协方差与相关系数 PPT

证1: (1) 依照方差的性质,关于任意实数t
0≤D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y))+D(Y)
令 t Cov( X ,Y ) ，则上式为
D(X )
D(Y- tX)=
D(Y ) [Cov( X ,Y )]2
Cov2( X ,Y )
D(Y )[1
]
D(X )
D( X )D(Y )
讲明: ⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0,正相关;Cov(X,Y)<0, 负相关。=0,不相关
(3) 当X,Y相同时,Cov(X, X) = D(X)=Var(X)、 (4) 由定义可知,Cov(X, Y) = Cov(Y, X) 、
则称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为X 与Y的(线性)相关系数.
讲明:
(1)
XY 为X
,Y的标准化变量
X
E(X D(X )
)
与Y
E(Y D(Y )
)
间的协方差.
(2) 相关系数无量纲,消除了量纲不同对相关程度的影响。
(3) 与Cov(X,Y)同号。>0, 正相关;<0, 负相关; =0,不相关
X,Y不独立。
感谢您的聆听！
证: (1) Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
协方差与相关系数
一、协方差
1、引入背景
二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系
举例:
(1)不同地区气温间的关系; (2)人的身高、体重间的关系; (3)不同股票收益率间的关系; (4)公司经营业绩与资本结构间的关系。
2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量,则称下式为X、Y的协方差。 Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
Baidu Nhomakorabea、相关系数的性质
(1) XY 1.
(2) XY 1 存在实数a,b( 0), 使P{Y a bX} 1
结论:
1) XY 1, Y 与X 存在严格线性关系. 2) XY 0, Y 与X 不存在线性关系. 3) XY 越接近1, Y 与X 线性相关程度越高;
XY 越接近0, Y与X 线性相关程度越低.
3、协方差的主要性质 ⑴ Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法) (2) 对称性: Cov(X, Y)= Cov(Y, X) (3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数
(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
P{X=i} ¼ ½ ¼ 1
E(X
)
1*
1 4
0
*
1 2
1*
1 4
0
E (Y
)
1*
1 4
0*
1 2
1*
1 4
0
E
(
XY
)
(1)
*
(1)
*
0
(1)
*
0
*
1 4
(1)
*1*
0
...
1*1
*
0
0
从而COV(X,Y)=0, 不相关
Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) P{X=-1}P{Y=0}= 1/8 P{X=-1, Y=0}
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
二、相关系数
1、相关系数的定义
D( X ), D(Y )分别为随机变量X ,Y的方差,且D( X ), D(Y ) 0.
D(Y )[1 2 ]
1 2 0
1
(2) 1时, D(Y bX ) 0
根据方差性质5, D( X ) 0 P{ X a} 1
P{Y bX a} P{Y a bX } 1
例 设(X, Y)的分布律为:
X\Y -1 -1 0 0¼ 10 P{Y=j ¼
01 ¼0 0¼ ¼0 ½¼