圆周运动辅导班讲义

圆周运动1、定义:物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。

２、分类： ⑴匀速圆周运动:质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等,这种运动就叫做匀速圆周运动。

物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。

注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．⑵变速圆周运动:如果物体受到约束,只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径(r )：对于一般曲线运动,可以理解为曲率半径。

(2）线速度(ｖ）:①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长Ｓ和所用时间t 的比值,叫做匀速圆周运动的线速度。

②定义式:tsv =③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动,线速度的大小等于平均速率。

(３）角速度(ω,又称为圆频率）：①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。

②大小：Ttπϕω2==（φ是ｔ时间内半径转过的圆心角)③单位：弧度每秒(ra ｄ/s ）（４）周期（T )：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

（５）频率(ｆ,或转速ｎ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。

各物理量之间的关系：r t r v f T t rf Tr t s v ωθππθωππ==⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫======2222计算时,采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。

(６)圆周运动的向心加速度①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。

②大小：r r v a n 22ω==(还有其它的表示形式,如:()r f r T v a n 2222ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛==） ③方向:其方向时刻改变且时刻指向圆心。

对于一般的非匀速圆周运动,公式仍然适用,为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度τa ,表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言,τa =0）(7)圆周运动的向心力向心力的大小为：r m rv m ma F n n 22ω===()r f m r T m mv F n 2222ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛==）;向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。

（8)离心运动当物体受到的合外力n n ma F =时，物体做匀速圆周运动； 当物体受到的合外力n n ma F ＜时，物体做离心运动 当物体受到的合外力n n ma F ＞时,物体做近心运动齿轮传动1.线速度大小相等,即v A＝ｖB2．周期与半径成正比,即错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

３.角速度与半径成反比,即错误!未定义书签。

＝rR1、皮带传动问题如图所示,为一皮带传动装置，右轮的半径为r,ａ是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4ｒ,小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为ｒ，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上,若在传动过程中,皮带不打滑,则（)A. a点与b点的线速度大小相等B. ａ点与b点的角速度大小相等C. ａ点与ｃ点的线速度大小相等D．a点与d点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑,故a、c两点线速度相等，选Ｃ;ｃ点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同,由，b点与c点线速度不相等，故ａ与b线速度不等，A错；同样可判定ａ与c角速度不同,即a与b角速度不同，B错;设a点的线速度为,则a点向心加速度,由, ,所以,故,D正确。

本题正确答案C、D。

点评：处理皮带问题的要点为:皮带(链条)上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等,同一轮上各点的角速度相同。

２、水平面内的圆周运动转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动,物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。

无绳时由静摩擦力提供向心力;有绳要考虑临界条件。

如图所示,水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零）。

物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍。

求:(1）当转盘的角速度时,细绳的拉力。

（２)当转盘的角速度时,细绳的拉力。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则,解得(1)因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力,则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0,即。

(２)因为,所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力,由牛顿第二定律得，解得。

圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。

其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力,向心力的方向水平。

也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。

3、竖直面内的圆周运动竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。

（1)弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有,即，否则不能通过最高点;（２）弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有, ,否则车将离开桥面，做平抛运动;(３)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠）。

这种情况下,速度大小v可以取任意值。

但可以进一步讨论:ａ. 当时物体受到的弹力必然是向下的;当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。

b. 当弹力大小时，向心力有两解；当弹力大小时，向心力只有一解；当弹力时,向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。

如图所示,杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处,杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。

解析：小球所需向心力向下，本题中,所以弹力的方向可能向上也可能向下。

（1)若F向上，则，；（2)若Ｆ向下,则,例:一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、Ｂ，质量分别为、,沿环形管顺时针运动,经过最低点的速度都是,当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点,若要此时作用于细管的合力为零，那么、、Ｒ和应满足的关系是。

解析:由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图所示。

对于Ａ球有对于B球有根据机械能守恒定律由环的平衡条件而,由以上各式解得例：如图所示,一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球,O点是一光滑水平轴,已知,,使细杆从水平位置由静止开始转动,当Ｂ球转到O点正下方时,它对细杆的拉力大小是多少?解析:对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得因A、Ｂ两球用轻杆相连,故两球转动的角速度相等,即设Ｂ球运动到最低点时细杆对小球的拉力为，由牛顿第二定律得解以上各式得，由牛顿第三定律知,B球对细杆的拉力大小等于,方向竖直向下。

４、圆周运动的极值问题例:如图所示,用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B,Ａ的重心到Ｏ点的距离为。

若Ａ与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。

(取）解析:要使B静止,A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。

Ａ需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。

角速度取最大值时,A有离心趋势,静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时,A有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心Ｏ。

对于B:对于A:，ωB Am联立解得,所以例：如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的ＡB 两处,上面绳长l=2m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和４5°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?［解析]设两细线都拉直时，A 、B 绳的拉力分别为A T 、B T ,小球的质量为ｍ,A 线与竖直方向的夹角为︒=30θ,B 线与竖直方向的夹角为︒=45α,受力分析,由牛顿第二定律得：当B 线中恰无拉力时，θωθsin sin 21l m T A = ①mg T A =θcos ② 由①、②解得33101=ωrad/s当A 线中恰无拉力时，θωαsin sin 22l m T B = ③ mg T B =αcos ④ (3分) 由③、④解得3102=ωrad ／s 所以，两绳始终有张力,角速度的范围是3310rad ／s 310<<ω r ａd/s例：如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、Ｂ,相距,长的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球,小球的初始位置在ＡB 连线上A 的一侧，把细线拉直,给小球以2ｍ/s 的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动,由于钉子B 的存在,使细线逐步缠在Ａ、B 上,若细线能承受的最大拉力 ，则从开始运动到细线断裂的时间为多少?解析：小球转动时,由于细线逐步绕在Ａ、B 两钉上，小球的转动半径逐渐变小,但小球转动的线速度大小不变。

小球交替地绕A 、B 做匀速圆周运动，线速度不变,随着转动半径的减小,线中拉力 不断增大，每转半圈的时间ｔ不断减小。

在第一个半圆内 ，在第二个半圆内 ,在第三个半圆内,在第n 个半圆内 ,令 ,得 ,即在第8个半圆内线还未断,n 取８，经历的时间为万有引力定律一.开普勒三定律以及三定律出现的过程：(1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2)任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

即R 3 ／ T 2=k二．牛顿的万有引力定律1.内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力,两物体间的引力的大小,跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．表达式：F =Ｇ221rm m其中Ｇ＝６.67×1０-11 N ·m 2/ｋg 2,叫万有引力常量,卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量．2．适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点. ③均匀球体可视为质点，r 为两球心间的距离．3.万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反. 三.用开普勒第三定律、向心力、牛顿第三定律推导牛顿的万有引力定律:四、用万有引力定律分析天体的运动１.基本方法：把天体运动近似看作圆周运动,它所需要的向心力由万有引力提供，即F =mg =2r GMm =2ωmr =r v m 2＝2)2(T mr π 2rGM g =2.估算天体的质量和密度① “T 、 r ”法由Ｇ2r Mm＝ｍr T 224π得：M ＝2324Gt r π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期,就可以计算出中心天体的质量．由ρ=VM ，Ｖ＝34πR３得：ρ=3233RGT r π．Ｒ为中心天体的星体半径当r =Ｒ时,即卫星绕天体Ｍ表面运行时,ρ=23GTπ，由此可以测量天体的密度.②“g 、R ”法 ρ⇒⇒=M RGMg 2 3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系(１）由Ｇr v mr Mm 22=得:ｖ＝r GM． 即轨道半径越大，绕行速度越小(2)由G 2r Mm ＝m ω2ｒ得：ω＝3r GM 即轨道半径越大，绕行角度越小(３)由G3r Mm =４π２2T mR得：T ＝2πGM R 3 即轨道半径越大,绕行周期越大.4.三种宇宙速度(１)第一宇宙速度(环绕速度):ｖ１＝７．９ ｋm/s 是人造地球卫星的最小发射速度,最大绕行速度.“飘”起来的速度(2)第二宇宙速度(脱离速度）：v 2=１１.2 km/s 是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度.(3）第三宇宙速度（逃逸速度):v 3＝１６．７ ｋm/s 是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度．５.地球同步卫星所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星,它的周期T =24ｈ.要使卫星同步,同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ．(高度、运行方向、加速度、角速度、线速度大小相同,质量不同）由Ｇ2224)(Tm h R Mm π=+（R +h )得:ｈ＝43122106.3)4(⨯=-R GMT πkm ＝5．６Ｒ Ｒ表示地球半径六、万有引力复习中应注意的几个问题 1、不同公式和问题中的r,含义不同万有引力定律公式221r m m GF ⋅=中的r 指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。