第六章—常微分方程的数值解法ppt课件

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常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。

然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。

在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。

这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。

还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。

利用计算机解微分方程主要使用数值方法。

我们考虑一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dx dy在区间[a, b]上的解，其中f (x, y )为x, y 的已知函数，y 0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y (x )。

数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点b x x x x a n =<<<<= 210这里差i i i x x h -=+1，i = 0,1, …, n 称为由x i 到x i +1的步长。

这些h i 可以不相等，但一般取成相等的，这时na b h -=。

在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。

泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。

把这个相应问题的解y n 作为y (x n )的近似值。

这样求得的y n 就是上述初值问题在节点x n 上的数值解。

一般说来，不同的离散化导致不同的方法。

§1 欧拉法与改进欧拉法 1.欧拉法1．对常微分方程初始问题(9.2))((9.1) ),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从（9.2）式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(9.3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为y (x 1)的近似值。

常微分方程的数值解

f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似值y1, y 2,…,yn 。为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。可用迭代法求解
二、梯形方法由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言简单的数值方法 Runge-Kutta方法一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn

哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解

欧拉法得： yn 1 yn hf xn , yn 因此，局部截断误差是 o h 2 。

19
2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ，对其从 xk 到 xk 1 进在微分方程初值问题 dx 行定积分得：
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
21
2.3 算例
y y x 例：用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解： f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
16
精确解为： y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
17
1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式特点
1 单步方法：
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式： 3 局部截断误差为O h2
18
第六章常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解：
dy f x, y dx y x0 y0

常微分方程数值解法

欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最基础的方法之一，其基本思想是通过离散化时间点上的函数值来逼近微分方程的解。
详细描述
欧拉方法基于微分方程的局部线性化，通过在时间点上逐步逼近微分方程的解，得到一系列离散点上的近似值。该方法简单易行，但精度较低，适用于求解初值问题。
龙格-库塔方法
总结词
影响
数值解法的稳定性对计算结果的精度和可靠性有重要影响。
判断方法
通过分析数值解法的迭代公式或离散化方法，判断其是否具有稳定性和收敛性。
数值解法的收敛性
定义
数值解法的收敛性是指随着迭代次数的增加，数值解逐渐接近于真实解的性质。
影响
数值解法的收敛性决定了计算结果的精度和计算效率。
分类
根据收敛速度的快慢，可以分为线性收敛和超线性收敛等。
判断方法
通过分析数值解法的迭代公式或离散化方法，判断其是否具有收敛性。
误差分析
定义
误差分析是指对数值解法计算过程中产生的误差进行定量分析和估计的过程。
分类
误差可以分为舍入误差、截断误差和初始误差等。
影响
误差分析对于提高计算精度和改进数值解法具有重要意义。
分析方法
通过建立误差传递公式或误差估计公式，对误差进行定量分析和估计。
生物学
生态学、生物种群动态和流行病传播等问题可以通过常微分方程进行建模
和求解。
化学工程
化学反应动力学、化学工程流程模拟等领域的问题可以通过常微分方程进行描述和求解。
经济学
经济系统动态、金融市场模拟和预测等问题可以通过常微分方程进行建模和求解。
02 常微分方程的基本概念
常微分方程的定义

第6章常微分方程初值问题的解法

yk 1ykh 2 k[f(xk,yk)f(xk 1,yk 1)]
ykh 2 k[ (ykx k 1 ) ( yk 1x k 1 1 )]
yk11 29 1yk1k05110
预估－校正Euler方法：
y k 1 0 .90 y k 5 0 .00 k 9 0 .1 5
20
Euler方法
xk
yk
yk y(xk)
0.0 1.000000
0.0
梯形方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
续
预估－校正方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
0.1 1.000000 0.2 1.010000
4.8×10－3 8.7×10－3
1.004762 1.018594
y(0) 1
其解析解为： y1xe-t2dt x[0,1] 0 很难得到其解析解
4
例如：
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为 yx12ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为：yx12ex
3
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如：
y =e-x2 ,
x[0,1]
7.5×10－5 1.4×10－4

常微分方程数值解法ppt课件

若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f( x ,y 1 ) f( x ,y 2 ) | L |y 1 y 2 | ( 1 .3 )
使得对任意的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都成立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
节点 x i a i h i , 一般取 h i h ( ( b a ) / n ) 即等距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
ax 0x 1x nb
处的近似值 y y(x ) i 完整版PPT课件i
16
yf(x,y) axb (1 .1 )
y(x 0) y0
(1 .2 )
对微分方程(1.1)两端从 xn到 xn1 进行积分
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都无法保证，更何况要求阶的导数
求解数值解
很多微分方程根本求不到问题的解析解！
重要手段。
完整版PPT课件
7
5.常微分方程数值解法的特点常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法通过计算机
数值解法得到的近似解(含误差)是一个离散的函数表.
便捷地实现
欧拉方法的导出把区间ab分为n个小区间步长为要计算出解函数yx在一系列节点iiyyx?iiixaihhhban?????一般取即等距节点处的近似值01naxxxb?????1iiihxx??nn等分001112yfxyaxbyxy????????对微分方程11两端从1nnxx?到进行积分11nnnnxxxxydxfxyxdx??????11nnxnnxyxyxfxyxdx?????右端积分用左矩形数值求积公式22baggxdxbagaba???????gxfxyx?令11nnnnxxnnfxyxnnyyfxyxh??????得x0x11nnnnnnyxyxhyxyhfxy??????1

常微分方程数值解法课件

使用龙格-库塔公式计算下一个时间点的数值解的近似值。
根据选择的步长，确定当前时刻的数值解的近似值。
重复上述步骤，直到达到所需的时间积分区间终止点。
龙格-库塔方法的误差分析
误差主要来源于时间步长的离散化，步长越小，误差越小。
龙格-库塔方法的收敛性和稳定性取决于所选步长和步数。
ABCD
机械工程
在机械工程中，机构的动力学行为可以用常微分方程来描述，如机器人的运动轨迹、机械臂的姿态等，通过数值解法可以模拟这些机构的运动。
在金融问题中的应用
股票价格模拟
股票价格的变化可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模拟股票价格的走势，预测未来的股票价格。
期货价格模拟
期货价格的变化也可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模拟期货价格的走势，预测未来的期货价格。
可以通过增加步数来减小误差，但会增加计算量。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的步长和步数，以达到精度和计算效率的平衡。
05
数值解法的应用
在物理问题中的应用
计算物体运动轨迹
通过数值解法求解常微分方程，可以模拟物体的运动轨迹，如行星运动轨迹、炮弹弹道等。
模拟振动系统
在物理中，许多系统可以用常微分方程来描述，如弹簧振荡器、电磁振荡器等，通过数值解法可以模拟这些系统的振动行为。
终止条件
当达到预设的精度或迭代次数时，停止迭代并输出结果。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法使用离散化近似，因此存在截断误差。这种误差的大小取决于步长$h$的选
择。
稳定性
欧拉方法对于某些微分方程可能是不稳定的，这意味着随着迭代的进行，解可能会发散或

第六章常微分方程解法

yn1 yn h ( xn , yn , h)
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步都会产生截断误差和舍入误差，这个误差是否对后续各步产生严重影响。
第六章常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一种隐式方法，求解方程计算量大。实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉方程结果，迭代一次即可，这样的计算公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解，式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义：如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章常微分方程的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)

常微分方程的数值解法2010

2 ' ' 3
（11）
要使近似公式(8)的局部截断误差为O(h3)，则应要求(10)和(11) 式前三项相同：
c1 c 2 1 c2a2 1 / 2 c 2 b 21 1 / 2
以上方程组有无穷多组解，如取c1=c2=1/2，a2=b21=1，近似公式(8)即为改进的Euler公式：
常微分方程的数值解法
对一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
y f ( x, y ) y (a ) y0 a x b
(1)
在下面的讨论中，假定f(x,y)连续，且关于y满足李
普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得
f ( x, y ) f ( x, y ) L y y

Y(I+1)=Y(I)+(F(X(I),Y(I))+F(X(I+1),Y(I)+H*F(X(I),Y(I))))*H/2

设 x i x 0 ih ( i 1, 2 ,3 , ); y i , z i 为节点上的近似解，则有改进的Euler格式为
y i 1 y i hf ( x i , y i ) h f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 ) y i 1 y i 2
则初值问题(1)的解必定存在且唯一。
常微分方程的数值解法
所谓数值解法，就是要求问题(1)的解在若干点：
a x 0 x 1 x n 1 x n b
处的近似值yi(i=0,1,2…n)的方法，yi称为问题(1)的数
值解。相邻两个节点的间距
h n x i 1 x i
(5 )

CH常微方程数值解解析PPT课件

yn1 y0
yn
hf
(xn ,
yn )
与
注意: 这里yn , zn 分别是以为 y0, z0 初值得到的精确值，毫无舍入误
zz0n1
zn
hf
(xn ,
z差值n )，的因稳此定这性里，稳即定研性究定初义值式误对差初在
计算过程中的传递问题。
计算所得之解 yn , zn 满足估计式
| yn zn | c | y0 z0 |
式可知， Rn，这O(说h2)明局部截断误差比整体截断误差高一阶。
我们称欧拉方法为一阶格式。
1.2.3 稳定性研究
前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法才可能是有用的算法。
定义1.1如果存在正常数 c 及 h0 ，使对任意初
始值 y0 , z0 ，由
局部截断误差 en1 y(xn1) y*n1＝Rn
这里
y*n1 y(xn) hf (xn, y(xn))
Th
整体截断误差 n1 y(xn1) yn1 即
xn＋1
y(xn＋1) yn1 y(xn) f (x, y(x))dx yn hf (xn, yn) (1.6)
xn
Th
定理 1.1 假定 y y(x) C2x , X ，则欧拉方法 0
主要内容
第1章常微分方程初值问题数值解法第2章椭圆型方程的有限差分方法第3章抛物型方程的有限差分方法第4章双曲型方程的有限差分方法
第5章非线性双曲型守恒律方程的差分方法第6章有限元方法简介
第1章常微分方程初值问题的数值解法
1.1 引言
1.2 欧拉法(Euler方法)

计算方法第6章常微分方程数值解

已知Euler格式 yn1 yn hf ( xn , yn )
h2 y( xn1 ) yn1 2 y''( xn )
即Euler格式具有一阶精度
如果令
y( xn1 ) y( xn1 ) 2h

y'( xn )
f ( xn , yn )
并假定 y( xn1 ) yn1, y( xn ) yn
常微分方程数值解
常微分方程的数值解法
§1 引言 §2 欧拉方法 §3 龙格-库塔方法
2
§1 引言
在工程和科学技术的实际问题中，常需要解常微分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说了。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似解。
yn
2
xn yn

令 h 0.1 将 x0 0, y0 1 代入Euler格式
步进计算结果见P106表5.1
第五章：常微分方程数值解
Euler值
y 1 2x
第五章：常微分方程数值解
Euler格式的误差分析
pn1
事实上Euler格式的每一步都存在误差，为了方便讨论y算( x)

d2x
dt 2 x(t
0
c
m )
x x
0
0 (t

t) 0

x(t ) x
0
0
5

第六章常微分方程的数值解法

第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中，常常会遇到常微分方程的求解问题。

传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式，不能处理复杂的、变系数的、非线性方程，对于这些方面的问题，只能求诸于近似解法和数值解法。

而且在许多实际问题中，确确实实并不总是需要精确的解析解，往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。

在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法，能够给出解的近似表达式，这一类方法称为近似解法。

还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解，给出解在一些离散点上的近似值，这一类方法称作为数值方法。

本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。

同时，对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。

§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数，，b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy， (1.1) 其中),(y x f 是已知函数，α是给定的数值。

通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件：(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续；(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件：212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?，， (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。

由常微分方程的基本理论可以知道，假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件，则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解，，b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。

《微分方程的数值解法maab四阶龙格—库塔法》PPT模板课件

k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
1 2
h,
yn
h 2 k1)
k3
f (tn
1 2
h,
yn
h 2
k2
)
k 4 f (tn h , y n hk 3 )
四阶 Runge-Kutta 法计算流程图
开始
h 初始条件：t
迭代次数：
；y
0
N
0
积分步长：
tn t0
for i = 1 : N
解析解： x x x1 3 2(((ttt))) 0 .0 8 1 1 2 P 8 k 0siw n t) (2 .6 3 0 3 3 P k 0siw n t) (0 .2 12 2 2 P k 0siw n t)(
第一个质量的位移响应时程
各种solver 解算指令的特点
解法指令解题类型
特点
ode45 非刚性采用4、5阶Runge－Kutta法
适合场合大多数场合的首选算法
ode23 非刚性采用Adams算法
较低精度（10－3）场合
ode113 非刚性
ode23t ode15s
适度刚性
刚性
ode23s 刚性 ode23tb 刚性
y2
(0)
(2.2) (2.3)
例：著名的Van der Pol方程
y (y21)y y0
令
y1y,y2y
Y
y y
1 2
降为一阶 Yyy12(y12y12)y2y1
初始条件
Y0
y1(0) y2(0)
y10 y20
3. 根据式(2.2)编写计算导数的M函数文件ODE文件

微分方程数值解法 ppt课件

6
0.6 0.757147 0.735294
7
0.7 0.688354 0.671141
8
0.8 0.622018 0.609756
9
0.9 0.560113 0.552486
10 1.0 0.503642 0.500000
11 1.1 0.452911 0.452489
12 1.2 0.407783 0.409836 ppt课件
ppt课件
14
1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成果74卷。
22
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
隐式欧拉法的局部截断误差： NhomakorabeaRi

y(xi1)
yi1

h2 2
y(xi ) O(h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
ppt课件
23
梯形公式 /*trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
yi 1

yi

h 2 [ f (xi ,
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
ppt课件
26
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出
yn1 yn hf xn, yn

3、常微分方程的数值解

可表示为：
xi x0 ih, i 1,2,, n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散
节点的数值解。
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给
yi , yi 1 , yi 2 ,, y0 出用已知信息
率场（又称方向场）。设 (t )是常微分方程的一个通解，则 (t )
所代表的曲线集合中任意一点的切线斜率均与该点在斜率场中的值相同，即曲线沿斜率场所指示的方向伸展。初值问题的解
的函数曲线必开始于初值条件所定义的点(a,y(a))。
可以证明,如果函数在带形区域 R=a≤t≤b,-∞＜y＜∞}内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与t,y 无关)使得：
由于数值积分的矩形公式精度很低，以推断出欧拉(Euler) 格式的精度不会很高，应该很粗糙。
例1 用欧拉法解初值问题：
y y xy 2 y(0) 1
(0 x 0.6)
要求：取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数。
2 解: h=0.2, f ( x, y) y xy 欧拉迭代格式：
f (t, y1 ) f (t, y2 ) L y1 y2
对R内任意两个 y1 , y2 都成立,则一阶常微分方程的初值问题在定义域a, b内存在唯一解。
7.2 常微分方程初值问题数值解法的基本思想
对常微分方程初值问题式的数值解法，就是要算出精确解 y(x)在区间a,b上的一系列离散节点：
可验证，向前欧拉格式的步长越小，由此迭代得到的截断误差就越小，即精度就越高。但此时值得注意的是：步长合适的选取非常重要！如果步长过小，不但会增加计算量还会导致舍入误差的过度积累。因此，选择一个合适的步长，在截断误差和舍入误差之间取得平衡，对减小向前欧拉格式的误差至关重要！在这一点上与数值微分类似！