信号与系统习题解

信号与系统习题解

第二章

1.从本章所讲的各讲中挑出你认为比较新的概念。

2.若物理信号()x t 的频谱存在，记为()X f ，考虑截断信号

(),||()20,T T x t t x t ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它，1,||()20,T T t R t ⎧

≤⎪=⎨⎪⎩其它

在如下情况下的频谱

(1)将截断信号()T x t 视为非周期模拟信号求其频谱()T X f ; (2)将截断信号()T x t 视为周期为T 的模拟信号求其频谱()T X n ;

(3)将截断信号()T x t 视为)()()(t R t x t x T T =，求其频谱的解析表达式，并由此推出积分变换

sin ()()()()

()f s T

KX f X s ds

f s ππ+∞

-∞

-=-⎰

的性质。

由此讨论各种观点下的频谱的表现形式以及内在规律。 解： (1)

22

22)(()()T T T T j ft

j ft f X x t e

dt x t e dt ππ+∞

---∞

-==⎰

⎰

(2)

2222

()1

()jn

t T

T n

n T jn t

T

T n T x t C e

C x t e dt

T

ππ

+∞

=-∞--==

∑⎰

(3)

2()2()22

ˆ()()*()ˆ()()()()()sin ()()

()

T T

T

j f s t T T j f s t T X f X f R f X s R f s ds X s R t e dtds X s e dtds f s T

X s ds

f s ππππ+∞-∞∞

+∞---∞

-∞+∞

---∞-+∞

-∞

==-==-=-⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰

积分变换sin ()()()()

()

f s T

KX f X s ds f s ππ+∞

-∞

-=

-⎰

将信号()x t 的频谱化为截断信号

()T x t 的频谱。

当视信号为非周期的模拟信号时，其频谱是模拟的；当视信号为周期的模拟信号时，其频谱是离散的；并且二者有如下关系

1()n n C X T T

=

当视信号为两个信号的乘积时，其频谱为这两个信号频谱的卷积；利用这三种观点求出的频

谱，在本质上是一致的。

3.给出帕色伐尔定理的不同表示形式(周期信号与非周期信号)。 解：

(1)非周期信号 记()[()],()[()]X f FT x t Y f FT x t ==

则

()()()()x t y t dt X f Y f df +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰⎰

(2)周期信号指数表示

设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且

22(1)(2)(),()n n j t j t T

T

T n

T n

n n x t C

e

y t C

e

ππ+∞

+∞

=-∞

=-∞

=

=

∑∑

则

22(1)(2)222

222(1)(2)

22

2(1)(2)22

(1)

(2)

()()11T T n

m j t j

t T

T

T T T T n

m

n m T n m j t j t T T T n m n m T n m j t T T n

m

n m n

n

n x t y t dt C

e

C

e

dt

T C e C e dt

T T C C

e dt T T

C

C πππππ+∞+∞--

=-∞=-∞

+∞

+∞

-

=-∞=-∞-+∞+∞

-=-∞=-∞

+∞

=-∞

====∑∑⎰

⎰

∑∑⎰∑∑⎰∑

(3)周期信号正余弦表示

设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且

(1)(1)

(1)01(2)(2)

(2)01

22()cos sin

222()cos sin

2T k k k T k k k a kx kx x t a b T T a kx kx y t a b T T ππππ∞=∞==++=++∑∑ 则

22

(1)(2)(1)(1)(2)

(2)002112

(1)(2)(1)(2)(1)(2)

00(1)(2)(1)(2)

(1)(2)00()()2222cos sin cos sin 224222T

T T T T T k k k k

k k k k k k k k k k k k x t y t dt

a a kx kx kx kx a

b a b dt T T T T a a T T a a b b a a T a a b b ππππ-∞∞-==+∞=-∞=-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++=++⎰

∑∑⎰∑+∞

∞⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑4.给出图解法的实施步骤、数学证明中的辅助函数及其任意阶广义导函数。 见讲义

5.证明以下普通函数的广义极限均为()t δ

()

1

0e erf λπ

设()f t 是任意实的连续可积函数，则