最新材料力学答案1

第二章 轴向拉伸和压缩2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a ）解：；； （b ）解：；；（c ）解： ； 。

(d) 解：。

2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx ²（k 为常数），试作木桩的轴力图。

解：由题意可得：⎰0lFdx=F,有1/3kl ³=F,k=3F/l ³F N （x 1）=⎰1x 3Fx ²/l ³dx=F(x 1 /l) ³2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。

荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×10³kg/m ³，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。

屋架的上弦用钢筋混凝土制成。

下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。

已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。

试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。

解：=1） 求内力 取I-I 分离体得（拉）取节点E 为分离体，故（拉）2） 求应力75×8等边角钢的面积 A =11.5 cm 2(拉)（拉）2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。

如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。

解：2-6 一木桩柱受力如图所示。

柱的横截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E =10 GPa 。

如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。

解： （压）（压）2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为dx 截离体（微元体）。

则微元体的伸长量为：)()(x EA Fdx l d =∆ ，⎰⎰==∆l l x A dxE F dx x EA F l 00)()(l xr r r r =--121，22112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=，2211222)(u d x ld d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212udud d l du u d d lx A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，)()(2)()(202100udud d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l⎰⎰⎰--===∆π lld x l d d d d E Fl u d d E Fl 011221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π 2-10 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。

已知该杆材料的弹性常数为E ， ，试求C 与D 两点间的距离改变量 。

解：横截面上的线应变相同因此2-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。

试求C 点的水平位移和铅垂位移。

2-11图 解：（1）求各杆的轴力以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以0=∑X ，045cos 3=o N，03=N由对称性可知，0=∆CH ，)(10205.05.021kN F N N =⨯=== （2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mmmm mmN mmN EA l N l 476.0100/21000010001000022111=⨯⨯==∆ B 点的铅垂位移： mm mmmm N mmN EA l N l 476.0100/21000010001000022222=⨯⨯==∆ 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。

由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l oBH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆受力图变形协调图C 点的铅垂位移：)(476.01mm l C =∆=∆2-12 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力kN F 35=。

已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。

试求A 点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB 、AC 杆的轴力以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件得出：0=∑X ：045sin 30sin =-o AB o ACN NAB AC N N 2=………………………(a)0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o ACN N7023=+AB AC N N ………………(b)(a) (b)联立解得：kN N N AB 117.181==；kN N N AC 621.252== （2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移222211212221EA l N EA l N F A +=∆ )(122221121EA l N EA l N F A +=∆式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o== 2211131214.325.0mm A =⨯⨯=；2221771514.325.0mm A =⨯⨯=故：)(366.1)177210000160025621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=∆ 2-13 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向荷载F 。

已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=， 钢丝的自重不计。

试求：（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C 点下降的距离∆； （3）荷载F 的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力)(7350035.0210000MPa E =⨯==εσ （2）求钢丝在C 点下降的距离∆)(72100002000735mm E l EA Nl l =⨯=⋅==∆σ。

其中，AC 和BC 各mm 5.3。

996512207.05.10031000cos ==αo 7867339.4)5.10031000arccos(==α)(7.837867339.4tan 1000mm o==∆（3）求荷载F 的值以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：0=∑Y ：0sin 2=-P a Nασsin 2sin 2A a N P ==)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =⨯⨯⨯⨯⨯=[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑，如图，在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa ，求：（1） 端点A 的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A 的铅垂位移。

解：（1）3323311031231111711961222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.15060,401,0,60100.15 3.87210101210401llN N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====⎧=⎪-+-+=⎨⎪-⨯+⨯=⎩∴=-=-=-⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯∆==⎰⎰o o1有3由胡克定理，796x 2y 2100.15 4.762101012104.762320.23A l A l l -⨯=⨯⨯⨯∆=∆=∆=∆⨯+∆⨯=↓从而得，，（）（2）y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=⨯∆-⨯∆⨯∆=∆=↓（）2-16 简易起重设备的计算简图如图所示。

已知斜杆AB 用两根63mm ×40mm ×4mm 不等边角钢组成，钢的许用应力[σ]=170MPa 。

试问在提起重量为P=l5kN 的重物时，斜杆AB 是否满足强度条件?解:1.对滑轮A 进行受力分析如图：∑FY=0； F NAB sin300=2F ，得，F NAB =4F=60kN2．查附录的63mm ×40mm ×4mm 不等边角钢的面积A=4.058×2=8.116cm ²由正应力公式： σ=F NAB /A=60×10³/(8.116×10-4)=73.9×106 Pa=73.9MPa<[σ] 所以斜杆AB 满足强度条件。

2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角θ的变化而改变。

两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力取节点B 为研究对象，由其平衡条件得：∑=0Y0sin =-F N AB θ θsin FN AB =∑=0X0cos =--BC AB N N θ θθθθcot cos sin cos F FN N AB BC =⋅=-= 2-17 （2）求工作应力 θσsin AB AB AB AB A FA N ==BCBC BC BC A F A N θσcot ==（3）求杆系的总重量)(BC BC AB AB l A l A V W +=⋅=γγ 。

γ是重力密度（简称重度，单位：3/m kN ）。

)cos (l A lA BC AB+=θγ )cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ][sin σθσ===AB AB AB AB A F A N ，θσsin ][FA AB = ][cot σθσ===BC BC BC BC A F A N ， ][cot σθF A BC =条件⑵：W 的总重量为最小。