高一人教版新课标同步测试数学(期中)
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题
2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置。
2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若集合,集合,,则A ∪(C U B )=（ ）A ．B ．C ．D ．2．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，（ ）A ．B ．C ．D ．15．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函{}1,2,3,4U ={}1,2A ={}2,3B ={}2{}1,3{}1,2,4{}1,2,302x <<13x -<<0a b >>d c <0ac bd >>ac bd >a c b d +>+0a cb d +>+>211,1()1,11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩((2))f f =15-151-()()01f x x =-2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭s t数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为（ ）年．A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f (x )={1, x ∈Q0, x ∈C R Q 被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个.①函数偶函数；②函数的值域是；③若且为有理数，则对任意的恒成立；④在图象上存在不同的三个点，，，使得∆ABC 为等边角形. A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”B ．若，则C ．命题“，”是假命题D ．函数是偶函数，且在上单调递减.10．下列选项中正确的有（ ）A ．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为B ．与表示同一函数C ．函数的值域为224098s t t =-+-()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-R Q ()f x ()f x ()f x {}0,10T ≠T ()()f x T f x +=x R ∈()f x A B C 1x ∀>20x x ->1x ∃≤20x x -≤a b >22ac bc ≥Z x ∀∈20x >21y x =()0,∞+()f x ()()98f f x x =+()f x ()34f x x =--||()x f x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩()2f x x =+(,4]-∞D ．定义在上的函数满足，则11．下列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则B ．已知，，，则的最小值是C ．若，则的最小值为4D ．若，，，则的最小值为三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．已知集合，若，则实数13．已知函数，则的单调增区间为14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P .已知函数具有性质P ，则不等式的解集为 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合，．(1)当时，求，，A ∩(C R B )； (2)若，求实数m 的取值范围．16．已知关于x 的不等式的解集为．(1)求m ，n 的值；(2)正实数a ，b 满足，求的最小值．R ()f x 2()()1f x f x x --=+()13x f x =+0a >0b >21a b +=ab 0a >0b >32a b +=12a b a b+++20ab >4441a b ab ++0a >0b >31132a b a b+=++2+a b 165{}21,2,1A a a a =---1A -∈a =()2f x x x x =-+()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x ()f x 1x 2(0,)x ∈+∞12x x ≠x f x x f x x x -<-211212()()0()f x ()f x 2(4)(2)2f x f x x --<+{}27|A x x =-<<{}|121B x m x m =+≤≤-4m =A B ⋂A B A B B = 2200x mx --<{}2|x x n -<<2na mb +=115a b+17．已知幂函数为偶函数．(1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．18．已知函数.(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数(1)证明：，并求函数的值域；(2)已知为非零实数，记函数的最大值为.①求；②求满足的所有实数.()()2157m f x m m x -=-+()f x ()()3g x f x ax =--[]1,3a ()31x f x x x =++()f x ()f x ()0,∞+x ()()2310f ax ax f ax ++-≥x a ()()f x g x ==()()222f x g x =+()f x a ()()()x x h f g x a =-()m a ()m a ()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2022-2023学年人教A版(2019)高一上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，且，则在方向上的投影为（ ）A.B.C.D.2. 直线的倾斜角为( )A.B.C.D.3. 的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B.C.D.4. 若直线与平行，则的值为（ ）A.|a|=3|b|=3(2a −b)⊥(a +4b)2a −b a 73142037x −y −3=03–√150∘120∘60∘30∘△ABC O 1+=2AB −→−AC −→−AO −→−=|OA |−→−−−|AC |−→−−−BA −→−BC −→−323–√23−3–√2:ax +y −1=0l 1:3x +(a +2)y +1=0l 2a 1B.C.D.或5. 已知定点、，且 动点满足 则点的轨迹为（ ）A.双曲线B.双曲线一支C.两条射线D.一条射线6. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为( )A.B.C.D.7. 设是圆＝上任意一点，则的最小值为（ ）A.B.C.D.8. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.−3−121−3A B |AB|=2P |PA|−|PB|=2P C (x −3+(y −4=1)2)2A(−m ，0)B(m ，0)(m >0)C P ∠APB =90∘m 4567P(x,y)+(y +4x 2)24(x −1+(y −1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√+226−−√−226−−√56M(−1,1)12C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A B M AB C 2–√2123–√2–√D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图直角梯形，，，＝＝，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且＝．则（ ）A.平面平面B.C.二面角的大小为D.与平面所成角的正切值为10. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值11. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点的直线交椭圆于，两点.A.的最小值为B.的最大值为C.的周长可以为D.若，则点横坐标的取值范围为12. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，上的动点（点不与点，重合），若，则下列说法正确的是( )3–√3ABCD AB //CD AB ⊥BC BC CD =AB 122E AB DE △ADE A P PC 23–√PED ⊥EBCDPC ⊥EDP −DC −B π4PC PED 2–√l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−1,0)F 1(1,0)F 2F 1C A B |AB|2b 2a|AB|2a△ABF 24A(1，)y 1B (−3,−1)1ABCD −A 1B 1C 1D 1P M N CC 1CB CD P C C 1CP =CM =CNA.存在点，使得点到平面的距离为B.用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C.平面D.用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 如图所示，在平行六面体中， ，若，则________.14. 已知圆与圆相切，则实数的值为________．15. 已知点，，为球的球面上的三点，且＝，＝，若球的表面积为，则点到平面的距离为________．16. 已知直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点．直线过原点与平行，且与椭圆交于两点，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）P A 1PMN 43P M D 1B //D 1PMNPMN α32–√ABCD −A 1B 1C 1D 1∩=F A 1C 1B 1D 1=x +y +z AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z =：+=1C 1x 2y 2：(x +4+(y −a =25C 2)2)2a A B C O ∠BAC 60∘BC 3O 48πO ABC MN +=1x 22y 2F M ，N PQ O MN PQ P ，Q =|PQ|2|MN|17. 如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）．18. 已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切．求动圆圆心的轨迹的方程；过中的轨迹上的点作两条直线分别与轨迹相交于，两点，试探究：当直线，的斜率存在且倾角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个值，若不是，请说明理由．19. 已知正方形的中心为点 ，一条边所在的直线的方程是，求正方形其他三边所在直线的方程.20. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连结.（）求证：平面平面；（）求二面角的正切值.21. 已知椭圆，是椭圆的右焦点，焦距为，离心率．求椭圆的方程；椭圆的左顶点为，右顶点为，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴的右交点为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点．求的值．22. 已知椭圆：的右顶点为，斜率为的直线交于，两点．当时，，且的面积为．（为坐标原点）ABCD −A 1B 1C 1D 1P CA 1M CD 1N C 1D 1Q CA 1CQ :Q =4:1A 1=a ，=b ，=c AB −→−AD −→−AA 1−→−{a,b,c}AP −→−AM −→−AN −→−AQ −→−M :+=(x +1)2y 214N M x =12(1)N C (2)(1)C P (−1,2)C A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2PA PB AB M(0,1)x −y −2=0P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD △PAD AB =2AD E AB A CE DA F PF 1PCD ⊥PAD 2A −PE −F C:+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F 2e =12(1)C (2)C A B M x F M x T B x l AM N F FE ⊥MT l E |BE||EN|E +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A k (k ≠0)l E A B k =3–√2|AB|=7–√△OAB ab 2O (1)求椭圆的方程；设为的右焦点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求的值．(1)E (2)F E l l M y H BF ⊥HF |MA|=|MO|k参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的数量积运算【解析】本题考查向量的数量积与投影．【解答】解：由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选．2.【答案】D【考点】直线的倾斜角直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】(2a −b)⊥(a +4b)(2a −b)⋅(a +4b)=2+7a ⋅b −4=0a 2b 2|a|=3|b|=3a ⋅b =−22a −b a ===(2a −b)⋅a |a|2−a ⋅b a 2|a|18+23203C【解答】解：∵直线方程为，∴斜率为，∴倾斜角为.故选.3.【答案】A【考点】向量的投影【解析】利用向量加法的几何意义 得出是以为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影．【解答】解：由于由向量加法的几何意义，为边中点，因为的外接圆的圆心为，半径为，所以，三角形应该是以边为斜边的直角三角形，斜边，直角边，所以则向量在向量方向上的投影为，故选．4.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】x −y −3=03–√k ==tan 3–√330∘30∘D △ABC A BA −→−BC −→−+=2AB −→−AC −→−AO −→−O BC △ABC O 1====1|OA |−→−−−|OC |−→−−−|OB |−→−−−|AC |−→−−−BC BC =2AO =2AB =3–√∠ABC =30∘BA −→−BC −→−|BA |cos 30=×=3–√3–√232A此题暂无解答5.【答案】D【考点】轨迹方程【解析】结合双曲线定义分析可得答案.【解答】解：因为点P 满足到两定点距离之差为常数2，且为线段定长AB=2，所以P 的轨迹为一条射线.故选D.6.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心到的距离为，可得圆上的点到点的距离的最大值为．再由，可得，可得，从而得到答案．【解答】解：圆：的圆心为，半径为，∵圆心到的距离为，∴圆上的点到点的距离的最大值为．再由可得，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有.故选．7.C O(0,0)5C O 6∠APB =90∘PO =AB =m 12m ≤6C (x −3+(y −4=1)2)2C(3，4)1C O(0，0)5C O 6∠APB =90∘AB C PO =AB =m 12m ≤6C【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】设，可得所求式为、两点间的距离．运动点得当在圆上且在线段上时，达到最小值，由此利用两点的距离公式加以计算，即可得出本题答案．【解答】圆＝的圆心是，半径为＝．设，可得，∵是圆＝上任意一点，∴运动点，可得当点在圆与线段的交点时，达到最小值．∵，∴的最小值为．8.【答案】A【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题椭圆的离心率【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设，，则 ①， ②，∵是线段的中点，∴，，∵直线的方程是，∴，①②两式相减可得：，M(1,1)P M P P CM |PM |+(y +4x 2)24C(0,−4)r 2M(1,1)|PM |=+(x −1)2(y −1)2−−−−−−−−−−−−−−−√P(x,y)+(y +4x 2)24P P C CM |PM ||CM |==(0−1+(−4−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26−−√|PM ||CM |−r =−226−−√M AB 12C A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1x 21a 2y 21b 2+=1x 22a 2y 22b 2M AB =−1+x 1x 22=1+y 1y 22AB y =(x +1)+112−=(−)y 1y 212x 1x 2+=0−x 21x 22a 2−y 21y 22b 2=0(+)(−)(+)(−)∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】在中，四边形是边长为的正方形，＝，推导出，，从而平面，进而平面平面；在中，由，，得与不垂直，从而与不垂直；在中，推导出平面，，从而 平面，进而是二面角的平面角，进而求出二面角的大小为；在中，与平面所成角的正切值为．【解答】直角梯形，，，＝＝，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且＝．在中，四边形是边长为的正方形，＝，∴，，∴＝，∴，∵＝，∴平面，∵平面，∴平面平面，故正确；在中，∵，，∴与不垂直，∴与不垂直，故错误；在中，∵，，＝，∴平面，∵，∴平面，∴是二面角的平面角，+=0(+)(−)x 1x 2x 1x 2a 2(+)(−)y 1y 2y 1y 2b 2−2+2=0−x 1x 2a 2−y 1y 2b 2−2+2=0−x 1x 2a 2(−)12x 1x 2b 2−+=02a 21b 2a =b 2–√c ==b −a 2b 2−−−−−−√e ==c a 2–√2A A EBCD 2PE 2PE ⊥DE PE ⊥CE PE ⊥EBCD PED ⊥EBCD B DE //BC BC ⊥PB BC PC PC ED C BE ⊥PDE BE //CD CD ⊥PDE ∠PDE P −DC −B P −DC −B π4D PC PED tan ∠CPD ===CD PD 222–√2–√2ABCD AB //CD AB ⊥BC BC CD =AB 122E AB DE △ADE A P PC 23–√A EBCD 2PE 2PE ⊥DE CE ==2+2222−−−−−−√2–√P +C E 2E 2PC 2PE ⊥CE DE ∩CE E PE ⊥EBCD PE ⊂PED PED ⊥EBCD A B DE //BC BC ⊥PB BC PC PC ED B C BE ⊥PE BE ⊥DE PE ∩DE E BE ⊥PDE BE //CD CD ⊥PDE ∠PDE P −DC −B PDE =π∵平面，＝，∴，∴二面角的大小为，故正确；在中，∵平面，∴是与平面所成角，，∴与平面所成角的正切值为，故错误．10.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.11.【答案】A,B,D【考点】椭圆的定义和性质直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析PE ⊥BCD PE DE ∠PDE =π4P −DC −B π4C D CD ⊥PDE ∠CPD PC PED PD ===2P −C C 2D 2−−−−−−−−−−√(2−3–√)222−−−−−−−−−−√2–√PC PED tan ∠CPD ===CD PD 222–√2–√2D AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD【解答】解：当垂直于轴时，||最小，把代入中，，∴，，故选项正确；当，为椭圆的左、右顶点时，的最大值为，故选项正确；△的周长为，，.∵，且，不成立，故选项错误；易知，直线的方程为，联立可得，根据根与系数的关系可得，，可得，，∴．故选项正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】在实际问题中建立三角函数模型直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定棱柱的结构特征平面的基本性质及推论【解析】由题意，根据线面平行的判定，线面垂直的判定，空间中的距离，平面的基本性质分别对选项判断即可.【解答】解：如图，连接，，，，，，，，，，，AB x AB x =−1+=1x 2a 2y 2b 2+=11a 2y 2b 2y =±b 2a |AB|=2b 2a A A B |AB|2a B ABF 24a 4a =4a =1c =1a >c C =y 1b 2a AB y =(x +1)b 22a y =(x +1)，b 22a +=1，x 2a 2y 2b 2(+3)+2(−1)x −3−1=0a 2x 2a 2a 21⋅=−=−3+x B 3+1a 2+3a 28+3a 2>1a 24<+3a 20<<28+3a 2−3<<−1x B D ABD AC DB C A 1BC 1D A 1C B 1DC 1A 1C 1PD 1AD 1AM∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，平面，∴，又∵，∴，∴，同理，，，又，∴平面，又正方体的棱长为，∴，∴存在点，使得点到平面的距离为，故正确；连接，，，设过，，的截面为，则平面，平面，∵平面平面，且与它们都相交，∴平面与平面的交线与平行．平面，平面，即过，，的平面截正方体得到的图形为四边形，∵，且，∴四边形一定为梯形，故正确；∵，，，∴，∵，且平面，∴与平面相交，故错误；要使得到的截面为六边形，则平面截正方体得到的六边形的每个顶点分别为对应边的中点，∴正六边形的边长与相等，即为，∴截面六边形的周长为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】A ⊥A 1ABCD DB ⊂ABCD A ⊥A 1DB DB ⊥AC A ∩AC =A A 1DB ⊥AC A 1C ⊂A 1AC A 1C ⊥DB A 1CP =CM =CN MN//DB C ⊥MN A 1MP//BC 1C ⊥MP A 1MP ∩MN =M C ⊥A 1MPN ABCD −A 1B 1C 1D 11C =>A 13–√43P A 1MPN 43A P D 1A D 1AM P M D ββ∩CD =P D 1C 1D 1β∩BC =PM C 1B 1A D//A 1D 1BCC 1B 1ββA D A 1D 1PM ∴β∩A D =A A 1D 1D 1∴β∩ABCD =AM P M D PMAD 1A//B//MP D 1C 1MP ≠A D 1PMAD 1B MP//BC 1NP//DC 1MN//DB △MPN ∽△B D C 1DB ∩B =B D 1MN ⊂MPN BD 1MPN C αMP =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√26×=32–√22–√D ABD 2空间向量的加减法空间向量的基本定理及其意义【解析】在平行六面体中把向量用，，表示，然后利用向量相等，得到，，即可得解．【解答】解：因为，又，所以，，则．故答案为：．14.【答案】或【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，求出的值，综合即可得答案．【解答】根据题意：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，若两圆相切，分种情况讨论：当两圆外切时，有，解可得，当两圆内切时，有，解可得，综合可得：实数的值为或；15.AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =y =12z =1=++AF −→−AB −→−BB 1−→−F B 1−→−=++AB −→−BB 1−→−12B 1D 1−→−−=++(−)AB −→−BB 1−→−12A 1D 1−→−−A 1B 1−→−−=++−AB −→−BB 1−→−12AD −→−12AB −→−=++12AB −→−12AD −→−AA 1−→−=x +y +z AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =y =12z =1x +y +z =220±25–√a ：+=1C 1x 2y 2(0,0)1：(x +4+(y −a =25C 2)2)2(−4,a)52(−4+=(1+5)2a 2)2a =±25–√(−4+=(1−5)2a 2)2a =0a 0±25–√【考点】点、线、面间的距离计算【解析】由正弦定理求出平面外接球圆的半径，求出球的半径，利用勾股定理求解，可得答案．【解答】球的表面积＝＝，解得＝，在中，点，，为球的球面上的三点，且＝，＝，外接圆的半径为：，＝＝，＝，球心到平面的距离＝＝．，16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得的左焦点为．当直线的斜率不存在时，则，则，则；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则的方程为，设，，联立整理得，则，，．因为过与平行， 所以直线的方程为，设，3ABC O S 4πR 248πR 2△ABC A B C O ∠BAC 60∘BC 3r 2r 2r ABC d 322–√+=1x 22y 2F(−1,0)MN |MN|==2b 2a 2–√|PQ|=2b =2==2|PQ|2|MN|42–√2–√MN MN K MN y =k(x +1)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2 y =k(x +1)，+=1，x 22y 2(2+1)+4x +2−2=0k 2x 2k 2k 2+=−x 1x 24k 22+1k 2=x 1x 22−2k 22+1k 2|MN|=⋅1+k 2−−−−−√(+−4x 1x 2)2x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−√=2(1+)2–√k 22+1k 2PQ O MN PQ y =kx P(,)x 3y 3Q(,)x 4y 4 y =kx ，联立解得，，则．又，则，∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：如图所示，；（2）；（3）；（4）．【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．【解答】解：如图所示，；（2）；（3）；3344y =kx ，+=1，x 22y 2=x 221+2k 2=y 22k 21+2k 2|OP =+=+==|2x 2y 221+2k 22k 21+2k 22+2k 21+2k 22(1+)k 21+2k 2|PQ|=2|OP||PQ =4|OP =|2|28(1+)k 21+2k 2=2|PQ|2|MN|2–√22–√(1)=(+)=(++)=(++)AP −→−12AC −→−AA 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=(+2+)=(+2+)AM −→−12AC −→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=[(++)+(+)]AN −→−12AC 1−→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−AA 1−→−=(+2+2)=++12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=+=+=+(−)AQ −→−AC −→−CQ −→−AC −→−45CA 1−→−AC −→−45AA 1−→−AC −→−=+=(+)+=++15AC −→−45AA 1−→−15AB −→−AD −→−45AA 1−→−15a →15b →45c →(1)=(+)=(++)=(++)AP −→−12AC −→−AA 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=(+2+)=(+2+)AM −→−12AC −→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=[(++)+(+)]AN −→−12AC 1−→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−AA 1−→−=(+2+2)=++12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →+=+=+(−)−→−−→−−→−−→−4−→−−→−4−→−−→−（4）．18.【答案】解：设动圆的半径为，可知圆的半径为，因为动圆与相切，所以点到直线的距离，因为动圆与圆相外切，所以，因为表示点到直线的距离，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，所以的方程为.由题知：两式相减得，所以，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线，则由得，所以，所以；同理，；所以，故直线的斜率为定值.【考点】轨迹方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】=+=+=+(−)AQ −→−AC −→−CQ −→−AC −→−45CA 1−→−AC −→−45AA 1−→−AC −→−=+=(+)+=++15AC −→−45AA 1−→−15AB −→−AD −→−45AA 1−→−15a →15b →45c →(1)N r M 12N x =12N x =12d =r N M |MN|=r +12d +12N x =1N x =1N M(−1,0)N C C =−4x y 2(2){=−4，y 21x 1=−4，y 22x 2(−)((+)=−4(−)y 1y 2y 1y 2x 1x 2==k AB −y 1y 2−x 1x 2−4+y 1y 2PA k PB −k PA ：y −2=k(x +1){=−4x ，y 2y −2=k(x +1)，k +4y −4k −8=0y 2+2=y 1−4k =−−2y 14k =−2y 24k ===1k AB −4+y 1y 2−4(−−2)+(−2)4k 4kAB 1此题暂无解析【解答】解：设动圆的半径为，可知圆的半径为，因为动圆与相切，所以点到直线的距离，因为动圆与圆相外切，所以，因为表示点到直线的距离，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，所以的方程为.由题知：两式相减得，所以，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线，则由得，所以，所以；同理，；所以，故直线的斜率为定值.19.【答案】解：设与直线平行的直线，，则点到和的距离相等，，或，时，与重合，故舍去，∴.与垂直的边所在直线方程为，则点到和的距离相等，(1)N r M 12N x =12N x =12d =r N M |MN|=r +12d +12N x =1N x =1N M(−1,0)N C C =−4x y 2(2){=−4，y21x 1=−4，y 22x 2(−)((+)=−4(−)y 1y 2y 1y 2x 1x 2==k AB −y 1y 2−x 1x 2−4+y1y 2PA k PB −k PA ：y −2=k(x +1){=−4x ，y 2y −2=k(x +1)，k +4y −4k−8=0y 2+2=y 1−4k =−−2y 14k =−2y 24k ===1k AB −4+y 1y 2−4(−−2)+(−2)4k 4k AB 1：x −y −2=0l1：x −y +=0l 3c 1M(0,1)l 1l 3∴=|0−1−2|2–√|0−1+|c 12–√∴|−1|=3⇒=4c 1c 1−2∵=−2c1l 3l 1：x −y +4=0l 3：x −y −2=0l 1：x +y +m =0l 2M(0,1)l 1l 2=|0−1−2||0+1+m|，或，∴和垂直的两条边所在的直线方程为，.综上所述：，，.【考点】点到直线的距离公式两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设与直线平行的直线，，则点到和的距离相等，，或，时，与重合，故舍去，∴.与垂直的边所在直线方程为，则点到和的距离相等，，或，∴和垂直的两条边所在的直线方程为，.综上所述：，，.20.【答案】解：（）∵平面，∴.又∵底面是矩形,∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（）解法一：（几何法）过点作，垂足为点，连结.∴=|0−1−2|2–√|0+1+m|2–√∴|m +1|=3⇒m =−42l 1：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y +4=0l 3：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y −2=0l 1：x −y +=0l 3c 1M(0,1)l 1l 3∴=|0−1−2|2–√|0−1+|c 12–√∴|−1|=3⇒=4c 1c 1−2∵=−2c 1l 3l 1：x −y +4=0l 3：x −y −2=0l 1：x +y +m =0l 2M(0,1)l 1l 2∴=|0−1−2|2–√|0+1+m|2–√∴|m +1|=3⇒m =−42l 1：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y +4=0l 3：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 41PA ⊥ABCD PA ⊥CD ABCD AD ⊥CD PA ∩AD =A CD ⊥PAD CD ⊂PCD PCD ⊥PAD 2A AM ⊥PE M FM PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3不妨设，则.∵平面，∴.又∵底面是矩形，∴.又∵，∴平面，∴.又∵，∴平面，∴.∴就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得.又由平行线分线段成比例定理，得.∴，∴.∴.∴二面角的正切值为.PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3PA ⊥ABCD PA ⊥AF ABCD AB ⊥AF PA ∩AB =A AF ⊥PAB AF ⊥PE AM ∩AF =A PE ⊥AFM PE ⊥FM ∠AMF A −PE −F Rt △PAE PE ===P +A A 2E 2−−−−−−−−−−√+3222−−−−−−√13−−√AM ===PE ⋅AF PE 3×213−−√613−−√13−−√==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232tan ∠AMF ===AF AM 32613−−√1313−−√4A −PE −F 13−−√4，−→−−→−−→−解法二：（向量法）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.又由平行线分线段成比例定理，得，∴，∴.∴点.则.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为.又易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，∴，∴二面角的正切值为.【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】A ，，AF −→−AB −→−AP −→−x ，y ，z PA =AD =3AE =2==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232P(0，0，3)，E(0，2，0)，F =(，0，0)32=(0,2，−3)，=(，0，−3)PE −→−PF −→−32PEF =(x ，y ，z)n → ⋅=(x ，y ，z)⋅(0，2，−3)=0，n →PE −→−⋅=(x ，y ，z)⋅(，0，−3)=0，n →PF −→−32{2y −3z =0,x −3z =0，32{y =z,32x =2z ，z =1PEF =(2，，1)n →32PEA ==(，0，0)m →AF −→−32A −PE −F θcos θ===⋅n →m →||||n →m →(2，，1)⋅(，0，0)3232×29−−√232429−−√tan θ==(−29−−√)242−−−−−−−−−−√413−−√4A −PE −F 13−−√4此题暂无解析【解答】解：（）∵平面，∴.又∵底面是矩形,∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（）解法一：（几何法）过点作，垂足为点，连结.不妨设，则.∵平面，∴.又∵底面是矩形，∴.又∵，∴平面，∴.又∵，∴平面，∴.∴就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得.又由平行线分线段成比例定理，得.∴，1PA ⊥ABCD PA ⊥CD ABCD AD ⊥CD PA ∩AD =A CD ⊥PAD CD ⊂PCD PCD ⊥PAD 2A AM ⊥PE M FM PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3PA ⊥ABCD PA ⊥AF ABCD AB ⊥AF PA ∩AB =A AF ⊥PAB AF ⊥PE AM ∩AF =A PE ⊥AFM PE ⊥FM ∠AMF A −PE −F Rt △PAE PE ===P +A A 2E 2−−−−−−−−−−√+3222−−−−−−√13−−√AM ===PE ⋅AF PE 3×213−−√613−−√13−−√==AF FD AE DC 13=AF AD 12F =AD =13∴.∴.∴二面角的正切值为.解法二：（向量法）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.又由平行线分线段成比例定理，得，∴，∴.∴点.则.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为.又易知平面的一个法向量为，AF =AD =1232tan ∠AMF ===AF AM 32613−−√1313−−√4A −PE −F 13−−√4A ，，AF −→−AB −→−AP −→−x ，y ，z PA =AD =3AE =2==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232P(0，0，3)，E(0，2，0)，F =(，0，0)32=(0,2，−3)，=(，0，−3)PE −→−PF −→−32PEF =(x ，y ，z)n → ⋅=(x ，y ，z)⋅(0，2，−3)=0，n →PE −→−⋅=(x ，y ，z)⋅(，0，−3)=0，n →PF −→−32{2y −3z =0,x −3z =0，32{y =z,32x =2z ，z =1PEF =(2，，1)n →32PEA ==(，0，0)m →AF −→−32A −PE −F θ设二面角的大小为，则，∴，∴二面角的正切值为.21.【答案】解：由椭圆的焦距为，知，又，则，故，故椭圆的标准方程为．由可知，因为直线，由题意可知平分，所以点到直线的距离．设直线为，则．设．由 得，所以，所以．①当轴时，，此时，所以．因为平分，所以，可得，所以．②当不与轴垂直时，此时．所以直线的方程为．因为点在直线的右侧，所以，所以点到直线的距离，所以，所以，所以．综上，．【考点】椭圆的标准方程2A −PE −F θcos θ===⋅n →m →||||n →m →(2，，1)⋅(，0，0)3232×29−−√232429−−√tan θ==(−29−−√)242−−−−−−−−−−√413−−√4A −PE −F 13−−√4(1)2c =1e =12a =2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)(1)A (−2,0)FE ⊥MT EF ∠MFB E MF d =|BE|AM y =k (x +2)(k >0)N (2,4k)E (2,t),M (,)x 0y 0 y=k (x +2)，+=1x 24y 23(4+3)+16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0,−2=−x 016k 24+3k 2=,=x 0−8+6k 24+3k 2y 012k4+3k 2MF ⊥x =1x 0k =12N (2,2)EF ∠MFB ∠EFB =π4E (2,1)=1|BE||EN|MF x k ≠,==12k MF y 0−1x 04k 1−4k 2MF 4kx +(4−1)y −4k =0k 2E MF 8k +(4−1)t −4k >0k 2E MF d ==|8k +(4−1)t −4k|k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√8k +(4−1)t −4kk 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√=t 8k +(4−1)t −4k k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√t =2k =1|BE||EN|=1|BE||EN|圆锥曲线中的定点与定值问题点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆的焦距为，知，又，则，故，故椭圆的标准方程为．由可知，因为直线，由题意可知平分，所以点到直线的距离．设直线为，则．设．由 得，所以，所以．①当轴时，，此时，所以．因为平分，所以，可得，所以．②当不与轴垂直时，此时．所以直线的方程为．因为点在直线的右侧，所以，所以点到直线的距离，所以，所以，所以．综上，．22.【答案】解：由当时，的面积为，可知此时为椭圆的下顶点．所以，，得，，所以椭圆的方程为．设，直线的方程为，(1)2c =1e =12a =2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)(1)A (−2,0)FE ⊥MT EF ∠MFB E MF d =|BE|AM y =k (x +2)(k >0)N (2,4k)E (2,t),M (,)x 0y 0 y =k (x +2)，+=1x 24y 23(4+3)+16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0,−2=−x 016k 24+3k 2=,=x 0−8+6k 24+3k 2y 012k4+3k 2MF ⊥x =1x 0k =12N (2,2)EF ∠MFB ∠EFB =π4E (2,1)=1|BE||EN|MF x k ≠,==12k MF y 0−1x 04k 1−4k 2MF 4kx +(4−1)y −4k =0k 2E MF 8k +(4−1)t −4k >0k 2E MF d ==|8k +(4−1)t −4k|k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√8k +(4−1)t −4kk 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√=t 8k +(4−1)t −4k k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√t =2k =1|BE||EN|=1|BE||EN|(1)k =3–√2△OAB ab 2Bk ==b a 3–√2|AB|==+a 2b 2−−−−−−√7–√=4a 2=3b 2E +=1x 24y 23(2)B (,)x B y B l y =k(x −2) =1,22由方程组 消去，整理得，解得或，由题意得，从而.因为，所以的坐标为，因此直线的方程为，则的坐标为．由得．由知，则，，所以，解得或，所以直线的斜率或．【考点】圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】无【解答】解：由当时，的面积为，可知此时为椭圆的下顶点．所以，，得，，所以椭圆的方程为．设，直线的方程为，由方程组 消去，整理得，解得或，由题意得，从而. +=1,x 24y 23y =k (x −2),y (4+3)−16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2x =2x =8−6k 24+3k 2=x B 8−6k 24+3k 2=y B −12k 4+3k 2|MA|=|MO|M (1,−k)MH y =−x +−k 1k 1k H (0,−k)1k BF ⊥HF ⋅=0BF −→−HF −→−(1)F (1,0)=(−1,−k)FH −→−1k =(,)BF −→−9−4k 24+3k 212k 4+3k 2+(−k)=04−9k 24+3k 212k 4+3k 21k k =−6–√4k =6–√4l k =−6–√4k =6–√4(1)k =3–√2△OAB ab 2B k ==b a 3–√2|AB|==+a 2b 2−−−−−−√7–√=4a 2=3b 2E +=1x 24y 23(2)B (,)x B y B l y =k(x −2) +=1,x 24y 23y =k (x −2),y (4+3)−16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2x =2x =8−6k 24+3k 2=x B 8−6k 24+3k 2=y B −12k 4+3k 2|MA|=|MO|因为，所以的坐标为，因此直线的方程为，则的坐标为．由得．由知，则，，所以，解得或，所以直线的斜率或．|MA|=|MO|M (1,−k)MH y =−x +−k 1k 1k H (0,−k)1k BF ⊥HF ⋅=0BF −→−HF −→−(1)F (1,0)=(−1,−k)FH −→−1k =(,)BF −→−9−4k 24+3k 212k 4+3k 2+(−k)=04−9k 24+3k 212k 4+3k 21k k =−6–√4k =6–√4l k =−6–√4k =6–√4。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（ ）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（ ）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，， 则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面， ，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据 ，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中， ，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中， ，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，， ，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量 ，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以 ，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． 【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷(共三套)
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（一）一、选择题（共12小题）1．命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，2450x x ++>B ．0x R ∃∈，2450x x ++≤C ．x R ∀∈，2450x x ++>D ．x R ∀∈，2450x x ++≤2x 的取值范围是（ ） A ．1≥x B ．2x ≠ C ．1x > D ．1≥x 且2x ≠3．若a >b >0，c <d <0，则一定有（ ）A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c4．若实数x ，y ，z 满足1212y x y y z y-<<-⎧⎨-<<-⎩，记2P xy yz xz y =+++，2Q x y z =++，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P Q <B ．P Q >C ．P Q =D ．不确定5．若1m n >>，a =，()1lg lg 2b m n =+，lg 2m n c +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b <<6．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[)2,+∞ C ．[)3,+∞ D ．(],3-∞7．一元二次方程220x bx +-=中，若0b <，则这个方程根的情况是（ ）A ．有两个正根B ．有一正根一负根且正根的绝对值大C ．有两个负根D ．有一正根一负根且负根的绝对值大8．不等式22412ax x a x ++>-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．2a <-C ．22a -<<D ．2a < 9．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5 10．若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ）A ．()98f x x =+B ．()=32f x x +C ．()=34f x x --D ．()=32f x x +或()=34f x x --11．已知函数22,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．[]1,212．已知函数2()23f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是（ ）A ．(3)(2)(7)f f f -<<B ．(3)(2)(7)f f f -=<C ．(2)(3)(7)f f f <-<D ．(2)(7)(3)f f f <<-一．填空题（共6小题） 13．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．14．（已知14x y -<+<，23x y <-<，则32x y +的取值范围是________.15．已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是________．16．已知函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围为_______ .17．已知函数()151x m f x =-+是奇函数，则实数m 的值为________. 18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x = ________.三．解析题（共6小题）19．已知函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-．（1）求()f x 的解析式；（2）当1x >-时，求()211f x y x -=+的最大值． 20．已知关于x 的不等式2260kx x k -+<；（1）若不等式的解集为()2,3，求实数k 的值；（2）若0k >，且不等式对一切23x <<都成立，求实数k 的取值范围．21．已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-．（1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数；22．已知函数()[)22,1,x x a f x x x++=∈+∞． （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．23．已知函数()21x b f x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<.24．已知()()2227m f x m m x -=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求m 的值；（2）求函数()()()211g x f x a x =--+在区间[]2,4上的最小值()h a ．【答案解析】二．选择题（共12小题）1．命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，2450x x ++>B ．0x R ∃∈，2450x x ++≤C ．x R ∀∈，2450x x ++>D ．x R ∀∈，2450x x ++≤ 【答案】D【解析】命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是：x R ∀∈，2450x x ++≤故选D2x 的取值范围是（ ） A ．1≥xB ．2x ≠C ．1x >D ．1≥x 且2x ≠【答案】D【解析】 解：根据题意，得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1≥x 且2x ≠. 故选：D.3．若a >b >0，c <d <0，则一定有（ ）A ．a c >b dB ．a c <b d C ．a d >bc D ．ad <b c【答案】D【解析】方法1：∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴110d c>>--， 又a >b >0，∴a b d c >--，∴a b d c <.故选：D.方法2：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2.则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项A ，B. 又a d ＝－32，b c ＝－23，∴a b d c <，排除选项C. 故选：D.4．若实数x ，y ，z 满足1212y x y y z y-<<-⎧⎨-<<-⎩，记2P xy yz xz y =+++，2Q x y z =++，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P Q <B ．P Q >C ．P Q =D ．不确定【答案】A【解析】 ()22P Q xy yz xz y x y z =--+++++()()()2111xz y x z y =+-++-- ()()111x y z y =+-+--因为1212y x y y z y -<<-⎧⎨-<<-⎩，所以()10,1x y +-∈，()10,1z y +-∈， 所以()()()110,1x y z y +-+-∈，所以110P Q -<-=，即P Q <故选：A5．若1m n >>，a ，()1lg lg 2b m n =+，lg 2m n c +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ． a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【解析】解：因为1m n >>，所以lg lg 0m n >>，则()1lg lg 2b m n =+≥，因为lg lg m n >，所以等号不成立，即()1lg lg 2b m n a =+>=，因为2m n +>()1lg lg lg 22m n c m n b +⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭， 所以a b c <<，故选:A.6．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．(],3-∞ 【答案】D【解析】因为当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立， 又111121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当2x =时取等号， 所以11`x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤则实数a 的取值范围为](3-∞，故选：D7．一元二次方程220x bx +-=中，若0b <，则这个方程根的情况是（ ）A ．有两个正根B ．有一正根一负根且正根的绝对值大C ．有两个负根D ．有一正根一负根且负根的绝对值大【答案】B【解析】由220x bx +-=，可知()2241280b b ∆=-⨯⨯-=+>，所以方程有两个不相等的实数根.设方程220x bx +-=的两个根为c ，d ，则c d b +=-，2cd =-，由2cd =-得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ由c d b +=-和0b <可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确故选：B.8．不等式22412ax x a x ++>-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．2a <-C ．22a -<<D ．2a <【答案】A【解析】不等式22412ax x a x ++>-对一切x ∈R 恒成立，即()22410a x x a +++->对一切x ∈R 恒成立， 若20a +=，显然不恒成立.若20a +≠，则200a +>⎧⎨∆<⎩， 即()()20164210a a a +>⎧⎨-+-<⎩，解得2a >. 故选：A9．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5 【答案】D【解析】 因为函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则(2)=4f -， 又(4)=5f ，所以[(2)]=5f f -故选：D.10．若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ）A ．()98f x x =+B ．()=32f x x +C ．()=34f x x --D ．()=32f x x +或()=34f x x --【答案】B【解析】 设232,3t t x x -=+∴=， 所以2()983(2+8=323t f t t t -=⨯+=-+） 所以()=32f x x +.故选：B.11．已知函数22,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．[]1,2【答案】D【解析】因为函数22,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，在(),-∞+∞上是增函数， 所以1210122136a a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≤--+⎩，解得12a ≤≤，故选：D12．已知函数2()23f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是（ ）A ．(3)(2)(7)f f f -<<B ．(3)(2)(7)f f f -=<C ．(2)(3)(7)f f f <-<D ．(2)(7)(3)f f f <<-【答案】C【解析】解：根据题意，函数2()25f x x ax =-+，其对称轴为1x =，其开口向上， ()f x 在[1，)+∞上单调递增，()()35f f -=，则有()()()2(3)57f f f f <-=<；故选：C ．三．填空题（共6小题）13．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】{a |a ≥2}【解析】∵B ＝{x |1<x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．又∵A ∪(∁R B )＝R ，A ＝{x |x <a }．观察∁R B 与A 在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a ≥2时，A ∪(∁R B )＝R.故答案为{a |a ≥2}14．已知14x y -<+<，23x y <-<，则32x y +的取值范围是________. 【答案】323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设()()32+=++-x y m x y n x y ，则32m n m n +=⎧⎨-=⎩，∴5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()()513222+=++-x y x y x y ， 又∵14x y -<+<，23x y <-<， ∴()551022x y -<+<，()13122x y <-<， ∴()()351232222x y x y -<++-<， 即3233222x y -<+< ，∴32x y +的取值范围为323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是________．【答案】18【解析】解：因为0x >，0y >，且28x y xy +=， 所以281y x +=， 所以28()x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2882x y y x=+++1018≥+= 当且仅当28x y y x =，即12,6x y ==取等号， 所以x y +的最小值为18，故答案为：1816．已知函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围为_____ .【答案】[]0,1【解析】由于函数()f x =的定义域为R ，∴不等式2210ax ax ++≥对任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10≥恒成立，即0a =符合题意；当0a ≠时，则20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得001a a >⎧⎨≤≤⎩，解得01a <≤.综上，a 的取值范围是[]0,1. 故答案为：[]0,1. 17．已知函数()151xmf x =-+是奇函数，则实数m 的值为________. 【答案】2 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(0)102mf =-=，解得2m =， 2m =时，51()15151x x xm f x -=-=++，满足()()f x f x -=-，是奇函数， 故答案为：2．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x = ________. 【答案】()1x x - 【解析】当0x <时，0x -> ()()1f x x x ∴-=--()f x 为奇函数 ()()()1f x f x x x ∴=--=- 本题正确结果：()1x x - 三．解析题（共6小题）19．已知函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-．（1）求()f x 的解析式； （2）当1x >-时，求()211f x y x -=+的最大值． 【答案】（1）()23318f x x x =--+；（2）max 3y =-.【解析】（1）因为函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有3213183326b a ab a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⋅=-=⎪⎩， 所以()23318f x x x =--+．（2）()()221113331331111f x x x x x y x x x x x -++---⎛⎫===-⋅=-+ ⎪++++⎝⎭()13111x x ⎡⎤=-++-⎢⎥+⎣⎦，由1x >-，则：根据均值不等式有：1121x x ++≥+，当且仅当 111x x +=+，即0x =时取等号， ∴当0x =时，max 3y =-．20．已知关于x 的不等式2260kx x k -+<； （1）若不等式的解集为()2,3，求实数k 的值；（2）若0k >，且不等式对一切23x <<都成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）25k =（2）20,5⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（1）不等式2260kx x k -+<的解集为()2,32∴和3是方程2260kx x k -+=的两根且0k >由根与系数的关系得：223k+=， 解得：25k =（2）令()226f x kx x k =-+，则原问题等价于()()2030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩即44609660k k k k -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得：25k ≤又0k >∴实数k 的取值范围是20,5⎛⎤⎥⎝⎦21．已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-． （1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数； 【答案】（1）最小值是1-，最大值是35.；（2）6a -或4a . 【解析】解：（1）当2a =-时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，由于[]4,6x ∈-，()f x ∴在[]4,2-上单调递减，在[]2,6上单调递增，()f x ∴的最小值是()21f =-，又(4)35,(6)15f f -==，故()f x 的最大值是35.（2）由于函数()f x 的图像开口向上，对称轴是x a =-，所以要使()f x 在[]4,6-上是单调函数，应有4a --或6a -，即6a -或4a .22．已知函数()[)22,1,x x a f x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）72（2）3a >- 【解析】 （1）当12a =时，()122f x x x =++，∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =.（2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立． 设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增，∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-.23．已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<. 【答案】（1）()21x f x x =-；（2）证明见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）由于函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-， 即()2211x bx b x x -++=-+-+，化简得0b =，因此，()21xf x x =-； （2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，即1211x x -<<<， 则()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，1211x x -<<<，210x x ∴->，1210x x +>，110x -<，110x +>，210x -<，210x +>.()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此，函数()y f x =在区间()1,1-上是减函数；（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义域为()1,1-的减函数，且为奇函数，由()()10f t f t -+<得()()()1f t f t f t -<-=-，所以111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得112t <<. 因此，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.24．已知()()2227m f x m m x -=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求m 的值；（2）求函数()()()211g x f x a x =--+在区间[]2,4上的最小值()h a ． 【答案】（1）4 （2）当52a <时， ()()274h a g a ==-；当5922a ≤≤时，()()22121124a a g h a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，当92a >时， ()()4218h a g a ==-． 【解析】（1）()()2227m f x m m x -=--是幂函数，∴2271m m --=，解得4m =或2m =-； 又()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴20m ->， ∴m 的值为4；（2）函数()()()()2211211g x f x a x x a x =--+=--+，当52a <时，()g x 在区间[]2,4上单调递增，最小值为()()274h a g a ==-； 当5922a ≤≤时，()g x 在区间[]2,4上先减后增，最小值为()()22121124a a g h a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 当92a >时，()g x 在区间[]2,4上单调递减，最小值为()()4218h a g a ==-．人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题（共12小题）1．有下列四个命题，其中真命题是（ ）． A ．n ∀∈R ，2n n ≥B ．n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C ．n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D ．n ∀∈R ，2n n <2． 22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）A ．132x -<<B ．16x -<<C ．102x -<<D ．132x -<<3．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 4．下列不等式中，正确的是（ ） A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4abC ≥2a b+ D ．x 2＋23x 5．已知2x >-，8y >-，8082x y x -=++，则x y +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．146．已知m ，0n >，4121m n +=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．47．不等式10xx-≥的解集为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1]C ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪[1，+∞）8．已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()8f m =，则m 等于（ ）A ．14- B ．14C ．32D ．32-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A．(,-∞ B．()C ．()(),02,-∞+∞D．(),-∞⋃+∞10．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝x 3C ．y ＝lnxD ．y ＝x 211．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的[]12,1,1x x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥．当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，则 2902913143152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．112-B ．6-C ．132-D ．254-四．填空题（共6小题）13．已知条件2:340p x x --；条件22:690q x x m -+-≤，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．已知正实数a ，b 满足36a b +=，则1412a b+++的最小值为______．16．若222x x a x x a +++--≥对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为______.17．已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.18．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232020f f f f ++++=________.三．解析题（共6小题）19．已知函数()|31||1|f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ；（2）记函数()()2|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，求44t t+的最小值． 20．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 21．已知函数()f x 对任意x 满足：3()(2)4f x f x x --=，二次函数()g x 满足：(2)()4g x g x x +-=且()14g =-．（1）求()f x ，()g x 的解析式；（2）若[,]x m n ∈时，恒有()()f x g x ≥成立，求n m -的最大值．22．已知函数23f x x x =-（）． （1）对任意0x R f x m ∈-≥，（）恒成立，求实数m 的取值范围： （2）函数()g x kx k =-，设函数()()()F x f x g x =-，若函数()y F x =有且只有两个零点，求实数k 的取值范围．23．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上，若对于任意[],1,1x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+且0x >时，有()0f x >.（1）证明：()f x 在[]1,1-上为奇函数，且为单调递增函数；（2）解不等式1(1)()02f x f x ++>；24．已知函数()4mf x x x=-，且()43f =.（1）求m 的值；（2）证明()f x 的奇偶性；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给予证明.【答案解析】一、选择题（共12小题）1．有下列四个命题，其中真命题是（ ）． A ．n ∀∈R ，2n n ≥B ．n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C ．n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D ．n ∀∈R ，2n n <【答案】B 【解析】对于选项A ，令12n =，则2111242⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故A 错；对于选项B ，令1n =，则m ∀∈R ，1⋅=m m 显然成立，故B 正确； 对于选项C ，令1n =-，则21<-m 显然无解，故C 错； 对于选项D ，令1n =-，则2(1)1-<-显然不成立，故D 错. 故选B2． 22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）A ．132x -<<B ．16x -<<C ．102x -<<D ．132x -<<【答案】B 【解析】求解不等式22530x x --<可得132x -<<，结合所给的选项可知22530x x --<的一个必要不充分条件是16x -<<. 本题选择B 选项.3．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 【答案】A 【解析】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b a b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A4．下列不等式中，正确的是（ ） A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4abC ≥2a b+ D ．x 2＋23x 【答案】D 【解析】a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错； a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16＜2a b+，故C 错；由基本不等式得x 2＋23x ≥=D 项正确. 故选：D.5．已知2x >-，8y >-，8082x y x -=++，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．14【答案】C 【解析】解：因为8082x y x -=++，所以822082x y x +--=++，即82182y x +=++， 因为2x >-，8y >-，所以20x +>，80y +>，所以()8282x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()82281082x y y x ⎛⎫⎡⎤=+++-+ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()822882x y y x ++=+++8==当且仅当()()822882x y y x ++=++即4x =，4y =时取等号， 故选：C6．已知m ，0n >，4121m n +=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【解析】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n +=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72. 故选：A.7．不等式10xx-≥的解集为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1]C ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【答案】B 【解析】 根据题意，1100(1)0x x x x x x--≥⇒≤⇒-≤且0x ≠， 解得01x <≤，即不等式的解集为（0，1]， 故选：B8．已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()8f m =，则m 等于（ ） A ．14-B ．14C ．32 D ．32-【答案】B 【解析】解：设112x t -=，则22x t =+，()47f t t ∴=+，()478f m m ∴=+=，解得14m =． 故选：B ．9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞ B ．()C ．()(),02,-∞+∞D ．(),-∞⋃+∞【答案】A 【解析】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，则()()f x f x =--. 当0x <时，0x ->，则()()()33f x f x x x =--=--=.所以，对任意的x ∈R ，()3f x x =，则函数()y f x =为R 上的增函数.由()()242f t f m mt ->+可得224mt m t +<-，即2420mt t m ++<，由题意可知，不等式2420mt t m ++<对任意的实数t 恒成立. ①当0m =时，则有40t <，在t R ∈不恒成立；②当0m ≠时，则(2,1680m m m <⎧⇒∈-∞⎨∆=-<⎩. 综上所述，实数m的取值范围是(,-∞. 故选：A ．10．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2x B ．y ＝x 3 C ．y ＝lnx D ．y ＝x 2【答案】D 【解析】A 选项：y ＝x 2+2x 是非奇非偶函数所以，所以不是偶函数，不合题意；B 选项：y ＝x 3是奇函数，不合题意；C 选项：y ＝lnx 是非奇非偶函数，所以不是偶函数，不合题意；D 选项：y ＝x 2既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增. 故选：D11．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】B 【解析】由题可知：函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数 则21=12--⇒=m m m 或1m =- 又对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-所以函数()f x 为(0,)+∞的增函数，故2m =所以()7=f x x ，又()()f x f x -=-，所以()f x 为R 单调递增的奇函数由0a b +<，则a b <-，所以()()()<-=-f a f b f b 则()()0f a f b +< 故选：B12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的[]12,1,1x x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥．当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，则 2902913143152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．112-B ．6-C ．132-D ．254-【答案】C 【解析】由f （x ）=1-f （1-x ），得 f （1）=1，令12x =，则1122f =（） ， ∵当x ∈[0，1]时，25x f f x =（）（）， ∴152x f f x =（）（）， 即1111111111115222525410224f f f f f f ⎛⎫====== ⎪⎝⎭（）（），（），（）（）， 1290125201610＜＜ ， ∵对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，均有（x 2-x 1）（f （x 2）-f （x 1））≥0290120164f ∴=（） ， 同理29131431512016201620164f f f =⋯=-==（）（）（） ． ∵f （x ）是奇函数，∴2902913143152016201620162016f f f f -+-+⋯+-+-（）（）（）（） 29029131431513[]20162016201620162f f f f =--++⋯++=-（）（）（）（），故选：C ．五．填空题（共6小题）13．已知条件2:340p x x --；条件22:690q x x m -+-≤，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m ≥或4m ≤- 【解析】∵条件2:340p x x --；∴:14p x -≤，∴:4p x ⌝>或1x <-， ∵条件22:690q x x m -+-，，∴:3q x m ⌝>+或x 3m <-，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则31434m m m ⎧--⎪⇒≥⎨+⎪⎩，解得：4m ≥或4m ≤-故答案为4m ≥或4m ≤-14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=. 故答案为：415．已知正实数a ，b 满足36a b +=，则1412a b+++的最小值为______．【答案】1313+ 【解析】正实数a ，b ，即0a >，0b >；36a b +=，13(2)13a b ∴+++=则13(2)11313a b +++=， 那么：14(12a b+++13(2)4(1)3(2))()1()131313(2)13(1)a b a b b a +++++=++++121213+⨯=当且仅当2(1)2)a b +=+时，即取等号．∴1412a b +++的最小值为：1313+， 故答案为：1313+． 16．若222x x a x x a +++--≥对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】2a ≥ 【解析】因为222x x a x x a +++--≥对x ∈R 恒成立，当20x x a --≥时，222221x x a x x a x x +++--=≥∴≥或1x ≤-恒成立，因此22(1)(1)02110a a a ⎧----≤∴≥⎨--≤⎩； 当20x x a --<时，222221x x a x x a x a x a +++--=+≥∴≥-恒成立，因此2(1)(1)02112a a a a a ⎧----≥⎪∴≥⎨-<⎪⎩； 综上：2a ≥ 故答案为：2a ≥17．已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.【答案】2 【解析】由题意，函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，可得211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，函数()2f x x =，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当1m =-时，函数()1f x x -=，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，故答案为：2.18．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232020f f f f ++++=________.【答案】0. 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，又因为()12f =、()00f =， 在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以()()()()2020(3)(2020)1234505004(1)(2)f f f f +f f f f +++=⨯+++=⨯=⎡⎤⎣⎦ 故答案为：0.三．解析题（共6小题）19．已知函数()|31||1|f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ；（2）记函数()()2|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，求44t t +的最小值．【答案】（1）1|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）17. 【解析】解：（1）依题意，得4,1,1()22,1,314,.3x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是1()242x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或113222x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+≤⎩或1342x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得102x ≤≤.即不等式()2f x ≤的解集为1|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）证明：()|31|3|1||31(33)|4g x x x x x =-++≥--+=， 当且仅当(31)(33)0x x -+≤时，取等号，所以[4,)M =+∞. 则44y t t=+在[4,)+∞单调递增， 所以4114444174t t t t ⎛⎫⎛⎫+=+≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以44t t +的最小值为17. 20．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|23x x <<（2）423a ≤≤【解析】对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423a ≤≤.21．已知函数()f x 对任意x 满足：3()(2)4f x f x x --=，二次函数()g x 满足：(2)()4g x g x x +-=且()14g =-．（1）求()f x ，()g x 的解析式；（2）若[,]x m n ∈时，恒有()()f x g x ≥成立，求n m -的最大值． 【答案】（1）求()1f x x =+，2()23g x x x =--；（2）n m -的最大值5. 【解析】（1）()()324f x f x x --=①， 用2x -代替上式中的x ， 得()()3284f x f x x --=-②， 联立①②，可得()1f x x =+；设()2g x ax bx c =++，所以()()()()222224g x g x a x b x c ax bx c x +-=++++---=， 即4424ax a b x ++=所以44420a ab =⎧⎨+=⎩，解得1a =，2b =-，又()14g =-，得3c =-，所以2()23g x x x =--. （2）令()()f x g x ≥， 即2123x x x +--≥2340x x --≤解得14x -≤≤所以当[]1,4x ∈-时，()()f x g x ≥若要求[,]x m n ∈时，恒有()()f x g x ≥成立， 可得()415n m -≤--=，即n m -的最大值是5.22．已知函数23f x x x =-（）． （1）对任意0x R f x m ∈-≥，（）恒成立，求实数m 的取值范围： （2）函数()g x kx k =-，设函数()()()F x f x g x =-，若函数()y F x =有且只有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）94⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，；（2）()()01-∞⋃+∞，，. 【解析】解：（1）23f x x x =-（）的定义域为R ， 22()3()3()（-）f x x x x x f x =---=-=， 故函数()y f x =关于y 轴对称，当0x >时，23（）f x x x =-， 当32x =时，min 39()()24f x f ==-， 对任意,()0x R f x m ∈-≥恒成立，即有min ()m f x ≤，故实数m 的取值范围为94-∞-（，）．（2）显然1x =不是函数()()()F x f x g x =-的零点．故函数()()()F x f x g x =-有且只有两个零点．y k ⇔=与23||()1x x h x x -=-的图象有两个交点．当0x ≥时，223||3()11x x x xh x x x --==--， 222223(23)(1)(3)23()()01(1)(1)x x x x x x x x h x x x x ------+''===>---恒成立， 故函数()y h x =在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递增， 且当(0,1)x ∈时，1x →时，函数()h x →+∞， 当(1,)x ∈+∞时，1x →时，函数()h x →-∞，x →+∞时，函数()h x →+∞，当0x <时，223||3()11x x x xh x x x -+==--， 2222223(23)(1)(3)23(3)(1)()()1(1)(1)(1)x x x x x x x x x x h x x x x x ++--+---+''====---- 令()0h x '=，因为0x <，故解得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时， ()0h x '>，故在(,1)-∞-单调递增， 当(1,0)x ∈-时， ()0h x '<，故在(1,0)-单调递减， 函数()y h x =的图像如图所示，根据图象可得，实数k 的取值范围为01-∞+∞（，）（，）．23．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上，若对于任意[],1,1x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+且0x >时，有()0f x >.（1）证明：()f x 在[]1,1-上为奇函数，且为单调递增函数；（2）解不等式1(1)()02f x f x ++>；【答案】（1）证明见解析；（2）2,03x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 【解析】（1）证明：令0x y ==有(0)0f =，令y x =-，()()()f x x f x f x -=+-，即0(0)()()f f x f x ==+-， 所以()f x 是奇函数. 又令1211x x ，则()()21f x f x -=()()()2121f x f x f x x +-=-，又当0x >时，有()0f x >，210x x ->， ∴()210f x x ->，即()()210f x f x ->， ∴()f x 在定义域[]1,1-上为单调递增函数；（2）∵()f x 在[]1,1-上为单调递增的奇函数，有1(1)()02f x f x ++>，则1(1)()2f x f x +>-，∴1111112112x x x x ⎧⎪-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+>-⎪⎩，即202223x x x ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪>-⎩，2,03x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，解得不等式的解集为2,03x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.24．已知函数()4mf x x x=-，且()43f =. （1）求m 的值；（2）证明()f x 的奇偶性；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给予证明.【答案】（1）1m =；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调增函数，证明见解析. 【解析】（1）()4444134m m f =-=-=，解得1m =； （2）因为()4f x x x=-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，因此，函数()y f x =为奇函数； （3）设120x x >>，则()()()12121212214444f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121212441x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为120x x >>，所以120x x ->，所以()()12f x f x >， 因此，函数()y f x =在()0,∞+上为单调增函数.人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（三）一、选择题（共12小题） 1．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．若a ＞b ，则下列各式中正确的是（ ） A ．ac ＞bcB ．ac 2＞bc 2C ．a +c 2＞b +c 2D ．11a b＜3．设m =，n =p =，则m ，n ，p 的大小顺序为（ ） A ．m p n >>B ．p n m >>C ．n m p >>D ．m n p >>4．已知0,0x y >>，且142x y +=，242mx y m +>+恒成立，则实数m 的取值围是（ ）A ．(8,0)-B ．C ．(9,1)-D ．(8,1)-5．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66．已知关于x 的不等式()()110ax x -+<的解集是1(,1),2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．127．已知命题“∃x 0∈R ，20014(2)04x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(－∞，0) B ．[0，4] C ．[4，＋∞) D ．(0，4)8．将函数()212x f x x x -=-的图象向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如果2()(2)1f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A ．(0,1]B ．[0,1)C ．[0,1]D ．(0,1)10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．)1,4⎡+∞⎢⎣ B ．)1,2⎡+∞⎢⎣ C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦11．已知321()(1)1x f x x x +=+--，若(2018)f a =，则(2016)f -=（ ） A ．a -B ．2a -C ．4a -D ．1a -12．已知,a b ∈R ，不等式22122x ax bx x ++<++在x ∈R 上恒成立，则（ ） A ．0a <B ．0b <C ．02ab <<D ．04ab <<二、填空题（共6小题）13．不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是m ∈__________． 14．已知11x y -≤+≤，12x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 15．已知0a >，0b >且1a b +=，则311a b++的最小值为____________. 16．已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为__________. 17．当2x ≠时，则42y x x =+-的值域是____________ 18．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解只有－2，则k 的取值范围是________．三．解析题（共6小题）19．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 20．已知0a >，0b >. （1）若1a b +=，求14a b+的最小值；（2≥21．已知函数2()2f x ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； （2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式()0f x >． 22．已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围. 23．求函数解析式（1）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217.f x f x x +--=+求()f x ．（2）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．24．定义在非零实数集上的函数()f x 对任意非零实数,x y 满足:()()()f xy f x f y =+,且当01x <<时()0f x <.(1)求(1)f -及(1)f 的值； (2)求证:()f x 是偶函数；(3)解不等式：21(2)02f f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭.【答案解析】一、选择题（共12小题） 1．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数，则复数的虚部为A.B.C.D.2. 设集合，集合，则 A.B.C.D.3. 已知函数在定义域内可导，则函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知函数 若，使得关于的方程有个解，则实数的取值范围为( )A.z =−1+2i 2+iz ( )i−i1−1A ={x |(x +1)(2−x)>0}B ={x |1<x <3}A ∪B =(){x |−1<x <3}{x |−1<x <1}{x |1<x <2}{x |2<x <3}f(x)f(x)0f(x)f (x)={−−3+2，x ≥m ，x 3x 22x +2,x <m ，∃n ∈R x f(x)=n 3m (−∞,−2)(−∞,−1)B.C.D.5. 已知( )A.B.C.D.6. 已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，且满足，则（ ）A.B.C.D.7. 若是上的奇函数，且在上是增函数，，则的解集是 A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系内，已知直线与圆相交于，两点，且，若且是线段的中点，则的值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）(−∞,−1)(−∞,−2)∪(−2,0)(−∞,−2)∪(−2,−1)cos(+φ)=−且|φ|<，则tan φ=π23–√2π2−3–√33–√3−3–√3–√ABCD 2∠BAD =120∘E F BC CD =,=2BE −→−EC −→−CD −→−CF −→−+|=AE −→−AF −→−3–√323–√4f(x)R (0,+∞)f(2)=0xf(x)<0(){x |−2<x <0或x >2}{x |x <−2或0<x <2}{x |x <−2或x >2}{x |−2<x <0或0<x <2}xOy l O :+=8x 2y 2A B |AB|=4=2−OC −→−OA −→−OB −→−M AB ⋅OC −→−OM −→−3–√22–√349. 下列说法正确的有 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.()>ac 2bc 2a −>b −c 2c 2a >0,b >0>a +mb +m abx ∈R sin x +≥21sin x a >b >0>a 2b 2=(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF =CB −→−EF −→−+=−→−−→−−→−→B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 已知点在所在的平面内，若，则与的面积的比值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 函数的部分图象如图所示．求的最小正周期及解析式；设函数，求在区间上的最小值． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2P △ABC 2+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−△PAB △PBC f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3f(x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2(1)f(x)(2)g(x)=f(x)−cos 2x g(x)[0,]π2a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)¯¯¯在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19. 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．求；若，，求的周长．20. 已知指数函数且的图象过点，函数求的值，并在给定的直角坐标系中画出函数的图象；若函数在区间上为单调减函数，求实数的取值范围．21. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份产量（千件）为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数＝或＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系，请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．(2)z¯¯¯a △ABC A B C a b c △ABC a 23sin A(1)sin B sin C (2)6cos B cos C =1a =3△ABC f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)g(x)={f (x),x <0,−+2x +1,x ≥0.x 2(1)a y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)y =g(x)(t,t +)12t 123505253.9y ax +b y +b(a a x b a >0)y △ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，则复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.故选.z ===i(−1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)−2+4i +i −2i 25z 1C A ={x |−1<x <2}B ={x |1<x <3}A ∪B ={x |−1<x <3}A3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件，进行判断即可．【解答】解：根据导数的性质可知，若函数在这点处取得极值，则，即必要性成立．反之不一定成立，如函数在上是增函数，且，则，但在处函数不是极值，即充分性不成立，综上所述，函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的必要不充分条件.故选.4.【答案】D【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：依据题意作出函数图象如下：根据图象可知，当时，，使得关于的方程有个解；当时，由图象可知，关于的方程不存在个解，故；f(x)f'(x)=0f(x)=x 3R f'(x)=3x 2f'(0)=0x =0f(x)0f(x)B m ∈(−∞,−2)∃n ∈R x f(x)=n 3m =−2x f(x)=n 3m ≠−2m ∈(−2,−1)y =−−3+232当时，函数的图象在函数的上方，此时，使得关于的方程有个解.故选.5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由且，可求得，从而可求得．【解答】解：∵，∴，又，∴，∴．故选.6.【答案】B【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】m ∈(−2,−1)y =2x +2y =−−3+2x 3x 2∃n ∈R x f(x)=n 3D cos(+φ)=−π23–√2|φ|<π2φtan φcos(+φ)=−sin φ=−π23–√2sin φ=3–√2|φ|<π2φ=π3tan φ=3–√DD【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵是上的奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数且，由，得，画出的草图如图，故等价于或解得或，∴的解集为：.故选．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】根据，作出示意图，可知即为平行四边形的一条边，再根据弦心距得，然后根据向量数量积的运算即可，求出答案.【解答】解：如图，，即为平行四边形的一条边，f(x)(−∞,0)f(x)f(x)f(x)R (0,+∞)f(x)(−∞,0)f(0)=0f(2)=0f(−2)=−f(2)=0f(x)xf(x)<0{x >0，f(x)<0{x <0，f(x)>0，0<x <2−2<x <0xf(x)<0{x |−2<x <0或0<x <2}D =2−OC −→−OA −→−OB −→−OC −→−OBDC O =O −A =4M 2A 2M 2=2OD −→−OA −→−OC −→−OBDC∵，∴，∴，∵是线段的中点，∴，∴，设为和的夹角，由图可知，，∴，.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】无【解答】OA =OB =8–√A =O +O =16B 2A 2B 2AB =4M AB OM ⊥AB O =O −A M 2A 2M 2=8−=8−=4(AB)12222θOC −→−OM −→−cos θ=∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣⋅=cos θOC −→−OM −→−∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣=⋅∣∣∣OM −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣==4∣∣∣OM −→−∣∣∣2C b解：因为，则，不等式两边同减不等号不变，选项正确；赋特值，若，，．左边，右边，显然左边右边，选项错误；因为．则，不能直接使用基本不等式，选项错误；因为，所以，于是，选项正确．故选．10.【答案】C,D【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】解：∵，，∴错误；，∴，∴，∴错误，正确；∵，且，∴与的夹角为，∴正确．故选.11.【答案】B,D【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法>a c 2b c 2a >b A a =1b =4m =−1===0a +m b +m 1−14−1==a b 14<B x ∈R sin x ∈[−1,1]C a >b >0|a|>|b|>a 2b 2D AD ||=2,||=a b 2–√A (−)⋅=0a b b B C cos <,>=a b 2–√2D ||=2a →||=b →2–√A −=(1,−1)a →b →(−)⋅=1−1=0a →b →b →(−)⊥b a →b →→B C cos <,>===a →b →⋅a →b →||||a →b →222–√2–√20≤<,b >≤πa →→a →b →π4D CD函数奇偶性的判断【解析】当时，不单调，根据函数的奇偶性的定义知为非奇非偶函数，利用分段函数，当时，，当时，，故的值域为，可得结果.【解答】解：当时，不单调，又为非奇非偶函数，故错误；，，故正确；当时，，当时，，故的值域为，故正确.故选.12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，x <0f (x)f (x)f [f (−)]=f (0)=13π2x ≥0f (x) 1x <0−1 f (x) 1f (x)[−1,+∞)∵x <0f(x)f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0f(−x)={+1，x ≤0，x 2cos x ，x >0，∴f(x)AC ∵f (−)=cos(−)=03π23π2∴f [f (−)]=f (0)=13π2B x ≥0f (x)≥1x <0−1≤f (x)≤1f(x)[−1,+∞)D BD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−=⋅−→−−→−−→−−→−∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值函数的周期性【解析】由是定义在上的周期为的函数，得，再由分段函数的性质能求出结果.【解答】解：∵是定义在上的周期为的函数，当时，，∴，.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的最值同角三角函数间的基本关系【解析】⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD −14f (x)R 3f ()214=f (−)34f (x)R 3x ∈[−2,0]f (x)=|x|f ()214=f (−)34=−=∣∣∣34∣∣∣34f ()=−1=−343414−1454y=cos x −x −cos 2x 2利用三角函数间的平方关系式与二倍角的余弦将转化为：，再配方，利用余弦函数的性质即可求得答案．【解答】解：∵，显然，当时，函数取得最大值.故答案为：．15.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】利用，确定点在上，且，由此可得与的面积的比值．【解答】解：∵，∴，∴ ，∴点在上，且，∵与分别可看做以，为底时，高相同，∴与的面积的比值为.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系y =cos x −x −cos 2x sin 2y =−x +cos x cos 2y =x +cos xsin 2=1−x +cos xcos 2=−x +cos x +1cos 2=−(cos x −+12)254cos x =12y 5454452+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC 2+3+4=3PA −→−PB−→−PC −→−AB −→−2+3+4=3(−)PA −→−PB −→−PC −→−PB −→−PA −→−5=−4PA −→−PC −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC PA PC △PAB △PBC ||：||=PA −→−PC −→−45452(3−)<<021−−√x 1x 2x 3由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当，单调递减，作出函数的图象，如图所示．由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根．不妨设，易知，且，∴．令，解得（舍去）或．∴．∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．x <0y =(−3x +1)log 2x 2f (x)0<m <2f (x)=m(m ∈R),,x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3>0x 2+=2×2=4x 2x 30<<4x 2x 3(−3x +1)=2log 2x 2x =3+21−−√2x =3−21−−√2<3−21−−√2<0x 12(3−)<<021−−√x 1x 2x 32(3−)<<021−−√x 1x 2x 3(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π6≤x ≤π因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．【考点】三角函数的最值由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数的周期性及其求法【解析】由图可得，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期，进而得，代入最高点坐标求，得的解析式；由知的解析式，代入求出的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由的范围，得到的范围，由正弦函数的图象得到的最大值和最小值．【解答】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．18.【答案】解：.0≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)A =1T ωφf(x)(2)(1)f(x)g(x)x 2x −π6sin(2x −)π6(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π60≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；利用复数的运算法则、几何意义和共轭复数的概念，即可得出.【解答】解：.∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.19.【答案】由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得22z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)(2)(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin A∵，∴．，∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．【考点】余弦定理三角形的面积公式正弦定理两角和与差的余弦公式【解析】根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．【解答】解：由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得∵，∴．，3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)(2)cos A =12A =π3bc =8b +c (1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1B cos C =1∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．20.【答案】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．【考点】分段函数的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1已知函数的单调性求参数问题【解析】无无【解答】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．21.【答案】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】分别求出对应的，值，再去验证模拟效果即可．(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y a b【解答】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．22.【答案】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）答案未提供解析．（2）答案未提供解析．【解答】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y (1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A−2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 2–√–√)2–√–√–√所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√。
新课标人教版B版高一数学必修2期中期末试卷(含答案)(2套)
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]高中学生学科素质训练新课标高一数学同步期中测试本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 2．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为 （ ） A ．πQ B ．2πQ C ． 3πQ D ． 4πQ3．已知高与底面的直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积 为 （ ）A ．π53500B ．π5310000C ．π5320000 D ．π5325004．到空间四点距离相等的平面的个数为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．7或无穷多 5．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 （ ） A ．10（5－2）米 B ．（6－15）米C ．（9－45）米D ．52米6．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则 （ ）A ．1＜MN ＜5B ．2＜MN ＜10C ．1≤MN ≤5D ．2＜MN ＜57．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角 （ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ． 不确定8．已知平面α ⊥平面β ，m 是α 内一条直线，n 是β 内一条直线，且m ⊥n ．那么，甲：m ⊥β ；乙：n ⊥α ；丙：m ⊥β 或n ⊥α ；丁：m ⊥β 且n ⊥α ．这四个结论中，不正确的三个是（ ）A ．甲、乙、丙B ．甲、乙、丁9．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边 形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组10．棱台的两底面积分别为S 上、S 下、平行于底面的戴面把棱台的高自上而下分为两段之比 为m ∶n 则截面面S 0为 （ ）A ．nm mS nS ++下上B ．n m S m S n ++下上C ．(nm mS nS ++下上)2D ．(nm S m S n ++下上)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．12．α 、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m ⊥n （2）α ⊥β （3）n ⊥β （4）m ⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________．13．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分 别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= _____．14．还原成正方体后，其中两个完全一样的是．（1） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中被截去一部分，其中EF ∥A 1D 1．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？若FH ∥EG ，但FH<EG ，截取的几何体是什么?① ②③ ⑤ ⑥ ④④ ⑥ ①⑤ ③②① ⑤ ⑥ ④③ ②④ ② ⑥ ③ ①⑤16．（12分）有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．①说明组合体是什么样的几何体？②证明你的结论．17．（12分）正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm，9cm，11cm，求它的侧面积．18．（12分）三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S-BCED的体积．19．（14分）如图，在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．20．（14分）如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2 BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA．高一新数学期中测试题参考答案一、DBDDA ADBCD．二、11a3；12．①③④⇒②；13．7∶5；14．②③；三、15．五棱柱，三棱柱，三棱台。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 若，则等于 A.B.C.D.3. 在下列命题中，不是公理的是（ ）A.经过两条相交直线有且只有一个平面B.平行于同一直线的两条直线互相平行C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线4. 函数的图象形状大致是 A ={x ∈Z|−1<x <5}B ={x|−2≤x ≤2}A ∩B ={x|−1<x ≤2}{x|−2≤x <5}{0,1}{0,1,2}ω=−+i 123–√2++1=ω4ω2()1−1+i3–√3+i3–√0f(x)=(1−)⋅sin x 21+e x ()A. B. C.D.5. 如果一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为，且斜边落在斜二测坐标系的横轴上，则原图形的面积为( )A.B.C.D.6. 在米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为，则塔高为( )A.米B.米C.米D.米7. 命题：， 成立的一个充分但不必要条件为( )A.222–√42–√2–√22003–√，30∘60∘400320033–√20034003–√3p :∀x ∈[−1,1]−ax −2<0x 2−1<a <1<a <11B.C.D.8. 在①，②，③，④这四个条件中，能够满足必为等腰直角三角形的条件组合为（ ）A.③④B.①②C.②③D.①④二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图所示的几何体是由正四面体和正四棱锥组合而成，则下列结论正确的是（ ）A.B.该几何体有个面C.异面直线与所成的角为D.该几何体所有顶点在同一球面上10. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )A.B.C.D.−<a <112−1<a <2−1≤a ≤1|+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−=(−)BA −→−BC −→−2BC −→−2(−)⋅=0AB −→−AC −→−AB −→−||=||AB −→−BC −→−△ABC F −ABC A −BCDE AF ⊥DE7BF AD 60∘M ={m |m =,n ∈N}i n i M (1−i)(1+i)1−i 1+i 1+i1−i(1−i)211. 已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）A.的周长为B.当时，的边C.当时，的面积为D.椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形12. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，，分别是的外心、重心、垂心，且为的中点，则（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若是角终边上一点，且，则________.14. 已知向量，的夹角为，，则_________．15. 在四面体中，为等边三角形，边长为，＝，＝，＝，则四面体的体积为________．16. 已知，是边所在直线上一点，且满足，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 如图已知正方体的棱长为，点在上，点在上，且，．+=1x 24y 22,F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 24+22–√∠P =F 1F 290∘△PF 1F 2P =2F 1∠P =F 1F 260∘△PF 1F 243–√36P △PF 1F 21765O G H △ABC M BC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−+=2−4AB −→−AC −→−HM −→−MO−→−=3AH −→−OM−→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−P(4,y)θsin θ=−25–√5y =a →b →|π4|=,||=1a →2–√b →|3+|=a →b →P −ABC △ABC 6PA 6PB 8PC 10P −ABC △ABC M AB =λ+3CM −→−CA −→−CB −→−λ=ABCD −A 1B 1C 1D 13M AC N BC 1|AM |=2|MC ||BN |=2|NC |MN ||DCC D（1）求证：平面；（2）以，和所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，写出，点坐标，求出，两点间的距离．18. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①.② .③.设的内角，，的对边分别为，，且________（填序号）.求角的大小；若，求，的值.20. 已知等腰梯形中，，，，为的中点，如图，将三角形沿折起到平面而，如图（1）点为线段的中点，判断直线与平面面的位置关系，并说明理由（2）当的面积最大时，求的长． 21. 在中，是上的点，平分，面积是面积的倍．求；MN ||DCC 1D 1DA DC DD 1x y z M N M N 316R r (1)R r (2)b sin A =a cos B 3–√(a +b +c)(a −b +c)=3ac 1−cos 2B =2sin 2A +C 2△ABC A B C a b c (1)B (2)b =3sin C =2sin A a c ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3B EC 1ABE AB ABE(E ⊂ABCD)2F AE DF BCE'△BCE DE △ABC D BC AD ∠BAC △ABD △ADC 2(1)sin ∠B sin ∠CC =–√若，，求和的长． 22. 已知是定义域为上的奇函数，且当时有．求的解析式；解不等式．sin ∠C (2)AD =1DC =2–√2BD AC f(x)R x >0f(x)=x log 110(1)f(x)(2)f(x)≤2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以．故选．2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1,2，3,4}A ∩B ={0,1,2}D =(−+i ω2123–√2)2=−−i 123–√2++1=ω4ω2(+1−ω2)2ω2=(−−i +1−(−−i)123–√2)2123–√2=−i +++i 143–√234i 2123–√2.故选.3.【答案】A【考点】平面的基本性质及推论【解析】根据空间中平面的基本公理与推论，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理的推理，不是公理；对于，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；对于，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理；对于，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，是公理．故选：．4.【答案】B【考点】函数的图象函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，，∴为偶函数，排除，；当时，，，，则，∴当时，，故排除.故选.5.=0D A 2B C 1D 3A f(x)=(1−)⋅sin x =sin x 21+e x −1e x 1+e xf(−x)=sin(−x)=sin x =f(x)−1e −x 1+e −x−1e x +1e x f(x)C D 0<x <πsin x >01+>0e x −1>0e x f(x)>00<x <πf(x)>0A B【答案】A【考点】斜二测画法画直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：原图形为一直角三角形，其直角边分别是和，故其面积为.故选6.【答案】D【考点】解三角形的实际应用【解析】由得到与塔高间的关系，由,求出值，从而得到塔高的值．【解答】解：如图所示：设山高为，塔高为，且四边形为矩形，由题意得 ，米.,米，，米．故选．222–√22–√A.tan ==30∘DE BE 200−x 3–√BE BE x tan =60∘2003–√BEBE x AB CD x ABEC tan ===30∘DE BE 200−x 3–√BE 3–√3∴BE =(600−x)3–√∵tan =60∘2003–√BE ∴BE =200∴600−x =2003–√∴x =4003–√3D7.【答案】B【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意， 是一个开口向上的二次函数，所以 对 恒成立，只需要解得 ，其中只有选项是 的真子集．故选.8.【答案】A【考点】向量在几何中的应用【解析】【解答】解：由得，即；由得；由得，即，所以只有当为直角且时，必为等腰直角三角形．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.f(x)=−ax −2x 2f(x)<0x ∈[−1,1]{f(−1)=1+a −2<0，f(1)=1−a −2<0，a ∈(−1,1)B (−1,1)B |+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−⊥AB −→−AC −→−A =π2(−=BA −→−BC −→−)2BC −→−2||=||CA −→−BC −→−(−)⋅=0AB −→−AC −→−AB −→−⊥CB −→−AB −→−B =π2B =AB −→−BC −→−△ABC A【答案】A,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系构成空间几何体的基本元素异面直线及其所成的角球内接多面体【解析】无【解答】解：．分别取，中点，，连接，，，，易证平面，平面，又平面平面，∴平面与平面重合，即，，，四点共面，∵正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴．∵四边形为平行四边形，∴，，，四点共面，同理四边形为平行四边形，，，，四点共面．因此该几何体有个面，故选项错误；．∵，∴，故选项正确；．∵，∴即为异面直线与所成的角，又为等边三角形，∴，故选项正确；．∵几何体为斜三棱柱，B BC DE M N MF AN MN AM BC ⊥AMF BC ⊥AMN AMF∩AMN =AM AMF AMN A F M N AF =MN MF =AN AFMN AF MN =//BE MN =//BE AF =//AFBE A F B E AFCD A F C D 5B A CD ⊥DE AF ⊥DE A C BF//AE ∠DAE BF AD △ADE ∠DAE =60∘C D∴该几何体没有外接球，故选项错误.故选．10.【答案】B,C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，中，时，；时，；时，；时，，∴．选项中，；选项中，；选项中，；选项中，．故选.11.【答案】A,D【考点】余弦定理椭圆的定义椭圆的定义和性质【解析】无【解答】解：根据椭圆方程可得，，．对于，的周长为，故正确；D AC M ={m |m =,n ∈N}i n n=4k(k ∈N)i n =1n=4k +1(k ∈N)i n =i n=4k +2(k ∈N)i n=−1n=4k +3(k ∈N)i n =−i M ={−1,1,i,−i}A (1−i)(1+i)=2∉M B ==−i ∈M 1−i 1+i (1−i)2(1+i)(1−i)C ==i ∈M 1+i 1−i (1+i)2(1−i)(1+i)D (1−i)2=−2i ∉M BC a =2b =2–√c =2–√A △PF 1F 2|P |+|P |+||=2a +2c =4+2F 1F 2F 1F 22–√A P |==12对于，当时，的边，故错误；对于，设，，根据椭圆定义以及余弦定理可得：解得，则，故错误；对于，当时，则有解得，此时点为上下顶点，当时，有两个点，当时，有两个点，故正确．故选．12.【答案】B,D【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量加减混合运算及其几何意义【解析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项；利用，故选项不正确，利用外心的性质可判断选项，即可得正确选项．【解答】解：依题意作图，因为是的重心，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以.B ∠P =F 1F 290∘△PF 1F 2|P |==1F 1b 2a B C |P |=m F 1|P |=n F 2 cos =，60∘+−8m 2n 22mn m +n =4，mn =83=mn sin =S △PF 1F 21260∘233–√C D ∠P =F 1F 290∘{m +n =4,+=8,m 2n 2m =n =2P ∠P =F 1F 290∘∠P =F 2F 190∘D AD A =GO −→−12HG −→−=HG −→−23HO −→−+=2=6=6(−)AB −→−AC −→−AM −→−GM −→−HM −→−HG −→−=+HO −→−HM −→−MO −→−B =−=2−2=2AH −→−AG −→−HG −→−GM −→−GO −→−OM −→−C D G △ABC O △ABC H △ABC =GO −→−12HG −→−2−→−−→−，因为是的重心，为的中点，所以，又因为，所以 ，即，故错误；，因为是的重心，为的中点，所以， .因为，所以，，即 ，故正确；，，故错误；，点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，且在角的终边上，∴为第四象限角，∴,∵，∴，即，解得，故答案为：.14.【答案】A G △ABC M BC =2AG −→−GM −→−+=2GB −→−GC −→−GM −→−+=GB −→−GC −→−AG −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→A B G △ABC M BC =2AG−→−GM −→−=3AM −→−GM −→−=GO −→−12HG −→−=HG −→−23HO −→−+=2=6AB −→−AC −→−AM −→−GM−→−=6(−)=6(−)HM −→−HG −→−HM −→−23HO −→−=6−4=6−4(+)HM −→−HO −→−HM −→−HM −→−MO −→−=2−4HM −→−MO −→−+=2−4AB −→−AC −→−HM −→−MO −→−B C =−=2−2=2AH −→−AG −→−HG −→−GM −→−GO −→−OM −→−C D O △ABC O ||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−D BD −8sin θ=−25–√5P(4,y)θθtan θ<0sin θ=−25–√5tan θ=−2=−2y 4y =−8−8【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以.故答案为：．15.【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】推导出，分别取、的中点、，连结、、，则，，，推导出，从而平面，进而四面体的体积为＝，由此能求出结果．【解答】∵在四面体中，为等边三角形，边长为，＝，＝，＝，∴＝，∴，分别取、的中点、，连结、、，则，，，且，＝，，∴＝，∴，∵＝，∴平面，∴四面体的体积为：＝5⋅=||⋅||⋅cos =×1×=1a →b →a →b →π42–√2–√2|3+|=a →b →(3+)a →b →2−−−−−−−−−−√===59+6⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−√18+6+1−−−−−−−−√5811−−√PB ⊥BC BC PC D E AD AE DE AD ⊥BC AE ⊥PC DE ⊥BC AE ⊥DE AE ⊥PBC P −ABC V P−ABC =⋅⋅AE P A−PBC 13S △PBC P −ABC △ABC 6PA 6PB 8PC 10P +B B 2C 2PC 2PB ⊥BC BC PC D E AD AE DE AD ⊥BC AE ⊥PC DE ⊥BC PD ==336−9−−−−−√3–√DE 4AE ==36−25−−−−−−√11−−√A +D E 2E 2PD 2AE ⊥DE PC ∩DE E AE ⊥PBC P −ABC V P−ABC ⋅⋅AE =××PB ×BC ×AE =××8×6×=8−PBC 1PBC 1111．16.【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为在直线上，所以可设，可得，即，故，得．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】（1）证明：过点作交于点，连接，则，于是平面平面，∵平面，∴平面．…分（2）解：，，∴，两点间的距离为 …分．【考点】点、线、面间的距离计算用向量证明平行【解析】（1）过点作交于点，连接，证明平面平面，可得平面；（2）求出，点坐标，即可求出，两点间的距离．=⋅⋅AE =××PB ×BC ×AE =××8×6×=8P A−PBC 13S △PBC 1312131211−−√11−−√−2M AB =t (t ∈R)AM −→−AB −→−−=t (−)CM −→−CA −→−CB −→−CA −→−=(1−t)+t CM −→−CA −→−CB −→−(1−t)+t =3+λλ=−2−2M ME //DC BC E NE NE //CC 1MEN //DCC 1D 1MN ⊂MEN MN //DCC 1D 16M(1,2,0)N(1,3,2)M N 5–√6M ME //DC BC E NE MEN //DCC 1D 1MN //DCC 1D 1M N M N（1）证明：过点作交于点，连接，则，于是平面平面，∵平面，∴平面．…分（2）解：，，∴，两点间的距离为 …分．18.【答案】解：，，，，，.．【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，，.．19.M ME //DC BC E NE NE //CC 1MEN //DCC 1D 1MN ⊂MEN MN //DCC 1D 16M(1,2,0)N(1,3,2)M N 5–√6(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，∵，∴．选②得，∴，又∵，∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．【考点】余弦定理正弦定理解三角形【解析】无无【解答】解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，∵，∴．选②得，∴，又∵，(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3+−=aca 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2Bsin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sinC =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3+−=ac a 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)=π∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴ ．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．20.【答案】直线与平面相交．理由如下：∵平面，∴平面．若平面，设平面，则，∴与不重合，∵，∴平面平面，矛盾，∴直线与平面相交．证明：（2）取的中点，连结，，由等腰梯形中，，，，得，，，∴平面，∴，∴，∵的面积为，∴当的面积最大时，，∴，∴．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）若平面，设平面，则，与不重合，由此推导出直线与平面相交．（2）取的中点，连结，，则，，，平面，，，由此能求出当的面积最大时，的长B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2B sin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sin C =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√DF BCE ′E'⊂ABCD D ⊂BCE'DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD AD //BC ADE'//BCE'DF BCE ′AB O E'O BD ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE'∗B ∗BC ∗sin ∠BC =2sin ∠BC 12E ′E ′E ′△BCE'∠E'BC =90∘E'C ==2+B E ′B 2C 2−−−−−−−−−−√2–√D ==2E ′−D E ′C 2C 2−−−−−−−−−−−√DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD DF BCE ′AB O E'O BD E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE DE【解答】直线与平面相交．理由如下：∵平面，∴平面．若平面，设平面，则，∴与不重合，∵，∴平面平面，矛盾，∴直线与平面相交．证明：（2）取的中点，连结，，由等腰梯形中，，，，得，，，∴平面，∴，∴，∵的面积为，∴当的面积最大时，，∴，∴．21.【答案】解：如图，过作于，∵,∴，∵平分，∴.在中，，∴.在中，，∴；∴．DF BCE ′E'⊂ABCD D ⊂BCE'DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD AD //BC ADE'//BCE'DF BCE ′AB O E'O BD ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE'∗B ∗BC ∗sin ∠BC =2sin ∠BC 12E ′E ′E ′△BCE'∠E'BC =90∘E'C ==2+B E ′B 2C 2−−−−−−−−−−√2–√D ==2E ′−D E ′C 2C 2−−−−−−−−−−−√(1)A AE ⊥BC E ==2S △ABD S △ADC BD ×AE 12DC ×AE 12BD =2DC AD ∠BAC ∠BAD =∠DAC △ABD =BD sin ∠BAD AD sin B sin B =AD ×sin ∠BAD BD △ADC =DC sin ∠DAC AD sin C sin C =AD ×sin ∠DAC DC ==sin B sin C AC AB12D =2DC =2×=–√由知，．过作于，作于，∵平分，∴，∴，∴，令，则，∵，∴，∴由余弦定理可得：，∴，∴，∴的长为，的长为．【考点】三角形求面积余弦定理正弦定理【解析】如图，过作于，由已知及面积公式可得，由平分及正弦定理可得，，从而得解．由可求．过作于，作于，由平分，可求，令，则，利用余弦定理即可解得和的长．【解答】解：如图，过作于，(2)(1)BD =2DC =2×=2–√22–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC DM =DN ==2S △ABD S △ADC AB ×DM 12AC ×DN 12AB =2AC AC =x AB =2x ∠BAD =∠DAC cos ∠BAD =cos ∠DAC =(2x +−()2122–√)22×2x ×1+−(x 2122–√2)22×x ×1x =1AC =1BD 2–√AC 1(1)A AE ⊥BC E BD =2DC AD ∠BAC sin ∠B =AD ×sin ∠BAD BD sin ∠C =AD ×sin ∠DAC DC sin ∠B sin ∠C (2)(1)BD =2–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC AB =2AC AC =x AB =2x BD AC (1)A AE ⊥BC E D ×AE1∵,∴，∵平分，∴.在中，，∴.在中，，∴；∴．由知，．过作于，作于，∵平分，∴，∴，∴，令，则，∵，∴，∴由余弦定理可得：，∴，∴，∴的长为，的长为．22.【答案】解：∵是定义域为上的奇函数，且当时，有．时，，∴，∴，又∵，∴，==2S △ABD S △ADC BD ×AE 12DC ×AE 12BD =2DC AD ∠BAC ∠BAD =∠DAC △ABD =BD sin ∠BAD AD sin B sin B =AD ×sin ∠BAD BD △ADC =DC sin ∠DAC AD sin C sin C =AD ×sin ∠DAC DC ==sin B sin C AC AB 12(2)(1)BD =2DC =2×=2–√22–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC DM =DN ==2S △ABD S △ADC AB ×DM 12AC ×DN 12AB =2AC AC =x AB =2x ∠BAD =∠DAC cos ∠BAD =cos ∠DAC =(2x +−()2122–√)22×2x ×1+−(x 2122–√2)22×x ×1x =1AC =1BD 2–√AC 1(1)f(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(0)=−f(0)f(0)=0 x ，x >0，log综上所述∵，∴或解得，或，又∵，∴的解集是．【考点】对数函数的单调性与特殊点奇偶性与单调性的综合分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的定义域及其求法【解析】是定义域为上的奇函数，且当时有．由时，，知，故，由此能求出．（2）由，知，或，由此能求出的解集．【解答】解：∵是定义域为上的奇函数，且当时，有．时，，∴，∴，又∵，∴，综上所述∵，∴或解得，或，又∵，f(x)= x ，x >0，log 1100,x =0，−(−x)，x <0.log 110(2)f(x)≤2{x >0，x ≤2，log 110{x <0，−(−x)≤2，log 110x ≥1100−100≤x <0f(0)=0<2f(x)≤2[−100,0]∪[,+∞)1100(1)(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(x)f(x)≤2{x >0x ≤2log 110{x <0−(−x)≤2log 110f(x)≤2(1)f(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(0)=−f(0)f(0)=0f(x)= x ，x >0，log 1100,x =0，−(−x)，x <0.log 110(2)f(x)≤2{x >0，x ≤2，log 110{x <0，−(−x)≤2，log 110x ≥1100−100≤x <0f(0)=0<2−100,0]∪[,+∞)1∴的解集是．f(x)≤2[−100,0]∪[,+∞)1100。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）A.B.C.D.4. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（ ）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（ ）A. 的图象关于＝对称B.当，]时， 的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点， ，，若 （，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 从而得到 ，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即 ，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为 ，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上， 即，，三点共线.设，.又因为 ，所以.因为 ，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时， 取得最大值为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷(共四套)
人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ） A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{0,1,2}A2．集合{|14}A x x =∈-<<N 的真子集个数为（ ） A ．7B ．8C ．15D ．163．命题“x ∀∈R ，||10x x -+≠”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，||10x x -+≠ B ．x ∃∈R ，||10x x -+= C ．x ∀∈R ，||10x x -+=D ．x ∀∉R ，||10x x -+≠4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%5．已知集合{|10}A x x =-≥，2{|280}B x x x =--≥，则()AB =R（ ）A ．[2,1]-B ．[1,4]C ．(2,1)-D ．(,4)-∞6．甲、乙两人沿着同一方向从A 地去B 地，甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半的时间使用速度2v ，关于甲，乙两人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图像及关系（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程12v v <）可能正确的图示分析为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(0,]4B ．3[0,]4C ．3[0,)4D ．3(0,)48．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[1,1][3,)-+∞ B ．[3,1][0,1]-- C ．[1,0][1,)-+∞ D ．[1,0][1,3]-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤10．下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数不相等的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，2()g x =C ．()f x x =，2()x g x x=D ．()|1|f x x =-，1(1)()1(1)x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩11．若函数22,1()4,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．312．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（ ）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．1y x =-+D ．y =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20182018a b +=________．14．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，则(2)f x -的定义域是 ． 15．若12a b <-≤，24a b ≤+<，则42a b -的取值范围_________．16．已知函数21()234f x x x =-++，3()|3|2g x x =-，若函数(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩， 则(2)F = ，()F x 的最大值为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． （1）若A B =∅，求m 的范围； （2）若A B A =，求m 的范围．18．（12分）已知命题:p x ∃∈R ，2(1)(1)0m x ++≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立．若,p q 至少有一个为假命题，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数26,0()22,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩．（1）求不等式()5f x >的解集；（2）若方程2()02m f x -=有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知奇函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩． （1）求实数m 的值； （2）画出函数的图像；（3）若函数()f x 在区间[1,||2]a --上单调递增，试确定a 的取值范围．21．（12分）在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． （1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()f x ；（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．22．（12分）已知()f x 是定义在[5,5]-上的奇函数，且(5)2f -=-，若对任意的m ，[5,5]n ∈-，0m n +≠，都有()()0f m f n m n+>+．（1）若(21)(33)f a f a -<-，求a 的取值范围；（2）若不等式()(2)5f x a t ≤-+对任意[5,5]x ∈-和[3,0]a ∈-都恒成立，求t 的取值范围．【参考答案】第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵集合{0,1,2}A =，∴0A ∈，故A 错误，B 正确； 又∵{1}A ⊆，∴C 错误； 而{0,1,2}A =，∴D 错误． 2．【答案】C【解析】{0,1,2,3}A =中有4个元素，则真子集个数为42115-=． 3．【答案】B【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题． 4．【答案】C【解析】由Venn 图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比60%82%96%46%X =+-=， 故选C ．5．【答案】C【解析】∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，2{|280}{|2B x x x x x =--≥=≤-或4}x ≥，∴{|2A B x x =≤-或1}x ≥，则()(2,1)A B =-R．6．【答案】A【解析】因为12v v <，故甲前一半路程使用速度1v ，用时超过一半，乙前一半时间使用速度1v ， 行走路程不到一半． 7．【答案】C【解析】2430mx mx ++≠，所以0m =或000m m Δ≠⎧⇒=⎨<⎩或2030416120m m m m ≠⎧⇒≤<⎨-<⎩． 8．【答案】D【解析】∵()f x 为R 上奇函数，在(,0)-∞单调递减，∴(0)0f =，(0,)+∞上单调递减．由(2)0f =，∴(2)0f -=，由(1)0xf x -≥，得0(1)0x f x ≥⎧⎨-≥⎩或0(1)0x f x ≤⎧⎨-≤⎩，解得13x ≤≤或10x -≤≤，∴x 的取值范围是[1,0][1,3]-，∴选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】AC【解析】∵不等式21x ≤，∴11x -≤≤，“01x <≤”和“10x -≤<”是不等式21x ≤成立的一个充分不必要条件． 10．【答案】ABC【解析】A ，可知()||g x x =，()f x x =，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数；B ，()f x x =，x ∈R ，2()g x x ==，0x ≥，定义域不一样；C ，()f x x =，x ∈R ，2()x g x x=，0x ≠，定义域不一样；D ，1(1)()|1|1(1)x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩与()g x 表示同一函数．11．【答案】BC【解析】当1x ≤-时，2()2f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤．12．【答案】AC【解析】A ：21y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项正确； B ：3y x =是奇函数，∴该选项错误；C ：1y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项错误；D ：y =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由集合相等可知0ba=，则0b =， 即{}{}21,,00,,a a a =，故21a =，由于1a ≠，故1a =-，则20182018101a b +=+=． 14．【答案】[)1,6【解析】∵(1)f x +的定义域为[2,3)-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<， ∴()f x 的定义域为[1,4)-； ∴124x -≤-<，∴16x ≤<，∴(2)f x -的定义域为[1,6)． 15．【答案】(5,10)【解析】由题设42()()a b x a b y a b -=-++，42()()a b x y a y x b -=++-，则42x y y x +=⎧⎨-=-⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以423()()a b a b a b -=-++，12a b <-≤，33()6a b <-≤，24a b ≤+<，所以53()()10a b a b <-++<，故54210a b <-<． 16．【答案】0，6【解析】因为(2)6f =，(2)0g =，所以(2)0F =，画出函数()F x 的图象（实线部分），由图象可得，当6x =时，()F x 取得最大值6．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）6m >或32m <-；（2）2m <-或12m -≤≤．【解析】（1）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． 当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足A B =∅； 当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，又A B =∅，则15m ->或212m +<-，即6m >或322m -≤<-，综上可知，m 的取值范围为6m >或32m <-．（2）∵A B A =，∴B A ⊆，当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足题意；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，且12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，综上可知，m 的取值范围为2m <-或12m -≤≤． 18．【答案】2m ≤-或1m >-．【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-； 当命题q 为真时，24110Δm =-⨯⨯<，解得22m -<<，当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩，命题q 与命题p 至少有一个为假命题，所以此时2m ≤-或1m >-．19．【答案】（1）(1,0](3,)-+∞；（2）(2,(2,2)-． 【解析】（1）当0x ≤时，由65x +>，得10x -<≤； 当0x >时，由2225x x -+>，得3x >， 综上所述，不等式的解集为(1,0](3,)-+∞．（2）方程2()02m f x -=有三个不同实数根， 等价于函数()y f x =与函数22m y =的图像有三个不同的交点，如图所示，由图可知，2122m <<，解得2m -<<2m <<，所以实数m 的取值范围为(2,(2,2)-．20．【答案】（1）2m =；（2）图像见解析；（3）[3,1)(1,3]--． 【解析】（1）当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=--+-=--， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，则2m =．（2）由（1）知，222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，函数()f x 的图像如图所示．（3）由图像可知()f x 在[1,1]-上单调递增，要使()f x 在[1,||2]a --上单调递增， 只需1||21a -<-≤，即1||3a <≤，解得31a -≤<-或13a <≤， 所以实数a 的取值范围是[3,1)(1,3]--． 21．【答案】（1）144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）；（2）只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．【解析】（1）设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值为20x 元，由题意36()420f x k x x=⋅+⋅， 由4x =时，()52f x =，得161805k ==，所以144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）． （2）由（1）知，144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ），所以()48f x ≥=（元），当且仅当1444x x=，即6x =时，上式等号成立，故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．【答案】（1）8(2,]3；（2）3(,]5-∞．【解析】（1）设任意1x ，2x 满足1255x x -≤<≤， 由题意可得12121212()()()()()0()f x f x f x f x x x x x +--=-<+-，即12()()f x f x <，所以()f x 在定义域[5,5]-上是增函数，由(21)(33)f a f a -<-，得521553352133a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得823a <≤，故a 的取值范围为8(2,]3．（2）由以上知()f x 是定义在[5,5]-上的单调递增的奇函数，且(5)2f -=-， 得在[5,5]-上max ()(5)(5)2f x f f ==--=，在[5,5]-上不等式()(2)5f x a t ≤-+对[3,0]a ∈-都恒成立， 所以2(2)5a t ≤-+，即230at t -+≥，对[3,0]a ∈-都恒成立， 令()23g a at t =-+，[3,0]a ∈-，则只需(3)0(0)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即530230t t -+≥⎧⎨-+≥⎩，解得35t ≤，故t 的取值范围为3(,]5-∞．人教版新教材高中数学高一上学期期中考试数学试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
人教版高一上学期数学期中(必修一)试卷(含答案解析,可下载)
-2-
18.（本小题满分 12 分)
已知函数 f x log4 4x 1 kx k R 是偶函数.
（1）证明:对任意实数 b ,函数 y
f
x 的图象与直线 y
3 2
x b 最多只有一个交点；
（2）若方程 f x log4
a 2 x
4 3
有且只有一个解,求实数 a 的取值范围.
19.（12 分）某投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是 M (亿元)和 N (亿元),它们与
投资额 t (亿元)的关系有经验公式: M
1 3
t,
N
1 6
t
,今该公司将
3
亿元投资这个项目,若设甲
项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
集为
.
14.幂函数 y
x
1 2
p
2
p
3 2
p Z 为偶函数，且
f
1
f
4 ，则实数 p
.
15.用 min a, b, c 表示 a 、 b 、 c 三个数中的最小值设 f x min 2x, x 2,10 x x 0 ,则
f x 的最大值为
22.（12
分）已知函数
f
x
11x1x1
, ,
0 x1
. x 1
（1）当 0
a
log1 a ，
3
1 3
b
log1 b,
3
1 3
c
lo g3 c ,则
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知全集，集合，，则集合( )A.B.C.D.2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于( )A.B.C.D.3. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.4. 将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）A.U ={1,2,3,4,5}A ={1,2}B ={3,4}{5}=(A ∪B)∁U (A)∪(B)∁U ∁U (A)∪B∁U (B)∪A∁U z (1−i)z =2i z 1−i1+i−i1212+i1212∀1≤x ≤3−a ≤0x 2a ≥1a ≥9a ≥10a ≤1034π316π5–√7532π–√B.C.D.5. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.6. 若向量，，满足，且，则向量与向量的夹角为( )A.B.C.D.7. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是( )A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增32π5–√7516π532π5–√25△ABC △A ′B ′C ′=A ′C ′3–√2=1A ′B ′△ABC AC π532π3ππ103a b c |a|=|b|=|c|=1a +b +c =03–√a c π6π32π35π6f (x)=2sin x cos x −2x +13–√sin 2π24g(x)g(x)g(x)πg(x)x =5π24g(x)[−,]π4π4−,0)13πD.的图象关于点对称 8. 已知函数是定义在上的增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知棱长为的正方体，点，为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是A.当为的中点时，有平面B.若点，均在线段上运动，且，则三棱锥的体积为定值C.以点为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的弧长之和为D.当点在平面内运动，点在平面内运动时（，不重合），与的夹角最大为10. 已知，，设，所成的角为，则( )A.B.C.D.11. 已知三角形有一个角是，若这个角的两边长分别为和，则( )A.三角形另一边长为B.三角形的周长为C.三角形内切圆周长为D.三角形外接圆面积为g(x)(−,0)13π24f(x)R f(−a)>f(2−4a)a 2a 2a (−∞,0)(0,3)(3,+∞)(−∞,0)∪(3,+∞)2ABCD −A 1B 1C 1D 1M N ( )M A 1C 1BD ⊥BMA 1M N A 1C 1MN =1−MNB B 1D 22–√3πM A B A 1B 1N BCC 1B 1M N BM BN π3||=1a →|−|=a →b →3–√a →b →60∘||=2b →//a →b→⊥(−)a →b →a →⋅=1a →b →60∘857203π49π3112. 下列选项中，值为的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若虚数同时满足下列两个条件：①是实数；②的实部与虚部互为相反数，则________，________.14. 设单位向量满足，则________．15. 已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为________. 16. 在中，，的角平分线交于点，若，，则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知弧长的弧所对的圆心角为，（1）求这条弧所在圆的半径，（2）求这条弧与半径围成的扇形的面积．18. 已知复数， .若是纯虚数，求的值；当实数取何值时，复数对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上．19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.求；若的面积为，求的取值范围． 20. 已知函数的一段图像如图所示．14cos cos 72∘36∘sin sin π125π12+1sin 50∘3–√cos 50∘−1323cos 215∘z z +5zz +3z =|z|=，e 1→e 2→⋅=−e 1→e 2→12|+2|=e 1→e 2→f(x)={−4,x ≤0，x 2−5,x >0，e x x |f(x)|−ax −5=0a △ABC A =π6A AD BC D AB =2–√AC =6–√AD =50cm 200∘z =(−5m +6)+(+2m −8)im 2m 2m ∈R (1)z m (2)m z a b c △ABC A B C 2b cos C =2a −c (1)B (2)△ABC 3–√b f (x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)求函数的解析式；当时，求的最值及相应的取值情况；求函数在上的单调增区间．21. 已知，，与夹角是．求的值及的值；当为何值时，？22. 已知函数，其中，， ．若是偶函数，求实数的值；当时，求函数的单调区间；若对任意，都有恒成立，求实数的最小值．(1)f (x)(2)x ∈[,]π8π2f (x)x (3)f(x)[0,π]||=4a →||=8b →a →b →120∘(1)⋅a →b →|+|a →b →(2)k (+2)⊥(k −)a →b →a →b →f (x)=|x −a|+|−|x 2b 2a b x ∈R (1)y =f (x)a (2)a =b =1y =f (x)(3)x ∈[0,1]f (x)≤a +b 2a +b 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】直接交、并、补运算即可.【解答】解：∵，，，∴，，故正确；，，，故错误；，故错误；，故错误.故选.2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由条件解得，把 的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位的幂运算性质，求出结果．【解答】解：∵复数满足，∴.U ={1,2,3,4,5}A ={1,2}B ={3,4}A ∪B ={1,2,3,4}(A ∪B)={5}∁U A A ={3,4,5}∁U B ={1,2,5}∁U (A)∪(B)={1,2,3,4,5}∁U ∁U B (A)∪B ={3,4,5}∁U C (B)∪A ={1,2,5}∁U D A z =21−i 21−ii z (1−i)z =2z ===1+i 21−i 2(1+i)2故选．3.【答案】C【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求命题“，”为真命题的一个充要条件即可．【解答】解：命题“，” “，”，所以“”是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件．故选．4.【答案】B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为半径为，圆心角为的扇形弧长为，所以其围成的圆锥母线长为，底面圆周长为，得其底面半径为，如图，，所以，由相似可得，即，B ∀x ∈[1,3]−a ≤0x 2∀x ∈[1,3]−a ≤0x 2 ∀x ∈[1,3]≤a x 2 9≤a a ≥10∀x ∈[1,3]−a ≤0x 2C 34π34π34π2MB =2,AB =3AM =5–√=ON MB AO AB ==ON 2−OM 5–√3−ON 5–√3N =2–√所以，所以.故选．5.【答案】C【考点】斜二测画法画直观图旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据斜二测画法可知：，，根据圆锥的表面积公式进而即可求得结果.【解答】解：根据斜二测画法可知：，，为直角三角形，将绕所在直线旋转一周后形成的几何体为圆锥，底面半径为，高为，侧面母线长为，几何体的表面积为.故选.6.【答案】D【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】设与的夹角为，可得出，两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，进而可得出的值，从而可得出的值．【解答】解：设与的夹角为，，∴，即，∴，ON =25–√5V =×=4π3()25–√5332π5–√75B AB ＝1AC ＝3–√AB =1AC =3–√△ABC △ABC AC 13–√2∴S =π×1×2+π×=3π12C a →c →θ+=−a →3–√c →b →⋅b →c →cos θθa →c →θ∴+=−a →3–√c →b →(+=(−a →3–√c →)2b →)2|+2⋅+3|=|a →|23–√a →c →c →|2b →|21+3+2||⋅||cos θ=13–√a →c →2cos θ=−33–√得，∴.，.故选.7.【答案】C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：．因为，其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．所以的最小正周期为，正确；．当时，，所以正确；．当]时，，在区间上不单调，错误；．当时，，函数的图象关于点对称，正确．故选．8.【答案】B【考点】函数单调性的性质【解析】2cos θ=−33–√cos θ=−3–√2∵≤θ≤0∘180∘∴θ==π150∘56D A f (x)=2sin x cos x −2x +13–√sin 2=2sin(2x +)π6π24g(x)=2sin[2(x −)+]π24π6=2sin(2x +)π12g(x)πA B x =5π242x +=π12π2B C x ∈[−,]π4π42x +∈[−,]π125π127π12g(x)[−,]π4π4C D x =−13π242x +=−ππ12g(x)(−,0)13π24D C f(x)f(−a)>f(2−4a)22−a >2−4a22因为为上的增函数，所以，等价于，即可求出实数的取值范围．【解答】解：因为为上的增函数，所以，等价于，解得，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱的结构特征直线与平面垂直的判定截面及其作法两直线的夹角【解析】【解答】解：，但与，都不垂直，错误；如图.，正确；所截得的弧为个半径为的圆弧，弧长和为，正确；当点在上运动时，平面，，此时与的夹角为，错误．故选．10.【答案】f(x)R f(−a)>f(2−4a)a 2a 2−a >2−4a a 2a 2a f(x)R f(−a)>f(2−4a)a 2a 2−a >2−4a a 2a 20<a <3B BD ⊥M A 1BD B A 1BM A ==××2=V −MNB B 1V B−MN B 1132–√22–√3B 3214×2π×2=3π34C M AB BM ⊥BCC 1B 1BM ⊥BN BM BN π2D BCA,C,D【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由题意，根据所给信息以及数量积公式得到，再利用平面向量的数量积运算对选项进行逐一分析，进而即可求解.【解答】解：对两边同时进行平方，可得，即，解得，（舍去），所以，故选项正确；因为，所成的角为，所以，不垂直，故选项错误；因为，故选项正确；而 ，所以，故选项正确，所以选项正确的有.故选.11.【答案】A,B,D【考点】正弦定理余弦定理【解析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断选项的正确性．||=2b →|−|=a →b →3–√|−2⋅+|=3a →|2a →b →b →|2|−2||⋅||cos +|=3a →|2a →b →60∘b →|2||=2b →||=−1b →||=2b →A a →b →60∘a →b →B ⋅=||⋅||cos =1a →b →a →b →60∘D (−)=⋅−|=1−1=0a →b →a →a →b →a →|2⊥(−)a →b →a →C ACD ACD AB C D【解答】解：可得另一边长为三角形的周长为，则正确，正确；设内切圆半径为，则则内切圆周长为，则不正确；设外接圆半径为，则，，其面积为，则正确．故选．12.【答案】A,B【考点】诱导公式两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】利用倍角公式、诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误．=7+−2×8×5cos 825260∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√20A B r (8+7+5)r =×8×5sin 121260∘2πr =2π3–√C R 2R =7sin 60∘R =73–√3π=R 249π3D ABD A cos cos =72∘36∘2cos cos sin 72∘36∘36∘2sin 36∘====cos sin 72∘72∘2sin 36∘2cos sin 72∘72∘4sin 36∘sin 144∘4sin 36∘14A B sin sin =sin cos π125π12π12π12=⋅2sin cos 12π12π12=sin =12π614B C +=1sin 50∘3–√cos 50∘cos +sin 50∘3–√50∘sin cos 50∘50∘=2(sin +cos )3√250∘1250∘sin 12100∘===42sin 80∘sin 12100∘2sin 80∘sin 1280∘C D −=−(2−1)1323cos 215∘13cos 215∘=−cos =−1330∘3–√6D AB故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】或,【考点】复数的基本概念复数的模【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出．【解答】解：设.∵是实数，∴，∴.又∵，∴. ①∵的实数与虚部是相反数，∴. ②联立①②解得或故或，.故答案为：或；.14.【答案】【考点】向量的模【解析】根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．36AB −1−2i −2−i 5–√z z =a +bi z +5z a +bi +5a +bi =(a +bi)+5(a −bi)+a 2b 2=(a +)+(b −)i 5a +a 2b 25b +a 2b 2b −=05b +a 2b 2b ≠0+=5a 2b 2z +3a +3+b =0{a =−1,b =−2{a =−2,b =−1,z =−1−2i z =−2−i |z|=5–√−1−2i −2−i 5–√3–√|+2e 1→e 2→|2|+2|e 1→e 2→【解答】解：∵，，∴，∴，故答案为：．15.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令得或，∵在上单调递减，在 上单调递增，∴作出的函数图象如图所示：∵关于的方程恰有三个不同的实数解，∴直线与有个交点，⋅=−e 1→e 2→12||=1e 1→||=1e 2→|+2=+4⋅+4=1−2+4=3e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→2|+2|=e 1→e 2→3–√3–√{−e ，−，2，}5ln 552f(x)=0x =−2x =ln 5f(x)(−∞,0)(0,+∞)|f(x)|= −4,x ≤−2，x 24−,−2<x ≤0,x 25−,0<x <ln 5,e x −5,x >ln 5.e x y =|f(x)|x |f(x)|−ax −5=0y =ax +5y =|f(x)|3(−2,0)(ln 5,0)y =|f(x)|∴ 过点 或过点 或与 的图象相切，若 过点 ，则；若 过点 ,则 ；若 与在 上的图象相切，设切点为 ，则解得；若 在 上的图象相切，设切点为 ，则解得.综上所述，的取值集合为.故答案为：.16.【答案】【考点】正弦定理余弦定理【解析】在中，先由余弦定理求得,再在中，求得，结合正弦定理即可求解.【解答】解：在中，由余弦定理可得，∴，则为等腰三角形，则.又∵是的角平分线，则，则在中，，由正弦定理可得y =ax +5(−2,0)(ln 5,0)y =ax +5y =|f(x)|(1)y =ax +5(−2,0)a =52(2)y =ax +5(ln 5,0)a =−5ln 5(3)y =ax +5y =|f(x)|(−2,0)(,)x 0y 0 −2=a ，x 0=a +5,y 0x 0=4−.y 0x 20a =2(4)y =ax +5y =|f(x)|(0,ln 5)(,)x 1y 1 −=a ，e x 1=a +5,y 1x 1=5−.y 1e x 1a =−e a {−e ，−，2，}5ln 552{−e ，−，2，}5ln 5523–√△ABC BC △ACD ∠ADC △ABC B =A +A −2AB ⋅AC cos A C 2B 2C 2=2+6−2×××=22–√6–√3–√2BC =2–√△ABC ∠C =∠A =π6AD ∠A ∠CAD =π12△ACD ∠ADC =π−−=π6π123π4=AD sin ∠ACD AC sin ∠ADC⋅sin =–√.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设这条弧所在圆的半径为，则，解得．（2）这条弧与半径围成的扇形的面积．【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】（1）利用弧长公式即可得出；（2）利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）设这条弧所在圆的半径为，则，解得．（2）这条弧与半径围成的扇形的面积．18.【答案】解：由题意可得解得 .当复数对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上时，，解得，所以时，复数对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上 .【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】AD =⋅sin ∠ACD AC sin ∠ADC =⋅sin =6–√sin 3π4π63–√3–√r 50=200×r π180r =45πS =×50×=1245π1125πr 50=200×r π180r =45πS =×50×=1245π1125π(1){−5m +6=0，m 2+2m −8≠0，m 2m =3(2)z −5m +6=+2m −8m 2m 2m =2m =2z【解答】解：由题意可得解得 .当复数对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上时，，解得，所以时，复数对应的点在复平面内第一、三象限角平分线上 .19.【答案】解：由正弦定理得，.∵在中，，∴.又∵，可得，∴，可得.∵，∴．∵，，∴，解得.由余弦定理，得，当且仅当时，“”成立，∴的最小值为，∴的取值范围为.【考点】两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】（1）根据正弦定理结合＝，化简整理得＝，结合解出，从而可得．（2）由正弦定理的面积公式，得，从而解出＝，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到的取值范围．【解答】解：由正弦定理得，.∵在中，，∴.(1){−5m +6=0，m 2+2m −8≠0，m 2m =3(2)z −5m +6=+2m −8m 2m 2m =2m =2z (1)2sin B cos C =2sin A −sin C △ABC sin A =sin(B +C)=sin B cos C +cos B sin C 2cos B sin C =sin C 0<C <πsin C >02cos B =1cos B =120<B <πB =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√B =π3ac =3–√43–√ac =4=+−2ac cos B b 2a 2c 2=+−ac ≥2ac −ac =ac =4a 2c 2a =c =2=b 2b [2,+∞)sin A sin(B +C)2cos B sin C sin C sin C >0cos B =12B =π3ac sin B =123–√ac 4b (1)2sin B cos C =2sin A −sin C △ABC sin A =sin(B +C)=sin B cos C +cos B sin C 2cos B sin C =sin C 0<C <πsin C >0又∵，可得，∴，可得.∵，∴．∵，，∴，解得.由余弦定理，得，当且仅当时，“”成立，∴的最小值为，∴的取值范围为.20.【答案】解：由图可得，，,所以，即，所以.因为，所以，所以，.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以当，即时，函数有最大值；当，即时，函数有最小值.函数的单调递增区间满足，，,所以，.因为，所以在上的单调递增区间为.【考点】0<C <πsin C >02cos B =1cos B =120<B <πB =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√B =π3ac =3–√43–√ac =4=+−2ac cos B b 2a 2c 2=+−ac ≥2ac −ac =ac =4a 2c 2a =c =2=b 2b [2,+∞)(1)A =2=+=T 23π8π8π2T =π=2πωω=2f (x)=2sin(2x +φ)f ()=−23π8sin(+φ)=−13π4φ=π+kπ34k ∈Z |φ|<πφ=3π4f (x)=2sin(2x +)3π4(2)x ∈[,]π8π2π≤2x +≤3π47π4−2≤2sin(2x +)≤03π42x +=π3π4x =π8f (x)02x +=3π43π2x =3π8f (x)−2(3)f (x)=2sin(2x +)3π4−+2kπ≤2x +≤+2kππ23π4π2k ∈Z −+kπ≤x ≤−+kπ5π8π8k ∈Z x ∈[0,π]f(x)[0,π][,]3π87π8由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】由图象知，由周期公式可求得心，又图象经过点 ，可求得，即可得解函数解析式；求出，得到，即可求出函数最值；首先求出函数的单调区间，结合即可求出答案.【解答】解：由图可得，，,所以，即，所以.因为，所以，所以，.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以当，即时，函数有最大值；当，即时，函数有最小值.函数的单调递增区间满足，，,所以，.因为，所以在上的单调递增区间为.21.【答案】(1)A =2(−1,0)φ(2)π 2x +3π47π4−1 2sin(2x +) 03π4(3)x ∈[0，π](1)A =2=+=T 23π8π8π2T =π=2πωω=2f (x)=2sin(2x +φ)f ()=−23π8sin(+φ)=−13π4φ=π+kπ34k ∈Z |φ|<πφ=3π4f (x)=2sin(2x +)3π4(2)x ∈[,]π8π2π≤2x +≤3π47π4−2≤2sin(2x +)≤03π42x +=π3π4x =π8f (x)02x +=3π43π2x =3π8f (x)−2(3)f (x)=2sin(2x +)3π4−+2kπ≤2x +≤+2kππ23π4π2k ∈Z −+kπ≤x ≤−+kπ5π8π8k ∈Z x ∈[0,π]f(x)[0,π][,]3π87π81)⋅=||||cos→→解：．．∵，∴，∴，化为．∴当时，．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于，，展开即可得出．【解答】解：．．∵，∴，∴，化为．∴当时，．22.【答案】解：是偶函数，故，即，即，解得：．当时，则结合图象，(1)⋅=||||cos a →b →a →b →120∘=4×8×(−)=−1612|+|=a →b →++2⋅a →2b →2a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−√==4++2×(−16)4282−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√(2)(+2)⊥(k −)a →b →a →b →(+2)⋅(k −)=k −2+(2k −1)⋅=0a →b →a →b →a →2b →2a →b →16k −128+(2k −1)×(−16)=0k =−7k =−7(+2)⊥(k −)a →b →a →b →(+2)⊥(k −)a →b →a →b →(+2)⋅(k −)=0a →b →a →b →(1)⋅=||||cos a →b →a →b →120∘=4×8×(−)=−1612|+|=a →b →++2⋅a →2b →2a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−√==4++2×(−16)4282−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√(2)(+2)⊥(k −)a →b →a →b →(+2)⋅(k −)=k −2+(2k −1)⋅=0a →b →a →b →a →2b →2a →b →16k −128+(2k −1)×(−16)=0k =−7k =−7(+2)⊥(k −)a →b →a →b →(1)y =f(x)f(−x)=f(x)|−x −a|+|(−x −|=|x −a|+|−|)2b 2x 2b 2|x +a|=|x −a|a =0(2)a =b =1y =f(x)=|x −1|+|−1|=x 2 +x −2,x ≥1,x 2−−x +2,−1<x <1,x 2−x,x ≤−1,x 2易知的单调递增区间为，，的单调递减区间为，．∵对任意，都有恒成立，即对任意，都有恒成立，∴，且对任意实数，， 恒成立，①当时，恒成立；②当时，恒成立；③当，时，由恒成立，则；④当时，对一切时，恒成立，当时，，，∴，∴，综上所述，的最小值为【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：是偶函数，故，即，即，解得：．当时，则y =f(x)[−1,−]12[1,+∞)y =f(x)(−∞,−1][−,1]12(3)x ∈[0,1]f (x)≤a +b 2x ∈[0,1]f (x)=|x −a|+|−|≤a +x 2b 2b 2f (0)≤a +⇒|a|≤a ⇒a ≥0b 2a b f (1)=|1−a|+|1−|≤a +b 2b 2>1,a ≥0b 2f (1)=|1−a|+|1−|b 2=|1−a|+−1≤|a|+1+−1=a +b 2b 2b 2≤1,a >1b 2f (1)=|1−a|+|1−|b 2=a −1+1−≤a +b 2b 2≤1b 20≤a ≤1f (1)=|1−a|+|1−|b 2=1−a +1−≤a +b 2b 2a +≥1b 2a ==b 212x ∈[0,1]f (x)≤1a ==b 212f (x)=|x −|+|−|12x 212x ∈[0,1]0≤+x ≤2x 2f (x)=|x −|+|−|≤|+x −1|≤112x 212x 2a +b 2 1.(1)y =f(x)f(−x)=f(x)|−x −a|+|(−x −|=|x −a|+|−|)2b 2x 2b 2|x +a|=|x −a|a =0(2)a =b =1y =f(x)=|x −1|+|−1|=x 2 +x −2,x ≥1,x 2−−x +2,−1<x <1,x 2−x,x ≤−1,x 2结合图象，易知的单调递增区间为，，的单调递减区间为，．∵对任意，都有恒成立，即对任意，都有恒成立，∴，且对任意实数，， 恒成立，①当时，恒成立；②当时，恒成立；③当，时，由恒成立，则；④当时，对一切时，恒成立，当时，，，∴，∴，综上所述，的最小值为y =f(x)[−1,−]12[1,+∞)y =f(x)(−∞,−1][−,1]12(3)x ∈[0,1]f (x)≤a +b 2x ∈[0,1]f (x)=|x −a|+|−|≤a +x 2b 2b 2f (0)≤a +⇒|a|≤a ⇒a ≥0b 2a b f (1)=|1−a|+|1−|≤a +b 2b 2>1,a ≥0b 2f (1)=|1−a|+|1−|b 2=|1−a|+−1≤|a|+1+−1=a +b 2b 2b 2≤1,a >1b 2f (1)=|1−a|+|1−|b 2=a −1+1−≤a +b 2b 2≤1b 20≤a ≤1f (1)=|1−a|+|1−|b 2=1−a +1−≤a +b 2b 2a +≥1b 2a ==b 212x ∈[0,1]f (x)≤1a ==b 212f (x)=|x −|+|−|12x 212x ∈[0,1]0≤+x ≤2x 2f (x)=|x −|+|−|≤|+x −1|≤112x 212x 2a +b 2 1.。
2022-2023学年人教A版高一上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.3. 函数的最大值为( )A.B.C.D.A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅a <b <0>1a −b 1aa +>b +1b 1a<b a b −1a −1>(1−a)a (1−b)by =3−−x(x >0)4x −11−55y =x −ln 2()4. 函数的图象大致为 A.B. C. D.5. 关于抛物线，下面几点结论中，正确的有( )①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C.①②D.①6. 已知，则指数函数①，②的图象为（ ） A.y =x −ln x 2()y =a +bx +c(a ≠0)x 2a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x 1>n >m >0y =m x y =n xB. C. D.7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.8. 已知是定义在上的奇函数，在上是增函数，且．则使得成立的的取值范围是 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设，，若，则实数的值可以为( )A.B.C.D.f(x)=+a |x −1|x 2[0,+∞)a (−∞,0][−2,0][1,2][−2,+∞)f(x)R (0,+∞)f (−4)=0xf (x)>0x ()(−4,4)(−4,0)∪(0,4)(0,4)∪(4,+∞)(−∞,−4)∪(4,+∞)A ={x|−x −2=0}x 2B ={x|mx −1=0}A ∩B =B m 12−1−12y =(α∈R)α(2,8)10. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）A.函数的图象过原点B.函数是偶函数C.函数是单调减函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于Ⅰ的方程恰有个不同的实数解，则关于的方程的正整数解的取值可能是A.1B.2C.3D.412. 已知函数，则( )A.B.若有两个不相等的实根，，则C.D.若，，均为正数，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 命题“，，使得”的否定形式是________．14. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________．15. 函数的值域为________．16. 如图，一块边长为的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为，剩余部分面积为．则y =(α∈R)x α(2,8)y =x αy =x αy =x αy =x αRf (x)={−−4x −2,x ≤1x 2ln x +1,x >1,f (x)=m 3,x 1x 2(<<)x 3x 1x 2x 3π=−(−−4)(−1)e n−1+x 1x 14x 21x 1x 3f (x)=ln x xf (2)>f (5)f (x)=m x 1x 2<x 1x 2e 2ln 2>2e−−√=2x 3y x y 2x >3y ∀x ∈R ∃n ∈N ∗n ≤+23x f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)a y =x +(4−x)log 2log 2a ABCD A ∠MAN π4ABCD S 1S 2S的最小值为________ . 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求值与化简.；． 18. 已知集合＝，＝．（1）若＝，则；（2）若＝，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中是常数．若是奇函数，求的值；求证：是单调增函数．20.假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数频数记表示台机器在三年使用期内的维修次数，表示台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若，求与的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于，求的最小值；（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买次维修服务，或每台都购买次维修服务，分别计算这台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买次还是次维修服务？ 21. 函数，且，当是函数图象上的点时，是函数图象上的点．S 2S 1(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3A {x |(x +3)≤3}log 2B {x |2m −1<x ≤m +3}m 3A ∪B A ∩B B m f(x)=lg(+2x)4+b x 2−−−−−−√b (1)y =f(x)b (2)y =f(x)120050500100891011121020303010x 1y 1n n =10y x n 0.8n 100101110011011f(x)=(x −3a)(a >0log a a ≠1)P(x,y)y =f(x)Q(x −a,−y)y =g(x)y =g(x)（I）求函数的解析式；（II）当时，恒有，试确定的取值范围．22. （1）求函数＝的最大值；（2）若，，，＝，求的最小值．y=g(x)x∈[a+3,a+4]f(x)−g(x)≤1a f(x)|2x−1|−|2x+3|ma>1b>1c>1a+b+c m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质，结合特值法，作差法逐项判定即可.【解答】解：对于， ，则，∴，即，则不成立；对于，，则，A a <b <0a −b <0−==<01a −b 1a a −a +b a (a −b)b a (a −b)<1a −b 1a A B a <b <0<<01b 1a+<b +<011∴，则不成立；对于，，则，，∴，则成立；对于，若,时，不成立.故选.3.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题，，令，当且仅当，即时，有最小值..函数的最大值为.故选.4.【答案】A【考点】函数图象的作法函数的图象【解析】a +<b +<01b 1a B C a <b <0a −b <0a (a −1)>0−=<0b a b −1a −1a −b a (a −1)C D a =−2b =−1C y =3−−x 4x ∴y =3−(+x)4xt =+x ≥2⋅=44x ⋅x 4x−−−−√=x 4xx =2(x >0)t 4∴y =3−t ≤3−4=−1∴−1A此题暂无解析【解答】解：，讨论：当时，，；当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，令，引入 ，，∴当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在上单调递增.故选.5.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反，正确；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确；③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确；④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标，正确.故选.6.【答案】C【考点】指数函数的性质y =x −ln x 2x >0y =x−2ln x ∴=1−=y ′2x x −2x 0<x <2<0y ′x >2>0y ′y =x −ln x 2(0,2)(2,+∞)x <0y =x −2ln(−x)−x =t(t >0)G(t)=−t−2ln t(t >0)∴(t)=−1−G ′2t t >0(t)G ′<0G(t)=−t −2ln t (0,+∞)y =x −2ln(−x)(−∞,0)A a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x A【解析】利用指数函数底数的大小与单调性的关系去判断．【解答】解：由可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项或，进而再判断①②与和的对应关系，不妨选择特殊点，令，则①②对应的函数值分别为和，由知选．故选：．7.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】去绝对值原函数变成：，由已知条件知，函数在单调递增，在单调递增，所以，解该不等式组即得的取值范围．【解答】解：，要使在上单调递增，则：，解得：，∴实数的取值范围是．故选．8.【答案】D【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的性质a 1>n >m >0C D n m x =1m n m <n C C f(x)={+ax −a x 2−ax +a x 2x ≥1x <1+ax −a x 2[1,+∞)−ax +a x 2[0,1) −≤1a 2≤0a 2a f(x)=+a |x −1|={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，x <1x 2f(x)[0,+∞) −≤1a 2≤0a 2−2≤a ≤0a [−2,0]B函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数是定义在上的奇函数，在上为增函数，在上为增函数，，或的取值范围是.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】由题意：，可得，那么有可能是空集或是的真子集．【解答】解：，由，可得，当时，，满足；当时， ，要使，则或，∴或，解得或，综上所述，实数的值可以为，或.故选．10.∵f(x)R (0,+∞)(−∞,0)f(0)=0∴{x <0，f(x)<f(−4)，{x >0，f(x)>f(4)，∴x (−∞,−4)∪(4,+∞)D A ∩B =B B ⊆A B B A A ={x|−x −2=0}={−1,2}x 2A ∩B =B B ⊆A m =0B =∅B ⊆A m ≠0B ={x|mx −1=0}={}1m B ⊆A B ={−1}B ={2}=−11m =21m m =−1m =12m 0−112ABC【答案】A,D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用函数过点解得解析式，再逐项判定函数的性质.【解答】解：由题设幂函数过，所以得，，故幂函数为，函数过原点，值域为，故正确.函数为奇函数，且为单调增函数，故错误.故选.11.【答案】A,B【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】【解析】在同一平面直角坐标系中作出的函数图像如下图所示：当时，，当时，，所以由图像可知当时，关于～的方程恰有个不同实数解，又，所以，又所以，y =x α(2,8)8=2αα=3y =x 3y =x 3R AD y =x 3BC AD AB y =f (x)y =m x ≤1y =−+2≤2(x +2)2x >1y =ln x+1>1m ∈(1,2)f (x)=m 3+=2×(−2)=x 1x 2−4,−−4−2=ln +1x 21x 1x 3=−e x−1+x 1x 24(−−4)(−1)=(ln +3)(−1)x 21x 1x 3x 3x 3m ∈(1,2)ln +1∈(1,2)x 3∈(1,e)g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)所以．设3），所以，显然在区间内单调递增，所以，所以在区间内单调递增，所以，即，所以，且，所以可取，．故选项．12.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值指数函数的性质【解析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项，由对数函数的单调性及指数函数单调性判断，由函数性质判断，设 ，且均为正数，求得，再由函数性质判断．【解答】解：由得：，令得， ，当变化时，，变化如表： 单调递增极大值单调递减故在上单调递增，在上单调递减，则是极大值也是最大值.，，，因为，所以 ，所以，故正确；∈(1,e)r 3g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)(x)=+ln x +3=g ′x −1x ln x −+41x (x)g ′(1,e)(x)>(1)=3>0g ′g ′g(x)(1,e)g(x)∈(g(1),g(e))g(x)∈(0,4e −4)∈(0,4e −4)e x−11<e <4e −4<e 3n 12AB A f (x)B,C ==k 2x 3y x,y 2x =ln k,3y =ln k 2ln 23ln 3f (x)D f (x)=(x >0)ln x x (x)=f ′1−ln x x 2(x)=0f ′x =e x (x)f ′f (x)x(0,e)e (e,+∞)(x)f ′+0−f (x)1e f (x)=ln x x (0,e)(e,+∞)f (e)=1e A f (2)==ln ln 22212f (5)=ln 515=>=()2121025()5151052>212515f (2)>f (5)A，不妨设，则要证： ，即要证： ，因为，所以，因为在上单调递增，所以只需证 ，只需证 ，①令， ，则，当时，，，所以，则在上单调递增，因为，所以 ，即 ，这与①矛盾，故错误；，因为，且在上单调递增，所以，所以 ，所以，所以 ，故错误；，设，且，均为正数，则，，所以，，因为，，，所以，所以，则 ，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，，使得【考点】命题的否定B 0<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 1e 2x 2>e x 2<e e 2x 2f (x)(0,e)f ()<f ()x 1e 2x 2f ()−f ()<0x 2e 2x 2g(x)=f (x)−f ()e 2x x >e (x)=(ln x −1)(−)g ′1e 21x 2x >e ln x >1>1e 21x 2(x)>0g ′g(x)(e,+∞)>e x 2g()>g(e)=0x 2f ()−f ()>0x 2e 2x 2B C <<e 2–√e √f (x)(0,e)f ()<f ()2–√e √<ln 2–√2ln e √e <ln 2122–√lne 12e √ln 2<2e −−√C D ==k 2x 3y x y x =k =log 2ln k ln 2y =k =log 3ln k ln 32x =ln k 2ln 23y =ln k 3ln 3=ln ln 22212=ln ln 33313<212313<ln 22ln 33>2ln 23ln 32x >3y D AD ∃x ∈R ∀n ∈N ∗n >+23x【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】复合函数的单调性【解析】令 由题意可得 在上是增函数，它的对称轴，且，由此求得实数的取值范围．【解答】解：令，由函数在上是减函数，可得 在上是增函数，故有对称轴，且．解得，故答案为：．15.【答案】【考点】对数函数的值域与最值对数的运算性质【解析】由对数的真数大于可得函数的定义域，将函数解析式化成后，考虑这个二次函数的值域，即可得出结论．【解答】解：∵函数中，且，故的定义域是；∵函数(−4,4]t(x)=−ax +3a x 2t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0a t(x)=−ax +3a x 2f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0−4<a ≤4(−4,4](−∞,2]0[x(4−x)]log 2x(1−x)f(x)=x +(4−x)log 2log 2x >04−x >0f(x)(0,4)f(x)=x +(4−x)=[x(4−x)]log 2log 2log 2∵，∴∴，∴函数的值域为．故答案为：16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用两角和与差的正切公式函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，则，∴，，∴，设，，当且仅当时取等号成立，因为是定值，所以最小时，同时取到最大值，的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）0<x <40<x(4−x)≤[=4x +(4−x)2]2[x(4−x)]≤2log 2y =x +(4−x)log 2log 2(−∞,2](−∞,2]2–√2∠BAM =αα∈[0,]π4|=tan α|BM||AB||BM|=atan α∠DAN =−απ4|DN|=a tan(−α)=()a π41−tan α1+tan αtan α=t,0≤t ≤1=|AB|⋅|BM|+|AD|⋅|DN|S 21212=(t +)=(t +−1)a 221−t1+t a 2221+t =(t +1+−2)≥(2−2)a 2221+t a 22(t +1)×21+t −−−−−−−−−−−−√=(−1)a 22–√t =−12–√+S 2S 1a 2S 2S1S 2S 1=(−1)a 22–√−(−1)a 2a 22–√2–√22–√217.【答案】解：；．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：；．18.【答案】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log 2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】（1）将＝代入可得集合，解对数不等式可得集合，由并集运算即可求解；（2）由＝可知为的子集，分类讨论，当＝，符合题意；当不为空集时，由不等式关系即可求解的取值范围．【解答】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．19.【答案】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)m 3B A A ∩B B B A B ∅B m m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)(1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√x1x 2=2(−)[+1]x 1x22(+)x1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据函数的奇偶性以及对数函数的性质求出的值即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．【解答】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．20.【答案】h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)b (1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√x 1x 2=2(−)[+1]x 1x 22(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)={200×10+50x ，x ≤10，解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．【考点】函数模型的选择与应用y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100=2750<y 1y 2110函数的最值及其几何意义频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．21.【答案】解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】（I ）设是图象上点，，由此能求出函数的解析式．（II ）令，由，得，所以函数在区间上单调递增，由此能求出的取值范围为．【解答】=2750<y 1y 2110(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y)y =g(x)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a ∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]a (0,1)解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．22.【答案】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．【考点】基本不等式及其应用函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用绝对值三角不等式，直接求出的最大值；(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39f(x)M a +b +c a −1+b −1+c −1（2）＝，所以＝，由柯西不等转化求解最小值即可．【解答】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．a +b +c 4a −1+b −1+c −11f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39。