最新上海初三中考数学第23题专项复习
上海中考数学23题专题
中考数学试题一、单项选择题（共12分）1.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。
A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝33．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=124．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB 的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小5．如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:26．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）7．已知反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx−k的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限8.在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1x的图象可能是（）A．B． C．D．9．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12二、填空题（共24分）10．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是（）米。
11．已知△ABC，若有|sinA−12|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数是。
12.已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。
上海中考数学23题解题技巧(一)
上海中考数学23题解题技巧(一)上海中考数学23题解题技巧1. 题目背景在上海中考数学考试中，23题通常涉及到较为复杂的数学知识和解题方法。
解题时需要结合实际情境，运用所学的数学知识进行分析和计算。
2. 题目分析题目要求：已知一个长方体的体积为240cm³，它的底面长和宽的比是3∶2，高为6cm。
求长方体的底面积。
分析：根据题目给出的条件，我们可以得到以下信息： - 长方体的体积为240cm³ - 底面长和宽的比为3∶2 - 长方体的高为6cm3. 解题思路根据题目给出的条件，我们可以列出以下方程组： - 底面长为3x - 底面宽为2x - 底面面积为3x * 2x = 6x² - 长方体的体积为底面面积乘以高，即6x² * 6 = 240解题步骤如下： 1. 将方程6x² * 6 = 240转化为x² = 240 / 36 2. 计算得到x ≈ 2.449 3. 将x带入底面面积的表达式中，计算得到底面面积为6 * (2.449)² ≈ 37.22cm²4. 解题验证为了验证我们的解题结果是否准确，可以将底面长、宽和高代入体积的计算公式进行计算： - 长方体的体积为底面面积乘以高，即37.22 * 6 = 223.32cm³由于存在四舍五入的误差，我们得到的验证结果大约为223.32cm³，与题目给出的体积240cm³相差不大，可以认为解题结果正确。
5. 解题总结在解题过程中，我们运用了以下技巧： - 列出方程组，将问题转化为数学表达式 - 运用代数知识进行计算和化简 - 进行解题验证，确保解题结果正确综上所述，通过合理的分析和计算，我们成功解决了上海中考数学23题的问题，得出了正确的解题结果。
这个题目考察了学生对数学知识的掌握和运用能力，希望同学们能在备考中加强对这方面知识的学习和理解。
沪科版数学九年级上册 第23章 小结与复习
针对训练
1. 在 △ABC 中， ∠A、 ∠B 都是锐角，且 sin A = cos B， 那么 △ABC 一定是_直__角___三角形．
2. 如图，在网格中，小正方形的边
长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，
1
则 ∠ABC 的正切值是__2__.
例2 矩形 ABCD 中 AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 4 ，则 tan B 的
5
值为
4
3
3
( B) 4
A. 3 B. 4
C. 5
D. 5
解析：根据 sin A＝ 4 ，可设三角形的两边长分别为
5
4k，5k，则第三边长为
3k，所以
tan
B＝
3k
3.
4k 4
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体 的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的 方法主要有： (1)根据特殊角的三角函数值求值； (2)直接运用三角函数的定义求值； (3)借助边的数量关系求值； (4)借助等角求值； (5)根据三角函数关系求值； (6)构造直角三角形求值．
西北
北 东北
45°
西
)
O
45°
B南
东西
45° O
东
西南
东南
南
(3) 坡度，坡角
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作
i，即
i=
h l
.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i = tan α.
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i =1 : 6.
上海中考数学23题解题技巧
上海中考数学23题解题技巧（最新版3篇）目录（篇1）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：善于使用公式4.解题技巧三：逻辑思维与推理5.解题技巧四：熟练掌握解题方法6.解题技巧五：提高计算能力与速度7.总结正文（篇1）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，作为中考数学压轴题，一直以来都是考生们关注的焦点。
这类题目不仅考察考生的数学知识储备，还涉及到解题技巧和速度。
因此，对于考生来说，掌握一定的解题技巧显得尤为重要。
【解题技巧一：审题与分析】要想成功解答上海中考数学 23 题，首先要做的就是仔细审题，理解题意。
审题时，要注意挖掘题目中的隐含条件，对题目进行分析，判断出题目涉及的知识点，为接下来的解题做好准备。
【解题技巧二：善于使用公式】中考数学 23 题往往涉及到复杂的计算，这时运用公式可以简化计算过程。
因此，考生在解题过程中要善于运用已掌握的公式，提高解题效率。
【解题技巧三：逻辑思维与推理】在解答这类题目时，逻辑思维与推理能力尤为重要。
考生需要根据题目条件进行逻辑推理，找出解题思路。
此外，遇到困难时，要尝试变换思路，寻找解题突破口。
【解题技巧四：熟练掌握解题方法】中考数学 23 题涉及多种解题方法，考生要想取得好成绩，就需要熟练掌握这些解题方法。
例如，代数法、几何法、逻辑法等。
在解题过程中，考生要根据题目要求灵活运用这些方法。
【解题技巧五：提高计算能力与速度】要想在有限的时间内完成中考数学 23 题，考生需要具备较强的计算能力和速度。
为此，考生在平时的学习中要加强计算能力的训练，提高解题速度。
【总结】总之，要想成功解答上海中考数学 23 题，考生需要掌握一定的解题技巧。
目录（篇2）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：选择题的解题方法4.解题技巧三：填空题的解题方法5.解题技巧四：解答题的解题方法6.总结正文（篇2）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，是上海市初中毕业生学业考试数学科目中分值较高、难度较大的一部分。
沪科版数学九年级上期末复习专题：第23章 解直角三角形
第23章解直角三角形第1题在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=,则AB的长为( )A. B.6 C.12 D.8第2题已知α为锐角,且cos(90°-α)=,则cos α=( )A. B. C. D.第3题在正方形网格中,∠AOB如图23-3-1放置,则cos∠AOB的值为( )图23-3-1A. B. C. D.第4题在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠A=30°,那么sin A+cos B等于( )A.1B.C.D.第5题图23-3-2是教学用的直角三角板,AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为( )图23-3-2A.30cmB.20cmC.10cmD.5cm第6题已知sin 6°=m,sin 36°=n,则sin26°=( )A.m2B.2mC.n2D.n第7题在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高为1,则三角形的三边长分别是( )A.a=,b=,c=3B.a=2,b=,c=C.a=,b=2,c=D.a=2,b=2,c=4第8题如图23-3-3所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长为( )图23-3-3A.3+B.2+2C.5D.4.5第9题如图23-3-4,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C'处,BC'交AD于E,则下列结论不一定成立的是( )图23-3-4A.AD=BC'B.∠EBD=∠EDBC.△ABE∽△CBDD.sin∠ABE=第10题小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上.如图23-3-5,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为( )图23-3-5A.(6+)米B.12米C.(4+2)米D.10米第11题已知△ABC,若与(tan B-)2互为相反数,则∠C的度数是________.第12题如图23-3-6,已知四边形ABCD是正方形,以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD 和等边三角形QCD,那么tan∠PQB的值为________.图23-3-6第13题如图23-3-7,已知点A(5,0),直线y=x+b(b>0)与y轴交于点B,连接AB.若∠α=75°,则b=________.第14题如图23-3-8所示,B,C是河岸边两点,A是对岸岸边一点,测得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC=60 m,则点A到岸边BC的距离是________m.图23-3-8三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)第15题(1)已知cos 38°48'=0.779 3,求sin 51°12'的值;(2)计算:+sin 30°+cos 60°.第16题根据下列条件,求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.(1)BC=8,∠B=60°;(2)∠B=45°,AC=.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)第17题如图23-3-9,水坝的横断面是梯形ABCD,迎水坡BC的坡角为30°,背水坡AD的坡度为1∶,坝顶DC宽25米,坝高CE(或DF)为45米,求坝底AB的长,迎水坡BC的长以及BC的坡度.(结果保留根号)图23-3-9第18题如图23-3-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边AC上.若DB=6,AD=CD,sin∠CBD=,求AD的长和tan A的值.图23-3-10五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)第19题如图23-3-11,将一副三角尺叠放在一起,AB=12,试求阴影部分的面积.图23-3-11第20题如图23-3-12,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC.若BD=8,AC=6,∠BOC=120°,求四边形ABCD的面积.(结果保留根号)图23-3-12第21题如图23-3-13,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米,求拉线CE的长.(结果保留根号)图23-3-13七、(本题满分12分)第22题某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点沿斜坡BC到达山顶C点,如图23-3-14所示.斜坡AB的长为1 040 米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°.已知A点海拔为121米,C 点海拔为721米.(1)求B点的海拔;(2)求斜坡AB的坡度.图23-3-14第23题如图23-3-15,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)图23-3-15。
秋沪科版九年级数学上册习题课件：第23章 整理与复习(共23张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
）上册
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 3:45:54 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
沪科版九年级数学第23章 解直角三角形【整合提升密码】
解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角的三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后还原，求67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角学的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB＝1 2.(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是第一象限内的直线y＝kx－1上的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数表达式．(第1题)2．如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2.(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数表达式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)利用三角函数解与方程的综合问题3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．利用三角函数解与相似的综合问题4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第4题)解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE ＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．(第4题)解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的原理来解释实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)拦截问题3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏不20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km；(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，城市O是否会受到台风侵袭？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习锐角三角函数定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考中的必考内容．锐角三角函数的定义1．(2015·南通)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是()A .55B . 5C .12 D ．2(第1题)(第2题)2．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连接CD ，若tan ∠BCD ＝13，则tan A ＝( )A .32B ．1C .13D .233．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，点A 、B 、O 均在格点上，则cos ∠AOB 的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠EFC 的值为________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算6．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么sin A等于()A.12B.22C.32D．17．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为() A．60°B．90°C．120°D．150°8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝3 3，则边BC的长为()A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm10．(2015·日照)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tan B＝53，则tan∠CAD的值为()A.33B.35C.13D.15(第10题)(第11题)11．(2014·大庆)如图，矩形ABCD中，AD＝2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．12．(2014·临沂)如图，在▱ABCD中，BC＝10，sin B＝910，AC＝BC，则▱ABCD的面积是________．(第12题)解直角三角形的实际应用13．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O 多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第13题)三角函数与学科内的综合14．(2015·上海)已知在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y＝ax2－4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝25，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m.(1)求这条抛物线的表达式；(2)用含m的代数式表示线段CO的长；(3)当tan∠ODC＝32时，求∠PAD的正弦值．(第14题)解直角三角形中思想方法的应用a．转化思想15．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第15题)b．方程思想16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝错误!，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第16题)17．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD 底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)(第17题)答案解码专训一1．解：如图，作Rt△ABC，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a，∴CD＝AC＋AD ＝AC＋AB＝(2＋3)a.在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝a2＋（7＋43）a2＝(6＋2)a.∴sin 15°＝sin D＝BCBD＝a（6＋2）a＝6－24；cos 15°＝cos D＝CDBD＝（2＋3）a（6＋2）a＝6＋24；tan 15°＝tan D＝BCCD＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA ＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，∴tan 22.5°＝tan D＝BCCD＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.设AB＝x，则EB＝x，AE＝EF＝2x，∴tan∠FAB＝tan 67.5°＝FBAB＝2x＋xx＝2＋1.(第4题)4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，使∠ABC的平分线BD交AC于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，易知△ABC∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD ，∴ABa ＝aAB －a， 即AB 2－a·AB －a 2＝0，∴AB ＝5＋12a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14.∴cos 72°＝cos ∠ABE ＝BEAB ＝5－14.(第5题)5．解：如图，作△ABD ，△ACD ，使得DC ＝DA ，∠DAB ＝30°，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.∴CE＝BE ＝BC·sin C ＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ， ∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BEAB ＝32＋66a 233a＝6＋24，cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BEAE ＝2＋3.点拨：此题还可以利用第1题的图形求解．解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1.得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数表达式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵tan ∠AOB ＝AB OB ＝32，∴AB ＝3，∴A 点的坐标为(2，3)，∵点A 在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝6.(2)∵DC ＝AB ＝3，∴EC ＝12DC ＝32.∵E 点的纵坐标为32.∵点E 在y ＝6x (x ＞0)的图象上，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，设直线AE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b ，32＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝92.∴直线AE 对应的函数表达式为y ＝－34x ＋92.(3)结论：AN ＝ME.理由：在表达式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. 方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52. ∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32， ∴根据勾股定理可得EM ＝52， ∴AN ＝ME.方法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF ＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON .∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.3．解：∵a ，b 是方程x 2－mx ＋2m －2＝0的根，∴a ＋b ＝m ，ab ＝2m －2. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2＝52.∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝25，即m 2－2(2m －2)＝25.解得m 1＝7，m 2＝－3. ∵a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边的长，∴a ＋b ＝m ＞0.即m ＝－3不合题意，舍去．∴m ＝7. 当m ＝7时，原方程为x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3，x 2＝4.不妨设a ＝3，b ＝4，则∠A 是最小的锐角，∴sin A ＝a c ＝35. ∴Rt △ABC 中较小锐角的正弦值为35.4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DCG ＝90°，∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.∵∠DEF ＝∠CEG ，∴△EDF ≌△ECG ，∴EF ＝EG .∵BE ⊥FG ，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF ＝BG .(2)解：∵BF ＝BG ，∴∠BFG ＝∠G ，∴tan ∠BFG ＝tan G ＝3，设CG ＝x ，CE ＝3x ，则S △CGE ＝32x 2＝63，解得x ＝23，∴CG ＝23，CE ＝6，∵∠G ＋∠CEG ＝90°，∠G ＋∠CBE ＝90°，∴∠CEG ＝∠CBE.∵∠ECG ＝∠BCE ＝90°，∴△ECG ∽△BCE.∴EC BC ＝CG CE ，∴6BC ＝236，∴BC ＝63，∴AD ＝6 3.解码专训三1．解：(1)过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 根据题意可得：∠ACD ＝42°，∠BCD ＝55°. 设CD 的长为x 海里，在Rt △ACD 中，tan 42°＝ADCD ，则AD ＝x·tan 42°海里， 在Rt △BCD 中，tan 55°＝BD CD ，则BD ＝x·tan 55°海里． ∵AB ＝80海里，∴AD ＋BD ＝80海里， ∴x ·tan 42°＋x·tan 55°＝80， 解得：x ≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里； (2)在Rt △BCD 中，cos 55°＝CDBC ，∴BC ＝CDcos 55°≈60(海里)，答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米， ∴AE ＝BE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF＝BE tan 30°＝2033＝203(米)．∴AF＝EF－AE＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．答：AF的长度约是15米．3．解：分两种情况：(1)如图(1)，在Rt△BDC中，CD＝30千米，BC＝60千米．sin B＝CDBC＝12，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，(第3题)∴DP＝CDtan∠CPD＝30tan60°＝103(千米)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30千米．∴AP＝AD＋DP＝(30＋103)千米．(2)如图(2)，同法可求得DP＝103千米，AD＝30千米．∴AP＝AD－DP＝(30－103)千米．答：交叉口P到加油站A的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P点位置分两种情况讨论，即P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，∵tan 60°＝BAAE＝BA10.∴BA＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)．即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫还能晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.∵∠BFA＝45°，∴此时的影长AF＝BA≈17.3米，所以CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(米)，∴CH＝CF＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫还能晒到太阳．解码专训四1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.依题意，知AB＝24×3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan 60°＝CDBD，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan 30°＝CDAD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，解得CD＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝ABtanα＋tanβ＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的高速公路不会穿过风景区．(第3题)3．解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝12BC＝12×1 000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1 000米，∴CF＝CD·cos 45°＝22CD＝5002(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋5002)米，故拦截点D处到公路的距离是(500＋5002)米．4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不会受到台风侵袭理由如下：过点O作OH⊥PQ于点H.在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200 km，∴OH＝PH＝OP·sin∠OPH＝200×sin 45°＝1002≈141(km)．设经过t h时，台风中心从P移动到H，台风中心移动速度为20 km/h，则PH ＝20t＝1002，∴t＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈131(km)．台风中心在整个移动过程中与城市O的最近距离OH≈141 km，而台风中心从P移动到H时受侵袭的圆形区域半径约为131 km，131 km＜141 km，因此，当台风中心移动到与城市O距离最近时，城市O不会受到台风侵袭．解码专训五1．C 2.A 3.22 4.435．解：由题意知，AD＝BD.设AD ＝x ，则CD ＝x －3，在Rt △ACD 中，(x －3)2＋(15)2＝x 2，解得x ＝4，∴CD ＝4－3＝1.∴sin ∠CAD ＝CD AD ＝14.6．B 7.C8．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1＝2＋22－2－(22－2)＝2. 9. C(第10题)10．D 点拨：延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tan B ＝53，即AD AB＝53，∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ＝90°，∴△CDE ∽△BDA ，∴CE AB ＝DE AD ＝CD BD ＝12， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ，∴AE ＝152x ，∴tan ∠CAD ＝EC AE ＝15.故选D .11.6 12.181913．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO ，∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝(4.5＋x)km ，在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)，∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. ∴此时B 处距离码头O 大约13.5 km .(第14题)14．解：(1)∵抛物线y＝ax2－4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是(0，－4)，∴OB＝4，∵AB＝25，∴OA＝AB2－OB2＝2，∴点A的坐标为(－2，0)把(－2，0)代入y＝ax2－4得：0＝4a－4，解得：a＝1，则抛物线的表达式是：y＝x2－4；(2)∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2－4)，如图，过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE＝m，PE＝m2－4，∴AE＝2＋m，∵OCPE＝AOAE，∴OCm2－4＝22＋m，∴CO＝2m－4；(3)∵tan∠ODC＝32，∴OCOD＝32，∴OD＝23OC＝23×(2m－4)＝4m－83，∴ED＝OE－OD＝m－4m－83＝8－m3.又易知△ODB∽△EDP，∴ODED＝OBEP，∴4m－838－m3＝4m2－4，∴m1＝－1(舍去)，m2＝3，m3＝0(舍去)，∴OC＝2×3－4＝2，∵OA＝2，∴OA＝OC，∴∠PAD＝45°，∴sin∠PAD＝sin 45°＝2 2.15．解法1：如图①所示，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB 交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF是矩形．∴∠CBE＝120°－90°＝30°.在Rt△BCE中，BE＝BCcos∠CBE＝503cos 30°＝50332＝100，EC＝BC·tan∠CBE＝503×tan 30°＝503×33＝50.在Rt△DEF中，∠D＝180°－120°＝60°，DF＝EFtan D＝ABtan 60°＝3033＝30.∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED＋S△BCE＝12(AD＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第15题)解法2：如图②所示，延长DA，CB交于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°. 在Rt△ABE中，AE＝AB·tan 60°＝303×3＝90，BE＝2AB＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝1103×33＝110.∴S四边形ABCD ＝S△DCE－S△ABE＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形化为直角三角形．16．分析：由sin B＝DEDB＝ACAB＝35，可设DE＝CD＝3k(k＞0)，则DB＝5k，所以BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k，再由AC＋CD＝9，可以列出以k为未知数的方程，进而求出各边长．在Rt△BDE中，由勾股定理可求BE的长．过点C 作CF⊥AB于点F，最后由勾股定理求出CE的长．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DEDB＝ACAB＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k.∴CB ＝8k ，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC 2＋64k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53AC 2，∴AC ＝6k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.解得k ＝1.∴DE ＝3，DB ＝5，∴BE ＝DB 2－DE 2＝52－32＝4.过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则CF ∥DE ，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF ＝245，BF ＝325，∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.17．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第17题)设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m .在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AF tan 36°52′＝x ＋29tan 36°52′m ， 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ，∵CF ＝BD ，∴x ＋56＝x ＋29tan 36°52′，解得x ≈52. 答：该铁塔的高AE 约为52 m .。
沪科版九年级上《第23章解直角三角形》测试题含答案
第23章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12B. 22C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35° C. m sin35° D. mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 45 5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245°C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B.75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( )A ．(4，0)B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －713．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三、解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－1016．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－1117．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z －13，台风中心位于点O 处，并沿北偏东45°方向﹙OC 方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B ，则B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z －131. B2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝ACm，∴AC ＝m·cos 35°.3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sin A ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝45，∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34.13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD. ∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CEAE ，∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝33BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3. ∴CD ＝3BD ＝63(米)． 答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AEOA ，∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.精品 Word 可修改 欢迎下载 在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB，∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．。
上海初三中考数学第23题专项复习
上海初三中考数学第23题〔几何证明、计算题〕专题复习一、历年上海中考真题2021：23．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD〔如下图〕，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．〔1〕在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE〔保存作图痕迹，不写作法〕，并证明四边形ABED是菱形；〔2〕∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．2021：23．〔此题总分值12分，每题总分值各6分〕如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．〔1〕求证：四边形ABFC是平行四边形；〔2〕如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．ADEBF2021：23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值7分〕己知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ，∠BAF =∠DAE ，AE 与BD 交于点G ．〔1〕求证：=BE DF 〔2〕当要DF FC =ADDF时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．2021：23．如图8，在△ABC 中， 90=∠ACB ， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．〔1〕求证：DE EF =；〔2〕联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的 延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．2021：22．〔此题总分值10分，每题总分值各5分〕如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ． 〔1〕求sinB 的值；〔2〕如果CD ＝5，求BE 的值．GFDEBCA FE D A图823．〔此题总分值12分，每题总分值各6分〕：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．二、历年金山区模拟考真题〔15一模〕23．〔此题总分值12分〕如图，⊙O 与⊙1O 外离，OC 与D O 1分别是⊙O 与⊙1O 的半径，OC ∥D O 1．直线CD 交1OO 于点P ，交⊙O 于点A ，交⊙1O 于点B ． 求证：〔1〕OA ∥B O 1；〔2〕BDACBP AP =〔15二模〕23．〔此题总分值12分〕：如图，在中ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,BC AC =，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CD CE =，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG //BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使DCG HCE ∠=∠． 〔1〕求证：ACD BCE ∆≅∆； (2) 求证：四边形FHCG 是正方形．[注：假设要用1∠、2∠等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]G FE D BAC第23题图HO ACPDO 1B〔09二模〕23〔此题总分值10分〕如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE = BC. 〔1〕求证：∠E =∠DBC ；〔2〕假设等腰梯形ABCD 的中位线长为6，∠E =︒30，求等腰梯形ABCD 的对角线的长。
【教育资料】沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 复习题学习精品
第23章 解直角三角形类型之一 锐角三角函数的概念1．在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)和点B(3，0)，则sin ∠AOB 的值等于( )A . 2 55B . 55C . 52D . 122．［2019·滨州］如图23－X －1，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3图23－X －13．如图23－X －2，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．图23－X －2类型之二 特殊锐角的三角函数值4．计算2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的结果是( )A ．2 3－2B ．0C ．2 3D ．25．若cos α＝32，则锐角α＝________°. 6．计算：sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝________．类型之三 解直角三角形7．如图23－X －3，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________．图23－X －38．如图23－X －4，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．图23－X －49．如图23－X －5，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长． 图23－X －5类型之四 解直角三角形的实际应用10．［2019·重庆］如图23－X －6，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)．某同学从点C 出发，沿某一斜坡CD 行走195米至坡顶D 处．斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图23－X －611．［2019·瑶海区一模］如图23－X －7，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断的树干AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断的部分AC 与未折断的树干AB 形成60°的夹角．树干AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得BE ＝6米，塔高DE ＝9米．在某一时刻的太阳光照射下，未折断的树干AB落在地面的影子FB长4米，且点F，B，C，E在同一条直线上，点F，A，D也在同一条直线上．求这棵大树折断前的高度．图23－X－712．［2019·蜀山区二模］如图23－X－8，在地铁某站通道的建设中，建设工人将坡长为20米(AB＝20米)，坡角为20°30′(∠BAE＝20°30′)的斜坡通道改造成坡角为12°30′(∠BDE＝12°30′)的斜坡通道，使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin12°30′≈0.22，sin20°30′≈0.35，sin69°30′≈0.94)图23－X－813．［2019·宿州埇桥区模拟］如图23－X－9，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6米到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求电线杆PQ的高度．图23－X－9类型之五数学活动14．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.问题解决：如图23－X－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2海里．(1)连接A1B2，判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？图23－X－10教师详解详析1．A2．A [解析] 设AC ＝a ，则AB ＝2AC ＝2a ，BC ＝a÷tan 30°＝3a ，∴BD ＝AB ＝2a.∴tan ∠DAC ＝（2＋3）a a＝2＋ 3. 3. 22[解析] 如图，连接AB. ∵OA 2＝12＋32＝10，AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝22＋42＝20，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，OA ＝AB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，∴∠AOB ＝45°，∴cos ∠AOB ＝cos 45°＝22. 4．B 5.306．－12 [解析] sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝(12)2＋(12)2－1＝－12. 7. 6 [解析] ∵∠GAF ＝∠F ＝20°，∴∠AGC ＝∠ACG ＝40°，∴∠CAG ＝100°，∴∠DAC ＝60°，∴tan ∠DAC ＝DC AD ＝AB AD＝ 3. ∵AD ＝2，∴AB ＝ 6.故答案为 6.8．18 199．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD ＝90°，∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45. 在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k. 由BE ∶AB ＝3∶5，知BE ＝3k.则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，AC ＝3 2.∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE＝3， ∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45， ∴CD ＝12 25. 10．A [解析] 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，解直角三角形CDE ，得DE ＝75米，CE ＝180米，根据BC ＝306米可求得BE ＝126米．过点A 作AF ⊥DE ，∴AF ＝BE ＝126米．∵∠DAF ＝20°，根据tan 20°≈0.364，即DF AF ＝DF 126≈0.364，求得DF ≈45.864米，∴AB ＝75－DF ≈29.1(米)．11．解：根据题意，得AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC ＝90°，AB ∥DE ，∴△ABF ∽△DEF ，∴AB DE ＝BF EF ，即AB 9＝44＋6，解得AB ＝3.6. ∵在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AB AC， ∴AC ＝AB cos 60°＝7.2米， ∴AB ＋AC ＝3.6＋7.2＝10.8(米)．答：这棵大树折断前的高度为10.8米．12．解：作BC ⊥DE 于点C.∵BC ⊥DC ，∠BAC ＝20°30′，AB ＝20米， ∴sin ∠BAC ＝BC AB，∴BC ＝AB·sin ∠BAC ＝20×sin 20°30′≈20×0.35＝7(米)． 在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝12°30′，sin ∠BDC ＝BC BD， 即sin 12°30′＝BC BD， ∴BD ＝BC sin 12°30′≈70.22≈31.8(米)． 答：改造后的斜坡通道BD 的长约为31.8米．13．解：如图，延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE ＝x 米．在Rt △APE 中，∠A ＝45°，则AE ＝PE ＝x 米．∵∠PBE ＝60°，∴∠BPE ＝30°.在Rt △BPE 中，tan ∠PBE ＝tan 60°＝PE BE， ∴BE ＝x 3＝33x(米)． ∵AB ＝AE －BE ＝6米， ∴x －33x ＝6， 解得x ＝9＋3 3.则BE ＝(3 3＋3)米．在Rt △BEQ 中，QE ＝tan 30°·BE ＝33×(3 3＋3)＝(3＋3)米．∴PQ ＝PE －QE ＝9＋3 3－(3＋3)＝(6＋2 3)米．答：电线杆PQ 的高度是(6＋2 3)米．14．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明：由已知得A 2B 2＝10 2，A 1A 2＝30 2×2060＝10 2，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形．(2)∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知得∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.又∵∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.在△A 1B 2B 1中，由题中结论，得B 1B 2sin 45°＝A 1B 2sin 60°， ∴B 1B 2＝A 1B 2sin 60°·sin 45°＝10 232·22＝20 33. 因此，乙船的速度为20 33×6020＝20 3(海里/时)． 答：乙船每小时航行20 3海里．。
上海初三 数学 一模 第23题 专题复习
一模第23题专题复习 （1） 班级 姓名1.如图9，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且BCA ADE ∠=∠，∠CBD =∠BAE ．（1）求证：ABC ∆∽AED ∆；（2）求证：AB CD AC BE ⋅=⋅．2.如图，已知在△ABC 中AB = AC ，点D 为BC 边的中点，点F 在边AB 上，点E 在线段DF 的延长线上，且∠BAE =∠BDF ，点M 在线段DF 上，且∠EBM =∠C ． （1）求证：EB BD BM AB ⋅=⋅；（2）求证：AE ⊥BE ．3.已知：如图9，在四边形ABCD 中，ADB ACB ∠=∠， 延长AD 、BC 相交于点E ，求证：（1）△ACE ∽△BDE ；（2）DE AB DC BE ⋅=⋅图9EDC BAABDCEF （第2题图）M A B DE F 图94. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 中点，EF ⊥EC. (1)求证：△AFE ∽△DEC (2) 求证：△AFE ∽△EFC5．如图，在△ABC 中，正方形EFGH 内接于△ABC ，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且FB AE EF ⋅=2．（1）求证：︒=∠90C ；（2）求证：FB AE CG AH ⋅=⋅．6.已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 到点F ，使得EF =DE ，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF ． （1）求证：CGEGAC AE =（2）如果FB FG CF ⋅=2，求证：DE BC CE CG ⋅=⋅．FEA CB DA DBC FE G7.如图，已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，点E 、点D 是底边所在直线上的两点，联接AE 、AD ，若DE DC AD •=2， 求证：（1）△ADC ∽△EDA ； （2） CDEBAD AE =22．8.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠BCD =90º，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC ⊥BD ．（1）求证：2CD BC AD =⋅；（2）点F 是边BC 上一点，联结AF ，与BD 相交于点 G ．如果∠BAF =∠DBF ，求证：22AG BGAD BD=．ACBDE FGAC BD E9．如图，在AB C ∆中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，B ACD ∠=∠,AC AE AD 2⋅=． 求证：（1）DE ∥BC ；（2）2ADE DEC ABCBCD S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△△△．10.在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ， EC 与AD 相交于点F ．（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）若DE =3，BC =8，求△FCD 的面积．BEDCBA。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(23)尺规作图-精练精析(1)及答案解析
图形的性质——尺规作图1一．选择题（共8小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④5．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧二．填空题（共6小题）9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为_________ ．10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是_________ °．11．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是_________ ．12．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为_________ ．13．如图，图中的两条弧属于同心圆，你认为是否存在一条也属于此同心圆的能平分此阴影部分的面积_________ （填写“存在”或“不存在”）；若你认为存在，请你将图中的阴影部分分为面积相等但不全等的两部分，简要说明作法；若你认为不存在，请说明理由．_________ ．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= _________ ．三．解答题（共6小题）15．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．18．如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）19．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．图形的性质——尺规作图1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．解答：解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．A AS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．解答：解：如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选：C．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．解答：解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选：B．点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．4．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠B AD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形．分析：根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．解答：解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，∴AB=BC，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；④∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．故选C．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．5．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B． PA=PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ考点：作图—基本作图．分析：根据角平分线的作法进行解答即可．解答：解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选C．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．专题：压轴题．分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．解答：解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．S SS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．解答：解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧考点：作图—基本作图．分析：运用作一个角等于已知角可得答案．解答：解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．点评：本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．二．填空题（共6小题）9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为105°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．解答：解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．点评：本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是50 °．考点：作图—基本作图；等腰三角形的性质．分析：由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．解答：解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴∠C=∠CAE，∵AC=BC，∠B=70°，∴∠C=40°，∴∠AED=50°，故答案为：50．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．11．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35°=或b≥a．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形．专题：开放型．分析：首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心、b为半径画圆弧交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥AB时，②当b≥a时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥AB时，即sin35°=；②当b≥a时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．12如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为30°．考点：作图—基本作图；平行线的性质．分析：根据AB∥CD，∠ACD=120°，得出∠CAB=60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=30°．故答案为：30°．点评：此题考查了作图﹣复杂作图，用到的知识点是平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是得出∠MAB=∠CAB．13．如图，图中的两条弧属于同心圆，你认为是否存在一条也属于此同心圆的能平分此阴影部分的面积存在（填写“存在”或“不存在”）；若你认为存在，请你将图中的阴影部分分为面积相等但不全等的两部分，简要说明作法；若你认为不存在，请说明理由．作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．．考点：作图—应用与设计作图；扇形面积的计算．分析：利用已知作MO⊥OD，连接MD，再以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，进而以MN为半径作弧，即可得出答案．解答：解：作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．点评：此题主要考查了应用作图与设计以及扇形面积公式应用，得出MN的长是解题关键．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= 8 ．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长．解答：解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠CBA=30°，∴∠EAB=∠CAE=30°，∴CE=AE=4，∴AE=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键．三．解答题（共6小题）15．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．考点：作图—基本作图；平行线的判定．专题：作图题．分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．解答：解：（1）如图所示：（2）D E∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．分析：（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．解答：解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．专题：作图题；证明题．分析：（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．解答：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠CBA．点评：本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难度不大，需熟练掌握．18．如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．专题：作图题．分析：分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了复杂作图，正确把握三角形内心和外心位置确定方法是解题关键．19．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．考点：作图—复杂作图；切线的判定．专题：作图题；证明题．分析：（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交点O，进而以AO为半径做圆即可；（2）连接CO，再利用已知得出∠OCB=90°，进而求出即可．解答：解：（1）作图如图1：（2）证明：如图2，连接OC，∵OA=OC，∠A=25°∴∠BOC=50°，又∵∠B=40°，∴∠BOC+∠B=90°∴∠OCB=90°∴OC⊥BC∴BC是⊙O的切线．点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定利用线段垂直平分线的性质得出圆心位置是解题关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．考点：作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．专题：作图题．分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案．解答：解：（1）如图：（2）AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于D，如图．∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．。
上海中考数学23题解题技巧
上海中考数学23题解题技巧在上海中考数学考试中，题目数量不多但题目难度较大，需要考生具备较强的解题技巧和数学思维能力。
以下是针对上海中考数学23题的解题技巧。
题目要求分析上海中考数学23题通常是一道较难的综合题，要求考生使用多个知识点和解题方法来解答。
首先，仔细阅读题目，理解题意和要求。
然后，将题目要求进行分类归纳，分析需要用到的知识点和解题方法。
理清思路数学题解题的关键是理清思路。
对于上海中考数学23题，可以采取以下思路：1.分析题目给出的条件和要求，找出相关的数学知识点。
2.将题目进行分解，将复杂的问题拆分成多个简单的小问题，逐步解决。
3.使用已掌握的数学工具和解题技巧，遵循从已知到未知的思路，逐步推导求解。
4.注意运算的准确性和步骤的清晰性，避免出错。
数学知识点应用上海中考数学23题通常涉及到多个数学知识点，包括代数、几何、概率等。
在解题过程中，要根据题目的要求，合理应用相关的数学知识点。
举例来说，如果题目要求求解一个多边形的面积，就需要用到几何知识中的面积计算公式。
如果题目涉及到概率，就需要用到概率的计算方法。
解题技巧总结下面总结几个解题技巧，有助于解决上海中考数学23题：1.画图辅助思考：对于几何题，可以画出示意图，帮助理清题目的要求和求解思路。
2.独立思考：在解题过程中，尽量减少参考答案或其他同学的做法，保持独立思考，培养自己的解决问题的能力。
3.巧用已知条件：利用题目给出的已知条件，推导出更多有用的信息，缩小求解范围。
4.注意单位转换：题目中给出的单位可能与所需要的单位不一致，要注意进行单位转换。
5.多种方法求解：如果遇到复杂的问题，可以尝试多种解题方法，比较不同方法的优劣，并选择最合适的方法进行求解。
实战演练为了更好地掌握解题技巧，考生可以进行实战演练。
找到类似的综合题目进行练习，通过实际操作来提高解题能力。
总结反思在解答上海中考数学23题过程中，要注重细节和思路的整理。
每个题目解答完后，及时总结反思，找到解题过程中的不足之处，并及时纠正。
上海中考23题专题模拟练习(有答案)
AD CBEF图7上海中考23题专题复习1．已知：如图7，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，点E 是BD 的中点， CE 的延长线交边AB 于点F ，且∠CED=∠A ． （1）求证：AC =AF ；（2）在边AB 的下方画∠GBA=∠CED ，交CF 的 延长线于点G ，联结DG ．在图7中画出图形，并 证明四边形CDGB 是矩形．2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BA 的延长线上，BE =AF ，CF //AE ，CF 与边AD 相交于点G ． 求证：（1）FD =CG ； （2）FC FG CG ⋅=2.（第2题图）C3．如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点D 为边BC 上一点，点E 为边AB 的中点，过点A 作AF// BC ，交DE 的延长线于点F ，联结BF ． （1）求证：四边形ADBF 是平行四边形；（2）当∠ADF =∠BDF 时，求证：22BD BC BE ⋅=．4．如图9-1，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，点D 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，BE AE =，点M 是AE 的中点，联结CM ，点G 在线段CM 上，作AEB GDN ∠=∠交边BC 于N ．（1）如图9-2，当点G 和点M 重合时，求证：四边形DMEN 是菱形； （2）如图9-1，当点G 和点M 、C 不重合时，求证：DN DG =．AFBDCE（第3题图）B CA MD GE N图9-1 图9-2 A B CD E M N (G )5． 已知：正方形ABCD ，点E 在边CD 上，点F 在线段BE 的延长线上，且CBE FCE ∠=∠.（1）如图5，当点E 为CD 边的中点时，求证：EF CF 2=； （2）如图6，当点F 位于线段AD 的延长线上，求证：DFDEBE EF =.6．已知：如图，四边形ABCD 中，DB ⊥BC ， DB 平分∠ADC ，点E 为边CD 的中点，AB ⊥BE . （1）求证：2BD AD DC =⋅；（2）联结AE ，当BD =BC 时，求证：ABCE 为平行四边形.ABCDEF图5A BCD 图6FE（第6题图）7．已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.8．已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：DG DFGB DB．（图7）AB CDGEFMN9、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．(1)求证：DE ⊥BE ； (2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．10. 已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆， AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE BD =；（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =，求证：四边形AGCE 是平行四边形；OEDC BA11．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．12．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．参考答案1、证明：（1）∵∠CED=∠A ，∠DCE =∠FCA ，∴△DCE ∽△CFA . ……………………………………………………………2分 ∴FA ED AC EC =. ……………………………………………………………………1分∵∠ACB =90°，点E 是BD 的中点，∴ED EC =. ……………………………………………………………………2分 ∴AF AC =. ……………………………………………………………………1分 (2)在图7中正确画出图形. ……………………………………………………………1分 ∵∠GBA=∠CED ，∠CED=∠A ，∴∠GBA=∠A ，∴BG //CD . …………………………………………………………1分 ∴EGCE BE DE =. ……………………………………………………………………………1分 ∵DE =BE ，∴CE =EG . ……………………………………………………………………1分 ∴四边形CDGB 是平行四边形．………………………………………………………1分 ∵∠ACB =90°，∴平行四边形CDGB 是矩形．……………………………………………………………1分 2、证明（1）∵在菱形ABCD 中，AD //BC ，∴∠FAD =∠B ，……………………………（1分） 又∵AF=BE ，AD =BA ，∴△ADF ≌△BAE ．……………………………………（2分） ∴FD ＝EA ，…………………………………………………………………………（1分） ∵CF //AE ，AG //CE ,∴EA =CG ．…………………………………………………（1分） ∴FD=CG ．…………………………………………………………………………（1分） （2）∵在菱形ABCD 中，CD //AB ，∴∠DCF =∠BFC ．……………………………（1分） ∵CF //AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ．……………………………（1分） ∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE ＝∠FDA ，∴∠DCF ＝∠FDA ．…………………（1分） 又∵∠DFG ＝∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ．……………………………………（1分） ∴FDFGFC FD =，FC FG FD ⋅=2．…………………………………………………（1分） ∵FD=CG ，FC FG CG ⋅=2．……………………………………………………（1分） 3．证明：（1）∵ AF // BC ，∴ ∠AFE =∠BDE ．………………………………（1分） ∵ 点E 是边AB 的中点，∴ AE = BE ． ………………………（1分） 在△AFE 和△BDE 中，∵ ∠AFE =∠BDE ，∠AEF =∠BED ，AE = BE , ∴ △AFE ≌△BDE （A.A.S ）．∴ AF = BD ．………………………………………………………（2分）又∵ AF // BD ，∴ 四边形ADBF 是平行四边形．……………（1分） （2）∵ ∠ADF =∠BDF ，∠AFD =∠BDF ，∴ ∠ADF =∠AFD ．∴ AD = AF ．………………………………………………………（1分） 又∵ 四边形ADBF 是平行四边形，∴ 四边形ADBF 是菱形．…………………………………………（1分） ∴DF ⊥AB ，即得 ∠BED = 90°． ∵ ∠C = 90°，∴ ∠BED =∠C ．又∵ ∠DBE =∠ABC ，∴ △BDE ∽△ABC ．…………………（2分）∴ B D B E A B B C=，即得 B D B C B E A ⋅=⋅．………………………（1分） ∵ 点E 为边AB 的中点，∴ 2A B B E =． ∴ 22B D BC B E⋅=．………………………………………………（2分） 4．证明：（1）∵点D 是边AB 的中点，点M 是AE 的中点，∴BE MD //，BE MD 21=，AE ME 21=； ∴︒=∠+∠180END MDN ；又AEB GDN ∠=∠，∴︒=∠+∠180END AEB ；∴AE DN //； ∴四边形MDNE 是平行四边形；∵BE AE =，∴ME MD =；∴四边形MDNE 是菱形．（2）联结DM 、CD ．∵︒=∠90ACB ，点D 是边AB 的中点，点M 是AE 的中点， ∴BD AD CD ==,AM CM =；又DM DM =，∴CDM ADM ∆≅∆；∴MCD MAD ∠=∠； ∵BE AE =，∴B EAB ∠=∠；∴B MCD ∠=∠； ∵B AEB ∠-︒=∠2180，B CDB ∠-︒=∠2180；∴CDB AEB ∠=∠；又AEB GDN ∠=∠，∴CDB GDN ∠=∠； ∴CDN CDB CDN GDN ∠-∠=∠-∠；即NDB GDC ∠=∠； ∴BND CGD ∆≅∆； ∴DN DG =． 5、（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =. ························································· 1分∵点E 为CD 边的中点，∴CD CE 21=BC 21=. ·············································· 1分 ∵CBE FCD ∠=∠，F F ∠=∠，∴△FCE ∽△FBC . ········································ 2分 ∴BCCE CF EF =. ············································································································ 1分 又∵BC CE 21=，∴21=CF EF .即EF CF 2=. ··························································· 1分 （2）∵四边形ABCD 是正方形，∴DE ∥AB ，AD ∥BC ，AD =CD . ····················· 1分∵点F 位于线段AD 的延长线上，DE ∥AB ，∴ADDFBE EF =. ································ 1分 又∵AD =CD ，∴CDDFBE EF =.（1）··············································································· 1分∵AF ∥BC ，∴CBE DFE ∠=∠.又∵CBE DCF ∠=∠，∴DCF DFE ∠=∠. ······························································· 1分 又∵CDF FDE ∠=∠，∴△FDE ∽△CDF . ···································································· 1分 ∴CD DF DF DE =（2）.由（1）、（2）得 DFDEBE EF =. ···················································· 1分 6、（1） 证明：∵BD ⊥BC ，∴∠DBE +∠EBC =90°.∵AB ⊥BE ，∴∠DBE +∠ABD =90°. ∴∠EBC =∠ABD.…………………（1分） ∵E 为边CD 的中点，∴12BE DC =，即BE =EC ，…………………（1分） ∴∠EBC =∠C. ∴∠C =∠ABD.…………………………………………（1分） ∵BD 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠BDC.……………………………………（1分） ∴△ABD ∽△BCD .………………………………………………………（1分） ∴AD BDBD DC=.……………………………………………………………（1分） ∴2BD AD DC =⋅.………………………………………………………（1分） （2） 证明：∵△ABD ∽△BCD ，∴∠A =∠DBC . ∵BD ⊥BC ，∴∠DBC =90°.∴∠A =90°.∵BD =BC ，E 为边CD 的中点，∴BE ⊥DC ，即∠BED =90°. ∵AB ⊥BE ，即∠ABE =90°，∴ABED 为矩形. ∵BD ⊥BC ，E 为边CD 的中点，∴1,2BE DC DE ==∴ABED 为正方形. …………………………………………………………（2分） ∴AE ⊥BD ，且AE =BD . ∵BD ⊥BC ，∴AE //BC .∵BD =BC ，∴AE =BC . ……………………………………………………（2分） ∴ABCE 为平行四边形.……………………………………………………（1分） 7、（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB //CD . ………………………………（1分）∴∠EAG =∠FCG.…………………………………………………………（1分） ∵点G 为对角线AC 的中点，∴AG =GC .∵∠AGE =∠FGC ，∴△EAG ≌△FCG . ……………………………………（1分） ∴EG =FG .………………………………………………………………………（1分） 同理MG =NG .…………………………………………………………………（1分）∴四边形ENFM 为平行四边形. ………………………………………………（1分）（2）证明：∵四边形ENFM 为矩形， ∴EF =MN ，且EG =12EF ,GN =12MN . ∴EG =NG .……………（1分）∴∠1=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE+∠CGN+∠3=180°，∠AGE=∠CGN，∴2∠1=2∠AGE，即∠1=∠AGE.∴EN//AC. …………………………………（1分）∵EG=NG，又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN.∴△EAG≌△NCG. ………………………（1分）∴∠BAC=∠ACB，AE=CN.…………（1分）∴AB=BC. …………………………………（1分）∴BE=BN.…………………………………（1分）8、9、10、证明：（1）在⊙O 中，∵AB AC = ∴AB AC =∴B ACB ∠=∠； ∵AE ∥BC ∴EAC ACB ∠=∠ ∴B EAC ∠=∠； 又∵BD AE = ∴ABD ∆≌CAE ∆ ∴AD CE =； （2）联结AO 并延长，交边BC 于点H ，∵AB AC =，OA 是半径 ∴AH BC ⊥ ∴BH CH =； ∵AD AG = ∴DH HG = ∴BH DH CH GH -=-，即BD CG =； ∵BD AE = ∴CG AE =；又∵CG ∥AE ∴四边形AGCE 是平行四边形；11、证明：（1）在△ADE 与△CDE 中，，∴△ADE ≌△CDE ， ∴∠ADE=∠CDE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ADE=∠CBD ， ∴∠CDE=∠CBD ， ∴BC=CD ， ∵AD=CD ， ∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；12、证明：（1）如图1，连接BC ，OB ，OD ，∵AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ， ∴A 在BC 的垂直平分线上， ∵OB ＝OA ＝OD ，∴O 在BC 的垂直平分线上， ∴AO 垂直平分BC ， ∴BD ＝CD ；（2）∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC ， ∵∠CBE ：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．。
上海中考数学第23题解题方法(一)
上海中考数学第23题解题方法(一)上海中考数学第23题解题题目描述23.两个正整数的商是10，余数是2，被除数小于20，求这两个数。
方法一：列举法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外一个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = y * 10 +2；5.由于被除数小于20，所以可以假设y的范围在1至19之间；6.将y的取值从1至19代入第4步的方程式，计算出对应的x；7.通过列举法找到x和y满足条件的组合，即为题目所求的答案。
方法二：代数法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外两个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = 10y + 2；5.将方程式中的x代入第4步中的方程式，得到10y + 2 = y * 10+ 2；6.化简上述方程式，得到10y = y * 10；7.由于y不等于0，可以将上述方程式两边除以y，得到10 = 10；8.由于上述方程式恒成立，说明y可以取任意正整数；9.代入y的取值，计算出对应的x；10.通过代数法找到满足条件的x和y的组合，即为题目所求的答案。
方法三：数学推理法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外两个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = 10y + 2；5.根据题目中的条件，可以推导出x的范围在12至192之间；6.从范围内依次取x的值，计算出对应的y，判断是否满足题目中的条件；7.找到满足条件的x和y的组合，即为题目所求的答案。
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上海初三中考数学第23题（几何证明、计算题）专题复习一、历年上海中考真题2010：23．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．2011：23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．ABDF CE2012：23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）己知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ，∠BAF =∠DAE ，AE 与BD 交于点G ．（1）求证：=BE DF （2）当要DF FC =ADDF时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．2013：23．如图8，在△ABC 中， 90=∠ACB ， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的 延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．2014：22．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ． （1）求sinB 的值；（2）如果CD ＝5，求BE 的值．GFDEBCA FE D ABC图823．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．二、历年金山区模拟考真题（15一模）23．（本题满分12分）如图，已知⊙O 与⊙1O 外离，OC 与D O 1分别是⊙O 与⊙1O 的半径，OC ∥D O 1．直线CD 交1OO 于点P ，交⊙O 于点A ，交⊙1O 于点B ． 求证：（1）OA ∥B O 1；（2）BDACBP AP =（15二模）23．（本题满分12分）已知：如图，在中ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,BC AC =，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CD CE =，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG //BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使DCG HCE ∠=∠． （1）求证：ACD BCE ∆≅∆； (2) 求证：四边形FHCG 是正方形．[注：若要用1∠、2∠等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]G FE D BAC第23题图HO ACPDO 1B（09二模）23（本题满分10分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE = BC. （1）求证：∠E =∠DBC ；（2）若等腰梯形ABCD 的中位线长为6，∠E =︒30，求等腰梯形ABCD 的对角线的长。
三、2015年中考题型展望上海中考数学试卷的出题风格在23题上相对固定，旨在考察学生对于几何问题证明或者计算基本图形之间的综合掌握。
题目难度主要以中档层次题目为主，一般不存在找不到思路的情况。
若熟练掌握基本几何知识点，就能以不变应万变解答出此类中考问题。
几何证明及计算（1）特殊三角形的边、角计算（2）特殊三角形的边、角计算。
（3）特殊三角形、特殊四边形的性质应用（4）三角形中位线（5）全等三角形、相似三角形的判定和性质应用（6）正多边形的对称性问题（7）圆的垂径定理，圆的切线判定及性质（8）图形运动问题（平移、旋转、翻折）（9）几何图形与锐角三角比结合证明或计算（10）几何图形与函数结合证明或计算*相似三角形的性质的考察加大力度，主要考察学生的思维及能力解决。
全等三角形的判定：①边角边公理（SAS ） ②角边角公理（ASA ） ③角角边定理（AAS ） ④边边边公理（SSS ）⑤斜边、直角边公理（HL ） 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中︒30角所对的直角边等于斜边的一半；DABC（第23题图） E直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
(4)四边形多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于︒⋅-180)2(n （n ≥3，n 是正整数）； 平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外） ①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形的判定：四边相等的四边形是菱形； 正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
等腰梯形的特征:①等腰梯形同一底边上的两个内角相等 ②等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定：①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
圆点与圆的位置关系（设圆的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ）：①点P 在圆上，则d=r ，反之也成立； ②点P 在圆内，则d<r ，反之也成立； ③点P 在圆外，则d>r ，反之也成立；圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可得到另外两组也相等圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等； 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，︒90的圆周角所对的弦是直径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；弧长计算公式：180Rn l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） 扇形面积：2360R n S π=扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长）(6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线垂线；图形的相似比例的基本性质：如果dc b a =，则bc ad =，如果bc ad =，则)0,0(≠≠=d b dcb a 相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方；相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例； ③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；口诀：人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
几何图形线段长度计算三大方法：“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数。