第六十一讲导数及其运算
《导数的运算》PPT课件
[名师点评] 记住基本初等函数的求导公式, 是计算导数的关键,特别注意各求导公式的 结构特征,弄清<lnx>′与<logax>′和<ex>′与 <ax>′的差异,防止混淆,对于不具备基本初等 函数特征的函数,应先变形,然后求导．
考点二 利用导数求切线的方程
求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时,首先要判断这 个点的位置,即在不在曲线上,因为斜率要受 此影响．
3x－y－2＝0， (2)由y＝x3，
得 3x－x3－2＝0，
即(x3－x)－(2x－2)＝0.
可分解为(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，
x2＝－2.
∴切线3x－y－2＝0与曲线C的公共点为 <1,1>,<－2,－8>,这说明切线与曲线C的公 共点除了切点外,还有另外的点．
[名师点评] 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一,可从本例题得证．
【规范解答】 由y1＝1x， 解得交点 y2＝x2，
为(1,1)． y′1＝(1x)′＝－x12， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 别为(2,0)，(12，0)．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5? 解：设切点为(x0，x20)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2.
∴切点为(2,4)．
例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝1x和 y2＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
导数的基本公式和运算法则
导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。
本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。
导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。
导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。
导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。
幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导公式的基本形式。
指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。
这是指数函数求导的基本公式。
对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。
自然对数的求导结果可以简单表达。
导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。
以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。
加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。
乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。
导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
导数的概念及运算课件
Δx
.
如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)
在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f ′(x)构成一个新的函
数，这个函数称为函数 f(x)的导数．
第三章 第一节
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4．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的_切__线__的__斜__率__． 导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体在 t0 时刻的__瞬__时__速__度____．
答案：A
第三章 第一节
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点评：求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数 值，得到切线斜率．再写出切线方程．
第三章 第一节
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导数公式及运算法则 [例 3] 设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则 f2013(x)等于( ) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
A．2
B．－1
C．1
D．－2
第三章 第一节
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解析：lim x→0
f1－2fx1－2x＝lxi→m0
f1－－2x2－x f1＝－1，
即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
答案：B
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导数的概念和计算优秀课件
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4
（1）曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . 1 ( （2）过曲线y=cosx上的点 3 , 2 ) 且与过这点的切线垂直的 1 2 3 y ( x ) 切线方程为 . 2 3 3 （3）设l1为曲线y=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线 y=cosx在点 ( （4）一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度是 时间段（3,3+Δt）中，相应的平均是 加速度是 2 6+△t 6 0
物体运动的加速度a=s〞(t)
练习1：(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬时速 度（用定义法求） 解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
s v ( t 10 ) 10 lim lim t t 0 t 0
联立方程①，②，③解得a=3,b=-11,c=9
例题2.求过点（2，0）且与曲线y=
1 相切的直线方程。 x
解：设所求切线与曲线的切点为P（a，b） ∴
y xa
1 2 a
1 y b (xa ) 所求切线方程为 2 a ∵点（2，0）在切线上，代入整理，得a2b=2-a ------① 1 y 又∵P（a,b）在曲线 上，∴ab=1 ------------② x 联立①，②解得 a=1,b=1
2.可导与连续的关系
函数在某点处可导是函数在该点处连续的充分不必要条件。
3.函数可导与曲线的切线是否存在的问题
函数在某点处可导是函数在该点有切线的充分不必要条件。
导数的运算法则 课件
例2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝ 1－1 2x；(3)y＝sin(－2x＋π3)；
(4)y＝102x＋3.
解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)y＝
1－1 2x＝(1
2
x)
1
2可看作y＝
u
1 2
，u＝1－－2x1 1－2x.
1 2
u
3
2·(－2)＝ 1
2
x
3 2
(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋π3的复合函数， 则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋3π) ＝－2cos(2x－π3)． (4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，
问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函 数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层 的主体函数结构找出y＝f(u)； 再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u) 和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
问题3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定 义域B有何关系？ 答 A⊆B.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u
＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 复合函数
示成_x的__函__数__，那么称这个函数为y 的概念
＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 _y_＝__f_(g_(_x_)_) _.
复合函数 的求导法 则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝__yu_′__·_u_x′___.即y对x的导数等 于_y对__u_的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__的__乘__积_.
导数的概念及运算、定积分 倒数及其应用 教学PPT课件
8．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫ baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把 F(b)－F(a)记作 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝ F(b)－F(a)．
答案：B
3．曲线 f(x)＝x3－x 在点(－1，f(－1))处的切线方程为
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x－y＋2＝0
D．2x－y－2＝0
()
解析：∵f(x)＝x3－x，则 f′(x)＝3x2－1， ∴f′(－1)＝2，f(－1)＝0， 因此，曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为 y＝2(x＋1)，即 2x－y ＋2＝0. 答案：C
2．函数 f(x)的导函数
函数
f′(x)＝li m
Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
为 f(x)的导函数．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q *)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝ cos x f′(x)＝－sin x
4．∫212－xx＋x2dx＝ A．2ln 2＋12 C．ln 2＋1
B．2ln 2－12 D．ln 2－1
()
解析：∫212－xx＋x2dx＝∫212x－1＋xdx＝2ln x－x＋x22 |21＝2ln 2＋12. 答案：A
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
小学数学导数的基本概念与运算课件
拐点的判定条件：函数在某点的二 阶导数为零，且三阶导数不为零。
导数的零点与方程的根
导数为零的点称为临界点或驻点 导数的零点不一定是方程的根 导数的符号决定了函数在零点附近的单调性 通过导数的零点可以判断方程的根的类型
导数在实际问题中的应用案 例
第五章
速度与加速度的计算
导数在速度计算中的应用：通过导数描述物体运动的速度和加速度，进而解决实际问题
导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用：研究边际成本和边际收益，分析经济行为的变化趋势。 导数在物理学中的应用：解释速度、加速度、功率等物理量的变化规律，研究物体的运动状态。 导数在工程学中的应用：优化设计、控制工程、信号处理等领域，提高工程质量和效率。 导数在金融学中的应用：评估投资组合的风险和回报，预测股票价格的变化趋势。
第一章
导数的定义与意义
第二章
导数的概念
导数定义：函数 在某一点处的切 线斜率
导数意义：表示 函数在某一点处 的变化率
导数应用：研究 函数的单调性、 极值和最值等
导数运算：求导 公式和法则
导数在数学中的意义
导数是函数局部性质的一种量度
导数可以用来研究函数的单调性、极值和最值等性质
导数在几何上可以用来求切线的斜率 导数在物理和工程中有着广泛的应用，如速度、加速度、电流强度等物理 量的计算
分析。
导数在数学建模中的应用
导数在经济学中的应用：研究边际成本、边际收益等经济变量，分析经济现象。 导数在物理学中的应用：描述速度、加速度、温度等物理量的变化规律，解决物理问题。 导数在生物学中的应用：研究种群增长、传染病传播等生物学现象，预测未来趋势。 导数在工程学中的应用：优化设计、控制工程系统等，提高工程效率。
《导数的运算》PPT课件
(x ) x 1
(ln x) 1 x
(ex ) ex
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
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7
四、几类函数的求导法
1.隐函数求导法 例14 求由方程 x2 y2 4 所确定的隐函数的导数。
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8
四、几类函数的求导法
2.对数求导法 两边取对数，然后用隐函数法求导
对数能把积商化为对数之和差、幂化为指数与底的对数之积 （适合幂指函数或多项乘积函数求导）
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9
四、几类函数的求导法
例18 设
，求 y
复合函数的求导链式法则
设函数 u (x) 在 x 处有导数 ux (x)，函数 y f (u)
在点 x 的对应点 u 处也有导数yu f (u)，则复合函数
y f [(x)] 在点 x 处有导数，且
yx
yu
ux或
dy dx
dy du
du dx
复合函数的导数等于外函数的导数和内层函数的导数的乘积
回顾6.1知识点
1 导数的定义
2 导数的几何意义
3 可导和连续的关系
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1
§6.2 导数的运算
一、导数的四则运算法则 二、复合函数的导数 三、初等函数的导数 四、几类函数的求导法 五、高阶导数的概念
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2
一、导数的四则运算法则
设 u, v 都是 x 的可导函数，则有：
（1）和差法则：(u v) u v
导数的四则运算法则课件
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数及其运算PPT教学课件
x0)
4．几种常见函数的导数
(1)C′＝_0_(C 为常数)； (2)(xn)′＝__n_x_n_－_1 ；
导数的几何意义、物理意
热点提 示
义、切线问题是高考的 热点，常在小题中考查， 有时也融在解答题中来
考查.
1．导数的概念 已知函数 y＝f(x)，如果自变量 x 在 x0 处有增 量 Δx，那么函数 y 相应地有增量．
Δy＝___f(_x_0_＋__Δ_x_)－___f(_x_0)__．
比值ΔΔxy就叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之 间的平均变化率，即
【答案】 B
3．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为( )
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
【解析】 ∵y′＝(xcos x－sin x)′＝ (xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
【答案】 B
4．设 y＝ 1＋a＋ 1－x，则 y′＝______.
【解析】 ∵y＝ 1＋a＋ 1－x，
∴y′＝( 1＋a＋ 1－x)′＝( 1＋a)′＋
( 1－x)′
＝
0
＋
(1－x)′ 2 1－x
＝
2
－1 1－x
＝
－
2
1 1－x
＝
1－x 2(x－1). 【答案】
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第61讲
名师作业·练全能第六十一讲 导数及其运算班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5 解析：由题意得f ′(5)＝lim Δx →0 f (5＋Δx )－f (5)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝f ′(0)， 且f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－lim －Δx →0 f (0－Δx )－f (0)－Δx＝－f ′(0)，f ′(0)＝0，因此f ′(5)＝0.答案：B2．y ＝e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：y ′＝e sin x [cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )]，y ′(0)＝e 0(1－0)＝1.答案：B3．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2解析：∵f ′(x )＝，∴曲线在点(4，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(4)＝12e 2，切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，即12e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (2,0)、B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的三角形OAB 的面积为12×2×e 2＝e 2，选D.答案：D4．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C5．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝x ·1x＋ln x ＝1＋ln x . 又∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2.∴ln x 0＝1.∴x 0＝e.答案：B6．(2011·湖北五市联考)设函数f (x )是定义在R 上周期为2的可导函数，若f (2)＝2，且lim x →0 f (x ＋2)－22x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝－2x ＋2B ．y ＝－4x ＋2C ．y ＝4x ＋2D ．y ＝－12x ＋2 解析：由题意知，切点为(0，f (0))，即(0，f (2))，也即(0,2)，再由极限式lim x →0 f (x ＋2)－22x＝－2可知12lim x →0 f (x ＋2)－2x ＝－2，就是lim x →0f (x ＋2)－2x ＝－4，从而根据导数的定义可知f ′(2)＝－4，又函数的周期为2，所以f ′(0)＝－4，故所求切线的斜率为－4，代入点斜式方程可知所求方程为y ＝－4x ＋2.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知函数f (x )＝3－ax a －1(a ≠1)．(1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)由3－ax ≥0得ax ≤3.∵a >0，∴x ≤3a. ∴f (x )的定义域为(－∞，3a]． (2)∵3－ax ≥0在(0,1]上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a ·0≥03－a ·1≥0，∴a ≤3. 又f ′(x )＝a 2(1－a )·13－ax≤0在(0,1]上恒成立， ∴a 2(1－a )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)≥0，a ≠1.∴a >1或a ≤0. 又a ＝0时，f (x )＝－3在(0,1]上不是减函数，∴a ≠0.综上，a <0或1<a ≤3.答案：(1)(－∞，3a] (2)(－∞，0)∪(1,3] 8．已知y ＝sin x 1＋cos x，x ∈(－π，π)，当y ′＝2时，x ＝____________. 解析：y ′＝(sin x )′(1＋cos x )－(1＋cos x )′sin x (1＋cos x )2＝1＋cos x (1＋cos x )2＝11＋cos x＝2， ∴cos x ＝－12，∵－π<x <π，∴x ＝±23π. 答案：±23π 9．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为____________． 解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋1)＋3＝3(x ＋1)2＋3∴当x ＝－1时，斜率有最小值3，又∵当x ＝－1时，y ＝－14，∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即y ＝3x －11.答案：3x －y －11＝010．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，则k 的值为______．解析：∵y ＝x 3－3x 2＋2x ，∴y ′＝3x 2－6x ＋2.∵直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，当原点不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，其中x 0≠0，则切线的斜率k ＝y 0x 0. 又k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 02－6x 0＋2，∴y 0＝3x 03－6x 02＋2x 0.又∵切点P (x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 03－3x 02＋2x 0.∴3x 03－6x 02＋2x 0＝x 03－3x 02＋2x 0.由于x 0≠0，∴x 0＝32 .∴k ＝y ′|x ＝32 ＝－14. 综上所述，k ＝2或k ＝－14. 答案：2或－14三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解析：(1)y ′＝2x ＋1.直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则直线l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点的坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)． 所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512. 点评：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，光滑曲线y ＝f (x )在一点P (x 0，y 0)处的切线斜率，就是导函数f ′(x )在点P (x 0，y 0)处的函数值，即f ′(x 0)．已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．12．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )；(2)y ＝e －2x ·sin3x ；(3)y ＝2tan x ＋3cot x ；(4)y ＝ln(1＋x 2－x )．解析：(1)y ′＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1)＝－(2x －1)sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(e－2x )′sin3x ＋e －2x (sin3x )′ ＝e －2x ·(－2x )′sin3x ＋e－2x ·cos3x ·(3x )′ ＝－2e －2x sin3x ＋3e －2x ·cos3x .(3)y ′＝2(tan x )′＋3(cot x )′＝2·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋3·⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′ ＝2·cos x (sin x )′－sin x (cos x )′cos 2x＋ 3·sin x (cos x )′－cos x (sin x )′sin 2x＝2cos 2x －3sin 2x＝2sec 2x －3csc 2x . (4)y ＝ln u ，u ＝1＋x 2－x ，则y ′＝(ln u )′(1＋x 2－x )′＝1u ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＋x 2·2x －1 ＝11＋x 2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x2－1 ＝11＋x 2－x ·x －1＋x 21＋x 2＝－11＋x 2. 13．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数， 所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形． 而f (x )＝x －1＋1x －1＋1， 可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象， 故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为 y －x 02－x 0＋1x 0－1＝[1－1(x 0－1)2](x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为12|x 0＋1x 0－1－1||2x 0－1－1|＝12|2x 0－1||2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.。
导数的运算ppt课件
解：(1) y x2 sin x sin x x2
2x sin x x2 cosx
(2) y x ln x xln x 3 cos x 3cos x
ln x 1 3sin x
新课讲授
法则2：
uv uv vu
同理：
c 0
cu cu
【例4】求函数的导数 y 2x3 4x2 3x 5
法则1：u v u v
新课讲授
法则1：
u v u v
【例1】求函数的导数
y x3 sin x
解：y x3 sin x
3x2 cosx
新课讲授
法则1：
u v u v
同理：
u v w u v w
【例2】求函数的导数
y 1 sin ln x
x4解：yFra bibliotek1复习回顾
1、常用的基本求导公式
（1）xa axa1
（2）ex e x
（3）ln x
1 x
（4）sin x cosx
（5）cos x sin x
复习回顾
2、求下列函数的导数
（1）y x3
（2）设
f x cosx，求 f 和
6
f
3
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
sin
ln
x
x 4
x2 0 1 x
1 x2
1 x
课堂练习
P 课本 45,练习题
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
法则1：u v u v 法则2：uv uv vu
新课讲授
法则2：
uv uv vu
【例3】求下列函数导数
(1) y x2 sin x
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名师作业•练全能第六十一讲导数及其运算班级 _______ 姓名__________ 考号 _________ 日期_________ 得分_________括号内•)1.设函数7U)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=yu)在x=5处的切线的斜率为()A.—§B・ 0y(5+」x)—心)Jx=~f (0), f (0)=0,因此f (5)=0. 答案：B2.y=e siIu cos(sinx)> 则〉』(0)等于( )A・0 B・1C・—1解析：y r =e sblv[cos.vcos(siiu)—cosxsin(sinx)],y f (0)=e°(l—0)=1.答案:B3.曲线尸e|x•在点(4, 2)处的切线与坐标轴所围三角形的而积为()A •尹C・ 2e21知解析：Tf (x)= 2 , •••曲线在点(4, *)处的切线的斜率为*=f (4)=扌已切线方程为y—e2=^e2(x—4),即^e2x—y—e2=0,切线与兀轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)> B(0, -e2),则切线与坐标轴国成的三角形OAB的面积为|x2Xe2=e2,选D.答案：D.2 羽一/(0)=f (0),几b)—/(0)Jx _Z(0-」x)-/(0)—JxD・2B. 4e2D・e2解析：由题意得f (5)=飘-」x・U4. fix)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数,若y (x), g(x)满足f (x)=£‘(X ), 510 fix) 与g(x)满足()A . yu )=g (x )B. 7U)=g(x)=OC. /U)-g(x)为常数函数D . yu )+g (x )为常数函数解析:由 f (x )=y co,得f (x)-g ,a )=o,即%)-g (x )r =0,所以沧)一g (x )= C(C 为常数).答案:c 5. 设 f(x)=x\nx,若 f (x 0)=2,A. e 2匕2解析:VAv)=Aiiiv T :(x)=x ・l+lnx=l+lnx ・・lX.Vf (xo)=2, •••l+huo=2・/• 1ILVO = 1 ・ /•xo =::e.答案：B6. (2019•湖北五市联考)设函数./U)是左义在R 上周期为2的可导函数，若夬2)=2,且 恂用弋)二2=一2,贝I ］曲线y=/U)在点(0, *0))处的切线方程是()A. y=—2v+2B ・ y=—4x4-2C ・ y=4x+2D ・ y=—^x+2解析：由题意知，切点为(0,夬0)),即(0, .A2)),也即(0.2),再由极限式恂 儿'+；)二'= 一2可知歸32)二2=一2,就是恤 儿' +对_2 = _4,从而根据导数的定义可知f ⑵ Z-V -0 X x *0 X=一4,又函数的周期为2,所以f (0)= — 4,故所求切线的斜率为一4,代入点斜式方程可 知所求方程为y=—4x+2.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)~cix7. ll 知函数./(x)=匕_］ ("Hl)・(1) __________________________ 若Q 0,则7U)的泄义域是 :⑵若兀)在区间(0.1］上是减函数,贝ij 实数“的取值范帀是则 xo=() B ・e D ・ ln2解析：⑴由3—“兀20得ax^3.3••屁）的定茨域为（一 8,:］.(2)V3-av^0 在(0,1]上恒成立,• u”』心一1心0,••2(1_“)七6 ••[“Hi.又"=0时.yU）=—羽在（0,1］上不是减函数,••"0・综上，xO或1V/W3.3答案:(IX — 8, -] (2)( — 8, 0)U(L3]8.已知xG(—/ 兀)，当y‘ =2 时，x=r(sin%)' (1 +cosx)—(1 +cos.v)r siiu解析：y = ------------------- --------- -----------------(l+cosx).1+cosx 1= ------------ 7 = -------- = 2(l+cosx)2 l+cosx '/. COS.\= —£•: —7T<A*<7r, .\x = ^n.答案:±|TT9.曲线y=x3+3x2+6.r-10的切线中，斜率最小的切线方程为. 解析：y f =3X2+6A+6=3(X24-Z V+1)+3=3(X+1)2+3•••当兀=一1时，斜率有置小值3,又•••当x=-l 吋，)=一14,•••切线方程为y + 14=3(x+1),即y=3x-\\・答案:3x—y— 11 =010.若直线y=kx与曲线尸卫一32+2X相切，则k的值为—解析：Ty=卫一3x2+2x, /• v' = 3"—6x+2.•.•直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k=y r l v-o 当原点不是切点时，设切点为P(xv9 yo),其中M)H0,M(V)= 2(l-u)-^^ W0在（0.1］上恒成立,a> 1 或"W0.则切线的斜率k=-・xo又k=）J Lv=xo=3%o2—6也+2, /.y（）=3x（）3—6A＜）2+2v（）.又T 切点P（xv, yo）在曲线上，/• yo=xo3—3xo2+2x（）・/. 3 刃F—6xo2+2xo =.vo3— 3xo2+2x（）・由于AOT^O,综上所述，k=2或斤=—壬.答案：2或一扌三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤•)11.已知直线h为曲线y=F+x_2在点(1,0)处的切线，D为该曲线的另一条切线,且/i±/2.(1)求直线/2的方程：(2)求由直线h，匕和X轴所用成的三角形的而积. 解析:(1))/ =2x+l.直线/】的方程为)=3兀一3.设直线A过曲线y=x2+x-2上的点B(b, b2+b-2)9 则直线b的方程为y=(2b+l)x-b2-2.1 2因为/］丄①则有2b+\ = ~y b= ~y\ 22所以直线人的方程为y=—多―〒・y=3x~3f(2)解方程组｛1 22 得I尸一罗一可所以直线和/2的交点的坐标为G，— |).22爪b与x轴交点的坐标分别为(1、0). (―> 0).1 25 5 125所以所求三角形的而积S=駆亍XI—尹号.点评：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，光滑曲线y=fix)在一点P(xo,內)处的切线斜率，就是导函数f(X)在点P(xo, yo)处的函数值，即f (M).已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义.在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数〉，’是否为零，当/ =0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.12.求下列函数的导数：(1)y=cos2(x2—A)：(2)y=e lv-sin3x；(3)y=2tanx+3cotr：(4)y = ln(*\j 1 H-x2—x)・解析:(1 )y' = 2cos(x2—x)[cos(x2—x)]' =2cos(x2—A)[—sin(x2—x)](x2—x)f =Zcost%2—x)[ — siiUx2—x)](2x— 1) =—(2.v— ljsii^x2—x).(2)y r =(e_2x)r sin3x+cF(sin3p =e~2v-(—2x)f sin3x+c 2t-cos3x・(3x)' =—2e ^sinSx+Se 2v-cos3x・(3)y f = 2(taiu)z + 3(cotv)rcosx(sinx)' — siiiv(cos.¥)'cosh sinh2 3=亦一庞=2SCC"-3CSC2X.(4)y=lnn, 1+x2—x,则=(ln«)‘ (-\/14-x2—x)f 气(話吕T_ 1 」一_1]寸1+W-X Wl+工丿1 x—Ql+x2 1-^l+x2—X p] +兀2 yj 1 +A213.设函数./U)="x+土(“，bGZ),曲线y=/U)在点(2,只2))处的切线方程为y=3.⑴求金)的解析式；(2)证明：函数V=7(A)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y=Ax)上任一点的切线与直线x=l和直线y=x所围三角形的而积为泄值，并求出此左值.解析:⑴f (x)=a(x+b)293-siiu(cosx)' — cosXsinx)'=3因为 Z?eZ,故・/(x)=x+ (2)证明：已知函数yi=x, 3^2=~都是奇函数， ・\所以函数g(x)=x+l 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形. X 而./W=兀-1+7^7+1， 可知，函数g(x)的图象按向量a = (l,l)平移，即得到函数•心)的图象,故函数金)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.由f (x 0)= 1 —. 2. i3知，过此点的切线方程为(M — 1 丿Ao 2—X O 4-1 -切线与直线.¥=1的交点为(1,A Z"!令 y=x,得 y=Zxo-l 9切线与直线y =x 的交点为(2“一 1,2x()— 1):直线A =1与直线y=x 的交点为(L1),所以，所围三角形的面积为定值2.于是1 2+b (2+b)2=°，(3)证明：在曲线上任取一点令 A=l, 得〉=卫)+ I X0~ 1从而所围三角形的面枳妒HI2.ro-1 一 1 I=*l^7ll2x ()—21=2. 2x0— 1。