第五章生产函数与与规模报酬

长期分析
• 边际技术替代率 • 最优要素组合 • 产出弹性、生产力弹性和替代弹性 • 规模报酬 • 联合生产与范围经济
技术替代率
• 技术替代率：反映在产量不变情况下，每增加一单 位要素所带来的另一种要素的变化。可以反映生产 中，两种要素之间的关系。
TRS lim x2 dx2
x x1 0 1
• 总产出，边际产出，平均产出 • 边际报酬递减规律 • 生产的三阶段 • 短期中的最优投入量
生产的三个阶段及合理区域
Q
第一 阶段
第二 阶段
第三 阶段
APL
MPL
L
讨论题
• 生产函数Q=-KL2+16L-18,w=8,p=1 • 计算：K=2时，最优劳动投入是多少？
• 当价格=2时，最优投入是多少？
• 介于企业和市场之间，前者依靠权威支配资源，后者依靠价格支配资源 • 企业与企业之间在生产各环节长期合作而形成的稳定的产业组织形态
厂商理论框架
• 生产理论：
– 投入与产出（技术效率）书：第六讲 – 成本理论（经济效率）书：第七讲 – 利润最大化 书：第七讲
• 市场理论：书：第八九讲
– 完全竞争市场 – 不完全竞争市场
– 新制度经济学,科斯（Coase），《企业的性质》，1937年
关于企业的理论发展
• 引出问题2：
– 企业一定能实现利润最大化吗？ – 委托代理理论，信息经济学
关于企业的理论发展
• 引出问题3：
– 企业成长的动因是什么？
• 亚当·斯密，分工和规模经济 • 马歇尔，外部经济和内部经济 • 新古典经济学：企业规模调整理论，追求规模经济和范围经济，向最优
练习：求替代弹性
y x1 x12 0 1
1
y A a1x1 a2 x2 , A 0,0 1
CES(constant elasticity of substitution)
• 1961，Arrow,Solow实证研究中发现资本和劳动的替代弹 性呈常数状态，但不一定像柯布道格拉斯生产函数那样等 于1，于是设计了CES生产函数。
– 一些要素增长受到限制； – 管理成本增幅超过要素增幅等。
练习：求该生产函数的规模报酬特点。
y x1a x2b
规模弹性
• 规模报酬定义是针对定义域全域而言的。而规模弹性是对 规模报酬的局部度量。即：要素投入增加的幅度所带来的 产出增加的幅度。
• 规模报酬与投入水平有关，是更为常用的概念。 • 例如：
• 垄断竞争市场 • 寡头市场 • 垄断市场
与消费行为理论分析的比较
• 客观，可观察的
第六章 生产函数与规模报酬
厂商技术可能性模型
• 技术:
➢ 反映生产中投入与产出之间的关系； ➢ 将技术抽象化，抹去了不同技术的外在表现的差异，而用投入和
产出关系来表述。 ➢ 技术是企业行为面临的约束之一（预算约束、市场需求约束）
铁路运输密度（相当于运输业中的投入，是指指定线 路每单位时间可承运的吨数）在8-10万吨之前会有报酬递 增，而如果密度过大，规划难度增大，会降低运输速度， 进而降低特定时间运输总总量（即产出）。
《微观经济学》，曼斯菲尔德
规模弹性
y f (x),令t 0，y(t) f (tx)
如果t 1, 表示现在的生产规模；t 1, 表示增加投入，t 1, 表示减少投入。
第五章 生产理论
关于企业
• 新古典经济学：
– 企业是生产单位，“黑箱” – 意义：有利于分析企业对价格等的反映，但忽略了企业主体
内部运行机制 – 是生产理论而非企业理论
关于企业的理论发展
• 引出问题1：
– 既然市场是资源配置方式，为什么现实中存在大量企业，它们用内 部指令（科层组织）代替市场交换？
dy(t)
e(x)
y(t) dt
dy(t) dt
t y(t)
t1
df (tx) dt
t f (tx)
t 1
t
e(x) 1, 表示局部递增；
e(x) 1, 表示局部不变；
e(x) 1, 表示局部递减。
练习
y x1a x2b
1
y (x1 x2 )
联合产品与范围经济
• 联合产品：单一生产过程中生产出两种以上的产品。这些 产品在技术上是相互依赖的。
（ty (1 t) y,tx (1 t)x'）也在Y中， 即（y,tx (1 t)x'）也在Y中。
凸的生产可能集合意味着要素需求集是凸集 含义：若x, x'均在V（y）中，则对于0 t 1， tx (1 t)x'也在V（y）中。
要素需求集是凸集的意义
• 技术是凸性，技术是可以简单复制的 • 要素需求集相当于是相当于生产函数的上等值集，
x2 / x1
x2 / x1 TRS d x2 / x1 d ln x2 / x1
TRS
x2 / x1 dTRS d ln TRS
TRS
对数微商形式
替代弹性的意义
替代弹性与等产量线
• 等产量线曲率越大，替代弹性越小 • 等产量线曲率越小，替代弹性越大 • 极端情况：
– 里昂惕夫生产函数 – 线性生产函数
– 技术不可分性：更好的技术往往适于较大的生产规模 – 分工因规模扩大而深化 – 某些生产活动的特点等。 – 《报酬递增的来源》作者：(美)西奥多﹒W.舒尔茨
(TheodoreW.Schultz)，2004，北京大学出版社。来源：人力资本 积累、知识传播、R&D、家庭不仅是消费单位还是生产单位等。
• 规模报酬递减：
几个重要概念
• 生产（可能）集：企业在既定的技术下，所面临 的投入与产出的各种组合。
y
Y ( y, x)
x
几个重要概念
• 生产函数
– 表示给定投入情况下最大可能产出点的集合 – 是生产可能集的外边界 – 有效利用的情形
y f (x)
几个重要概念
• 要素需求集
– 表示生产一定数量的某种产品的所有可行的投入要素簇 的集合
• 意义：一般性生产函数，可以模拟三种函数形式。
VES(variable elasticity of substitution)
c
y
f
(L, K )
AK
1 1c
L
( 1
b
c
)
K
1c
试求该函数的TRS和替代弹性。
规模报酬（return of scales）
• 是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生 产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。
V ( y) x : f (x) y
要素需求集图示
Y Y*
X2 X1
几个重要概念
• 等产量线：
– 表示生产一定数量的某种产品所需要的最小的投入组 合
Q y x : x在V y中但不在V y中，y y
等产量线图示 是要素需求集的子集，是其下边界
Y Y*
X2
X1
生产可能性集合的性质
• 凸集 ( y, x)和（y, x'）都在Y中，则对于0 t 1,
要素需求集是凸集，意味着生产函数是拟凹函数。
几种常见的生产函数
• 柯布道格拉斯生产函数
f
x1, x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
x1 x2
0 1
• 里昂惕夫生产函数（固定投入比例生产函数）
f x1, x2 min ax1,bx2
• 线性生产函数
f x1, x2 ax1 bx2
短期分析（略，参见教材）
K
A
C0 L
最优要素组合需满足的条件
• MRTSLK=MPL/MPK= w/r • MPL/w = MPK/r
替代弹性（elasticity of substitution）
• 当产量不变时，TRS变动的百分比所引起的两种 投入要素比例变化的百分比。即反映两种要素投 入比例变化对TRS变动的敏感性。
0
范围经济
• 联合生产的成本低于各自独立生产的成本之和。
C(q1, q2 ) C(q1) C(q2 )
• 原因：
– 要素和设备的联合运用 – 共用市场销售渠道 – 节约管理 – 生产过程互补性
思考题
• 规模报酬递增与规模经济是什么关系？ • 规模报酬递减与边际报酬递减有什么区别？
规模水平调整的过程 • 新制度经济学：企业边界扩大过程，取决于交易成本 • 伊迪丝·彭瑞斯（Edith Penrose, 1959），《企业成长理论》：
企业资源——企业能力——企业成长，从静态分析转向动态分析
关于企业的理论发展
• 引出问题4：
– 除了企业，市场之外，还有什么？ – 企业网络理论，20世纪80年代之后兴起
dx1
即等产量线上点的切线的斜率
边际技术替代率递减
• 证明
练习 求生产函数 y x1a x12a的技术替代率
思考题
• 对于线性生产函数来说，技术替代率？ • 对于里昂惕夫生产函数来说，技术替代率？
长期中的最优要素组合
1.产量既定条件下最优要素组合
K
A Q0 L
1.产量既定条件下最优要素组合
• 例子：
– 羊毛、羊肉 – 鸡和鸡蛋 – 衣服和帽子 – 豆油和豆粕 – 轿车和越野车 – 邮电局：快递，平信，包裹 – 银行：存取款、理财、贷款、转账
联合产品的表示
生产函数的隐函数形式： H (q1, q2, x) 0 x h(q1, q2 )
产品转换率（Rate of Product Transformation）
• 意义：生产不是简单的复制过程。
假设生产函数为n次齐次生产函数，即t 1, f (tx) t n f (x) 如果f (tx) tf (x),规模报酬递增； 如果f (tx) tf (x),规模报酬不变； 如果f (tx) tf (x),规模报酬递减。
规模报酬递增和递减的原因
• 规模报酬递增：
含义：在投入不变情况 下，每增加一单位某产 品的生产，所引起的另 一种产品的产量的变化。
RPT dq2 dq1
x h(q1, q2 )
h
h
dx q1 dq1 q2 dq2 0
h
q2
RPT dq2 dq1
q1 h
x q1
q2
x
产品转换率的特点
• 负值 • 绝对值递增
图示
x'' x' x