圆锥曲线知识点整理
高考数学知识点圆锥曲线二级结论
圆锥曲线的二级结论一．有关椭圆的经典结论结论1.（1）、与椭圆22221x y a b 共焦点的椭圆的方程可设为 222221,0x y b a b.（2）、与椭圆22221x y a b 有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b , 2222,0x y b a.结论2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:（1）、第一定义：122PF PF a ；（2）、焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c ；（3）、2212b PF PF a ；（4）、焦半径公式10||PF a ex ,20||PF a ex (1(,0)F c ,2(,0)F c 00(,)M x y ).结论4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF ，则（1）、2122||||1cos b PF PF；（2）、焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b；（4）、当P 点位于短轴顶点处时, 最大,此时12PF F S 也最大；（5）、.21cos 2e （6）、点M 是21F PF 内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM ||||.结论5.有关22b a的经典结论（1）、AB 是椭圆22221x y a b 的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a .（2）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a（3）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a（4）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B两点的任一点，则有22PA PBb K K a结论6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b 上，则（1）、以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y ；（2）、过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b.结论7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b.结论8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a ,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b.结论9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y （常数）.结论10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F ,21PF F ，则sin sin sin c e a.结论11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF ,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.结论12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）、22221111||||OP OQ a b；（2）、22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b ；（3）、OPQ S 的最小值是2222a b a b .结论15.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 22结论16.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.结论17.过椭圆22221(0)x y a b a b左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ；过右焦点的弦)(221x x e a AB .结论18.椭圆内接矩形最大面积：2ab .结论19.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设(1)、过1F 的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c；②2cos ab AB a c２２２２(2)、若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设过F ２的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c２２＋－；②22cos ab AB a c２２２结论：椭圆过焦点弦长公式： 222cos 2sin ab x a c AB ab y a c２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上结论20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ,则2112amnb二．有关双曲线的经典结论结论21.（1）、与22221x y a b 共轭的双曲线方程为22221x y a b，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e 。
圆锥曲线知识点总结6篇
圆锥曲线知识点总结6篇第1篇示例：圆锥曲线是解析几何学中非常重要的概念，它们分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线具有丰富的性质和应用，掌握其基本知识对于理解其在几何、物理、工程等多个领域的应用至关重要。
本文将对圆锥曲线的基本性质和特点进行详细总结。
我们从圆锥曲线的定义入手。
圆锥曲线是平面上一点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比为常数的点的轨迹。
根据这个定义，椭圆的准线是实直线，双曲线的准线是虚直线，而抛物线的准线是平行于其自身的直线。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。
椭圆的定义是到焦点和准线的距离之比小于1的点构成的轨迹。
椭圆具有对称性，其焦点到准线的垂直距离之和恒等于两焦距之和，这个性质被称为焦点定理。
椭圆还有面积、周长等重要性质，在几何中有重要的应用。
抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，其定义是到焦点和准线的距离相等的点构成的轨迹。
抛物线具有对称性，其焦点到准线的垂直距离恰好等于焦距。
抛物线是一种非常重要的曲线，常见于物理学和工程学中的抛物线运动、光学、无线电通信等领域。
除了上述基本性质外，圆锥曲线还有许多重要的定理和性质。
焦点、准线、焦距、离心率等概念是理解圆锥曲线的重要基础。
圆锥曲线的方程形式也是研究和应用圆锥曲线的关键，椭圆和双曲线的标准方程分别为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1和x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，而抛物线的标准方程为y^2 = 2px。
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，掌握其基本性质和定理对于理解几何学、物理学和工程学中的问题有重要意义。
通过对圆锥曲线的学习，我们不仅可以深入理解几何形体的性质，还可以应用圆锥曲线的知识解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
加强对圆锥曲线知识的学习和应用是十分必要的。
第2篇示例：圆锥曲线是解析几何中最重要的一类曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种。
这些曲线在数学和物理学等领域中有着重要的应用，是我们熟悉的常见数学概念之一。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，一共包括圆、椭圆、双曲线、抛物线四种类型。
以下是圆锥曲线的一些基础知识点总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（称为焦点）F和一条直线（称为准线） l 组成的，为使到焦点的距离与到准线的距离之比等于一个定值（称为离心率），所形成的所有点的轨迹。
二、圆锥曲线的基本方程圆是到焦点距离为R的圆锥曲线，其基本方程为：(x-a)²+(y-b)²=R²其中(a,b)为圆心坐标，R为半径长度。
(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1 或 (y-b)²/b²-(x-a)²/a²=1抛物线是离心率等于1的圆锥曲线，其基本方程有两种形式：① y²=2px (焦点在y轴上)其中p为抛物线焦半距的一半，(0,p)为焦点坐标，对称轴为x或y轴。
三、圆锥曲线的相关参数1、椭圆离心率椭圆离心率的计算公式为：其中e为离心率，a、b分别为椭圆的长短半轴。
离心率越小，椭圆越接近圆形。
2、双曲线离心率e=√(a²+b²)/a 或e=√(a²+b²)/b3、抛物线参数抛物线的参数有焦半距p和直角坐标系下的直线斜率k。
① y²=2px，p=y²/2x1、对称性与x轴、y轴、原点、直线x=y、直线x=-y对称的圆锥曲线仍然是一条圆锥曲线。
2、切线斜率圆锥曲线上任一点处的切线斜率等于到该点的切线与焦点连线的斜率。
椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示。
4、焦点性质离一个点的两条切线的交点一定在该点的焦点上。
以上就是关于圆锥曲线的一些基础知识点总结，希望对大家掌握圆锥曲线有所帮助。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。
根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。
椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。
椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。
抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。
抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。
（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。
双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。
双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。
（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。
三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。
2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是二维平面上的几何图形，由直角圆锥与一个平面相交而产生。
它在数学、物理、工程和计算机图形等领域具有广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程、性质和应用进行总结。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线可以分为三种类型，即椭圆、抛物线和双曲线。
它们的定义分别是：- 椭圆：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
- 抛物线：平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。
- 双曲线：平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 方程形式：圆锥曲线可以以各种形式的方程表示。
常见的方程形式包括标准方程、参数方程和极坐标方程。
二、椭圆1. 基本性质：椭圆是一个闭合的曲线，两个焦点之间的距离是常数，而离心率小于1。
椭圆对称于两个坐标轴，并且具有两个主轴和两个焦点。
2. 椭圆的方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是两个半轴的长度。
3. 参数方程：椭圆的参数方程是x = h + a*cos(t)，y = k + b*sin(t)，其中t是参数的角度。
4. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程是r = (a*b) / sqrt((b*cos(t))² + (a*sin(t))²)，其中r是极径，t是极角。
5. 应用：椭圆在日常生活中有多种应用，例如天体运动的轨道、水平仪和椭圆形浴缸等。
三、抛物线1. 基本性质：抛物线是一个开放的曲线，焦点和直线称为准线。
抛物线对称于准线，并且具有一个顶点。
2. 抛物线的方程：抛物线的标准方程是y = a*x² + b*x + c，其中a、b和c是常数。
3. 参数方程：抛物线的参数方程是x = t，y = a*t² + b*t + c，其中t是参数。
4. 极坐标方程：抛物线没有显式的极坐标方程。
5. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学中有多种应用，例如抛物线反射器、天体运动的近似模型和喷泉水流的轨迹等。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结
定义与性质：
到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d 的点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中，定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
当e>1时为双曲线。
当e=1时为抛物线。
当0<e<1时为椭圆。
形成方式：
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆。
把平面渐渐倾斜，得到椭圆。
当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线。
用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。
应用领域：
工程：圆锥曲线被应用于各种工程设计中，如建筑、航天、船舶等。
例如，圆锥曲线被用于设计桥梁、隧道、水坝、航天器、船舶等。
光学：圆锥曲线被广泛应用于光学设计中，例如设计反射望远镜和透镜，以及光学系统中的成像和折射问题。
绘画和艺术：圆锥曲线的美学特性使其成为绘画、雕塑、建筑和设计等领域的重要元素。
物理：圆锥曲线可以用来描述粒子在空间中的运动轨迹。
以上仅为圆锥曲线部分知识点的总结，如需更全面的内容，建议查阅数学教材或咨询数学教师。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
圆锥曲线知识点清单
圆锥曲线知识点清单1.圆锥曲线定义：圆锥曲线可以定义为平面上一条曲线，是由一个平面与一个双曲面(或抛物面、圆锥、椭球)相交而得到的曲线。
2.圆锥曲线的分类：根据双曲面的切割方式，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。
3.圆：圆是一种特殊的圆锥曲线，是由一个平面与圆锥体的底面相交而得到的曲线。
圆的特点是所有的点到圆心的距离都相等。
4.椭圆：椭圆是圆锥曲线中除了圆之外最为常见的一种形式。
椭圆的特点是到两个焦点的距离之和等于定长的点构成的轨迹。
5.双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种形式，具有两个分离的点，称为焦点。
双曲线的特点是到两个焦点的距离之差等于定长的点构成的轨迹。
6.抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种形式，具有一个焦点和一个定点。
抛物线的特点是到焦点和定点的距离相等的点构成的轨迹。
7.圆锥曲线的方程：每种圆锥曲线都有其特定的方程形式。
例如，椭圆的方程可以表示为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。
8.圆锥曲线的焦点和准线：每种圆锥曲线都具有焦点和准线，它们在曲线的定义中起到重要作用。
焦点是曲线的特定点，而准线是曲线的特定直线。
9.圆锥曲线的参数方程：除了直角坐标系方程外，圆锥曲线还可以使用参数方程来表示。
参数方程由参数t控制，使我们可以通过调整参数值来改变曲线的形状。
10.圆锥曲线的基本性质：每种圆锥曲线都具有一些基本的性质，如对称性、渐近线、离心率等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析圆锥曲线。
11.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在现实生活和工程领域中有着广泛的应用，如天体轨道、卫星通信、汽车运动轨迹等。
了解圆锥曲线的性质和方程形式有助于我们更好地理解和应用它们。
12.圆锥曲线的研究方法：研究圆锥曲线的方法包括几何方法和解析几何方法。
几何方法主要是通过几何性质和图形推理来研究曲线的特性，而解析几何方法则是通过代数和数学计算来推导圆锥曲线的方程和性质。
以上是圆锥曲线的一些主要知识点，通过学习和了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
圆锥曲线知识点归纳总结
圆锥曲线知识点归纳总结圆锥曲线知识点归纳总结一、基本概念圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、抛物面或圆锥相交而得到的曲线。
它包括四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
二、椭圆1. 椭圆的定义：平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为椭圆。
2. 椭圆的性质：（1）椭圆的中心为坐标原点。
（2）椭圆的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2-b^2。
（3）椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，满足a>b>0。
（4）离心率e=c/a，0<e<1。
（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与椭圆交点到O的距离之和等于常数2a*cosθ。
三、双曲线1. 双曲线的定义：平面上到两个定点F1和F2距离之差等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为双曲线。
2. 双曲线的性质：（1）双曲线的中心为坐标原点。
（2）双曲线的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2+b^2。
（3）双曲线有两条渐近线，即横坐标趋近于正无穷或负无穷时，纵坐标趋近于两条直线y=±b/a*x。
（4）离心率e=c/a，e>1。
（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与双曲线交点到O的距离之差等于常数2a*cosθ。
四、抛物线1. 抛物线的定义：平面上到定点F与定直线L距离相等的所有点P的轨迹称为抛物线。
2. 抛物线的性质：（1）抛物线的中心为定直线L上方向原点最近的那个点。
（2）抛物线与定直线L垂直，并以其为对称轴。
（3）焦距等于顶点到焦点或顶点到准直径之间的距离。
（4）顶点为抛物线的最高点，即其纵坐标为最大值。
（5）离心率e=1。
五、直线1. 直线的定义：平面上所有点的轨迹都是直线。
2. 直线的性质：（1）直线可以表示为y=kx+b的形式，其中k是斜率，b是截距。
（2）两条不重合的直线相交于一点。
（3）两条平行的直线永远不会相交。
圆锥曲线知识点公式大全
圆锥曲线知识点公式大全圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以由一个动点（焦点）和一条定点到动点距离与到一条给定直线距离之比（离心率）确定。
1.椭圆的定义方程：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆的两条半轴的长度。
2.长轴和短轴：长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
焦距是c，满足c² = a² - b²。
3.离心率：离心率用e表示，e² = 1 - (b²/a²)。
离心率是一个衡量椭圆形状的指标，e=0表示圆。
4.双曲线的定义方程：(x/a)² - (y/b)² = 1或(y/b)² - (x/a)² = 1，其中a和b分别是双曲线的两条半轴的长度。
5.双曲线的焦点和离心率：双曲线有两个焦点和两条渐近线，焦点到双曲线上的任意一点的距离与焦距之差的绝对值恒等于离心率。
6.抛物线的定义方程：y² = 4ax或x² = 4ay，其中a是抛物线的焦点到准线的垂直距离。
7.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上的一个特殊点，准线是与焦点对称的一条直线。
以上是圆锥曲线的基本知识点和公式。
除此之外，还有一些拓展的知识点：-增量曲线：当焦点和准线都在y轴上时，圆锥曲线的公式可以表达为任意形式的增量曲线，如二次抛物线、双曲线等。
-参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，其中x = x(t)和y = y(t)是关于参数t的函数，通常t的取值范围是一个区间。
-极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程表示，其中r = r(θ)是关于极角θ的函数。
-高斯曲率：圆锥曲线在不同点处的曲率有所不同，而高斯曲率是描述曲面曲率性质的一个指标。
对于圆锥曲线来说，高斯曲率恒为常数。
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高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ∉，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：椭 圆双 曲 线抛 物 线焦 距 2c长轴长 2a —— 实轴长 —— 2a 短轴长 2b （双曲线为虚轴）焦点到对应 准线距离 P=2c b 2p通径长2·ab 22p（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）；（2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1by ax 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a)23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
与双曲线1b y a x 2222=-共焦点的双曲线为1kb y ka x 2222=--+（a 2+k>0，b 2-k>0）。
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F 1、F 2为椭圆14y 9x 22=+的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF ||PF |21的值。
解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
法一：当∠PF 2F 1=900时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |22222121得：314|PF |1=，34|PF |2= ∴27|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴2|PF ||PF |21=法二：当∠PF 2F 1=900，5x P = ∴ 34y P ±= ∴ P （34,5±） 又F 2（5，0） ∴ |PF 2|=34 ∴ |PF 1|=2a-|PF 2|=314 当∠F 1PF 2=900，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14y 9x )5(y x 22222得：P （554,553±±）。
下略。
评注：由|PF 1|>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。
例3、设点P 到M （-1，0），N （1，0）的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 取值范围。
分析：根据题意，从点P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m∴ 点P 轨迹为双曲线，方程为1m 1y m x 2222=--（|m|<1） ①又y=±2x （x ≠0） ② ①②联立得：2222m51)m 1(m x --=将此式看成是222m51)m 1(m --关于x 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m的取值范围。
根据双曲线有界性：|x|>m ，x 2>m 2∴2222m m 51)m 1(m >--又0<m 2<1 ∴ 1-5m 2>0 ∴ 55|m |<且m ≠0 ∴ )55,0()0,55(m -∈评注：利用双曲线的定义找到点P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x 2+y 2=1，双曲线(x-1)2-y 2=1，直线同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点M 是弦AB 中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当斜率不存在时，x=-1满足； 当斜率存在时，设：y=kx+b 与⊙O 相切，设切点为M ，则|OM|=1 ∴11k |b |2=+∴ b 2=k 2+1 ①由⎩⎨⎧=--+=1y )1x (b kx y 22得：(1-k 2)x 2-2(1+kb)x-b 2=0 当k ≠±1且△>0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则中点M （x 0，y 0），20221k1kb 1x ,k1)kb 1(2x x -+=-+=+∴ y 0=kx 0+b=2k1b k -+∵ M 在⊙O 上 ∴ x 02+y 02=1∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k 2)2② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==332b 33k 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=332b 33k ∴ ：332x 33y -=或33233y +-= 法二：设M （x 0，y 0），则切线AB 方程x 0x+y 0y=1 当y 0=0时，x 0=±1，显然只有x=-1满足； 当y 0≠0时，000y 1x y x y +-= 代入(x-1)2-y 2=1得：(y 02-x 02)x 2+2(x 0-y 0)2x-1=0 ∵ y 02+x 02=1∴ 可进一步化简方程为：(1-2x 02)x 2+2(x 02+x 0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：20200x 211x x x --+-=∴即2x 03-x 02-2x 0+1=0 解之得：x 0=±1(舍)，x 0=21 ∴ y 0=23±。
下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A 、B 是抛物线y 2=2px （p>0）上的两点，且OA ⊥OB ， （1）求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线AB 过定点； （3）求弦AB 中点P 的轨迹方程； （4）求△AOB 面积的最小值； （5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程。
分析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），中点P （x 0,y 0） （1）22OB 11OA x y k ,x y k == ∵ OA ⊥OB ∴ k OA k OB =-1 ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2 ∴ 0y y p2yp 2y 212221=+⋅∵ y 1≠0，y 2≠0 ∴ y 1y 2=-4p 2∴ x 1x 2=4p 2（2）∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2∴ （y 1-y 2）(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2) ∴212121y y p 2x x y y +=--∴ 21AB y y p2k +=∴ 直线AB ：)x x (y y p2y y 1211-+=-∴ 211121y y px 2y y y px2y +-++=∴ 212112121y y y y px 2y y y px2y ++-++=∵ 221121p 4y y ,px 2y -==∴ 21221y y p 4y y px 2y +-++=∴ )p 2x (y y p2y 21-+=∴ AB 过定点（2p ，0），设M （2p ，0） （3）设OA ∶y=kx ，代入y 2=2px 得：x=0，x=2kp 2∴ A （k p2,kp 22） 同理，以k1-代k 得B （2pk 2，-2pk ） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)k k 1(P y )k 1k (p x 0220 ∵ 2)k k k 1(k 1k 222+-=+ ∴2)py(p x 200+= 即y 02=px 0-2p 2∴ 中点M 轨迹方程y 2=px-2p 2（4）|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆ ≥221p 4|y y |p 2=当且仅当|y 1|=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。