【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.7.2

【思路点拨】 首先要确定的是所要求的是路 程还是位移，然后用相应的方法求解．
【解】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|30＝18.
知能优化训练
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1．7 定积分的简单应用
1．7.2 定积分在物理中的应用
学习目标
1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运 动的路程及变力做功． 2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然 后应用定积分的性质来求解．
1.7.2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．如果函数f(x)在区间[a，b]上是连续 函数，并且F′(x)＝f(x)，那么
(3)由 s＝abv(t)dt 求出所经过的路程．
变式训练2 列车以72 km/h的速度行驶，当制 动时列车获得加速度－0.4 m/s2，问列车应在
进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？ 解：已知列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车 制动时获得加速度a＝－0.4 m/s2.设列车由开始 制动到经过t s后的速度为v，则 v＝v0＋at＝20－0.4t. 令v＝0，得t＝50(s)．
例1 求下列曲线所围成的图形的面积． (1)y＝8－x2，y＝x2； (2)y＝6－x，y＝ 8x，x＝0.
【思路点拨】 理解定积分的几何意义，准确 画出图形，明确所求面积，并合理分割图形， 结合定积分求解．
【解】 (1)作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组yy＝＝x8－2 x2 得交点的横坐标为 x＝－2 及 x＝2.
而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此 当f(x)≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况 下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然 后相加起来． 3．用定积分解决简单的物理问题，关键是要 结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为 用定积分解决．
失误防范
1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面 积是两个不同的概念．定积分是一个和式的极 限，它可正、可负、可为零．而平面图形的面 积在一定意义下总为正，特别是当曲线有在x 轴下方的部分时，如何计算平面图形的面积， 更是初学者易错的地方． 2．求变力作功时，要注意单位，F(x)单位：N， x单位：m.
5
(2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝0(8t
－2t2)dt＝(4t2－23t3)|50＝530.
∴点 P 在 x 轴正方向上距离原点530处．
(3)从 t＝0 到 t＝5 时，点 P 经过的路程
4
5
s3＝0(8t－2t2)dt－4(8t－2t2)dt
＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|54＝26.
＝(2x－12x2－13x3)|1－2＝92.
求作变速直线运动物体的路程、 位移
路程是位移的绝对值之和，因此在求路程 时，要先判断速度在区间内是否恒正，若 符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区 间，然后分别计算，否则会出现计算失 误．
例2 有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为 v(t)＝8t－2t2(速 度 的正 方 向 与x轴正方向一 致 )．求 (1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程； (2)当t＝5时，P点的位置； (3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程； (4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t 值．
变式训练1 求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成 的图形的面积．
解：如图，先求出抛物线与直线的交点，
解方程组y＝x2， 得x＝1 或x＝－2， x＋y＝2， y＝1 y＝4，
即两个交点为(1,1)，(－2,4)，直线为 y＝2－x， 则所求的面积 S 为
1
S＝－2[(2－x)－x2]dx
2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s， 等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间 [a，b]上的定积分，即___s_＝___ab_v_(_t)_d_t.__
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运 动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单 位：m)，则力F所作的功为_W__＝__F_s__；而若是 变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区
做的功是 W＝abF(x)dx.
例3 设有一根长25 cm的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长 所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使 弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功． 【思路点拨】 先求出拉力F(x)，然后再求 功．
【解】 设 x 表示弹簧伸长的量(单位：m)， F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意 F(x)＝kx， 且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N，即 0.05k ＝100， ∴k＝2000， ∴F(x)＝2000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 W＝∫00.152000xdx＝1000x2|00.15＝22.5(J)．
设列车由开始制动到停止时所走的路程为 s，则 s＝∫500vdt＝∫500(20－0.4t)dt＝500(m)． 所以列车应在进站前 50 s，离车站 500 m 处开 始制动．
变力做功
解决这类问题的关键是弄明白做功的力是恒力 还是变力．一物体在力 F 作用下，沿着与 F 相 同的方向移动了 s，则 F 所做的功为 W＝Fs.若 力是变力 F(x)，由定积分的定义，物体沿与 F 相同的方向，从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F 所
间[a，b]上的定积分，即__W_＝____ab_F_(_x_)d_x____.
课堂互动讲练
考点突破
用定积分求平面图形的面积
用定积分求“曲边图形”面积的步骤： (1)先画出草图，确定所求面积是哪部分； (2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数 以及积分的上、下限； (3)把所求的面积用定积分表示； (4)根据微积分基本定理求出面积．
2
因此，所求图形的面积 S＝S1＋S2＝0 8xdx＋
6
2(6－ x)dx＝
8
×
2 3
x
3 2
|
2 0
＋
(6x
－
1 2
x2)|62
＝
16 3
＋
[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝136＋8＝430.
【思维总结】 由两条或两条以上的曲线围成 的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲 线的不同的交点坐标，将积分区间进一步划分， 然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和， 在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分 变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量， 同时更改积分的上下限．
(4)依题意0t (8t－2t2)dt＝0，
即 4t2－23t3＝0， 解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
【思维总结】 求变速直线运动的路程的步骤： (1)先求每一时间段上的速度函数； (2)根据定积分的物理意义，求对应时间段上的 定积分；
2
因此，所求图形的面积为 S＝－2(8－x2)dx－
2
－
2x2dx＝(8x－13x3)|2－2－13x3|2－2＝634.
(2)作出直线 y＝6－x，曲线 y＝ 8x的草图，所 求面积为图中阴影部分的面积．
解方程y＝6－x 得直线 y＝6－x 与曲线 y＝ y＝ 8x
8x交点的坐标为(2,4)，直线 y＝6－x 与 x 轴的 交点坐标为(6,0)．
解：由物理学知识易得，压强 p 与体积 V 的乘 积是常数 k，即 pV＝k. ∵V＝xS(x 指活塞与底的距离)，
∴p＝Vk ＝xkS.
∴作用在活塞上的力
F＝p·S＝xkS·S＝
k x.
∴所做的功 W＝abkxdx＝k·lnx|ba＝klnba.
方法感悟 方法技巧 1．在利用定积分求平面图形的面积时，一 般要先画出它的草图，再借助图形直观地 确定出被积函数以及积分的上、下限． 2．要把定积分和用定积分计算平面图形的 面积这两个概念区分开，定积分是一种积 分和的极限，可为正，可为负，也可为零；
【思维总结】 解决变力作功注意以下两个方 面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来， 这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的 问题．
变式训练3 在底面积为S的圆柱形容器中盛有 一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨 胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推 到点b处，计算在移动过程中，气体压力所做 的功．
______abf_(_x_)d_x_＝__F__(b_)_－__F_(_a_) ___________．
2. 不用计算，根据图形，用“>”“<”或“＝”填
空：
1
1
(1)0xdx__>__0x2dx(如图)；
1
2
(2)0xdx_<___1xdx(如图)；
2
2
(3)0 4－x2dx_<___02dx(如图)．
知新益能
1．定积分在几何中的应用 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)
__连__续____ 且 ___恒__有__f_(x_)_≥__0___ ， 那 么 定 积 分 ab
f(x)dx 表示直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲 线__y_＝__f(_x_)_所围成的__曲__边__梯__形____的面积．