21-17定积分的简单应用
定积分的简单应用 课件
1．利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在 x 轴上方与下方 的部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数 和，求出面积．
bF(x)dx
＝a移动到x＝b.则变力F(x)作的功W＝
a
.
不分割型平面图形的面积的求解 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为 一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分 求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线 和抛物线的交点的横坐标．
2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v
bv(t)dt
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
a
.
3．变力做功 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体
沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所作的功为W＝Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x
[解析] 解方程组yy＝ ＝x2x2，， 得x1＝0，x2＝2. 故所求图形的面积为
S＝22xdx－2x2dx＝x202
－13x3 20
＝43.
0
0
分割型平面图形面积的求解
求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形
的面积．
[分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按
交点分割成可求积分的几部分再求解．
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.2.直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（ x﹣）|=．故选C．3.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．4.设，若，则；【答案】1【解析】由题知，解得.【考点】定积分、分段函数.5.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得直线l的斜率为,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为.联立直线与抛物线方程,则可知直线与抛物线围成的封闭图形面积为,故选B.【考点】直线方程定积分6.的展开式中的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为【答案】【解析】解：所以答案应填：.【考点】1、二项式定理；2、利用定积分求曲边多边形的面积.7.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．8.根据=0推断直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()A．面积为0B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积【答案】D【解析】【思路点拨】y=sinx的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断. 解:y=sinx的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,sinxdx=+sinxdx=0.9.(x2-x)dx=.【答案】【解析】(x2-x)dx=(x3-x2)=-=.10.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2,若S1=S2,则点P的坐标为.【答案】(,)【解析】【思路点拨】设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x0,y),由S1=S2求出k的值,再求点P的坐标.解:设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x0,y),则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,即(kx2-x3)=(x3-kx2),即k-=-2k-(-k),解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为(,).11.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1【答案】B【解析】S1＝x2d x＝x3＝，S2＝d x＝ln 2，S3＝e x d x＝e2－e，∴S2＜S1＜S3.12.由曲线，直线，和轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由定积分的含义表示，自变量从对应的函数的值的和，所以当函数的图像在x轴的下方时表示在这个区间对应的函数值小于零，所以与面积的概念不同.所以曲线，直线，和轴围成的封闭图形的面积，应该根据图形的对称性表示为.故选B.【考点】1.定积分的概念.2.定积分的几何意义.13.设，则二项式的展开式中，项的系数为【答案】60【解析】=（-6cosx）=（-6cos）-（-6cos0）="6." 二项式的展开式的通项为Tr+1=，由=2解得r=2，所以项的系数为=4×15=60.【考点】1.定积分；2.二项式定理.14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3B．C．3或D．3或【答案】B【解析】∵，第二项的系数为，∴，∴.【考点】1.二项展开式的系数；2.积分的计算.15.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】定积分基本定理16.若函数f(a)＝，则f等于【答案】p＋1【解析】因为f(a)＝=.所以.故填p＋1.本题考查定积分的知识点，易错点：求函数的导数的逆运算易错，最后结果的两组数对减易错.【考点】1.定积分的知识.2.函数的导数的逆运算.17.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．18.从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】阴影部分的面积，而正方形的面积，故点取自阴影部分的概率为，故选B.【考点】1.定积分；2.几何概型19. 定积分（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】.【考点】积分的运算. 20. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令x=4，代入直线y=x-1得A （4，3），同理得C （4，），由=x-1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x-1交于点B （2，1），∴S ABC =S 梯形ABEF -S BCEF 而S BCEF ==（2lnx+C ），（其中C 是常数）=2ln4-2ln2=2ln2，∵S 梯形ABEF =（1+3）×2=4，∴封闭图形ABC 的面积S ABC =S 梯形ABEF -S BCEF =4-2ln2，故选D. 【考点】定积分在求面积中的应用21. 一物体在力（单位：）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到（单位：）处，则力做的功为 焦. 【答案】.【解析】由题意知，力所做的功为焦.【考点】定积分 22. 已知，，记则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．23.设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.【考点】1.分段函数；2.定积分24.___________.【答案】2【解析】，故答案为2.【考点】定积分的计算25.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．26.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：= .【考点】定积分的计算27.若，则实数的值是 .【答案】【解析】由，解得，又因为，所以.【考点】积分的计算.28.抛物线与直线所围成的图形的面积为____．【答案】【解析】如图所示，抛物线与直线所围成的图形的面积为.【考点】积分求面积.29.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为，所以点取自阴影部分的概率为．【考点】定积分的几何意义及几何概率．30.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.31.____________________.【答案】【解析】【考点】定积分点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．32.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为33.计算定积分；【答案】【解析】。
定积分的应用
图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。
恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。
凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。
于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
定积分求导方法(一)
定积分求导方法(一)定积分求导在微积分中，定积分求导是一种重要的技巧，用于求解连续函数的导数。
本文将详细介绍定积分求导的各种方法。
方法一：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求导的一种常用方法。
它的公式如下：d dx (∫fxa(t)dt)=f(x)这个公式的意义是，对于函数f(x)的定积分，其导数等于f(x)。
这使得我们可以通过求函数的定积分来得到其导数。
方法二：基本定积分求导法则在广义的意义下，可以使用基本定积分求导法则来求解定积分的导数。
以下是一些常用的基本定积分求导法则：1.$ _{a}^{b} k , dx = 0 $，其中 $ k $ 是常数。
2.$ _{a}^{b} x , dx = b - a $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
3.$ {a}^{b} f(x) + g(x) , dx = {a}^{b} f(x) , dx + _{a}^{b}g(x) , dx $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是函数。
4.$ {a}^{b} f(x) g(x) , dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) +{a}^{b} f’(x) g(x) , dx$，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是可导函数。
这些法则可以根据具体问题进行灵活运用，简化定积分求导的过程。
方法三：换元法换元法是一种常用的定积分求导的方法，通过引入新变量来简化计算过程。
其一般步骤如下：1.对于积分∫f(g(x))⋅g′(x) dx，选取适当的换元变量u=g(x)。
2.计算出du=g′(x) dx。
3.将原表达式中的g(x)和dx替换为u和du。
4.将对x的积分转换为对u的积分。
5.计算出∫f(u) du，得到最终结果。
使用换元法，可以将原本复杂的函数转化为更简单的形式，从而更容易进行积分和求导。
方法四：分部积分法分部积分法是定积分求导中的另一种常见方法，通过应用求导的乘积法则来简化计算过程。
格林公式
的某一点, 以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点 则称此平 面区域为单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域. 面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域 单连通区域
D3 D4
D1
D2
图 21 − 18
在图 21-18 中, D1 与 D2 是单连通区域 而 D3 与 D4 则 是单连通区域, 是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述: 内任 是复连通区域 单连通区域也可以这样叙述 D内任 中的点. 一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点 更通
u( x , y ) = ∫ P dx + Q dy .
AB
充分小, 取 ∆x 充分小 使 C ( x + ∆x , y ) ∈ D , 则函数 u( x , y ) 偏增量( 对于 x 的偏增量(图21-20) )
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∆ x u = u( x + ∆x , y ) − u( x , y )
E
C
F
D
L2
B
A
L1
图 21 − 15
CE 后, D 的边界则由 AB , L2 , BA, AFC , CE , L3 , EC
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构成. 及 CGA 构成 由(ii)知 知
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dσ D
=
{∫ +∫ +∫ +∫ +∫ +∫ +∫ +∫ }( Pdx + Qdy) = ( ∫ + ∫ + ∫ ) ( Pdx + Qdy ) = ∫ Pdx + Qdy .
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
高中数学文科选修教材目录[1]
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高中数学文科选修教材目录1-1第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线探究与发现的渐近线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考 科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算小结 第四章框图 4.1 流程图 4.2 结构图信息技术应用 用word2002绘制流程图小结2-1第一章常用逻辑语1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词小结 第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现 为什么截口曲线是椭圆信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2 双曲线探究与发现 为什么2.3 抛物线探究与发现 为什么二次函数 的图像是抛物线2.4 直线与圆锥曲线的位置关系阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用 2.5 曲线与方程探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程小结 第三章 空间向量与立体几何2(0)y ax bx c a =++≠3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念信息技术应用曲边梯形的面积1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用实习作业走进微积分第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考平面与空间中的余弦定理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法小结第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数代数形式的四则运算阅读与思考代数基本定理小结2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理小结第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1相似三角形的判定2相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质2基本不等式3三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
高考定积分应用常见题型大全(含答案)
高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。
定积分
定积分一、单选题1.下列命题不正确的是()A. 若是连续的奇函数，则B. 若连续的偶函数，则C. 若在[a，b]上连续且恒正，则D. 若在[a，b)上连续且，则在[a，b)上恒正2.如图所示，阴影部分的面积是()A. B. C.D.3.由曲线y＝x2， y＝x3围成的封闭图形面积为()A. B. C.D.4.由曲线y＝x2－1．直线x＝0．x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A. (x2－1)dxB. |(x2－1)dx|C. |x2－1|dxD. (x2－1)dx＋(x2－1)dx5.如图所示，阴影部分的面积为()A. f(x)dxB. g(x)dxC. [f(x)-g(x)]dxD. [g(x)-f(x)]dx6.直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积表示为()A. B. C.D.7.已知a=(sinx ， cosx)，b=(cosx ， sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()A. B. C.D.8.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A. B. f(x)dx| C. f(x)dx+ f(x)dx D. f(x)dx- f(x)dx9.如图是函数y=cos（2x﹣）在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（）A. B. C.D.10.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A. B. C.D.11.下列等式不成立的是()A.B.C.D.12.若 , 则s1,s2,s3的大小关系为( )A. s1＜s2＜s3B. s2＜s1＜s3C. s2＜s3＜s1D. s3＜s2＜s113.由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A. B. 1 C.D.二、填空题14.定积分________15.计算：________．16.由曲线y2＝2x ， y＝x－4所围图形的面积是________．17.由两条曲线与直线y＝1围成平面区域的面积是________．三、解答题18.求定积分的值．19.计算曲线与直线y＝x＋3所围图形的面积．20.计算由抛物线y=3-(x-1)2和y=所围成的图形的面积．21.曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1 ,点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．22.求下列定积分．（1）；（2）．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】定积分的简单应用【解析】【解答】本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．答案选D 【分析】简单题，考查定积分的相关性质，要求熟练掌握2.【答案】C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】S＝(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－x3－x2，则F(1)＝3－1－＝，F(－3)＝－9－9＋9＝－9．∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝．故应选C．【分析】夹在两个函数f(x),g(x)的面积S=|[f(x)－g(x)]|dx ．3.【答案】A【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】由得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝(x2－x3)dx＝＝【分析】求两个函数所围成的封闭图形的面积首先要求它们的交点，即确定积分的上下限．4.【答案】C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C．【分析】函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为5.【答案】C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】由题图易知，当x∈[a，b] 时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)-g(x)]dx ．选C。
高中全部知识点精华归纳总结简洁版
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A 版复习寄语：引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数指、对、幂函数必修2：立体几何初步、平面解析几何初步..必修3：算法初步、统计、概率..必修4：基本初等函数三角函数、平面向量、三角恒等变换..必修5：解三角形、数列、不等式..以上是每一个高中学生所必须学习的..上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分;其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等..不同的是在保证打好基础的同时;进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用;而不在技巧与难度上做过高的要求..此外;基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容..选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成文科..选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用..选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成理科..选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何..选修2—2：导数及其应用;推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列;统计案例..系列4：由10个专题组成理科..选修4—1：几何证明选讲..选修4—2：矩阵与变换..选修4—3：数列与差分..选修4—4：坐标系与参数方程.. 选修4—5：不等式选讲..选修4—6：初等数论初步..选修4—7：优选法与试验设计初步..选修4—8：统筹法与图论初步..选修4—9：风险与决策..选修4—10：开关电路与布尔代数..2．重难点及考点：重点：函数;数列;三角函数;平面向量;圆锥曲线;立体几何;导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算必修1数学知识点·······················- 0 - 必修2数学知识点·······················- 2 - 必修3数学知识点·······················- 4 - 必修4数学知识点·······················- 7 - 必修5数学知识点······················ - 13 - 专题一：常用逻辑用语···················· - 17 - 专题二：圆锥曲线与方程··················· - 18 - 专题三：定积分······················· - 21 - 专题四：推理与证明····················· - 23 - 专题五：数系的扩充与复数·················· - 24 - 专题六：排列组合与二项式定理················ - 25 - 专题七：随机变量及其分布·················· - 27 - 专题八：统计案例······················ - 30 - 专题九：坐标系与参数方程·················· - 30 -必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素;把一些元素组成的总体叫做集合..集合三要素：确定性、互异性、无序性.. 2、 只要构成两个集合的元素是一样的;就称这两个集合相等.. 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ;整数集合：Z ;有理数集合：Q ;实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地;对于两个集合A 、B;如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素;则称集合A 是集合B 的子集..记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆;但存在元素B x ∈;且A x ∉;则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素;则集合A 有n2个子集;21n-个真子集.§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地;由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合;称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地;由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合;称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集 {|,}U C A x x U x A =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集;如果按照某种确定的对应关系f ;使对于集合A 中的任意一个数x ;在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应;那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数;记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同;并且对应关系完全一致;则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大小值1、注意函数单调性的证明方法：1定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <;则：()()21x f x f -=…2导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导;若0)(>'x f ;则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ;则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、 一般地;如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ;都有()()x f x f =-;那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地;如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ;都有()()x f x f -=-;那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ';相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=； ⑥xx e e =')(；⑦ax x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '=3、导数的运算法则 1()u v u v ±=±. 2'''()uv u v uv =+.3'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 4、复合函数求导法则复合函数))x 的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅;即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值1极值定义：极值是在0x 附近所有的点;都有)(x f ＜)(0x f ;则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点;都有)(x f ＞)(0x f ;则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. 2判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0;右侧)('x f ＜0;那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0;右侧)('x f ＞0;那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值1求()y f x =在(,)a b 内的极值极大或者极小值 2将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较;其中最大的一个为最大值;最小的一个为极小值..注：极值是在局部对函数值进行比较局部性质；最值是在整体区间上对函数值进行比较整体性质..第二章：基本初等函数Ⅰ §2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地;如果a x n=;那么x 叫做a 的n 次方根..其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时;a a n n=； 当n 为偶数时;a a nn =. 3、 我们规定： ⑴m n mn a a=()1,,,0*>∈>m Nn m a ；⑵()01>=-n a ann； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a aa a sr sr∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs sr∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab rr r∈>>=,0,0.§2.1.2、指数函数及其性质1、()1,0≠>=a a a y x§2.2.1、对数与对数运算log x a a N x N =⇔=； 恒等式：log a NaN =.性质：01log =a ;1log =a a .⑴()N M MN a a a log log log +=； ⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a n a log log =. 换底公式：abb c c a log log log =.重要公式：log log n ma a mb b n= 倒数关系：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .§2..2.2、对数函数及其性质 ()1,0log ≠>=a a x y a§2.3、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程()0=x f 有实根⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线;并且有()()0<⋅b f a f ;那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点;即存在()b a c ,∈;使得()0=c f ;这个c 也就是方程()0=x f 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图;再用适当的函数拟合;最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球..⑵棱柱：有两个面互相平行;其余各面都是四边形;并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行;由这些面所围成的多面体叫做棱柱..⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥;底面与截面之间的部分;这样的多面体叫做棱台..2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影;中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影;平行投影的投影线是平行的..3、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 3体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=314球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内;那么这条直线在此平面内..2、公理2：过不在一条直线上的三点;有且只有一个平面..3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点;那么它们有且只有一条过该点的公共直线..4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行;那么这两个角相等或互补..6、线线位置关系：平行、相交、异面..7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交..8、面面位置关系：平行、相交.. 9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行;则该直线与此平面平行简称线线平行;则线面平行.. ⑵性质：一条直线与一个平面平行;则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简称线面平行;则线线平行..10、面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行;则这两个平面平行简称线面平行;则面面平行..⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交;那么它们的交线平行简称面面平行;则线线平行..11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线;那么就说这条直线和这个平面垂直.. ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直;则该直线与此平面垂直简称线线垂直;则线面垂直..⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.. 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交;如果它们所成的二面角是直二面角;就说这两个平面互相垂直..⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线;则这两个平面垂直简称线面垂直;则面面垂直..⑶性质：两个平面互相垂直;则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面..简称面面垂直;则线面垂直..第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y --==α2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y +=⑶两点式：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l . 4、对于直线：:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式：()()21221221y y x x P P -+-=6、点到直线距离公式：2200BA CBy Ax d +++=7、两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行;则2221BA C C d +-=第四章：圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ;半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22DE--;半径为r =2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(rb y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .弦长：222dr -==3、两圆位置关系：21O O = ⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<.3、空间中两点间距离公式：()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言； 2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构⎧⎨⎩当型循环结构直到型循环结构⑴顺序结构示意图：⑵条件结构示意图：①IF -THEN -ELSE 格式：②图3⑶循环结构示意图：①当型WHILE 型循环结构示意图：图4②直到型UNTIL 型循环结构示意图：图54、基本算法语句：“=”有时也用“←”.④条件语句的一般格式有两种：IF —THEN —ELSE 语句的一般格式为：IF —THEN 语句的一般格式为：⑤循环语句的一般格式是两种：直到型循环UNTIL 语句的一般格式：⑹算法案例：①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：ⅰ：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；ⅱ：若0R ＝0;则n 为m;n 的最大公约数；若0R ≠0;则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ； ⅲ：若1R ＝0;则1R 为m;n 的最大公约数；若1R ≠0;则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0;此时所得到的1n R 即为所求的最大公约数..②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：ⅰ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数..若是;用2约简；若不是;执行第二步.. ⅱ：以较大的数减去较小的数;接着把较小的数与所得的差比较;并以大数减小数..继续这个操作;直到所得的数相等为止;则这个数等数就是所求的最大公约数.. ③进位制十进制数化为k 进制数—除k 取余法 k 进制数化为十进制数第二章：统计 1、抽样方法：①简单随机抽样总体个数较少 ②系统抽样总体个数较多 ③分层抽样总体中差异明显 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本;每个个体被抽到的机会概率均为Nn.. 2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1.. ⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况;从中便于看出数据的分布;以及中位数、众位数等..②个位数为叶;十位数为茎;右侧数据按照从小到大书写;相同的数据重复写.. 3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++= 321；取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ;则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值.. ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小;说明样本数据越稳定..平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平..⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图;判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧最小二乘法1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x ..第三章：概率1、随机事件及其概率： ⑴事件：试验的每一种可能的结果;用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型： ⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生..⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个;事件A 包含了其中的m 个基本事件;则事件A 发生的概率nm A P =)(. 3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生.. ⑵几何概型概率计算公式：的测度的测度D d A P =)(；其中测度根据题目确定;一般为线段、角度、面积、体积等..4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件;则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥..⑶如果事件A;B 互斥;那么事件A+B 发生的概率;等于事件A;B 发生的概率的和;即：)()()(B P A P B A P +=+⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥;则有： )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生;则称这两个事件为对立事件.. ①事件A 的对立事件记作A)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+②对立事件一定是互斥事件;互斥事件未必是对立事件..必修4数学知识点第一章：三角函数 §1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl=α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角;它的终边与单位圆交于点()y x P ,;那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin2、 (),A x y为角α终边上一点r =sin y r α=;cos x r α=;tan yxα=;cot x y α=3、 αsin ;αcos ;αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°;30°;45°;60°;§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式概括为Z k ∈ 1、 诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k 其中：Z k ∈ 2、 诱导公式二：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点..§1.4.3、正切函数的图象与性质 2、记住余切函数的图象：y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：周期函数定义：对于函数()x f ;如果存在一个非零常数T;使得当x 取定义域内的每一个值时;都有()()x f T x f =+;那么函数()x f 就叫做周期函数;非零常数T 叫做这个函数的周期.x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域-1;1 -1;1R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A;周期2T πω=;初相ϕ;相位ϕω+x ;频率πω21==Tf . 2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()sin y x ϕ=+ 左加右减横坐标不变()sin y A x ϕ=+ 纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++上加下减② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin A x ωϕ=+平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++上加下减3、三角函数的周期;对称轴和对称中心函数;x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+;x ∈RA;ω;ϕ为常数;且A ≠0的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+;,2x k k Z ππ≠+∈A;ω;ϕ为常数;且A ≠0的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说;对称中心与零点相联系;对称轴与最值点联系.求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心;只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2A =;max min2y y B +=. ω要根据周期来求;ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =; 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=.变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a ytan b aϕ=. 第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段;有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB 的大小;也就是向量AB 的长度或称模;记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量;这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ;它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=;⑵当0>λ时; a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时; a λ的方向与a 的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线;当且仅当有唯一一个实数λ;使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量;那么对于这一平面内任一向量a ;有且只有一对实数21,λλ;使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==;则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+;⑵()2121,y y x x b a --=-; ⑶()11,y x a λλλ=; ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ;则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ;则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++; ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =. 4、 2a a =.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==;则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ;则：()()212212y y x x AB -+-=.3、 两向量的夹角公式 121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==+⋅+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y 原坐标;平移后的对应点为(,)P x y '''新坐标;平移向量为(,)PP h k '=; 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明;求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点;则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α;则称这个向量垂直于平面α;记作n α⊥;如果n α⊥;那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法待定系数法： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组;取其中一组解;即得平面α的法向量.如图2、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线;A;C 与B;D 分别是,a b 上的任意两点;,a b 所成的角为θ;则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ;平面α的法向量为u ;直线与平面所成的角为θ;a 与u 的夹角为ϕ;则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分;其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱;每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O;分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,;则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、;再设m n 、的夹角为ϕ;二面角l αβ--的平面角为θ;则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ-根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：◆如果θ是锐角;则cos cos m n m nθϕ⋅==;如果θ是钝角;则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-3、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点;P 在直线l 上;a 为直线l 的方向向量;b =PQ ;则点Q 到直线l 距离为 221(||||)()||h a b a b a =-⋅ ⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点;点M 为平面α内任一点; 平面α的法向量为n ;则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离.n MP d n⋅=4、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线;如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直;那么它也和这条斜线垂直 推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线;如果和这个平面的一条斜线垂直;那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.OABOABla PαOA必修5数学知识点第一章：解三角形 1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. 其中R 为ABC ∆外接圆的半径2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边;求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角;求其它元素..2、余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩用途：⑴已知三角形两边及其夹角;求其它元素；⑵已知三角形三边;求其它元素.. 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABCsin 21sin 21sin 2===∆ 4、三角形内角和定理：()C C A B ππ=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、一个常用结论：sin sin ;b A B A B ⇔>⇔> 若sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或特别注意;在三角函数中;sin sin A B A B >⇔>不成立..第二章：数列1、数列中与之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并..2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起;每一项与它的前一项的差等于同一个常数;即n a －1-n a =d ;n ≥2;n ∈N +;那么这个数列就叫做等差数列..⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+= ⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,;则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++;仍组成等差数列；③数列{}b a n +λb ,λ为常数仍为等差数列； ④若{}n a 、{}n b 是等差数列;则{}n ka 、{}n n ka pb +k 、p 是非零常数、*{}(,)p nq a p q N +∈、;…也成等差数列..⑤单调性：{}n a 的公差为d ;则：ⅰ⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ⇔=0d {}n a 为常数列；⑥数列{n a }为等差数列n a pn q ⇔=+p;q 是常数 ⑦若等差数列{}n a 的前n 项和n S ;则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列..3、等比数列。
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1.7.1定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究.课时分配本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题教学目标重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值.难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数知识点：应用定积分解决平面图形的面积.能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法.教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法.考试点：应用定积分解决平面图形的面积.易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数拓展点：链接咼考.教具准备实物投影机和粉笔.课堂模式基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近）2、定积分的几何意义是什么？o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积sin xdx = -cosx=f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数3、微积分基本定理是什么？【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时加深理解二、探究新知㈠利用定积分求平面图形的面积例1 •计算由两条抛物线 y2= x 和y = X 2所围成的图形的面积.分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到解：由y =x =0及x =1，得两曲线的交点为（0,0） >（1,1）,y =x 2面积 S = ° xdx - o x2dx ,所以S= 01（匚/*知2<0已总结：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1. 作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积; 练习：计算由曲线 y =x3-6x 和y =x 2所围成的图形的面积例2 •计算由直线y =x -4，曲线莎 以及x 轴所围图形的面积 S .分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题•与例 1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S ,和•为了确定出被积函数和积分的上下限，需要求出直线 y =x -4与曲线y 二2x 的交点的横坐标，直线 y =x -4与x 轴的交点.解法一：作出直线 y = x-4，曲线y 「.丟 的草图，所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组y = 2x,得直线y=x-4与曲线y 「2x 的交点的坐标为 y = x _4(8,4)4.微积分基本定理求定积分若对称则面积为直线y =x _4与x 轴的交点为（4,0）.4--- 8---- 8因此，所求图形的面积为 S =3 • S 2 2xdx • [ 4.2xdx - 4 (x -4)dx]272 号 8 64。
40 —8 = — — 8 =—0 3 3【设计意图】 动手实践 注意强调用步骤方法，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草 图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上下限三、理解新知1、定积分的几何意义是:在区间［a , b ］上的曲线y = f （x ）与直线x =a 、x 二b 以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即bf （x ）dx 二S x 轴上方一S x 轴下方.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本a定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数 y = sin x x 壬［0,2i ］的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、 求曲边梯形面积的方法与步骤：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限； ⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和3、 几种常见的曲边梯形面积的计算方法：x 型区域：①由一条曲线 y 二f （x ）（其中f （x ） -0）与直线x =a,x = b （a ：：： b ）以及x 轴所围成的曲边梯b形的面积：S = ［ f （x ） dx （如图（1））；②由一条曲线 y=f （x ）（其中f （x ）＜ C ）与直线x = a , x= b （acb ）以a与直线x=a , x = b （a ：：： b ）所围成的曲边梯形的面积：S = | f (x )— g (x ) |dx (如图(3))a及x 轴所围成的曲边梯形的面积：s = b f f (x )dx = —bab f (x )dxa（如图（2 ））；③由两条曲线图（1）图（2）图（3）辽33I 4|4扣一4） ,8 407解法y =f (x ), y =g (x )(其中f (x ) _ g (x ))4、改变积分变量求曲边梯形面积的计算技巧【设计意图】分层要求，应用整合，强化新知，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心四、应用新知2辽2辽x [0,]与直线x =0, x , x轴所围成的图形面积3 32兀空3S= °3 sin xdx = — cos x |o3例4.计算由曲线寸=2x和直线y = x-4所围成的图形的面积解法一：Iy =2x(2, -2), (8,4). x^[0,2] ,xJ2,8]2 8i 2 t8 iS S2 =2 0、、2xdx 2(、‘ 2x —x 4)dx 2 2xdx 2 (、. 2x - x 4)dx-丄x2 4x)|2$宜公七2 3 3 3解法二:-2 小y =2x二y =x-4(2, -2), (8,4). y [ -2,4]4 1 2 1 2 1 3S「(y 4-尹*(尹"6y)—18例5.求曲线y= log2 x与曲线y = log 2(4 - x)以及x轴所围成的图形面积.y =log2 x,解：由彳解得交点坐标为(2,1)，所以yf0,1]』=log2(4 - x)又反解得：x =2y, X =4 -2y,即g(y) P y, f (y) =4 -2y例3.求曲线y = sin x解:.Xo=1，所以切点坐标与切线方程分别为 y = 2x - 1.【设计意图】 通过具体的例子，让学生体会定积分与其它知识的结合考查，若时间允许，还可补充抛物线 焦点弦围城封闭图形的面积最值问题.五、 课堂小结求阴影图形面积的方法与步骤：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； ⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和 有时需要注意改变积分变量的求积技巧 .六、 布置作业1、 必做题:P 60习题2、 选做题:1•如右图，阴影部分面积为( B )bcbA . ][f(x) —g(x)]dx ;B . [[g(x) — f (x)]dx+[ [f (x) —g(x)]dxbb bC . .a [f(x)-g(x)]dx c[g(x)-f(x)]dx ； D.」g(x) f(x)]dx.2、求直线y =2x - 3与抛物线y =x 2所围成的图形面积于是所求图形的面积为：11yS=.0[g(y)-f(y)]dy= 0(4一2 2y)dy = (4y _2 2ylog 2e )|0=4_2log 2 e 【设计意图】 通过具体的例子，进一步让学生求面积的方法以及积分变量的调整, 灵活掌握积分法求面积,尤其是积分变量的问题，有的可以自由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用 y 如对数的例5.=x 2(x _ 0)上的某点 切点A 的坐标以及切线方程• 2解：如图由题可设切点坐标为 (x 0, x 0 )X o切线与x 轴的交点坐标为(二0,0),2.试求:X o则由题可知有S 叮x2dixo 22X o (X - 2x °x X o )dx 二 12 12 X o 31322解：S = (2x +3— x )dx = (x 3x-M (0, -3)和N (3,0)处的两条切线所围成的图形的面积则所求图形的面积为七、 反思提升1. 本节课的亮点是课件制作精良，易于学生接受，课堂容量大，题型全面，尤其是积分变量的问题， 有的可以自由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用y 如对数的例5,学习效果好•2. 本节课的不足之处是由于使用课件学生动手机会少，实践的少，课下需要补充训练，尤其是改变积 分变量的题目，而且还可以渗透字母系数的题目结合导数求最值等八、 板书设计1.7.1定积分在几何中的应用二、例题讲解 例5 一•新课讲授例3例6问题例1 例4三、课堂小结例23、求由抛物线y = -x 2• 4x — 3及其在点 解：：y 、_2x ・4，切线方程分别为y =4x _ 3、 y = _2x 6，3S = J[(4X _3) _(_x 23294x -3)]dx 亠 |3[( -2x 6) -x 4x -3)] dx=— •4。