三角形的内切圆(课堂PPT)

A
☉I是△ABC的内切
I
圆，点I是△ABC的内
心，△ABC是☉I的外
切三角形.
B
C
二 三角形内切圆的作法及内心的性质
观察与思考
问题1 如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心
O的位置有什么特点？ A
圆心O在∠ABC的平分线上.
M
O
B
N
C
问题2 如图 如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC 的两边 相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的 圆心在什么位置？
学练优九年级数学下（HK） 教学课件
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思
想. (难点)
导入新课
情境引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三
角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使 裁下的圆的面积尽可能大呢？
讲授新课
一 三角形内切圆的相关概念
观察与思考
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有 怎样的位置关系？
最大的圆与三角 形三边都相切
知识要点
与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
∴BD=ID．
拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm；内切圆半径是 1 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相 切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
A
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
D
∴AD=BD= 1 AB=1.5(cm)
rO
2
3
∴OD=AD·tan30o= 2 (cm)
圆心O在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线
的交点上. 线段OA，OB ，OC 分别是
∠A，∠B，∠C的平分线.
A
D 线段线段OD，OE， OF的
长度相等，等于三角形内
切圆的半径.
B
F
O
E
C
问题3 现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
作法：
1. 作∠B，∠C的平分线BE，CF，
设它们交于点O.
2. 过点O作OD⊥BC于点D.
B
C
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. D
∴ O D B D tan 3 03 cm . 内切圆半径 BD BD 2 3cm. 外接圆半径 cos30
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R
的比.
A
O R
r
B
C
D
r O D sin∠OBD sin30° 1 .
R OB
2
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A E
OO
C
S1 2A BO F1 2A CO E 1 2B CO DF
D
1(ABACBC)r1Lr.
2
2
B
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为__r__a___b__c__（以含a、
3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
B
A
F
E
O
D
C
知识要点
三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. A
D B
F
O
E
C
典例精析
例1 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点 I 是
△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式
r a b c 求出该直角三角形内切圆的半径，即可 2
得起至今的长度.
3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列 说法正确的是（Ａ ） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M， ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连
B
C
答:圆柱底面圆的半径为 3 cm.
2
例3 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等的
线段？理由是什么？
E
F O
B
C
D
解:设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
练一练
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外
A
接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
O
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
比一比
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
BIC90 1A.
A
2
I
B
C
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其 意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步， 股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直 径是多少步．”该问题的答案是_6___步．
BODC为正方形. ∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
A
D
·O
C
B
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上， 从而建立方程.
2
b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
AB的垂线，垂足分别为D，E，F. 则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以 r a b c . 2
A
c
F DrO
C
E
B
当堂练习
1.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=1_2_0_°__. （2）若∠A=80 °，则∠BIC =130 度.
解：连接IB，IC. ∵点 I 是△ABC的内心，
∴ IB，IC 分别是∠ B，∠C的平分线.
A
在△IBC中，
B IC 1 8 0 ( IB C IC B )
I
180 1(BC)
B
C
2
180 1(43 61) 128 . 2
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
接OK、OD、OF，根据垂径定理
和已知求出DM=KQ=FN，根据勾 股定理求出OM=ON=OQ，即点O 是△ABC的内心.故选Ａ
4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，