋27＝0， 或 x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. －32，＋∞
【解析】 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2， 只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才能表示圆． 【答案】 A
3．若方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示以(2，－4)为圆心， 4 为半径的圆，则 F＝________. 【解析】 以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为 (x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故 F＝4. 【答案】 4
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－a2，－a，半径为12 －3a2－4a＋4的圆．(
)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外， 则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( ) 【解析】 (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即－2<a<23时才表示圆．
2D＋2E＋F＋8＝0，
由题意得5D＋3E＋F＋34＝0， 3D－E＋F＋10＝0，
D＝－8，
解得E＝－2， F＝12，
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
课件1 ：4.1.2 圆的一般方程
的半径．
跟 踪 训 练
(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
+ (−) + + − + =
(−) +(−) + − + − + =
− −∙ −
−=
= ,
∴ቐ = ,
= −,
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
(− , − )
表示一个点____________
F＝0
D2＋E2－4F>0
(− , − )
表示以____________为圆心，以
第四章
圆与方程
§4.1.2 圆的一般方程
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
预习导学
基 础 梳 理
1．圆的一般方程的定义．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________
它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟 踪 训 练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心
在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
课件3：2.4.2 圆的一般方程
3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C，且与直线 x＋y＝0 垂直的
直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0 配方得(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为(－1，0)，故所求直线为 y＝x＋1，即 x－y＋1＝0.
答案：C
4．已知方程 x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R) 表示的图形是圆． (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3，4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围．
(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点， 由中点坐标公式得 x＝x0＋2 3，y＝y0＋2 0， 所以 x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． 将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
2.4.2 圆的一般方程
1
素养目标 1.理解圆的一般方程及其特点； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互 化；(重点、难点) 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方 程．(难点)
学科素养
1.数学运算； 2.数学抽象； 3.直观想象
情境导学
已知圆心(3，－1)，半径为 3，请写出圆的标准方程. 想一想： (1)上述方程能否化为二元二次方程的形式？ (2)若把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开后， 会得出怎样的形式？
当_____D_2_＋__E_2_－__4_F_＞__0_______时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程．
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2020/7/10
过程与方法
➢通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示 圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力。
情感态度与价值观
➢渗透数形结合、化归与转化等数学思 想方法，提高学生的整体素质，激励 学生创新，勇于探索。
2020/7/10
教学重难点重点ຫໍສະໝຸດ ➢圆的一般方程的代数特征，一般方程 与标准方程间的互化，根据已知条件 确定方程中的系数：D、E、F。
圆的一般方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2
2020/7/10
圆的一般方程与标准方程的关系： （1） aD ,bE ,r1D 2E 24F
2 22 （2）标准方程易于看出圆心与半径。
一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项。
新课导入
知识回顾 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
2020/7/10
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2),2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2),5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) (-a,2|a),|
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
2020/7/10
思考
方程 x2y22 x4 y10表示什么图形？ 对方程 x2y22 x4 y10配方，可得
(x 12)(y 22)4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
2020/7/10
方程 x2y22 x4 y60表示什么图形？
对方程 x2y22 x4 y60配方，可得
注意不是a， 而是|a|.
2020/7/10
4.1.2 圆的一般方程
2020/7/10
教学目标
知识与能力
➢在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一 般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心 半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 条件。 ➢能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标 准方程，能用待定系数法求圆的方程。 ➢培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
x3 x6
2020/7/10
。B A •P
•c
。 O 3x
化简得： x2y23 x 2 y 1 80
所以所求轨迹为圆 x2y23 x 2 y 1 80
在已知圆内的一段弧（不含端点）。 y
。B
A •P
•c
•-6
。
O 3x
2020/7/10
求曲线轨迹的问题的关键是找出点P（x，y） 与已知点之间的位置关系，在本题中就是与M，C 之间的坐标关系：
2020/7/10
解这个方程组，得
D 6E ,8F ,0.
所求圆的方程为：
x2y26 x8y 0
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为 r1 D2E24F5 2
2020/7/10
求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤： ①根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。 ②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E，F 的方程。 ③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入 方程，就得到要求的方程。
(
D 2
,
E 2
)
为圆
2
2020/7/10
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组实数解
， xD,yE表, 示一个点 ( D , E )
2
2
22
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以 不表示任何图形。
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E24F>0）可表示圆的方程。
2020/7/10
2020/7/10
例四
求过三点A（0，0），B（6，0），C（3，1） 的圆的方程。
分析：由于A，B，C三点不在同一条直线上， 因此经过A，B，C三点有唯一的圆。
解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0, 36 6D F 0, 9 1 3D E F 0。
2020/7/10
注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别： 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而 轨迹是对几何图形的描述。如例六中， M的轨迹方程是 x2y22 x30 M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
(x 12)(y 22)-1, 由于不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所 以这个方程不表示任何图形。
2020/7/10
探究
方程 x2y2Dx E y F0在什么条件下
表示圆？
配方可得：(x D)2(y E)2D 2E24F
2
2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以 心，以 1 D2 E2 4F为半径的圆;
难点
➢对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
2020/7/10
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得 x 2 y 2 2 a 2x b a 2 b y 2 r 2 0
由于a, b, r均为常数 令 2 a D 2, b E a 2 ,b 2 r 2 F 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
2020/7/10
例五
过点M（-6，0）作圆 C：x2y26 x4 y90 的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的 轨迹。
解：圆的方程可化为 (x 32)(y 22)4
∴其圆心为C（3，2）半径为2.
y
设P（x，y）是轨迹上任意一点 CPMP
kCPkMP 1 即：y 2 y 1
•-6
2020/7/10
由以上过程可知，满足条件 M {M ||M A |2|M O |}.
的点满足方程 x2y22 x30
反过来，坐标满足 x2y22 x30的点也满足
(x3)2y22x2y2。
即满足条件 M {M |M | | 2 |A M |}O .
因此所求点M的轨迹方程是 x2y22 x30 即 (x12)y24 点M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
y2 y 1 x3 x6
2020/7/10
例六 1
求点M过的点轨M迹与方两程个。定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是 3 设点M的坐标为（x,y）,根据题意有
M { M ||M A | 2 |M O |} 。
因为O(0,0),A(3,0)，所以有
(x3)2y22x2y2。
化简，得 x2y22 x30
过程与方法
➢通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示 圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力。
情感态度与价值观
➢渗透数形结合、化归与转化等数学思 想方法，提高学生的整体素质，激励 学生创新，勇于探索。
2020/7/10
教学重难点重点ຫໍສະໝຸດ ➢圆的一般方程的代数特征，一般方程 与标准方程间的互化，根据已知条件 确定方程中的系数：D、E、F。
圆的一般方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2
2020/7/10
圆的一般方程与标准方程的关系： （1） aD ,bE ,r1D 2E 24F
2 22 （2）标准方程易于看出圆心与半径。
一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项。
新课导入
知识回顾 圆的标准方程: (x a2)(y b2)r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
2020/7/10
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2),2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2),5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) (-a,2|a),|
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
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思考
方程 x2y22 x4 y10表示什么图形？ 对方程 x2y22 x4 y10配方，可得
(x 12)(y 22)4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
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方程 x2y22 x4 y60表示什么图形？
对方程 x2y22 x4 y60配方，可得
注意不是a， 而是|a|.
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4.1.2 圆的一般方程
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教学目标
知识与能力
➢在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一 般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心 半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 条件。 ➢能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标 准方程，能用待定系数法求圆的方程。 ➢培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
x3 x6
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。B A •P
•c
。 O 3x
化简得： x2y23 x 2 y 1 80
所以所求轨迹为圆 x2y23 x 2 y 1 80
在已知圆内的一段弧（不含端点）。 y
。B
A •P
•c
•-6
。
O 3x
2020/7/10
求曲线轨迹的问题的关键是找出点P（x，y） 与已知点之间的位置关系，在本题中就是与M，C 之间的坐标关系：
2020/7/10
解这个方程组，得
D 6E ,8F ,0.
所求圆的方程为：
x2y26 x8y 0
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为 r1 D2E24F5 2
2020/7/10
求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤： ①根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。 ②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E，F 的方程。 ③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入 方程，就得到要求的方程。
(
D 2
,
E 2
)
为圆
2
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（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组实数解
， xD,yE表, 示一个点 ( D , E )
2
2
22
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以 不表示任何图形。
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E24F>0）可表示圆的方程。
2020/7/10
2020/7/10
例四
求过三点A（0，0），B（6，0），C（3，1） 的圆的方程。
分析：由于A，B，C三点不在同一条直线上， 因此经过A，B，C三点有唯一的圆。
解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0, 36 6D F 0, 9 1 3D E F 0。
2020/7/10
注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别： 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而 轨迹是对几何图形的描述。如例六中， M的轨迹方程是 x2y22 x30 M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
(x 12)(y 22)-1, 由于不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所 以这个方程不表示任何图形。
2020/7/10
探究
方程 x2y2Dx E y F0在什么条件下
表示圆？
配方可得：(x D)2(y E)2D 2E24F
2
2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以 心，以 1 D2 E2 4F为半径的圆;
难点
➢对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
2020/7/10
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得 x 2 y 2 2 a 2x b a 2 b y 2 r 2 0
由于a, b, r均为常数 令 2 a D 2, b E a 2 ,b 2 r 2 F 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
2020/7/10
例五
过点M（-6，0）作圆 C：x2y26 x4 y90 的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的 轨迹。
解：圆的方程可化为 (x 32)(y 22)4
∴其圆心为C（3，2）半径为2.
y
设P（x，y）是轨迹上任意一点 CPMP
kCPkMP 1 即：y 2 y 1
•-6
2020/7/10
由以上过程可知，满足条件 M {M ||M A |2|M O |}.
的点满足方程 x2y22 x30
反过来，坐标满足 x2y22 x30的点也满足
(x3)2y22x2y2。
即满足条件 M {M |M | | 2 |A M |}O .
因此所求点M的轨迹方程是 x2y22 x30 即 (x12)y24 点M的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为2的圆。
y2 y 1 x3 x6
2020/7/10
例六 1
求点M过的点轨M迹与方两程个。定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是 3 设点M的坐标为（x,y）,根据题意有
M { M ||M A | 2 |M O |} 。
因为O(0,0),A(3,0)，所以有
(x3)2y22x2y2。
化简，得 x2y22 x30