第四章-连续时间傅里叶变换

第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
保持T不变，缩小T1： 若 T = 8T1 有: a0 1/4;
a1 a1 2 2 ; a2 a2 1 2 ;
a3 a3 2 6 ; a4 a4 0;
a5 a5 - 2 10 ; a6 a6 -1 6 ;
a7 a7 - 2 14 ; a8 a8 0;
(a) T=4 T1 -2 0 2
ak e jk0t
k
1 T0
k
X ( jk0 )e jk0t
1
2
k
X
(
jk0
)e
jk0t 0
当 T0 时，x(t) x(t),
0
2
T0
d,
k0 于是有：
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为 1 X ( j的)d复 指数信号之和。
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
首先考察周期矩形脉冲的频谱图： x(t)
xt
1,
t T1
0, T1 t T 2
…
…
-T -T/2 -T1 T1 T/2 T
t
其傅里叶级数的系数（频谱）为
a0
1 T
T1 dt 2T1 ,
T1
T
2T1 ---占空比
T
ak 2asiknk(k02Ts0iTnk1)k0T0Ts1in kskin2Tkk10TT1 , k 0
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
考察下图所示周期信号 ~x (t) 和对应的非周期信号x(t):
对周期信号有如下傅里叶级数:
~x (t)
ak e jk0t
ak
k
1 ~x (t )e jk0t dt TT
Tak
T / 2 x(t)e jk0t dt
T / 2
8
由
Tak
T / 2 x(t)e jk0t dt
T / 2
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间傅立叶变换
X ( j) 称为频谱密度函数，简称为频谱
与周期信号傅立叶级数对比有：
ak
1 T
X ( j)
k0
9
根据傅立叶级数表示：
x(t)
其中，当 k 2T1 / T n , (n 1,2,),即k nT / 2T1,时, ak 0 3
ak
sin k 2T1
k
T
（50% 占空比）
若 T = 4T1 有： a0 1/ 2; a1 a1 1/ ; a2 a2 0
a3 a3 -1/ 3 ; a4 a4 0
a5 a5 1/ 5 ; a6 a6 0
160
k0
2T1 1 T0 8
T1不变 T 时
1/2
0 0 20 40 1/4
0 0 40
80
1/8
0 80 160
2T1 1
k0 T 2
k0
2T1 1 T4
2T1 1 5
k0
T8
周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性
1. 当T1不变，改变T 时，随着T 增大，占空比减小，谱线间 隔变小，幅度下降,但频谱包络的形状不变；
分 X ( j)
eate jt dt
0
收敛于
1
a j
的前提是
a>0
可见，并不是所有信号的傅立叶变换都存在。 一个信号x(t)存在傅立叶变换的前提是它满足狄里 赫利条件：
| x(t) | dt
13
2. x(t) ea t , a 0
X ( j) 0 eate jtdt eate jtdt
0
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
x(t)
1
t
0
对此例有 X ( j) X ( j)
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
是有限值。若T1不变，则Tak不变。
6
称连续量
2
sin T1
为Tak的包络;
离散量Tak为
2
sin T1
在
k0处的样本点;
若T1不变,则包络
2
sFra Baidu bibliotekn T1
也不变.
周期方波信号的傅里叶级数系数及其包络 T1不变，(a)T=4T1,(b)T=8T1,(c)T=16T1
连续时间非周期信号傅里叶变换对的数学推导：
a j
这个的傅立叶变换一定要记住！！
x(t )
1
t
0
X ( j ) 1 a2 2
arg
X
(
j)
arg
tan
a
X ( j)
1/ a
1
2a
a 0 a
arg X ( j)
/2
a /4
a
/ 4
/ 2
幅度谱是偶函数
相位谱是奇函数 12
傅立叶变换的收敛条件：
上例中 x(t) eatu(t) 的傅立叶变换存在的条件，即积
2. 当 T → ∞ 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的
单个矩形脉冲信号，并且
0
2
T
d,
k0
。离散
的频谱将演变为连续的频谱；
3.
ak
2 sin T1
T
也随T 增大而减小，并最终趋于0。但
k0
是若考查
Tak
2sin T1
的变化，等式右边与T无关。若
k0
T为有限值时，Tak是有限值，那么当 T → ∞ 时，Tak仍然
2
10
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
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二.常用信号的傅立叶变换：
1. x(t) eatu(t), a 0
X ( j ) eate jtdt 1
0