浙江省2+2考试
浙江省2024年初中学业水平考试(浙江统考)(二)(原卷版)
浙江省2024年初中学业水平考试(浙江统考)科学试题卷（二）考生须知:1.全卷共四大题。
考试时间为120分钟。
总分160分。
2.请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.本卷可能用到的相对原子质量:H一1 C一12 N一14 O-16 Na-234.本卷计算中g取10牛/千克。
卷I一、选择题(本大题共有15小题,每小题3分,共45分。
每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均不给分)1．入冬之后，温州各处的银杏树叶逐渐变黄，吸引大量游客。
小明在欣赏美景时提出很多问题，其中不属于科学问题的是（）A．入冬之后银杏叶为什么会变黄B．入冬之后银杏为什么会落叶C．不同地点的银杏叶变黄时间为何不同D．哪个季节的银杏叶更有观赏价值2．支原体肺炎是由单细胞生物﹣肺炎支原体引起的肺部疾病，初期可用抗生素治疗。
肺炎支原体会黏附于宿主的呼吸道上皮细胞表面，吸取养料。
以下对肺炎支原体的判断错误的是（）A．肺炎支原体一定具有细胞膜B．肺炎支原体可能具有叶绿体C．肺炎支原体对抗生素会产生反应D．肺炎支原体会在呼吸道内生长繁殖3．手影是一种光影游戏，在光的照射下展示各式各样活灵活现的动物形象，如图是“豹子”的手影。
手影形成的原因是（）A．光沿直线传播B．光的反射C．平面镜成像D．光的折射4．如图所示的地质构造或地貌景观中，主要由内力作用形成的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．中国芯片蚀刻技术国际领先，NF 3进行硅芯片蚀刻时的产物均为气体，在蚀刻物表面不留任何残留物，该反应的微观示意图如图所示，下列说法不正确的是（ ）A ．该反应前后原子的数目不变B ．丙中硅、氟元素的质量比为7：19C ．丁在常温常压下是一种非金属气态单质D ．该反应后生成的丙和丁的微粒数之比为1：16．用水葫芦制取的乙醇（C 2H 5OH ），在内燃机中反应的微观示意图部分如图，下列说法错误的是（ ）A ．上述反应的化学方程式是：C 2H 5OH+3O 2点燃¯2CO 2+3H 2OB ．乙醇在内燃机中的能量转化方式为：化学能→热能→机械能C ．乙图用力迅速下压硝化棉燃烧与甲冲程能量转化相同D ．图中甲冲程属于做功冲程7．结构决定性质，性质决定用途。
浙江省普通高校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
浙江省普通高校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>2．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 3．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）AB．2C ．52D ．544．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．995．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．156．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]7．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5 B ．22C ．4D ．169．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,1011．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高三下第二次检测试题考试数学试题
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高三下第二次检测试题考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+2．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．323．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤5．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．43C 23D ．236．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞7．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞8．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．19．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞10．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题(含解析)
浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知z C ∈，则“2R z ∈”是“R z ∈”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件2．已知集合{{,M x y N y y ===，则M N ⋂=（ ）A ．∅B ．RC ．MD ．N3．在正三棱台111ABC A B C -中，下列结论正确的是（ ）A ．1111113ABC A B C A BB C V V --=B ．1AA ⊥平面11AB C C ．11A B B C⊥D ．1AA BC⊥4．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<5．在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为（ ）A ．64-B ．64C ．32-D ．326．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增．若55a =，则d ∈（ ）A ．50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．100,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．100,7⎛⎫⎪⎝⎭7．若关于x 的方程22112x mx x mx mx +++-+=的整数根有且仅有两个，则实数m 的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．55,22,22⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．55,22,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知定义在()0,1上的函数()()1,,1,m x m n f x n n x ⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数是互质的正整数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于12x =对称B ．()f x 的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在()0,1单调递增D ．()f x 有最小值二、多选题9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，()3,4P -为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，则（ ）A ．()3cos π5α+=B ．()π2π22k k βα=++∈Z C ．7tan 24β=D ．角β的终边在第一象限10．已知圆221:6C x y +=与圆222:20C x y x a ++-=相交于,A B 两点．若122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（ ）A ．10B ．2C ．223D ．14311．已知半径为r 球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d ，则（ ）A ．r 有最大值，但无最小值B ．r 最大时，球心在正四面体外C ．r 最大时，d 同时取到最大值D ．d 有最小值，但无最大值三、填空题12．平面向量,a b满足()2,1a = ，a b ，a b ⋅= ，则b = ．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB BC CD AD ===，点E 是AD 的中点．现将ABE 沿BE 翻折到A BE ' ，将DCE △沿CE 翻折到D CE '△，使得二面角A BE C '--等于60︒，D CE B '--等于90︒，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于 ．14．已知P ，F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>与抛物线()220y px p =>的公共点和公共焦点，直线PF 倾斜角为60 ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．16．已知直线y kx =与椭圆22:14xC y +=交于,A B 两点，P 是椭圆C 上一动点（不同于,A B ），记,,OP PA PB k k k 分别为直线,,OP PA PB 的斜率，且满足OP PA PB k k k k ⋅=⋅．(1)求点P 的坐标（用k 表示）；(2)求OP AB ⋅的取值范围．17．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x （万元）与年收益y （万元）的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4(1)用ln y b x a =+模拟生产食品淀粉年收益y 与年投入资金x 的关系，求出回归方程；(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线ˆˆˆu bv a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii v u nv ubvnv ==-⋅=-∑∑，ˆˆa u bv =-⋅②81ii y=∑81ln ii x=∑821ii x=∑()128ln i i x =∑81ln i ii y x=∑1612920400109603③ln20.7,ln5 1.6≈≈18．数列{}{},n n a b 满足：{}n b 是等比数列，122,5b a ==，且()()*1122238N n n n n a b a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-+∈．(1)求,n n a b ；(2)求集合()(){}*0,2,N i i A x x a x b i n i =--=≤∈中所有元素的和；(3)对数列{}n c ，若存在互不相等的正整数()12,,,2j k k k j ⋅⋅⋅≥，使得12j k k k c c c ++⋅⋅⋅+也是数列{}n c 中的项，则称数列{}n c 是“和稳定数列”．试分别判断数列{}{},n n a b 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．19．如图，对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线1y x=的曲率半径的最小值；(3)若曲线e x y =在()11,e x x 和()()2212,e xx xx ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x +<-．参考答案：1．B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知2i R z z =⇒∈，所以不满足充分性，而2R R z z ∈⇒∈，满足必要性.故选：B 2．D 【分析】根据题意，由集合交集的运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，{[)1,M x y ∞===-+，{[)0,N y y ∞===+，则[)0,N M N ⋂=+∞=.故选：D 3．D 【分析】对于A ：求出体积，然后作差确定大小；对于BC ：举例说明其错误；对于D ：通过证明BC ⊥面1A ADP 来判断.【详解】设正三棱台111ABC A B C -上底面边长为a ，下底面边长为b ，a b <，高为h ，对于A ：1112213ABC A B C V h -⎫=⎪⎪⎭三棱台，111213A BB C V h -=，则111111222133ABC A B C A BB C V V h h --⎫-=++-⎪⎪⎭()222222220h b a ab a ⎫==-+->⎪⎪⎭，即1111113ABC A B C A BB C V V -->，A 错误；对于B ：由正三棱台的结构特征易知11AA B ∠为钝角，所以1AA 与1AB 不垂直，所以1AA 与面11AB C 不垂直，B 错误；对于C ：（反例）假设该棱台是由正四面体被其中截面所截后形成的棱台，则11120A B B ∠=，若2b a =，1BB a =，所以()()21111111111111A B B C A B B B B B BC A B B B A B BC B B B B BC⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅ 2222102a a a a =-+-≠，即1A B 与1B C 不垂直，C 错误；对于D ：取BC 中点D ，11B C 中点P ，连接1,,AD DP A P ，则,BC AD BC PD ⊥⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂面ADP ，所以BC ⊥面ADP ，同理11B C ⊥面1A DP ，又11//BC B C ，所以BC ⊥面1A DP ，则面ADP 与面1A DP 是同一个面（过一点只有一个平面与已知直线垂直）所以BC ⊥面1A ADP ，又1A A ⊂面1A ADP ，所以1AA BC ⊥.故选：D.4．B 【分析】构造函数sin y x x =-，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，所以sin0.50.5a =<，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31=>=且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<，又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B5．A【分析】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，利用赋值法计算可得.【详解】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+，令=1x -可得0123456128a a a a a a a -+-+-+=，所以1350128642a a a -++==-，即在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为64-.故选：A 6．A 【分析】因为数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数，由此可求d 得取值范围.【详解】因为{}n a 为等差数列，且55a =，所以()55n a n d =+-，又数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数.由()25250a d =+->⇒53d <.因为0n a >()2n ≥恒成立，所以数列{}n a 为常数数列或递增数列，所以0d ≥.综上，50,3d ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：A 7．C 【分析】设2,1A mx B x ==+，利用绝对值三角不等式得||||2||B A B A A ++-≥，()()0A B B A +-≤时等号成立，进而有422(2)10x m x +-+≤且整数根有且仅有两个，对于22()(2)1f t t m t =+-+，应用二次函数性质及对称性有0∆≥且2224t x =<=，得(4)0f >，即可求参数范围.【详解】设2,1A mx B x ==+，则原方程为||||2||B A B A A ++-=，由||||||||||2||B A B A A B A B A B A B A ++-=++-≥++-=，当且仅当()()0A B A B +-≥，即()()0A B B A +-≤时等号成立，所以22222()()(1)()0A B B A B A x mx +-=-=+-≤，整理得422(2)10x m x +-+≤①，显然0x =不满足，令2t x =，即22(2)10t m t +-+=必有两根，且1210t t =>，故12,t t 为两个正根，所以2222(2)4(4)0m m m ∆=--=-≥，可得2m ≤-或2m ≥，对于22()(2)1f t t m t =+-+，有2(1)40f m =-≤，即21t x ==，即1x =±恒满足①，要使①中整数根有且仅有两个，则对应两个整数根必为1±，若整数根为12,x x 且12x x <，则12202x x -<<<<，即2222112224,24t x t x =<==<=，所以2(4)2540f m =->，得5522m -<<，综上，55,22,22m ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：C【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式的等号成立得到422(2)10x m x +-+≤，且整数根有且仅有两个为关键.8．A【分析】利用特殊值可排除B 、C ，利用函数的性质可确定A 、D.【详解】对于BC ，由题意可知：13122f f ⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎭⎝⎭，显然()f x 的图象不关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，而3122<-，故B 、C 错误；对于D ，若x 为有理数，则()1f x n=，显然n →+∞，函数无最小值，故D 错误；对于A ，若mx n=是有理数，即(),m n m n <互质，则,n m n -也互质，即1m n m f f n n n -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若x 为无理数，则1x -也为无理数，即()()11f x f x =-=，所以()f x 的图象关于12x =对称，故A 正确.下证：,m n 互质，则,n m n -也互质.反证法：若,m n 互质，,n m n -不互质，不妨设,n m ka n kb -==，则(),m k b a n kb =-=，此时与假设矛盾，所以,n m n -也互质.故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A 、B ，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.9．ACD 【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，所以：5OP =，所以4sin 5α=，3cos 5α=-，所以()3cos πcos 5αα+=-=，故A 对；又4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：724,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，所以角β的终边与单位圆的交点为247,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以7tan 24β=，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y x =-的角为：ππ,4k k -∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y x =-对称，所以2ππ24k αβ+=-⇒π2π22k βα=--()k ∈Z ，故B 错误.故选：ACD 10．BD 【分析】根据题意，由条件可得弦AB 所在的直线方程，然后将122C AB C AB S S =△△转化为圆心到直线AB 的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得弦AB 所在的直线方程为12:260C C x a -+-=，因为圆221:6C x y +=，圆心()10,0C ，圆222:20C x y x a ++-=，圆心()21,0C -，设圆心()10,0C 与圆心()21,0C -到直线AB 的距离分别为12,d d ，因为122C AB C AB S S =△△，即1211222AB d AB d ⋅=⨯⋅，所以122d d =，又12d2320280a a -+=，即()()31420a a --=，解得2a =或143a =.故选：BD 11．ABD【分析】求出r 的取值范围可判断A ，B ；设1OO x =，根据题意得到d 关于x 的表达式，构造函数()f x x =+()f x 求导，得到()f x 的单调性和最值可判断C ，D.【详解】对于AB ，设球心为O ，正四面体为A BCD -，BCD △的中心为1O ，则O 在1AO上，AH ==，123DO ==球与平面ACD ，平面ABC ，平面ABD 相切，与平面ABC 相切于点2O，113HO ==，1AO ==因为2r OO =，在1Rt AO H中，111tan O H O AH AO ∠==，则1sin 31O AH ∠=所以在2Rt AOO △中，2212tan r OO AO O AH AO ==∠=，因为2AO ⎛∈ ⎝，所以2r AO ⎛=∈ ⎝，r 有最大值，但无最小值，故A 正确；当max r =，此时13sin r AO r O AH ===>∠r 最大时，球心在正四面体外，故B 正确；对于CD ，设1OO x =，AO x =，OD ==所以3d OA OD x =+=-+，令()f x x =-+令()10f x =-=='，解得：x =或x =，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝上单调递减，当x ∈时，()0f x '>，()f x在上单调递减，所以当x =时，()max f x =，所以d 有最小值，但无最大值，故D 正确，C 错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题CD 选项解决的关键在于，假设1OO x =，将d 表示为关于x 的表达式，再利用导数即可得解.12【分析】根据题意，设向量(),b x y = ，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到b的坐标，从而得到结果.【详解】设向量(),b x y = ，由a b可得21x y =，又a b ⋅=，则2x y +=解得x =y =，则b ⎛= ⎝ ，所以b ==13【分析】根据图象可得直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，设2AB a =，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.【详解】设2AB a =，取CE 的中点K ,连接,BK A K ',由题知平面BCE ⊥平面D CE ',平面BCE 平面D CE CE '=,又BK ⊂平面BCE ,BK CE ⊥所以BK ⊥平面D CE '，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，易求得,BK A C '==，2225cos 28EA EC A C A EC EA EC +-''⋅'=='∠,又2225cos 28EA EK A K A EC EA EK +-''⋅'=='∠,解得A K '=，222cos 2A B BK A K A BK A B BK +-'⋅''=='∠则sin A BK ∠=='所以直线A B '与平面D CE '142【分析】由题意2pc =，根据直线PF 倾斜角为60 得直线PF的方程为)y x c -，联立24y cx =得P 点坐标，代入双曲线方程即可得离心率.【详解】因为F 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>与抛物线()220y px p =>的公共焦点，所以2pc =，故24y cx =，因直线PF 倾斜角为60 ，故直线PF的斜率为k =PF的方程为)y x c =-，联立24y cx =，得()234x c cx -=，即2231030x cx c -+=，得3x c =或13x c =，当3x c =时，2212y c =，代入22221x y a b-=得22229121c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得4292210e e -+=，解得2e =，又因1e >，得e =当13x c =时，2243y c =，代入22221x y a b -=得222214931c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得422290e e -+=，解得211e =±1e >，得2e =+2.15．(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B =得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =， ，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A .又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =，114sin 2223S ac B ∴==⨯=.16．(1)(P或P （0k ≠）；(2)(4,5].【分析】（1）设出点,A P 的坐标，利用点差法求得14OP k k ⋅=-，再联立直线y kx =与椭圆方程求解即得.（2）利用（1）的结论求出||,||OP AB ，再借助基本不等式求出范围即可.【详解】（1）依题意，点A 、B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y P x y ，则()11,B x y --，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+，于是14OP k k ⋅=-，由22440y kx x y =⎧⎨+-=⎩，整理得22(14)4k x +=，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩用14k -代替上述坐标中的k ，得(P或P （0k ≠）.（2）由（1）得，0k ≠，OP AB ⋅====221168816k k ++≥=，当且仅当12k =±时取等号，显然2292511116168k k <+≤++，所以45OP AB <⋅≤，即OP AB ⋅的取值范围是(4,5].17．(1)5ln 2ˆyx =+(2)36.5【分析】（1）利用回归直线的公式求ˆb和ˆa 的值，可得回归方程.（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.【详解】（1）()()()()88881111882222211ln 29161ln 8ln ln 860388888529ln 8ln ln 81098ˆln 8iii i i ii ii i iii i x yx y x yx y bx xx x======-⋅-⋅-⨯⨯====⎛⎫---⨯ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑1ˆˆ6129ln 5288y ab x =-⋅=-⨯=∴回归方程为：5ln 2ˆyx=+（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产x 万元，预计收益y （万元）()15ln 220010y x x =++-⋅，0200x ≤≤515001010x y x x-=-=>'，得50x <∴其在()0,50上递增，()50,200上递减()()max 5ln5021552ln5ln21752 1.60.71736.5y =++=++≈⨯⨯++=18．(1)31n a n =-，2nn b =(2)()2log 61122212462433n n n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦++--(3)数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈，数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由见解析【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出{}n b 的通项公式，由已知和求通项可得{}n a 的通项公式，（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.【详解】（1）()1111238a b a b =-+ ，112,2b a =∴=又()11222223a b a b a b +=-，1122,2,5b a a =∴==，解得：24b =因为{}n b 是等比数列，所以{}n b 的公比212b q b ==，2n n b ∴=又当2n ≥时，()11221111238n n n n a b a b a b a b ----++⋅⋅⋅+=-+，作差得：()()112323n n n n n n a b a b a b --=---将2nn b =代入，化简：()()1233n n n a a a -=---，得：()132n n a a n --=≥{}n a ∴是公差3d =的等差数列，()1131n a a n d n ∴=+-=-（2）记集合A 的全体元素的和为S ，集合{}122,,,n M a a a =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22261262n n n A n n -+==+，集合{}122,,,n N b b b =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22122122212nn n B +-==--，集合M N ⋂的所有元素的和为T ，则有22n n S A B T =+-对于数列{}n b ：当()*21N n k k =-∈时，()()2121*2123131N k k k b p p ---==-=-∈是数列{}n a 中的项当()*2N n k k =∈时，()()*221223132N k k b b p p p -==-=-∈不是数列{}n a 中的项1321k T b b b -∴=++⋅⋅⋅+，其中()()21222212log 611log 61122k n k n b a n n k b a -+≤⎧---+⇒<≤⎨>⎩即()2log 6112n k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）()()()2log 61122142241411433n k kT ⎡-+⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪∴==-=--⎪⎝⎭()2log 61122212462433n n S n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦∴=++--（3）①解：当()*3,N j m m =∈时，12j k k k a a a ++⋅⋅⋅+是3的正整数倍，故一定不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =-∈时，()121mod3j k k k a a a ++⋅⋅⋅=+，不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =+∈时，()122mod3j k k k a a a +++= ，是数列{}n a 中的项；综上，数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈；②解：数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：121j k k k ≤<<⋅⋅⋅<，则12j j k k k k b b b b ++⋅⋅⋅+>，且121112121222222j j j j j j kk k k k k k k b b b b b b b +++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-<=故12j k k k b b b ++⋅⋅⋅+不是数列{}n b 中的项.数列{}n b 不是“和稳定数列”.19．(1)221124x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出b 即可；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ，根据所给定义表示出r ，再由基本不等式计算可得；（3）依题意函数e x y =的图象在(),e xx 处的曲率半径()322e 1e xxr +=，即242333e e x x r -=+，从而得到112242423333e e e e x x x x --+=+，令1231e xt =，2232e xt =，即可得到()12121t t t t +=，再由基本不等式证明即可．【详解】（1）记()2f x x =，设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，其中b 为曲率半径．则()2f x x '=，()2f x ''=，故()()231200b f b b ===-''，232r b =，即12b =，所以抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ．则法一：()()()0002030x a f x y b r f x b y -⎧=-⎪-⎪⎨'''⎪=⎪-⎩，由()()22200x a y b r -+-=知，()()220201r f x y b ⎡⎤+='⎣⎦-，所以(){}()322001f x r f x ⎡⎤+='''⎣⎦ ，故曲线1y x=在点()00,x y 处的曲率半径3222030112x r x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=，所以3340220220301111242x r x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+≥ ⎪⎝⎭，则2212333020122r x x -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则322020112r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =法二：()0202330012x a x y b r x b y -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩r ，所以23001323013022x ry b r x a x ⎧⋅⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪⎩，而()()4423322200022233022x r r r x a y b x ⋅=-+-=+⋅，所以2223302012r x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程可得322020112r x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3220201124r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =（3）法一：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，故242333e e x x r -=+，由题意知：112242423333eeeex x x x --+=+ 令12223312,e ex x t t ==，则有22121211t t t t +=+，所以22122111t t t t -=-，即()()12121212t tt t t t t t --+=，故()12121t t t t +=．因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以()()123212121212122e x x t t t t t t t t +=+>⋅==，所以12ln2x x +<-．法二：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=，有()3224222e 1e 3e 3e e x x x xx r -+==+++令122212,e e x x t t ==，则有22112212113333t t t t t t +++=+++， 则()121212130t t t t t t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，故1212130t t t t ++-= ， 因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以有12121211033t t t t t t =++->-，令t ，则21230t t +-<，即()3220231(1)21t t t t >+-=+-， 故12t <，所以1212e x x t +==<，即12ln2x x +<-；法三：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=． 故242333e e x xr =+设()4233e e x x g x =+，则()()4222333422e e e 2e 1333x x x x g x ---='=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0g x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0g x '>，所以()g x 在1,ln22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2g x g x g x =>-- 将12ln2x x +<- ，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2g x g x >--，设函数()()()ln2G x g x g x =---（其中1ln22x >-），则()()()()21423332ln22e 1e 2e 03x x x G x g x g x --⎛⎫=+--=--⋅> ⎪'⎝⎭'，故()G x 单调递增，()1ln202G x G ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故()()22ln2g x g x >--，所以12ln2x x +<-．法四：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1ex x r +=， 有()3224222e 1e 3e 3e e x x x x x r -+==+++，设()422e 3e 3e x x x h x -=+++．则有()()()24222224e 6e 2e 2e e 12e 1x x x x x x h x --=+-+'=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0h x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0h x '>，故()h x 在1,ln 22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln 2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增．故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2h x h x h x =>--．将12ln2x x +<-，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2h x h x >--，设函数()()()ln2H x h x h x =---（其中1ln22x >-），则()()()()222411ln22e 11e e 024x x x H x h x h x --''⎛⎫=+--=-++> ⎪⎝⎭'，故()H x 单调递增，故()1ln202H x H ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ ，故()()22ln2h x h x >--，所以12ln2x x +<-．【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.。
浙江省教育考试院关于做好XXX年专升本和“2+2”选拔招生考试工作
浙江省教育考试院关于做好XXX年专升本和“2+2”选拔招生考试工作各高等学校：我省2020年连续开展选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习〔以下简称〝专升本〞〕和选拔优秀本科生转入部分高校重点专业学习〔以下简称〝2+2〞选拔〕工作。
现将«浙江省2020年专升本工作实施细那么»和«浙江省2020年〝2+2〞选拔工作实施细那么»印发给你们，请按以下要求贯彻执行。
一、严格执行考试治理规定，严肃考风考纪，确保考试安全。
考试安全是考试招生工作的第一要务。
各招生院校要高度重视，严格执行考试治理工作规定，制订具体实施方法，认真落实安全保密各项要求，杜绝试卷命制、印刷、运输、保管等过程中责任事故的发生，确保试卷安全万无一失。
要加强考试工作的制度化、规范化、精细化治理，工作人员未经培训不得上岗。
二、加大信息公布力度，完善监督制度，确保公平选拔。
信息公布是结果公平的基础，也是对过程公平的有力监督。
要认真贯彻公平竞争、公平选拔、公布透亮原那么，加大信息公布力度，做到招生打算、考试大纲、录用规那么、录用结果信息公布，确保考生可在选拔考试各时期了解和查询到相关信息。
强化内部监督，各院校纪检部门要对选拔考试录用工作全程参与、全程监督。
招生高校不得举办任何形式的辅导班。
各举荐学校要严格把关，严禁弄虚作假。
对在选拔过程中显现舞弊等违法、违规行为，一经查实，参照教育部有关规定予以严肃处理。
三、做好宣传发动工作。
各招生院校要切实结合本校相关招生专业特色，拓展宣传渠道，加大宣传力度，吸引优秀考生报考。
其他院校要从大局动身，主动做好优秀学生的宣传发动工作，积极配合招生院校共同做好这项改革试点工作。
2021年起，专升本将实行平行理想，具体方案另行公布。
附件：1.浙江省2020年专升本工作实施细那么2.浙江省2020年一般高校专升本分校分专业打算3.浙江省2020年一般高校专升本选拔考试考生登记表4.浙江省2020年一般高校专升本选拔考试考生花名册5.浙江省2020年〝2+2〞选拔工作实施细那么6.浙江省2020年〝2+2〞选拔分专业打算表7.浙江省2020年〝2+2〞选拔考试考生登记表8.浙江省2020年〝2+2〞选拔考试考生花名册2020年1月27日附件1：浙江省2020年专升本工作实施细那么我省2020年连续开展一般高校专升本工作。
2022年浙江省高考数学试题及答案
【答案】B
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域,平移动直线 后可求最大值.
【详解】不等式组对应得可行域如图所示:
当动直线 过 時 有最大值.
由 可得 ,故 ,
故 ,
故选:B.
4. 设 ,则“ ”昰“ ”得()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
18. 在 中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c．已知 ．
(1)求 得值;
(2)若 ,求 得面积．
19. 如图,已知 和 都昰直角梯形, , , , , , ,二面角 得平面角为 ．设M,N分别为 得中点．
(1)证明: ;
(2)求直线 与平面 所成角得正弦值．
20. 已知等差数列 首项 ,公差 ．记 得前n项和为 ．
故选:D.
7. 已知 ,则 ()
A.25B.5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式 互化,幂得运算性质以及对数得运算性质即可解出．
【详解】因为 , ,即 ,所以 ．
故选:C.
8. 如图,已知正三棱柱 ,E,F分别昰棱 上得点．记 与 所成得角为 , 与平面 所成得角为 ,二面角 得平面角为 ,则()
16. 已知双曲线 左焦点为F,过F且斜率为 得直线交双曲线于点 ,交双曲线得渐近线于点 且 ．若 ,则双曲线得离心率昰_________．
17. 设点P在单位圆得内接正八边形 得边 上,则 得取值范围昰_______．
三、 解答题:本大题共5小题,共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．
故选:C．
6. 为了 得到函数 得图象,只要把函数 图象上所有得点()
2024年浙江省浙派联盟九年级中考第二次考试二模数学试题(含解析)
2024年浙江省初中学业水平考试押题卷（一）数学试题卷考生须知：1．全卷分试题卷I 、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟．2．请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I 的答案在答题卷I 上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效．4．不允许使用计算器．一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（ ）A．B ．C ．D ．5．如图，一根3m 长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A 离地面的高度为1m 时，木头的倾斜角的余弦的值为（ ）1- 1.5-0.5+1+22a a b b =22a b a b a b -=+-11a a b b +=+112325m m m +=AB AC AB αcos α6．某中学个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表植树数目班级数目142571则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（ ）A ．，7B ．，7C ．，D ．，7．不等式组的整数解的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A 、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm ，cm ，那么边扫过的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．89．如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（ ）32030404550607047.55047.56050603112272x x -⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩ABCD AD BC B ABC D ''C 'D B 2AB =4=AD CD 8-4123π-364y x =-+A B k y x=M N MN AM BN =+k10．如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解： ．12．一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 ．13．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm ，则像的长 cm ．\14．如图，是的直径，切于点，的平分线交于点，若，，则的长为 ．15．在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三4ABCD CEFG B C E M AF DM CM CF DM CF CM DG AF24ab a -=72︒MN O F PM NB :2:1OM ON =BN =AB O BC O B ACB ∠AB P 5AC =3BC =OP分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日．16．如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为 ．三、解答题（本题有8小题，共72分，各题都必须写出必要的解答过程）17．计算：18．某同学为了调查人们选择快递公司的原因，制作了如下表的调查报告（不完整）．调查方式随机抽样调查调查对象电商卖家500人普通人500人调查问卷内容选择快递公司的原因（请选择一项在方框内打钩）价格优惠☐ 寄件方便口 配送速度口 服务态度好口调查结果Rt ABC△90C ∠=︒1AC BC ==D BC AD AD D 90︒AB E D C B E ()0202445-︒结合调查信息，回答下列问题：(1)计算扇形统计图中“服务态度好”这一原因的圆心角度数．(2)普通人的500份调查问卷中选择“寄件方便”的有几人？(3)如果你是电商业务员，请说明你会依据哪一项来选择合作的快递公司．19．如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．(1)找出的外接圆的圆心，并求的长．(2)在圆上找点，使得．20．科学实验证明，力的大小是可以测量的，弹簧秤是利用弹簧“受力大，伸长长”的特征制成的．在弹性限度内，实验室某种弹簧的长度与所挂物体质量的图象是如图所示的一条线段．(1)求关于的函数解析式．(2)当弹簧长度为时，所挂重物的质量是多少克？21．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题：(1)经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②；③___________．66⨯ABC ABC ABC O ABC D CB CD =()cm y ()g x y x 14cm 1n a =n a n 1n a =n 00a n ≠⎧⎨=⎩1a n =-⎧⎨⎩为偶数=a(2)若，求的值．22．【作品设计】如图1，是小明为趣味数学课设计的一个．其设计的意思是：三角形具有稳定性，表示大家学习数学的坚定信心，两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性．【数学原理】如图2，是小明设计时的数学原理图．即将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心在直角边上．连接并延长，交于点．【设计制作】为参加评比，需要把作品制作出来．如果要求作品的，，那么小明觉得需要解决以下问题：问题1：需要找多大的圆形材料．问题2：需要知道点离开点的距离和点离开点的距离．【问题解决】(1)求：的半径．(2)求证：．(3)求的长．23．已知二次函数．()22110x x +--=x 1ogo 1ogo O 90CAB CED ∠=∠=︒O AB CO DE F 20cm BC =24cm DC =E B F D O ECF EDC △∽△DF ()243y x m x m =-+++(1)证明该二次函数过一定点．(2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围．(3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值．24．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．利用上述知识解答下列问题．(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．(2)在四边形中，对角线平分．①如图1，若，，求的最小值．②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．11x m ≤≤+y 2m -m (),0A m ()()0,30B m m +>C A B C m ABCD ABD DBC ∠=∠ABCD ABCD BD ABC ∠60ABC ∠=︒4BD =AD CD +AC DC ACE ∠25BDC ∠=︒DAC ∠60ABC ∠=︒AD CD =AC BD E 6BC =AEB △ABCD参考答案与解析1．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答．【详解】解：∵，，∴的位置距离原点最近，故选：C ．2．A【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键．根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，A 中主视图与左视图不相同，符合要求；B 、C 、D 中主视图与左视图相同，不符合要求；故选：A ．3．D【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．【详解】A ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；B ．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；C ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；11, 1.5 1.5,0.50.5,11-=-=+=+=1.5110.5∴->-=+>+0.5+180︒180︒180︒D ．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；故选：D ．4．B【分析】本题考查分式的基本性质，分式加减运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式加减运算法则，本题属于基础题型．根据分式的基本性质和分式加减运算法则，逐项判断即可．【详解】解：A ．，故选项错误，不符合题意；B ．，故选项正确，符合题意；C ．，故选项错误，不符合题意；D ．，故选项错误，不符合题意．故选：B ．5．A【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长．根据题意可以求得的长度，从而可得的值．【详解】解：由题意可知，在中，，，故答案为：A ．6．D【分析】本题考查了中位数，众数．熟练掌握中位数，众数是解题的关键．根据中位数，众数的定义求解作答即可．【详解】解：由题意知，中位数为第位数的平均数即，众数为，故选：D ．7．B180︒22≠a a b b()()22a b a b a b a b a b a b+--==+--11a ab b +≠+1123532666m m m m m+=+=BC BC cos αRt ABC △m m AB AC ==3,1BC ∴===cos BC AB ∴==α1011、5050502+=60【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，故不等式组的解集是，其整数解有1，2，3，4共4个，故答案为：B ．8．A【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，以A 为圆心，的长为半径，作,以B 为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.【详解】解：连接，，以A 为圆心，的长为半径，作,以B 为圆心，的长为半径，作,扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积.由旋转可知，， ，是平行四边形，中，，，3112272x x -⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩①②1x ≥4.5x ≤x ≤≤1 4.5DD 'CC 'AD DD'BC CC'CC D D ''CD DD 'CC 'AD DD'BC CC'CD DD' CC 'C D ''CD CC D D ''CD cm CD C D AB CD C D ''''=== ,2cm AD AD BC ''===4CC D D ''∴Rt ABD ∴BD ===C D BC BD ''∴=-=-4，故答案为：A ．9．C【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵∴如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，∴∴，即∵∴设的横坐标为∴联立即∴(CC D D S CD C D '''∴=⋅=⨯-=- 248MN AM BN =+12MN AB =,M N x ,C D 12CD OB =214x x -=MN AM BN=+12MN AB=,M N x ,C D AO MC ND∥∥AM MN NB OC CD DB ==MN CD AB OB=12MN AB =12CD OB=,M N 12,x x 214x x -=364y x ky x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23604x x k -+-=121248,3kx x x x +==∴解得：故选：C ．10．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．连接并延长交于H ，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答．【详解】解：连接并延长交于H ，四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，，，是直角三角形，为的中点，，在和中，，，，，214x x -===9k =GM AD MAH MFG ∠=∠AHM △FGM △HM GM =AH FG =DH DG =GM AD ABCD CEFG ,,B C E AD GF ∴∥,90MAH MFG CDA ∴∠=∠∠=︒GDH ∴ M AF AM FM ∴=AHM △FGM MAH MFG AM FMAMH FMG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AHM FGM ∴ ≌HM GM ∴=AH FG =是的中点，即，，，即，是等腰直角三角形，所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．故答案为：C ．11．【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．直接运用提公因式法因式分解即可．【详解】故答案为：12．##0.2【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．由图可得红色区域所对的圆心角为，然后根据概率公式可求解．【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，∴；故答案为．13．3【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：由题意得，∴，∵，，M ∴H G DM GH =12AD CD AH FG CG ===,A D A H C D C G∴-=-DG DH =DGH ∴ DG GH DM ()4a b a -24ab a -()4a b a =-()4a b a -1572︒72︒7213605P ︒==︒15PMO BNO ∽△△PMO BNO ∽△△PM OM BN ON=:2:1OM ON =6cm PM =∴，故答案为：3．14．##【分析】过点P 作于点D ，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x 的值，最后求出结果即可．【详解】解：过点P 作于点D ，如图所示：∵是的直径，切于点，∴，∴，∵，，∴，∴，∵的平分线交于点，，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，根据勾股定理得：，∴，()13cm 2BN PM ==120.5PD AC⊥4AB ==PD PB =Rt Rt CPD CPB ≌3CD BC ==PD PB x ==4AP x =-()22242x x -=+PD AC ⊥AB O BC O B AB BC ⊥90ABC ∠=︒5AC =3BC =4AB ==2AO BO ==ACB ∠AB P PD AC ⊥PD PB =PC PC =Rt Rt CPD CPB ≌3CD BC ==532AD =-=PD PB x ==4AP x =-222AP DP AD =+()22242x x -=+解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．15．780【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设主人的马的速度为x 里/日，根据主人追上客人时两人行驶路程相等列方程，即可求解．【详解】解：设主人的马的速度为x 里/日，根据题意，得，解得，即主人骑马的速度为780里/日．故答案为：780．16．【分析】本题考查了轨迹、相似三角形的判定和性质 、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．过点E 作，再根据等腰三角形的性质得，再证明，，设，，得，整理方程得根据方程有解，得，求出y 的最大值和最小值，得，根据再返回B 点，即可得出结论。
浙江工商大学 “2+2”考试录取名单
2006年浙江工商大学“2+2”考试录取名单经浙江省教育厅审核同意，我校2006年“2+2”考试录取名单如下：
金融学专业
信息管理与信息系统专业
工商管理专业
注：
1、录取时按实际考试的总分高低排序，在各单科成绩均达到最低控制线的前提
下，经德、智、体全面衡量，按选拔计划从高分到低分择优录取。
2、确定最低控制线：综合数学40分、英语70分。
3、金融学专业计划招收80名，录取80名；信息管理与信息系统专业计划招收
30名，录取30名；工商管理专业计划招收40名，录取40名。
因此，2006年“2+2”录取总人数为150人。
浙江工商大学
二OO六年七月二十二日。
浙江工商大学 “2+2”考试录取名单
2006年浙江工商大学“2+2”考试录取名单经浙江省教育厅审核同意，我校2006年“2+2”考试录取名单如下：
金融学专业
信息管理与信息系统专业
工商管理专业
注：
1、录取时按实际考试的总分高低排序，在各单科成绩均达到最低控制线的前提
下，经德、智、体全面衡量，按选拔计划从高分到低分择优录取。
2、确定最低控制线：综合数学40分、英语70分。
3、金融学专业计划招收80名，录取80名；信息管理与信息系统专业计划招收
30名，录取30名；工商管理专业计划招收40名，录取40名。
因此，2006年“2+2”录取总人数为150人。
浙江工商大学
二OO六年七月二十二日。
浙江省2005年2+2考试高等数学B卷
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是.5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A＝ .姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212，则该非齐次线性方程组的通解为.7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为.二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是 ( ).（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点. 2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知 )),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 43．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；（B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；（C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散 ；（D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意 μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P < （C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）. （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43．三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2．已知 )0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 .4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有 1 个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数.9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1）ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为x 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ？五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量η 不是 0=AX 的解向量 ，证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++ −++= − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。
浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期期中联考政治试题2
②管理全球化
③金融全球化
④贸易全球化
A.①→②→③B.①→③→④C.③→①→④D.④→①→③
8.2023年12月2日，首届中国国际供应链促进博览会在北京闭幕。在世界经济下行压力增大的背景下，人气超高的链博会为各方提供更多市场机遇、投资机遇、增长机遇，也传递出以开放创新“链”接未来的强音。我国举办此次展会有利于( )
①携手共建新型大国关系，守住“不冲突不对抗”的底线
②坚持独立自主的和平外交政策，建设性管控双方的分歧
③秉承共商共建共享原则，努力寻求两国利益最大公约数
④中美应当以双方的共同利益作为发展对外关系的出发点
A.①③B.①④C.②③D.②④
6.2023年12月13日，习近平结束对越南国事访问，此次访问中不拘一格的茶叙外交成为一大亮点。“茶”字拆开，就是“人在草木间”，人与人之间难免会有磕碰，国与国之间亦是如此，但茶之道正是在于存异尚和，只要秉持‘和而不同’的理念，就可以找到最大公约数。未来，要继续以茶道智慧滋养两国关系。中越双方应（ ）
A.主权国家在国际社会中享有平等权
B.我国坚决维护世界和平，努力构建和谐世界
C.主权国家在国际社会中享有独立权
D.平等协商是国际关系的基本表现形式
5.2023年11月14日至17日，习近平主席赴美国参加中美元首会晤，在政治外交、经贸金融、人文交流、全球治理、军事安全等领域达成了20多项共识和成果，开辟了面向未来的“旧金山愿景”。要推动愿景的实现，需要中美双方( )
②如果甲公司能证明其生产调整是不可避免的，则无需承担违约责任
③甲公司即使违约，只要未给乙公司造成实际损失，就无需承担违约责任
④双方可以通过协商，对原合同的履行方式和违约责任进行变更
精品解析：2024届浙江省高三2月选考深研模拟卷生物试题(原卷版)
B.感染新冠导致 胰岛素依赖性糖尿病是一种自身免疫病
C.效应细胞毒性T细胞会与被感染的胰岛B细胞结合，诱导靶细胞凋亡
D.“阳过”后短时间内不容易再次感染，与记忆B细胞增殖并分泌的抗体有关
14.某实验小组模拟“T2噬菌体侵染细菌实验”，做了如下的实验(注：不同元素释放的放射性强度无法区分)。下列说法中正确的是（）
15.DNA测序是一种研究基因结构的重要技术，在古生物学和人类基因组计划中应用广泛。下列关于该技术的叙述，错误的是（）
A.测定古人类与现代人的DNA序列，可以分析比较二者的亲缘关系
B.对人类基因组测序，无需完成体细胞全部染色体上的DNA序列测定
C.DNA测序可破解出人类各种遗传病的病因，更好地改善人类的健康
C组：2%蔗糖溶液+稀释200倍的新鲜唾液
下列相关叙述正确的是（）
A.该实验的目的是研究淀粉酶的高效性
B.可用碘液检测底物是否完全分解
C.为了增强实验的严谨性，应增加一组：2%蔗糖溶液+蒸馏水
D.淀粉和蔗糖溶液中均加入0.3%氯化钠溶液利于实验结果的出现，属于自变量的控制
野骆驼是比大熊猫数量还少的野生动物，甘肃安南坝野骆驼国家级自然保护区位于极度干旱、贫瘠的库姆塔格沙漠中，为了解决沙漠野生动物的饮水困难，保护区工作人员修建了多个仿真自然的水源池。多年来，即使在国家政策的严格保护下，野骆驼种群仍然增长缓慢，越来越多的证据表明，天敌狼或许是制约野骆驼种群数量增长最主要的因素之一。每年3月份开始，是野骆驼产育高峰期，在保护区内，工作人员会加强巡逻值守劝返自驾车穿越，防止打扰野骆驼。据此，B.可对质粒和Thp9-T基因均用两种限制酶切割以提高重组DNA分子成功率
浙江省教育厅办公室关于调整我省普通专升本、“2+2”选拔考试管理职责的通知
浙江省教育厅办公室关于调整我省普通专升本、
“2+2”选拔考试管理职责的通知
文章属性
•【制定机关】浙江省教育厅办公室
•【公布日期】2009.11.17
•【字号】浙教办高教〔2009〕154号
•【施行日期】2009.11.17
•【效力等级】地方规范性文件
•【时效性】现行有效
•【主题分类】教育
正文
浙江省教育厅办公室关于调整我省普通专升本、“2+2”选拔
考试管理职责的通知
浙教办高教〔2009〕154号
各有关高校：
为充分发挥专门考试机构的作用，促进考试管理工作的规范化、科学化，经研究，决定自2010年起，我省选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习（即普通专升本考试）和选拔优秀二年级本科生转入部分高校重点专业学习（即“2+2”选拔考试）的所有考试管理工作由浙江省教育考试院统一管理组织。
调整后，省教育厅高教处不再负责上述两项考试相关的工作。
请各高校与省考试院加强工作衔接，互相配合继续认真负责地做好普通专升本考试和“2+2”选拔考试的各项工作。
二○○九年十一月十七日。
“2+2”、2%、转专业
浙江省“2+2”选拔对象及报考条件：（一）选拔对象浙江省各类全日制普通高校二年级在校优秀本科学生（含独立学院）（必须是浙江考生，外省就读浙江人不能考回浙江）（二）报考条件：1、具有较高思想道德修养和文化素质，上进心强，品行端正。
无考试作弊记录、无违纪处分2、通过CET-4级考试（或成绩在国家及格线以上）或第三学期英语成绩在专业前30%3、截至报名时无不合格课程（无重修、无补考）4、选拔学校根据专业学习要求制定的相应报考条件5、所有专业学生均可报考（除非该学校不招该专业）6、非计算机专业理工科类学生须通过浙江省高校非计算机专业学生计算机基础知识和应用能力等级考试（二级）；文科类学生须通过（一级）；或计算机类课程成绩在专业前30%2%升本部每个专业有2%的人数(差不多是一个班一个)在大二结束可以转到本部去，就是以前3个学期的积点分和（无重修、无补考）为主，辅之以非学业因素、体育素质等各方面条件。
到时可拿本部的毕业证和学位证书转专业的若干规定有下列情况之一者，经本人申请、学院批准可以转专业：(—)学生在某方面确有专长，如获得市级以上教育行政部门组织的学科竞赛奖，市级以上教学科研项目、教学科研成果奖，获得专利，公开发表拟转入专业相关学术论文等；(二)有转专业志向且符合入学当年招生政策中专业选择规定的学生，按当年招生政策规定执行；（三）学生若在第2学期申请转专业，要求第1学期必修课程考核均合格、积点分总和为正分且在该专业同级学生中排名位列前20％；（四）学生因身体原因（须有学院指定医疗单位的检查证明材料），经学校认定按“就冷不就热”原则审批；（五）有转专业志向但不符合以上条件的学生，可在办学资源许可的情况下，按“就冷不就热”和“资源平衡”原则审批（“就冷不就热”按以下两个依据执行：I,跨学科或专业大类转专业的，以申请转专业学生入学当年专业或大类的取向情况为依据；‖,在同一专业大类内转专业的，以申请转专业学生专业分流当年的专业分流取向为依据。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷含答案解析
杭州二中2023学年第二学期高三年级开学考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集个数为（）A.5B.6C.7D.82.已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为A.2B.4C.92D.63.函数cos ln y x x =-的图象可能是（）A. B.C. D.4.已知,a b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知0.75a =，52log 2=b ，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A .c b a<< B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<6.621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A.60B.60- C.120D.120-7.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.138.已知π5π3sin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12+C.122+ D.1322-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,,αβγ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A .若,αγβγ∥∥，则αβ∥B.若,m m αβγ⋂=⊥，则,αγβγ⊥⊥C.若,,m n m n αβ∥∥∥，则αβ∥D.若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥10.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数11.记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，且()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（）A.()01f =B.ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减 D.直线32y x =是曲线()y f x =的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数e ,1()ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则()1f =______；若()1f m =，则实数m 的值为______．13.设12,z z 是复数，已知11z =，23z =，12z z -=，则12z z +=__________．14.如图，已知3BC =，D ，E 为ABC 边BC 上的两点，且满足BAD CAE ∠=∠，14BD BE CD CE ⋅=⋅，则当ACB ∠取最大值时，ABC 的面积等于______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.16.设函数()()()12f x x x x =--的图像为曲线C ，过原点O 且斜率为t 的直线为l .设C与l 除点O 外，还有另外两个交点P ，Q （可以重合），记()g t OP OQ =⋅ .（1）求()g t 的解析式；（2）求()g t 的单调区间.17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A 中学，从这7名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A 中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p ，2p .假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当1243p p +=时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.18.已知抛物线21:4C x y =的焦点为F .设()00,Mxy （其中00x >，00y >）为拋物线()22:41C x y =+上一点.过M 作抛物线1C 的两条切线MA ，MB ，A ，B 为切点.射线MF交抛物线2C 于另一点D .（1）若02x =，求直线AB 的方程；（2）求四边形MADB 面积的最小值.19.设整数,n k 满足1k n ≤≤，集合{}201,mA m n m =≤≤-∈Z .从A 中选取k 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有C kn 个，设它们的和为,n k a .例如0102123,222222214a =⋅+⋅+⋅=.（1）若2n ≥，求,2n a ；（2）记()2,1,2,1nn n n n n f x a x a x a x =++++ .求()()1n n f x f x +和()()12n n f x f x +的整式表达式；（3）用含n ，k 的式子来表示1,1,n k n ka a ++.杭州二中2023学年第二学期高三年级开学考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集个数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】先根据集合C 的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解.【详解】依题意{3,4,5}C =，集合C 中有3个元素，则其真子集的个数有3217-=个.故选：C2.已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为A.2 B.4 C.92D.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质求出4a ，结合2174a a a =计算即可.【详解】根据等比数列的性质可得2354a a a =，∴()24441a a =-，即()2420a -=，解得42a =，又∵11a =，21744a a a ==，故可得74a =，故选：B3.函数cos ln y x x =-的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解.【详解】解：设()cos ln f x x x =-，定义域为{}0,R x x x ≠∈，则有()()()cos ln cos ln f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故选项A 、C 错误；因为()πcos πln πln π>0f =-=，所以选项B 错误；综上知，选项D 正确.故选：D.4.已知,a b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111a ba b a b a b a<+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩，所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立，当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立，所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题.5.已知0.75a =，52log 2=b ，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.c b a<< B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】将,a b 化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知a b <；利用ππ3sinsin 544<<可得c a <，由此可得结论.【详解】345530.75log 5log 4a ==== ，5552log 2log 4logb ===，<，a b ∴<；ππsinsin5424c =<==，30.754a ==，又3<，c a ∴<；综上所述：c<a<b .故选：C.6.621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A.60B.60- C.120D.120-【答案】A 【解析】【分析】设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C (rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()6162C kk r k kk r S xy ---+-=-,即得解.【详解】解：设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C (rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()661662C 2C kk k r k k r k kk r r S x x y y -----+--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2,64,2,0.k r k k r =--=∴==所以42x y的系数为02266C (2)C 60-=.故选：A7.已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（）A.2 B.3C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，根据题意可得2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则1PM MF m ==，在12PF F △中，分别求得12,PF PF ，再利用余弦定理可得,a c 的齐次式，即可得出答案.【详解】解：设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，则2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则PM m =，又123F PF π∠=，所以1PF M 为等边三角形，所以1MF m =，又1143PF MF PM a m ++==，所以1242,33PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：222121211122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216484999c a a a =+-，所以223a c =，所以33c e a ==.故选：B .8.已知π5π3sin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.312-B.312+C.1322+ D.1322-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式及已知有π5π3cos cos 4124αα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由5ππ2π1243αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及差角余弦公式得5ππ31sin sin 12442αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后由和角正弦公式有π5ππcos 2cos 6124ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可求结果.【详解】因为πππsin cos 424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos 44ααππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合题设，所以π5π3cos cos 4124αα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而5ππ2π1243αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π5ππ5ππ5πcoscos cos cos sin 312412412ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，即135ππsin sin 24124αα⎛⎫⎛⎫-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5ππ31sin sin 12442αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π5ππ5πcos 2cos cos 612412αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π5ππcos sin sin 41244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31134222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,,αβγ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,αγβγ∥∥，则αβ∥B.若,m m αβγ⋂=⊥，则,αγβγ⊥⊥C.若,,m n m n αβ∥∥∥，则αβ∥D.若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥【答案】AB 【解析】【分析】把几何语言转化问文字语言，想象空间模型，得出结论.【详解】对A ：平行于同一个平面的两个平面互相平行，正确；对B ：两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂直的判定定理，该结论正确；对C ：和两条平行直线分别平行的两个平面相交或平行，故C 错误；对D ：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D 错误.故选：AB10.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数【答案】ABC 【解析】【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的性质逐一判断即可.【详解】不妨设原数据126x x x <<< ，新数据125y y y <<<L ，A ：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为1,3,4,5,6，此时极差均为615-=，故A 正确；B ：原数据中位数为342x x +，新数据中位数为3y ，可知33y x =或34y x =，若33y x =，可得34332x x x y +>=；若34y x =，可得34432x xx y +<=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B 正确；C ：若x y =，可知去掉的数据为x ，则()()112265i i x x y y ==∑-=∑-，可得()()1122651165i i x x y y ==∑-<∑-，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C 正确；D ：若x y =，可知去掉的数据为x ，因为640% 2.4⨯=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2⨯=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据为2,2,3,4,5,6-，新数据为2,2,4,5,6-，此时新数据的40%分位数、原数据的40%分位数均为3，故D 错误；故选：ABC.11.记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，且()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（）A.()01f = B.ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减D.直线32y x =是曲线()y f x =的切线【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，先由函数周期以及()f T =可得π6ϕ=，再由条件可得ω的值，即可得到()3π2cos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由2π2πT T ωω=⇒=，又()()2cos f T T ωϕ=+=，可得cos 2ϕ=，又0πϕ<<，则π6ϕ=，即()π2cos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则1ππ2π2333T ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭，即π23π32ωω≥⇒≤，令π6t x ω=+，则ππ2ππππ36363t ωω-+≤≤+≤<，即2cos y t =在πππ,π3636ωω⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递减，即π1π0362ωω-+≥⇒≤，即πππππ36663ω+≤+=，此时min π31t y y =≥=，此时maxmin211y y -≤-=，不符合题意，所以()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，即2cos y t =在πππ,π3636ωω⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上不单调，又max min 3y y -=，即22ππ33T ωω≤=⇒≤，即03ω<≤，即π7ππ366ω+≤，π5πππ,3666ω⎡⎫-+∈-⎪⎢⎣⎭，若min ππππ232cos 1π363632y ωωω⎛⎫=+=-⇒+=⇒=⎪⎝⎭，此时πππ363ω-+=-，符合题意；若min ππ252cos π1ππ363632y ωωω⎛⎫=-+=-⇒-+=-⇒= ⎪⎝⎭，此时πππ36ω+=，不符合题意；综上可得，3π,26ωϕ==，即()3π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()02cos 6πf ==对于B ，πππ32cos 2cos π132363f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π32cos 1929ππ6f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，当π2π,93x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3π70,π266x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且2cos y x =在70,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先递减后递增，故C 错误；对于D ，因为()3π3sin 26f x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，所以()302f '=-，()0f =，可得32y x =-是()y f x =在()()0,0f 处的切线，故D 正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据最值之差求出ω的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数e ,1()ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则()1f =______；若()1f m =，则实数m 的值为______．【答案】①.e②.0或e【解析】【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数m 的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果.【详解】因为e ,1()ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()1e f =，当1m £时，()e 1mf m ==，解得0m =，满足题意；当1m >时，()ln 1f m m ==，解得e m =，满足题意；综上：m 的值为0或e .故答案为：e ；0或e .13.设12,z z 是复数，已知11z =，23z =，12z z -=，则12z z +=__________．【答案】【解析】【分析】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z c d c d =+∈R ，根据复数模长运算，利用2125z z -=可求得ac bd +，进而可得212z z +，由此可求得结果.【详解】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z c d c d =+∈R ，22211z a b ∴=+=，22229z c d =+=，()()()()22222221221025z z a c b d a b c d ac bd ac bd ∴-=-+-=+++-+=-+=，52ac bd ∴+=，()()()222222212215z z a c b d a b c d ac bd ∴+=+++=+++++=，12z z ∴+=.14.如图，已知3BC =，D ，E 为ABC 边BC 上的两点，且满足BAD CAE ∠=∠，14BD BE CD CE ⋅=⋅，则当ACB ∠取最大值时，ABC 的面积等于______.【答案】332【解析】【分析】由题设足BAD CAE ∠=∠，14BD BE CD CE ⋅=⋅考虑三角形的面积之比，将其化简得2AC AB =，借助于余弦定理和基本不等式求得ACB ∠的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.【详解】如图，不妨设,BAD CAE DAE θα∠=∠=∠=,分别记,,,ABD ACE ABE ACD 的面积为,,,ABD ACE ABE ACD S S S S ,则1sin 21sin 2ABD ACE AB AD S BD AB AD S CE AE ACAE AC θθ⋅⋅===⋅⋅ ①1sin()21sin()2ABE ACDAB AE S BE AB AE S CD AD AC AD AC θαθα⋅+⋅===⋅⋅+ ②由①，②两式左右分别相乘，可得：2214BD BE AB AD AB AE AB CD CE AE AC AD AC AC ⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅,故得：2AC AB =.设AB x =，在ABC 中，由余弦定理，229413cos ()2324x x ACB x x x+-∠==+⨯⨯，因0x >，则3x x+，当且仅当x =时，等号成立，此时cos 2ACB ∠≥，因0πACB <∠<，故π06ACB <∠≤，ACB ∠取得最大值π6，此时ABC的面积等于1π333sin 262⨯⨯=.故答案为：332.【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论2AC AB =，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277.【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，利用线面垂直的判定定理证得CO ⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）由(1)建立如图空间直角坐标系O xyz -，利用向量法分别求出平面APC 、平面PCD 的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可.【小问1详解】取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，所以2AB BC ==，因为60ABC ︒∠=,所以ABC 是等边三角形，所以CO AB OC ⊥=，,因为PA AB ⊥，所以112PO AB ==，因为2PC =，所以222OP OC PC +=，所以CO PO ⊥.因为AB PO O = ，AB PO ⊂、平面PAB ，所以CO ⊥平面PAB ，因为CO ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；【小问2详解】因为22222211OP OA PA +=+==，所以PO AO ⊥，由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，而平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以直线,,OC OB OP 两两垂直，以O 为原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，则()()()))()0,0,0,0,1,0,0,1,0,,2,0,0,0,1O A B CDP --，所以())()0,1,1,1,0,2,0AP PC DC ==-=，设平面APC 的法向量为(),,m x y z =，由0000y z m AP m PC z +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎩ ，取1x =，得(1,m = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⇒⎨⋅==⎪⎩⎩ ，取1x =，得(n = ，所以27cos<,7m n nm m n ⋅>==⋅，由图可知二面角A PC D --为锐二面角，所以二面角A PC D --的余弦值为277.16.设函数()()()12f x x x x =--的图像为曲线C ，过原点O 且斜率为t 的直线为l .设C与l 除点O 外，还有另外两个交点P ，Q （可以重合），记()g t OP OQ =⋅.（1）求()g t 的解析式；（2）求()g t 的单调区间.【答案】（1）()()212g t t t=+-（2）()g t 在11,43⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，()1,2单调递减，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，将直线l 与函数()f x 联立，可得方程()()12x x t --=有2个不同的实根12,x x ，结合向量的模长公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分2t ≥与2t <讨论，然后分别求导得()g t '，即可得到结果.【小问1详解】设直线:l y tx =，联立()()12y txy x x x =⎧⎨=--⎩，可得0x =或()()12x x t --=，即方程()()12x x t --=有2个不同的实根12,x x ，且()()2342140t t ∆=---=+≥，即14t ≥-，化简可得2320x x t -+-=，由韦达定理可得122x x t =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()2212112OP OQ t x x t t ⋅=+=+- ，所以()()212g t t t =+-，1,4t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭【小问2详解】当2t ≥时，()()()2321222g t t t t t t =+-=-+-，则()()()23413110g t t t t t '=-+=-->，所以()g t 在[)2,+∞单调递增；当124t -≤<时，()()()()2321222g t t t t t t =+-=--+-，()()()()2341311g t t t t t '=--+=---，当113t <<时，()0g t '>，当1143t -≤<或12t <<时，()0g t '<.所以()g t 在11,43⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，()1,2单调递减，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；综上所述，()g t 在11,43⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，()1,2单调递减，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞单调递增.17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A 中学，从这7名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A 中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p ，2p .假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当1243p p +=时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.【答案】（1）分布列见解析，97（2）1627【解析】【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；（2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果.【小问1详解】由题意知，ξ的可能取值有0，1，2，3，()3437C 40C 35P ξ===，()214337C C 181C 35P ξ===，()124337C C 122C 35P ξ===，()3337C 13C 35P ξ===，所以ξ的分布列为：ξ0123P43518351235135()41812190123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为χ，则()12,B P χ ，设乙答对题数为η，则()22,B P η ，设“A =甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则()()()()()()()122122P A P P P P P P χηχηχη===+==+==()()122221222221122212222122=C 1C C C 1C C P P P P P P P P -+-+()()2222112221122121P P P P P P P P =-+-+221212833P P PP =-+由1201,01P P ≤≤≤≤，又1243p p +=，所以1113P ≤≤，则21211114433PP P P P P ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，又1113P ≤≤，所以1214,39PP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设12t PP =，所以()28143,,339P A t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，由二次函数可知当49t =时取最大值1627，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为1627.18.已知抛物线21:4C x y =的焦点为F .设()00,Mxy （其中00x >，00y >）为拋物线()22:41C x y =+上一点.过M 作抛物线1C 的两条切线MA ，MB ，A ，B 为切点.射线MF交抛物线2C 于另一点D .（1）若02x =，求直线AB 的方程；（2）求四边形MADB 面积的最小值.【答案】18.y x =19.16【解析】【分析】（1）利用导数求切线方程，由点坐标同时满足切线方程得直线AB 的方程；（2）设直线MF 的方程，表示出弦长MD ，再求A 、B 到直线MF 的距离，表示出四边形MADB 面积，利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题得()2,0M ，抛物线21:4C x y =，即214y x =，则12y x '=，所以抛物线在点()11,A x y 处切线的斜率为112x ，则切线MA 的方程为()1112x y y x x -=-，整理得()112x x y y =+，同理，MB 的方程为()222x x y y =+，又M 在,MA MB 上，有1122x y x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 方程为y x =.【小问2详解】设:1MF y kx =+，()33,D x y ，()00,M x y ，联立()2141y kx x y =+⎧⎨=+⎩，消去y 整理得2480x kx --=，030348x x k x x +=⎧∴⎨=-⎩，03MD x ∴=-==，设点,A B 到直线MF 的距离为12,d d ，则12d d +=()124k x x ==-+，联立()20042x y x x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得200240x x x y -+=，1202x x x ∴+=，1204x x y =2=），()120122MADB S MD d d k x ∴=⨯⨯+==-，又()()2000004101x y y y k x ⎧=+>⎪-⎨=⎪⎩，20084x kx -∴=代入上式得，200000882MADBx S x x x x -=-=+(2200181=1622x x ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当0x =()M 时，MADB S 取最小值，所以四边形MADB 面积的最小值为16.【点睛】方法点睛：求解直线与抛物线的问题时，通常把两个方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19.设整数,n k 满足1k n ≤≤，集合{}201,mA m n m =≤≤-∈Z .从A 中选取k 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有C kn 个，设它们的和为,n k a .例如0102123,222222214a =⋅+⋅+⋅=.（1）若2n ≥，求,2n a ；（2）记()2,1,2,1nn n n n n f x a x a x a x =++++ .求()()1n n f x f x +和()()12n n f x f x +的整式表达式；（3）用含n ，k 的式子来表示1,1,n k n ka a ++.【答案】（1）42233n n -+（2）()()112n n n f x x f x +=+，()()112n n f x xf x +=+（3）11,11,2221n k k n k k n ka a +++++-=-【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得()()()()()12112121212n n f x x x x x -=++++ ，从而表示出()1n f x +与()2n f x ，然后相除，即可得到结果；（3）根据题意，可得,01n a =，1,01n a +=，再由（2）可得()()1,,102nn k n n kn k k f x aa x +-==+∑，然后化简即可得到11,1,1,22k k n k n k n k a a a ++++=+，即可得到结果.【小问1详解】()()221122,20011214114142222122221412333n n n n n n k kn nn k k a --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫---⎢⎥=-=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑【小问2详解】因为()()()()()12112121212n n f x x x x x -=++++ ，()()()()()()012111212121212n n n f x x x x x x -+=+++++ ，两式相除，()()112n n n f x x f x +=+，()()()()()01212122122122122n n f x x x x x-=+⋅+⋅+⋅+⋅()()()()12112121212n n x x x x -=++⋯++，两式相除，()()112n n f x xf x +=+【小问3详解】因为(),0nkn n k k f x a x ==∑①，所以,01n a =，因为()111,0n k n n kk f x ax +++==∑②，所以1,01n a +=，由（2）和①可得，()()()()11,,,,101222nnnnknk n k n n n k n kn k n k k k k f x x f x a x axa a x ++-====+⋅=+=+∑∑∑③，由②和③，比较1k x +的系数，可得1,1,1,2nn k n k n k a a a +++=+④，因为()()()()()1,01222nnkkn n n k k k f x x f x x x a x +===+=+∑∑()11,,,,10222nnnk k k k k k n k n k n k n k k k k a x a xa a x +--====+=+∑∑∑，由②比较1k x +的系数可得11,1,1,22k k n k n k n k a a a ++++=+⑤，由④⑤消去,1n k a +可得()()111,1,2122k n k k n k n k a a +++++-=-，所以11,11,2221n k k n k k n ka a +++++-=-.【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题，意在考查学生的计算能力转化能力和总和应用能力，其中将定义中的知识转化为已有的知识点是考查的重点，需熟练掌握.。
浙江省普通高中第二共同体2025届高考数学四模试卷含解析
浙江省普通高中第二共同体2025届高考数学四模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22B ．1121-C ．521+D ．233．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．8234．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或06．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]7．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 8．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．69．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．310．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或511．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A 5B ．2C 30D ．2312．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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浙江省2+2考试
浙江省“2+2考试”是选拔浙江省优秀二年级本科生转入部分重点大学学习的转学考试，是为一些不满足现在就读的学校、专业，但品学皆优的大学生提供了一次重新的选择机会，为他们追求名牌大学梦开辟的一条山径，同时为了更好地促进优质教育资源的互补和复合型人才的培养，构建我省人才成长立交桥，创造更为宽松的学习环境。
我省从2005年起开展了选拔优秀二年级本科生转入宁波大学、浙江工业大学、杭州电子科技大学、浙江工商大学、浙江理工大学等重点院校重点专业学习的试点工作。
根据教育部关于高等学校招生考试的有关规定，以及“公开、公平、公正”的原则，特制定实施细则如下：
一、选拔学校要加强组织领导，确定主要负责部门，认真细致地做好报名、命题、考试及转学等各环节的工作，特别要落实好各环节的保密措施。
二、选拔学校、学校代码、选拔专业、专业代码、选拔计划、考试科目：
三、选拔对象及报考条件：
选拔对象为浙江省各类全日制普通高校二年级在校优秀本科学生（含独立学院）。
报考者应具备下列条件：
1、具有较高思想道德修养和文化素质，上进心强，品行端正。
无考试作弊记录、无违纪处分。
2、通过CET-4级考试（或成绩在国家及格线以上）或第三学期英语成绩在专业前30%。
3、截至报名时无不合格课程（无重修、无补考）。
4、选拔学校根据专业学习要求制定的相应报考条件。
5、所有专业学生均可报考。
四、报名方法：
1、符合报考条件的学生到浙江教育网或选拔学校网站下载《考生登记表》（见附件1），如实填写后交所在学校教务处。
学生所在学校教务处负责报名条件资格审查并加盖公章，填妥《考生花名册》（见附件2）后，于3月22日送至浙江工业大学翔园宾馆（杭州市德胜路235号），分别办理集体报名手续（5个选拔院校均在翔园宾馆接受报名）。
每位考生只能报考一所学校。
考生材料包括：
（1）大学期间所有课程成绩单（需所在学校教务处审核盖章）
（2）考生身份证复印件
八、教学组织与管理
1.招生院校与考生原所在学校根据录取名单按转学程序统一为学生办理相关转学手续，9月学生转入招生院校学习。
2、新生报到后，学校要进行全面复查，对不符合报考条件和录取标准以及弄虚作假、违纪舞弊者，取消其资格，并报省教育考试院备案。
不按期报到者取消资格。
3.招生院校将转入学生编入同一专业三年级学习，列入普通本科生管理。
学生达到规定的毕业要求后，颁发招生院校普通本科毕业证书和学士学位证书。
4.招生院校对转入学生执行本校同级普通公办生的收费项目和标准。
5.学生转学后不允许再转专业。
九、其它
1.报名考试费由考生所在学校收齐交省教育考试院，考点学校考试费由省教育考试院按比例拨付。
2.《浙江省2010年“2+2”选拔考试考生登记表》、《浙江省2010年“2+2”选拔考试考生花名册》由考生所在学校整理后于3月31日前送交招生院校。
3.联考科目考试大纲可在浙江教育考试院网站下载。
其余科目考试大纲及指导用书请到各招生院校网站下载或咨询。
浙江2+2考试论坛/
2011年杭州电子科技大学“本转本”（2+2）会计学专业
《会计学》考试大纲
一、考试科目：《会计学》
二、主要参考教材：《会计学》
作者：刘永泽，东北财经大学出版社，ISBN：978-7-81122-690-4出版日期：2009年6月第二版定价：26元
三、考试大纲
第一章总论
理解财务会计的含义及特点，会计信息的质量特征；了解企业的性质、组织形式，会计信息的使用者及其对信息的要求；重点掌握财务报告及其要素。
第二章会计核算基础
理解会计核算的基本前提；掌握财务报告要素确认、计量的原则；重点掌握复式记账与借贷记账法。
第三章会计循环
熟悉会计循环的基本程序；了解经济业务及其类型；掌握会计凭证的概念、作用、种类、内容。
熟悉会计帐簿的登记；掌握期末账项的调整、对账、结账；理解试算平衡；了解报表的内容。
第四章货币资金与应收项目
掌握库存现金、银行存款以及其他货币资金的核算。
理解应收票据入账价值的确定，掌握应收票据的会计处理，熟悉应收票据的贴现。
理解应收账款的确认及其入账价值的确定，重点掌握坏账损失的核算；掌握预收账款以及其他应收款的核算。
第五章存货
了解存货的概念、特点、确认条件及种类；掌握存货入账价值的确定。
重点掌握存货的购进、发出的实际成本核算；掌握存货结存数量的确定方法以及发出存货的计价方法；熟悉存货清查的会计处理。
第六章投资
掌握交易性金融资产、持有至到期投资、可供出售金融资产的含义、取得、持有期间、期末计量以及处置的会计处理。
理解长期股权投资的含义、初始投资成本的确定；掌握长期股权投资的成本法、权益法的核算；熟悉长期股权投资的处置。
第七章固定资产与无形资产
理解固定资产的概念、特征、分类、确认与计量；掌握固定资产的增加、减少的核算；掌握固定资产的折旧的计算与会计处理；熟悉清查的核算；掌握固定资产的减值的核算。
熟悉无形资产的概念、特征与内容；理解无形资产确认与计量；重点掌握无形资产的核算。
第八章负债
了解负债定义、特征、内容与分类；掌握短期借款、应付票据、应付账款及预收款项的核算。
掌握应付职工薪酬、应交税费、应付股利、以及其他应付款的核算。
掌握长期借款的核算；重点掌握应付债券的核算，理解预计负债的会计处理。
第九章所有者权益
理解所有者权益的定义、性质、内容、分类。
熟练掌握实收资本、资本公积、盈余公积与未分配利润的核算。
第十章费用与成本
理解费用的概念及其特征、费用的确认与计量；了解费用的组成及其分类、成本的组成与内容；掌握成本与费用的联系与区别。
掌握生产成本的核算；掌握期间费用的内容与核算。
第十一章收入与利润
理解收入的概念、特征与分类。
掌握销售收入、提供劳务收入、让渡资产使用权收入的确认与计量；熟悉利润及其构成；掌握所得税费用的会计处理；熟悉利润的结转与分配。
第十二章财务报表列报
了解财务报表的概念、种类、列报的基本要求。
掌握利润表、资产负债表的列示方法；理解现金流量表所有者权益变动表的内容及格式；熟悉会计报表之间的勾稽关系；理解附注的意义及内容。
第十三章财务报表分析与利用
了解会计报表分析的意义与作用；熟悉财务报表分析的程序与基本方法；理解财务报表与附注的分析。