传递函数矩阵的状态空间小实现

传递函数矩阵的状态空间最小实现————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：传递函数矩阵最小实现方法——降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。

给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。

最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。

（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子11,,A T AT B T B C CT --===成立。

（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。

为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。

求最小实现的方法有三种：1、降阶法。

根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。

2、直接求取约当型最小实现的方法。

若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。

3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。

下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。

先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。

取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函数矩阵，有j ()G s =1[()....()]Tj qj g s g s =11()()[]()()j qj T j qj p s p s q s q s L记()j d s 为1()j q s ,L ()qj q s 的最小公倍式，则j ()G s =11[()()]()T j qj j n s n s d s L 设()j d s =1,1,1,0jj j nn j n j j s a sa s a --++++L则12,1,2,1,0()j j j j n n ij ij n ij n ij ij n s sss ββββ----=++++L ，1,...i q =在此()j d s 是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范Ⅰ型的j A 、j b 实现()j d s ，由()ij n s 的诸系数确定j C ，这时j ()G s 的实现为1,0,0,10j j j jn j j j j n n n I A a a a --⨯⎡⎤=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦L1001j j n b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M1,01,11,1,0,1,1j j q n jj j j n j qj qj qj n C ββββββ⨯--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M MM L 令1,,j p =L ，便可得j ()G s 的实现为12n nP A A A A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O12n pP b b B b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O []12q n P C C C C ⨯=L当p ＜q 时，显见A 、B 、C 的维数均较小，且有1pj j n n ==∑。

上述实现一定能控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C ）的能观测行。

若（A,C ）能观测，则（A,B,C ）为最小实现；若001n C CA rankQ rank n CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ＜n 则从0Q 中选出0n 个线性无关行，记为S ；在附加（0n n -）个任意行（通常为单位矩阵n I 的任意行），记为1S ，即01TT n v S v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 011T n T n v S v +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 构造n n ⨯的非奇异变换阵T ，1S T S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦引入变换x Tx =，由能观测性的结构分解可知012100A A TATA A -⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00B B TB B ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦100C CT C -⎡⎤==⎣⎦其中能观测子系统000(,,)A B C 即为所求的最小实现。

000(,,)A B C 有如下简化求法：记1T -为001()0()0111n n n n n n n n n n S T U U S -⨯-⨯-⨯-⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由[]00111111100n n n I S SUSU TTU U S S US U I --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 有0n SU I = 由[][]11100CT C U U CU CU C -⎡⎤===⎣⎦， 有0C CU =由[]011111112100A S SAUSAU TATA U U S S AUS AU A A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，有0A SAU = 由0110B S SB TB B S S B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 有0B SB = 于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为： 1.构造S 阵（从0Q 中选出0n 个线性无关行）；2.由0n SU I =，求出U 阵；3.计算最小实现。

0A SAU =， 0B SB = ， 0C CU =。

由于S 选择的任意性及求解U 的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。

下面举例说明该法。

例1、已知传递函数矩阵()G s ，求最小实现。

2113()112s s s G s s s s s +⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦解: 化()G s 为严格真传递函数矩阵ˆ()Gs 111013ˆ()()111112s s G s G s D s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤++=+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦求ˆ()Gs 的最小实现。

11111()1111s g s s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 21213()13(2)(3)2s s g s s s s s ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥---++⎣⎦⎢⎥⎢⎥+⎣⎦令212()1,()56d s s d s s s =+=++，其能控规范Ⅰ型实现为11A =- 11b = 111C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦20165A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 201b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22131C ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ˆ()Gs 的能控型实现为 1210000010065A A A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦ 1210000001b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]12121131C C C ⎡⎤==⎢⎥---⎣⎦(A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==01211313163162n m C C rankQ rank rank rank n CA CA -⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦即(A,C)能观测。

（A,B,C ）能控且能观测，即为ˆ()Gs 的最小实现。

()G s 的最小实现为（A,B,C,D ）。

例2、求下列()G s 的最小实现维数及最小实现4623(1)(2)(1)(3)()21(1)(2)(1)(2)s s s s s s G s s s s s ++⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦解（1）确定最小实现维数n δ：所有()G s 的一阶子式的最小公分母为(1)(2)s s ++；二阶子式只有一个0，其分母为任意常数。

故所有子式的最小公分母仍为(1)(2)s s ++，有n δ=2。

（2） 1461()2(1)(2)s g s s s +⎡⎤=⎢⎥-++⎣⎦ 2231()1(1)(2)s g s s s +⎡⎤=⎢⎥-++⎣⎦令12()()(1)(2)d s d s s s ==++，其能控规范Ⅰ型实现为120123A A ⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦, 1201b b ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 16420C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 23210C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1200AA A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1200b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]12C C C = (A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==02643220108643202011210654623n m C C CA rankQ rank rank CA rank CA CA -⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦M <4 (A,C)不完全可观测。

从0Q 中选出二行构成S 阵 ,64322010S ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 由2SU I =求U 阵：1112212231324142643210201001u u u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦四个方程含8个未知数，设任意规定313241420u u u u ====，可解得10213440000U ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故最小实现为031221322A SAU ⎡⎤--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦04200B SB ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 01001C CU ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦。