高中数学选修(理科)常用公式
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2。
选修1--1：重点：高考占30分。
1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。
选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。
理科：选修2—1、2—2、2—3。
选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。
数学公式高中理科
数学公式高中理科在高中理科学习中，数学公式是必不可少的重要内容之一。
数学公式的掌握对于理科学生来说至关重要，因为它们是解决数学问题的关键工具。
下面将介绍一些高中理科中常见的数学公式及其应用。
1. 三角函数公式三角函数是高中数学中重要的内容之一，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们之间的关系可以用以下公式表示：•正弦函数公式：sin2A+cos2A=1；•余弦函数公式：cos2A=1−sin2A；•正切函数公式：tanA=sinA。
cosA这些三角函数公式在解决三角形相关问题时具有重要的作用，例如计算三角形的边长、角度等。
2. 初等代数公式在代数学习中，初等代数公式是基础而重要的内容。
常见的初等代数公式包括：•二次方程求根公式：x=−b±√b2−4ac；2a•因式分解公式：a2−b2=(a−b)(a+b)；•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2。
这些代数公式在解决方程、因式分解等代数问题时非常有效。
3. 几何公式几何学是高中数学中的另一个重要分支，而几何公式在解决空间和平面几何问题时起着至关重要的作用。
常见的几何公式包括：•长方形面积公式：S=l×w，其中S表示面积，l表示长，w表示宽；•圆的周长公式：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径；•三角形面积公式：S=1bℎ，其中S表示面积，b表示底边长，ℎ表示高。
2这些几何公式在计算几何图形的周长、面积等方面具有重要意义。
综上所述，数学公式在高中理科学习中扮演着不可或缺的角色。
掌握各种数学公式，熟练运用它们解决各类数学问题，对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
希望同学们能够深入学习各种数学公式，并在实际问题中灵活运用，进一步提升数学水平。
高中数学知识清单(理科)最终
高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论整理人：余河洛特别说明：（49—52和57—62为理科内容，文科生不作要求） 1.U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆I U2.若{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=,则Ａ的子集有2n 个,真子集有2n －1个,非空真子集有2n －2个..3.函数的的单调性： (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.4.函数()y f x =的图象的对称性:①()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=；②()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=；③()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()()()()02=-++⇔--=⇔x a f x a f x a f x f ，()y f x =的图象关于点(,)a b 对称⇔()()()()b x a f x a f x a f b x f 222=-++⇔--=.5.两个函数的图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称； ②函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称； ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-； ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--；⑤函数)(x f y =和函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称.6.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+ 7.（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=++a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, T=2a ； (3))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(4))()()-(a x f x f a x f +-=，则)(x f 的周期T=6a. 8.①b N N a a b=⇔=log ； ②()N M MN a a a log log log +=；③N M N M a a alog log log -=； ④log log m n a a nb b m=.(a>0,a ≠1) 9.对数的换底公式:log log log m a m N N a=. (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).对数恒等式:log a Na N =.10.①等差数列{}n a 的通项公式:()d n a a n 11-+=,或d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=⇔.②前n 项和公式: 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 11.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+(m 、n 、p 、q 为正整数)，则q p m n a a a a +=+.12.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列,其公差d k D 2=，如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. 13．数列{}n a 是等差数列⇔n a kn b =+；数列{}n a 是等差数列⇔n S =2An Bn +.14.若等差数列{}n a 和{}n b 的前12-n 项的和分别为12-n S 和 12-n T ，则1212--=n n n n T S b a . 15.①等比数列{}n a 的通项公式:nn n q qa qa a ⋅==-111；或m n m n m n m n a a q q a a =⇔=--.②前n 项和公式:11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.16.（1）对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+(n 、m 、u 、v 为正整数)，则v u m n a a a a ⋅=⋅.（2）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和且q ≠-1，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列，其公比为kq Q =.. 17.裂项法：①()11111+-=+n n n n ； ②()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=+-1211212112121n n n n ；③()11b a ba b a --=+ ；④()()! 11! 1! 1+-=+n n n n .18.（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤|sin ||cos |1x x +≥.19.①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin （Z k k ∈+≠,2ππθ）；②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ= ).20.①αααcos sin 22sin =.②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.(3)221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. 21.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-（正切倍角公式）.22.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+.23.①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).24.tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈.. 25.三角形面积公式：①111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）；②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=（4）2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－ 26.在△ABC 中，有①()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+；②B A b a sin sin >⇔>（注意是在ABC ∆中）.27.向量的平行与垂直： 设=11(,)x y ,=22(,)x y ，且≠，则①∥⇔=λ12210x y x y ⇔-=；② ⊥ (≠)⇔·=012120x x y y ⇔+=.28.若OA xOB yOB =+u u u r u u u r u u u r，则A 、B 、C 共线的充要条件是1=+y x .29.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则其重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 30. 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r.31.常用不等式：(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥222b a ab +≤⇔(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．(2),a b R +∈⇒2a b +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔b a ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．(3) abc c b a 3333≥++⇔33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取“=”号)．(4)b a b a b a +≤±≤-,(注意等号成立的条件).（5）22ab a b a b +≤≤≤+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。
高二数学选修一公式知识点总结
高二数学选修一公式知识点总结在高二数学选修一课程中，我们学习了许多重要的数学公式。
这些公式在解决各种问题和计算中起着关键的作用。
下面将对其中一些重要的公式进行总结。
一、函数与图像相关的公式1. 一次函数的一般式：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
该公式描述了一条直线的方程形式，可以用来求解直线的性质以及与其他函数的交点等问题。
2. 二次函数的一般式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
该公式描述了二次函数的方程形式，可以用来求解二次函数的顶点、判定函数的开口方向和对称轴等性质。
3. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)表示圆心的坐标，r为半径。
该公式描述了圆的方程形式，可以用来求解圆的性质，如半径、圆心和与其他函数的交点等。
二、三角函数相关的公式1. 基本三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：sinθ = y / r- 余弦函数（cos）：cosθ = x / r- 正切函数（tan）：tanθ = y / x2. 三角函数的基本关系：- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ- 三角函数的平方和恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 13. 和差化积公式：- 正弦函数的和差化积公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ - 余弦函数的和差化积公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ三、导数与微分相关的公式1. 导数定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h导数表示函数在某一点的变化率，可以通过导数求解函数的最值、切线方程等问题。
2. 基本导数公式：- 常数的导数：(k)' = 0- 变量的导数：(x)' = 1- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x，(a^x)' = a^xlna（其中a为常数）3. 微分公式：- 微分的定义：df(x) = f'(x)dx- 微分和导数的关系：dy = f'(x)dx通过掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数学知识。
高中数学选修(理科)常用公式-精选教学文档
高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）一、常用逻辑用语 1．四种命题：（1）原命题：若p 则q （2）逆命题： 若q 则p（3）否命题：若p ⌝则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假） 2．如果p q ⇒，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件注意：（1）小范围⇒大范围，大范围⇒小范围，（2）“p 的充分不必要条件是q ”⇔“q 是p 的充分不必要条件” 3．复合命题p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假性（p ⌝即命题的否定）：（1）当p 和q 为一真一假时，p q ∧为假，p q ∨为真； （2）p 和p ⌝的真假性相反 4．全称命题与特称命题. 若p ：,()x M q x ∀∈成立，则p ⌝：00,()x M q x ∃∈⌝成立 二、圆锥曲线22221x y a b +=(0)a b >> a x a -≤≤，b y b -≤≤(,0)c ±2c 2．双曲线12AB x x =-= 快速公式：AB =12AB y y =-= 快速公式：AB = （其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数） 3．抛物线1. 概念：)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.（注意这个物理意义）2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-.3. 几种常见函数的导数（1）0='C （C 为常数）.（2）1()nn x nx -'=.（3）x x cos )(sin ='.（4）x x sin )(cos -='.（5）x x 1)(ln ='；1(log )ln a x x a'=. （6）x x e e =')(；a a a xx ln )(='. 最好记住这三条常用的公式：211()x x '=- '= (l n )1l n x x x '=+4. 导数的运算法则：（1）[()]()Cf x Cf x ''= （2）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+ （4）2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'= 5. 复合函数的求导法则：若)(g ),(x u u f y ==，则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性：设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导，若()0f x '>，则)(x f y =在(,)a b 上单调递增；若()0f x '<，则)(x f y =在(,)a b 上单调递减． 逆命题：若()f x 在(,)a b 上是增函数，则'()0f x ≥； 在(,)a b 上是减函数，则'()0f x ≤. 7. 求函数)(x f y =极值的方法与步骤：（1）求导数()f x '； （2）求方程()0f x '=的根；（3）画出x 、()f x '、()f x 的分布表格，并判断极大值、极小值四、推理与证明 1. 推理（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）. （2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一般到特殊的推理. （3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）. 2. 证明（1）直接证明：综合法（条件⇒结论）与分析法（结论⇒条件（恒成立）） （2）间接证明：反证法（反设⇒矛盾⇒推翻反设） （3）数学归纳法：① 证明当n 取第一个值0n （0n ∈*N ）时结论成立.② 假设当n k =（k ∈*N ，且0k n ≥）时结论成立，证明当1n k =+时结论也成立.由①②可知，对任意0n n ≥，且n ∈*N 时，结论都成立. 五、计数原理1. 排列数：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-2. 组合数：(1)(2)(1)!!!()!mn n n n n m n C m m n m ---+==-3. 组合数的性质：（1）m n mn n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+ （3）0122n n n n n n C C C C ++++=； 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=（4）11mm n n n C C m --=； 1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅（5）1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=；4. 二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++（1）展开式中的通项（第1r +项）：1r n r rr n T C a b -+=（2）二项式系数：rn C （1,2,,r n =）， 若n 为偶数，则展开式的中间一项12n T +的二项式系数最大；若n 为奇数，则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数最大；（3）二项式系数和与各项系数和二项式系数和：2n各项系数和的计算方法：令()na b +中的变量等于1例如：41(2)x+的二项式系数和为4216=，各项系数和为441(2)3811+==（令1x =）六、概率1. 古典概型与几何概型（1）古典概型的概率()mP A n=，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同. m 表示事件A 包含的基本事件数，n 表示所有基本事件数.（2）几何概型的概率()AP A μμ=，基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同. A μ表示事件A 发生区域的几何度量，μ表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）2. 互斥事件与对立事件（1）概念理解：互斥事件——A B =∅； 对立事件——A B =∅且()()1P A P B +=. （2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立. （3）概率加法公式：若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+. 3. 相互独立事件,A B 及其同时发生的概率：()()()P AB P A P B =. 4. 条件概率：设A 与B 为两个事件，且()0P A >，则()(|)()P AB P B A P A =， 其中(|)P B A 表示事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.5. 离散型随机变量及其分布列 （1）分布列性质：0i p ≥，1211nin i pp p p ==+++=∑.（2）随机变量X 的数学期望（均值）：11221ni in n i EX x px p x p x p ===+++∑.（3）随机变量X 的方差：21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-.（4）随机变量X 的均值与方差的性质：()E aX b aEX b +=+； 2()D aX b a DX +=. （5）二项分布（独立重复实验）：~(,)X B n p ，EX np =，(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k k n kn P X k C p p -==-，0,1,,k n =注意：X 表示试验成功的次数（6）超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则()k n k M N MnNC C P X k C --==，其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布：2~(,)X N μσ，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差 （1）正态总体函数()22()2x f x μσ--= ，(),x ∈-∞+∞ ①在正态分布中，当0μ=，1=时，叫做标准正态分布，记作~(0,1)X N .②函数()f x 的图象关于x μ=对称，()0f x >，()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总面积为1，()()0.5P X P X μμ≤=>=④σ越大，函数()f x 的图象越“矮肥”；σ越小，函数()f x 的图象越“高瘦”（2）几个重要的概率：七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系：*N N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆⊆2. 复数的概念：形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，21i =-，a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=⇔0a b ==.4. 对于复数a bi +，当0b =时，它是实数；当0a =且0b ≠时，它是纯虚数.5. 复数的模：向量OZ 的模，叫做复数z a bi =+的模，即z a bi =+=6. 复数所在象限的确定：z a bi =+对应点(,)a b ，判断点(,)a b 所在的象限.7. 共轭复数：z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则：(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±. 9. 复数乘、除法法则：(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++. 八、统计案例1. 回归直线方程为ˆˆˆybx a =+用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 1122211()()ˆˆˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yba y bx x x xnx====---==---∑∑∑∑=，（ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y ）2. 残差公式：ˆˆi i i ey y =-；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数22121ˆ)1)niii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平方和21ˆ)nii i yy=-∑(越小，2R （201R ≤≤）越接近于1，回归效果越好. 2R 与r 的区别：2R 为相关指数，r 为相关系数，0r <时为负相关，0r >时为正相关， 11r -≤≤，r 越接近于1，变量间的相关性就越强.3. 独立性检验的解题步骤： （1）写出列联表；（2）据公式代数求解2K 的值；（3）根据观测值2K 查表，如果20K k ≥，就推断两变量有关系，犯错误概率不超过P （即有1P -的把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，（上表中的概率P 是指犯错误．．．的概率） 九、坐标系与参数方程选讲1. 极坐标系的公式：222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. （θ表示极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角） 2. 参数方程：（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程：cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）；（α表示圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程：cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）；*（3）抛物线22y px =的参数方程：222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数）；*（4）双曲线22221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b αα=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1sec cos αα=）；（5）直线00tan ()y y x x α-=-的参数方程：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（t 表示点()00,P x y 到直线l 上的任意一点(,)M x y 的有向距离） 圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）3. 空间直角坐标系：已知向量a =111(,,)x y z ，b =222(,,)x y z （1）空间向量的平行与垂直：a ∥b ⇔111222x y z x y z ==（222,,0x y z ≠） （2）空间向量的模、距离公式：a=AB =（3）点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --，关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --，关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z --- 关于平面xOy 对称的点为(,,)x y z -，关于平面yOz 对称的点为(,,)x y z -， 关于平面xOz 对称的点为(,,)x y z -，十、空间的角与空间的距离（向量法）：设直线a 与b 的方向向量分别为,a b ，平面α与β的法向量分别为12,n n （1）异面直线a 与b 所成的角θ：则cos θ⋅=⋅a b a b，(0,]2πθ∈（2）直线a 与平面α所成的角θ：111sin cos ,θ⋅=<>=⋅ a n a n a n ，[0,]2πθ∈ （3）二面角l αβ--的平面角θ：1212cos θ⋅=⋅n nn n ，[0,]θπ∈注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P 到平面α的距离：11PA d ⋅=n n ，其中A α∈十一、补充公式与定理1. 斜率k 、比率λ、离心率e ，11e λλ-=+（焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y 轴，则改为11e λλ-=+ 2. 斜率12k k 为定值的两个定理：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是椭圆上的动点，直线PQ 交椭圆于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =-，22PQ ON b k k a=-；双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是双曲线上的动点，直线PQ 交双曲线于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =，22PQ ON b k k a=.（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上，则,a b 的位置互换）3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线） （1）曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为：将原曲线方程按照以下方式“21x x x →，21y y y →，()()()21x a x a x a -→--，()()()21y b y b y b -→--，12x x x +→，12y y y +→”置换得到. （2）过曲线外任意一点()00,P x y 引曲线的两条切线，切点A ,B 所在的直线方程为：将原曲线方程按照以下方式“20x x x →，20y y y →，()()()20x a x a x a -→--，()()()20y b y b y b -→--，02x x x +→，02y y y +→”置换得到. 4. 求点A 关于直线0x y m ++=（0x y m -+=）的对称点A '可以用“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y '，①把30x y -+=进行交叉置换0033x y y x =-⎧⎨=+⎩，②()3,2A 代入即可求得()00,A x y '为()1,6A '-.（注意：当对称轴的斜率1k =±时才可以用此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法）. 5. 复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到整体函数()g x ，常见的()g x 有。
高中理科数学公式大全
高中理科数学公式大全-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0注：方程有共轭复数根圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h长方形的周长=(长+宽)×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r拓展阅读：学习数学的方法先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
高考数学知识点和公式总结
高考数学知识点和公式总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中理科数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全（最新整理版）§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．14.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.25．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-;(3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩38.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).39.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 41.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 42.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.43.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. (3)22(||||)()OABS OA OB OA OB ∆=⋅-⋅. 44.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 45.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 46.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 47.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．48．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.49. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ． 50. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.52.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).53.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 56.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 58.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.§06. 不 等 式60.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R+∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.66.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：Ax By +).72. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.§08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.80．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 91.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By CB Ax ByC F x y A B A B ++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.94．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.105.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 106.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.107．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB=⋅=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.113.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=.',d EA AF =.d =（'E AAF ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a a ,外. 116．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 118.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈文案大全N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n nAA mA-+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).122.组合数的两个性质 (1)m n C =mn nC- ; (2) m n C+1-m n C =mn C1+.注:规定10=n C .123.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式rrn rnr b aC T -+=1)210(n r ，，，=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()m P A n=. 126.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．127.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．128.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++133.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D p ξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程y a bx =+，其中文案大全()()()1122211n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . （3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限 （1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011limx x x x →=. 146.两个重要的极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlimt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数文案大全(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u xy y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 158.复数z a bi =+的模（或绝对值） ||z =||a bi +159.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数的乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.162.向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
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高中理科数学公式大全完整版高中理科数学公式大全完整版一、数学公式1、圆的面积 S=πR²2、圆周长 C=2πR3、圆柱体 V=πR²h4、圆锥体 V=πR²h/35、圆周角 a=∠C×π6、勾股定理 c²=a²+b²7、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R8、余弦定理 b²=a²+c²-2accosB9、弧长公式 l=n/180×π×r²10、扇形面积 s=n/360×π×r²11、弓形面积 s=[(b-a)×h]/212、三角形面积 s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中 p=(a+b+c)/213、重心定理三条中线的交点叫重心,重心分中线为2：1（顶点到重心）14、平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分；平行四边形内角和外角和都为360度。
15、平行四边形判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；两组对角分别相等的四边形为平行四边形。
16、菱形性质：菱形四边都相等；菱形对角线互相垂直；菱形内角和都为360度；菱形是轴对称图形，有四条对称轴。
17、菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；两条对角线分别平分各自对角的四边形为菱形。
18、正方形性质：正方形的四边都相等；正方形的四个角都是直角；正方形的对角线相等并互相垂直平分；正方形的邻边互相垂直；正方形的内角和外角和都为360度。
19、正方形判定：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
20、等腰梯形性质：等腰梯形两腰相等；等腰梯形两底角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
高中数学总结——常用公式与推论
高中数学总结——公式与推论（理科）张皓翔成都二十中一．关于函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2．奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)5.常见奇函数（1）. y=sinx y=tanx（2）. y=x n(n∈2k+1 k∈Z)（3）. y=lg(√1+x2−x)−x→y=lg√1+(ax2)±ax y=lg b−axb=ax（4）. f(x)=a x−1(a>0 且 a≠1)a x+1（5）. f(x)=|x+a|−|x−a|6.抽象函数模型（1）.f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx（2）.f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=a x)=f(x) -f(y) f(x)=log a x（3）.f(xy)=f(x)+f(y) f(xy二、三角函数1.三角形恒等式（1）在△中，（2）正切定理&余切定理：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（3）（4）(5)2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA3. 任意三角形内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是5．塞瓦定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有A²DC+AC²BD-AD²BC＝BC DC BD7、和差化积公式（只记忆第一条）sinα+sinβ=2sin cossinα-sinβ=2cos sincosα+cosβ=2cos coscosα-cosβ=-2sin sin8、积化和差公式sinαsinβ=-cosαcosβ=sinαcosβ=cosαsinβ=9、万能公式10．三角混合不等式：若x∈（0，),sinx＜x＜tanx当x→0时sinx x tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhycosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角△中，（2）在△中，（3）在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B15．ASA的面积公式：三、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.A n+1=kA n+f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n+C设一常数x，A n+1+x=k（A n+x）A n+1 =kA n+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列｛｝,公比为k3．不动点法：形如A n+1=（d≠0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点α，β则数列{}是一个等比数列，A’n==，A n=（2）若函数f（x）只有一个不动点α则数列{}数一个等差数列，A’n=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列{A n}是周期数列，周期自己找4．特征方程法：形如A n+2=pA n+1+qA n称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x²-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则A n=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0A n=(+n)x0n-1(,可根据题目确定)5．变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3．琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成立4.卡尔松不等式5．排序不等式当且时，其中以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0当x=y=z时，等号成立配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=a+b+cxyz 三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=7．常用对数不等式当x〉-1时，当且仅当x=0时等号成立8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,c∈R时，用pqr法10.SOS法（配方法）不解释11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗日函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从而算出极值。
高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)
数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修(理科)常用公式
高中(理科)数学选修部分常用公式(全国卷版)一、常用逻辑用语1.四种命题：(1)原命题：若p则q (2)逆命题：若q则p(3)否命题：若p则q (4)逆否命题：若q则p(互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假) 2.如果p q ,那么p是q的充分条件，q是p的必要条件注意：(1)小范围大范围，大范围/小范围，(2)“ p的充分不必要条件是q ”“ q是p的充分不必要条件”3.复合命题p q、p q、p的真假性( p即命题的否定)：(1)当p和q为一真一假时，p q为假，p q为真；(2) p和p的真假性相反4.全称命题与特称命题.若p：x M ,q(x)成立，则p ：X o M , q(X o)成立二、圆锥曲线1.椭圆定义动点M 到两定点 即： F 1,F 2的距离1 MF 1| |MF 2二差的绝对值为 2a(IF 1F 2I 2a)2a (c a)图形d Lr彳 1\ /产A尸 X) qIt-7广标准方程22二上1a 2b 222工上1a 2b 2范围 x a 或 x a , y Rx R , y a 或 y a实轴长 2a虚轴长 2b焦点、焦距(c,0)、2c (0, c)、2c 顶点 (a,0)(0, a ) 渐近线 b y -x aa y bx离心率 c / e 一( e 1) a准线 2a x — c2a yc焦半径|MF j ex o a ,|MF 2ex o aIMF 1I ey o a,IMF 2I 1 e y o a|MF 1F 2面积公式 S MF 1F 2b 2---- (其中'MF ?)tan —2通径的长2b 2 a小秘密焦点到渐近线的距离为b ；2........................... ab 双曲线上的点到两渐近线的距离之积为 £b注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式： (和韦达定理结合使用)(其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数) 3.抛物线AB J i k 2 1 x 2J i k 2 V (x T x 2)2 4x 1x 2AB j k12 |y i y 21,1 k12_y2T_4yy快速公式:快速公式:AB 1 k 2 A定义 标准 方程 图形 动点P 到定点F 的距离等于到定直线l 的距离 即：PF2py(p 0)2 py (p 0)Fy 轴x 轴|PP| , ( F 至以的距离为p)y o y ox ox o2y 2px (p o) 2y 2px (p o)范围 对称轴 住日八'、八\、 准线 准线 方程 p (2，。
高考数学公式理科总结
高考数学公式理科总结高考数学公式理科总结数学作为高考的一门科目，深受大多数理科生的青睐。
因为无论是数学的思维锻炼还是需要掌握的数学公式，都是高考备考不可或缺的一部分。
今天，我们就来总结一下理科数学中常用的数学公式及其应用。
一、代数部分1.一元二次方程公式：ax²+bx+c=0，求根公式为x=（-b±√b²-4ac）/2a。
应用：用于求解一元二次方程，例如求解公路修建所需要的材料和成本等。
2.等比数列公式：an=a1q^(n-1)（其中a1为首项，q为公比，an为第n项）。
应用：用于解决各种与成长或增长相关的问题，如人口增长、利润的增长等。
3.排列组合公式：排列公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
应用：用于处理不同的复杂问题，例如排列组合问题、选择问题、不重复随机抽样问题等。
二、几何部分1.三角函数公式：sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。
应用：用于三角函数问题，例如角度求解、三角函数值等。
2.圆公式：圆的面积公式为A=πr²，圆的周长公式为C=2πr。
应用：用于解决圆形问题，例如圆周运动、圆的切线、圆的切点等。
3.立体几何公式：三棱锥表面积公式为S=ab+a√(a²+b²+c²-2abcosA)，三棱锥体积公式为V=1/3abh。
应用：用于解决空间几何问题，例如三棱锥表面积和体积的计算等。
三、概率统计部分1.样本调查公式：样本调查中常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差、相关系数、回归方程等。
应用：用于处理随机事件、样本调查、统计数据等问题。
2.基本概率公式：P(A)=m/n，其中m表示事件A的样本点个数，n表示整个样本点个数。
应用：用于基本的统计概率问题，例如计算事件发生的概率等。
3.正态分布公式：正态分布的概率密度函数为f(x)=1/σ√2πexp(-(x-μ)²/(2σ²))。
高中数学三角函数公式集锦(完整版)(理科生必备)
三角函数的补充（完整版）（理科生必备）第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sin α)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cos α)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tan γ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sin α)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cos α)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tan γ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2JB。
高中理科数学公式大全(完整版)
高中理科数学公式大全(完整版)l高中数学公式大全（最新整理版）§01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B=⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I .5．集合12{,,,}n a a a L 子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f为减函数.12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．14.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.25．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s,s()2(1)sin,nnconcoαπαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩38.和角与差角公式sin()sin cos cos sinαβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sinαβαβαβ±=m;tan tantan()1tan tanαβαβαβ±±=m.22sin()sin()sin sinαβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sinαβαβαβ+-=-.sin cosa bαα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b的象限决定,tanbaϕ= ).39.二倍角公式sin2sin cosααα=.2222cos2cos sin2cos112sinααααα=-=-=-.22tantan21tanααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y xωϕ=+，x∈R及函数cos()y xωϕ=+，x∈R(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期2Tπω=；函数tan()y xωϕ=+，,2x k k Zππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期Tπω=.41.正弦定理2sin sin sina b cRA B C===.42.余弦定理2222cosa b c bc A=+-;2222cosb c a ca B=+-;2222cosc a b ab C=+-.43.面积定理（1）111222a b cS ah bh ch===（a b ch h h、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sin sin sin222S ab C bc A ca B===.(3)OABS∆=44.三角形内角和定理在△ABC中，有()A B C C A Bππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A Bπ⇔=-+.45.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.46.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a（交换律）;(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;(3)（a+b）·c= a·c +b·c.47.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．48．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y,b=22(,)x y，且b≠0，则a P b(b≠0)12210x y x y⇔-=.49. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．50. a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a+b=1212(,)x x y y++.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a-b=1212(,)x x y y--.(3)设A11(,)x y，B22(,)x y,则2121(,)AB OB OA x x y y=-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a=(,),x y Rλ∈，则λa=(,)x yλλ.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a·b=1212()x x y y+.52.两向量的夹角公式cosθ=(a=11(,)x y,b=22(,)x y).53.平面两点间的距离公式,A Bd=||AB=u u u r=11(,)x y，B22(,)x y).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y,b=22(,)x y，且b≠0，则A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. 56.三角形重心坐标公式△ABC 三个顶点坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP u u u r的坐标为(,)h k .58.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .（5）O 为ABC ∆的A ∠旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r.§06. 不 等 式60.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.66.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B Cl l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：Ax By +).72. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±. §08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.80．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线切点弦方程是 00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =o o .86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.91.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 94．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r . ||AB CD ⇔AB u u u r 、CD u u u r共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =u u u r u u u r 且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r .103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD u u u r 与AB u u u r 、AC u u u r共面⇔AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r（O ∉平面ABC ）.104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .105.向量直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 106.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---.107．空间线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则 a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d=||AB =u u u r=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA uu u r ，向量b=PQ u u u r).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=u u u r u u r r (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=u u u r u u r r （n r 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.113.异面直线上两点距离公式d =.d =d =（'E AAF ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为aa ,外. 116．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L . 118.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯L . 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L . 121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).122.组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ;(2) mn C +1-m n C =mn C 1+.注:规定10=nC . 123.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r nr r r r r rCC CC C Λ.(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理n n n rrn r nn nn nnnnb C b aC b aC b aC a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()mP A n=. 126.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．127.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．128.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=L ; （2）121P P ++=L . 132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L133.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2qD pξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-. 138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程$y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 . （3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限（1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.146.两个重要的极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u xy y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）158.复数z a bi =+的模（或绝对值） ||z =||a bi +159.复数四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.162.向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r，则12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ⇔12z z ⋅的实部为零⇔21zz 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
高中数学公式大全（理科）
高中数学（理科）常用公式及常用结论1.1. 元素与集合的关系元素与集合的关系U x A x C A ÎÛÏ,U x C A x A ÎÛÏ.2.2. 德摩根公式德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.3. 包含关系包含关系A B A A B B =Û= U U A B C B C A ÛÍÛÍU A C B Û=F U C A B R Û=4.4. 容斥原理容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5.5. 集合12{,,,}na a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个. 6.6. 二次函数的解析式的三种形式① 一般式2()(0)f x ax bx c a =++¹;② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+¹; ③ 零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--¹.7.7. 解连不等式()N f x M<<常有以下转化形式：常有以下转化形式：()N f x M <<Û[()][()]0f x M f x N --<Û|()|22MNMNf x +--<Û()0()f x NM f x ->-Û11()f x N M N>--.8.8. 方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根上有且只有一个实根,,与0)()(21<k f k f 不等价不等价,,前者是后者的一个必要而不是充分条件一个必要而不是充分条件..特别地特别地, , , 方程方程)0(02¹=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k a bk k <-<+.9.9. 闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()(2¹++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： ① 当a>0时，若[]q p a b x ,2Î-=，则{}min max max()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=； []q p ab x,2Ï-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.② 当a<0时，若[]q p abx ,2Î-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p ab x ,2Ï-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.10. 一元二次方程的实根分布一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个内至少有一个实根实根 . . .设设qpx x x f ++=2)(，则，则 ① 方程0)(=x f 在区间),(+¥m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ì-³ïí->ïî； ② 方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >ì>ïïí-³ïï<-<ïî或()0()0f m af n =ìí>î或()0()0f n af m =ìí>î；③ 方程0)(=x f 在区间(,)n -¥内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ì-³ïí-<ïî . 11.11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据① 在给定区间),(+¥-¥的子区间L （形如[]ba ,，(]b,¥-，[)+¥,a 不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ³(t 为参数为参数))恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ³Ï.② 在给定区间),(+¥-¥的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ³(t 为参数为参数))恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L £Ï.③0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ³ìï³íï>î或2040a b ac <ìí-<î.12.12. 真值表真值表ｐｑ非ｐ非ｐｐ或ｑｐ或ｑｐ且ｑｐ且ｑ真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假假真假假13.13. 常见结论的否定形式常见结论的否定形式原结论原结论反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是 不是不是 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 都是都是 不都是不都是 至多有一个至多有一个 至少有两个至少有两个 大于大于 不大于不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个）个 小于小于 不小于不小于至多有n 个至少有（1n +）个）个对所有x ，成立，成立 存在某x ，不成立，不成立 p 或q p Ø且q Ø 对任何x ，不成立，不成立存在某x ，成立，成立p 且qp Ø或q Ø14.14. 四种命题的相互关系四种命题的相互关系原命题原命题互逆互逆 逆命题逆命题 若ｐ则ｑ若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ若ｑ则ｐ 互互 互互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否否否命题否命题 逆否命题逆否命题逆否命题 若非ｐ则非ｑ若非ｐ则非ｑ 互逆互逆 若非ｑ则非ｐ若非ｑ则非ｐ若非ｑ则非ｐ15.15. 充要条件充要条件① 充分条件：若p q Þ，则p 是q 充分条件充分条件. .② 必要条件：若q p Þ，则p 是q 必要条件必要条件.. ③ 充要条件：若p q Þ，且q p Þ，则p 是q 充要条件充要条件. .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.16. 函数的单调性函数的单调性① 设[]2121,,x x b a x x ¹Î×那么那么[]1212()()()0x x f x f x -->Û[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在Û>--上是上是增函数；增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<Û[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在Û<--上是上是减函数减函数. . ② 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>¢x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<¢x f ，则)(x f 为减函数为减函数. .17.17. 如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数都是减函数,,则在公共定义域内则在公共定义域内,,和函数)()(x g x f +也是减函数也是减函数; ; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数是增函数. .18.18. 奇偶函数的图象特征奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称轴对称;;反过来，如果反过来，如果 一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.19. 若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.20. 对于函数)(x f y =(R x Î),)()(x b f a x f -=+恒成立恒成立,,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称对称. . 21.21. 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数的周期函数. .22.22. 多项式函数110()nn n n P x a xa xa --=+++ 的奇偶性的奇偶性① 多项式函数()P x 是奇函数Û()P x 的偶次项的偶次项((即奇数项即奇数项))的系数全为零的系数全为零. . ② 多项式函数()P x 是偶函数Û()P x 的奇次项的奇次项((即偶数项即偶数项))的系数全为零的系数全为零. .23.23. 函数()y f x =的图象的对称性的图象的对称性① 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x Û+=-(2)()f a x f x Û-=.② 函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx Û+=-()()f a b mx f mx Û+-=.24.24. 两个函数图象的对称性两个函数图象的对称性① 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称对称. . ② 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称对称. .③ 函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称对称. .25.25. 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象的图象. .26.26. 互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =Û=-)()(1.27.27. 若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数的反函数. . 28.28. 几个常见的函数方程几个常见的函数方程① 正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.② 指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==¹.③ 对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>¹.④ 幂函数()f x xa=,'()()(),(1)f xy f x f y f a ==.⑤ 余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x®==.29.29. 几个函数方程的周期几个函数方程的周期((约定a>0)①)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a T=a；； ②0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(¹=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ¹, 或[]21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x +-=+Î,则)(x f 的周期T=2a T=2a；；③)0)(()(11)(¹+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a T=3a；；④)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =×¹<-<，则)(x f 的周期T=4a T=4a；；⑤()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a T=5a；； ⑥)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.30. 分数指数幂分数指数幂①1m nn m a a =（0,,a m n N *>Î，且1n>）.②1m nm naa-=（0,,a m n N *>Î，且1n>）.31.31. 根式的性质①()n n a a =.② 当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，,0||,0n na a a a a a ³ì==í-<î. 32.32. 有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质① (0,,)rsr sa a a a r s Q +×=>Î.② ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>Î. ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>Î.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. .33.33. 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式log b a N b a N =Û=(0,1,0)a a N >¹>.34.34. 对数的换底公式对数的换底公式log log log m a m NN a =(0a>,且1a ¹,0m >,且1m ¹,0N >).推论：log log mna a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ¹,1n ¹,0N >).35.35. 对数的四则运算法则对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则，则 ①log ()log log a a aMN M N =+;② log log log a a a MM N N =-;③log log ()n a a M n M n R =Î.36.36. 设函数)0)((log )(2¹++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=D .若)(x f 的定义域为R ,则0>a，且0<D ;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0³D .对于0=a 的情形的情形,,需要单独检验独检验. .37.37. 对数换底不等式及其推广 若0a>,0b >,0x >,1x a ¹,则函数log ()ax y bx =① 当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+¥上log ()axy bx =为增函数为增函数.. ② 当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +¥上log ()ax y bx =为减函数为减函数. . 推论推论::设1n m >>，0p >，0a >，且1a ¹，则，则①log()log m pmn p n ++<.②2log log log 2a a am n m n +<.38.38. 平均增长率的问题平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=ì=í-³î( ( 数列数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).40.40. 等差数列的通项公式：*11(1)()na a n d dn a d n N =+-=+-Î；其前n 项和公式为：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.41. 等比数列的通项公式：1*11()n nn a a a q q n N q-==×Î；其前n 项的和公式为：11(1),11,1nn a q q s qna q ì-¹ï=-íï=î 或11,11,1n n a a q qq s na q -ì¹ï-=íï=î. 42.42. 等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=¹的通项公式为的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=ìï=+--í¹ï-î；其前n 项和公式为项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d b n q q q q +-=ìï=-í-+¹ï---î. 43.43. 分期付款分期付款((按揭贷款按揭贷款) )每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清次还清,,每期利率为b ). 44.44. 常见三角不等式常见三角不等式① 若(0,)2x pÎ，则sin tan x x x <<.② 若(0,)2x p Î，则1sin cos 2x x <+£.③|sin ||cos |1x x +³.45.45. 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式22sin cos 1q q +=，tan q =qqcos sin ，tan 1cot q q ×=.46.46. 正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co a pa a -ì-ï+=íï-î(n 为偶数为偶数) )(n 为奇数为奇数) )212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co a p a a +ì-ï+=íï-î47.47. 和角与差角公式和角与差角公式 sin()sin cos cos sin ab a b a b ±=±;cos()cos cos sin sin a b a b a b ±= ;tan tan tan()1tan tan a b a b a b±±= .22sin()sin()sin sin a b a b a b +-=-(平方正弦公式平方正弦公式); );22cos()cos()cos sin a b a b a b +-=-. sin cos a b a a +=22sin()a b a j ++(辅助角j所在象限由点(,)a b 的象限的象限决定决定,,tan baj= ). 48.48. 二倍角公式二倍角公式sin 22sin cos a a a =. .2222cos 2cos sin 2cos 112sin a a a a a =-=-=-.22tan tan 21tan aa a=-.49.49. 三角函数的周期公式三角函数的周期公式函数sin()y x w j =+，x ∈R 及函数cos()y x w j =+，x ∈R(A,ω,j为常数，为常数，且A ≠0，ω＞0)0)的周期的周期2Tp w=；函数tan()y x w j =+，,2x k kZ pp ¹+Î(A,ω,j 为常数，且A ≠0，ω＞0)0)的周期的周期T pw=.50.50. 正弦定理正弦定理2sin sin sin a b c R ABC===.51.51. 余弦定理余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.52.52. 面积定理面积定理① 111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）边上的高）. . ② 111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. ③221(||||)()2OAB S OA OB OA OB D =×-× .53.53. 三角形内角和定理 在△在△ABC ABC 中，有()A B C C A B p p ++=Û=-+222C A B p +Û=-222()C A B p Û=-+.54.54. 简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a p =Û=+-Σ. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a p =Û=±Î£.tan arctan (,)x a x k a k Z a R p =Þ=+ÎÎ.特别地特别地,,有sin sin (1)()k k k Z a b a p b =Û=+-Î.s cos 2()co k k Z ab a p b =Û=±Î.tan tan ()k k Z a b a p b =Þ=+Î.55.55. 最简单的三角不等式及其解集 sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Zp p p >£ÛÎ++-Î.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z p p p <£ÛÎ--+Î. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z p p >£ÛÎ-+Î. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z p p p <£ÛÎ++-Î. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z pp p >ÎÞÎ++Î.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z pp p <ÎÞÎ-+Î.56.56. 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么为实数，那么① 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; ② 第一分配律：第一分配律：((λ+μ)a =λa +μa; ③ 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 57.57. 向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律：① a ·b= b ·a （交换律）（交换律）; ;② （l a ）·b= l （a ·b ）=l a ·b = a ·（l b ）; ③ （a +b ）·c= a ·c +b ·c. 58.58. 平面向量基本定理平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 59.59. 向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ¹0，则a b(b ¹0)12210x y x y Û-=.60.60. a 与b 的数量积的数量积((或内积或内积))a ·b =|a ||b |cos θ． 61.61. a ·b 的几何意义的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度的长度||a |与b 在a 的方向上的投影的方向上的投影||b |cos θ的乘积．的乘积． 62.62. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算① 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. ② 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.③设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.④ 设a =(,),x y R l Î，则l a=(,)x y l l . ⑤ 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.63. 两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x yq +=+×+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.64. 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =× 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.65. 向量的平行与垂直向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ¹0， 则A ||bÛb =λa12210x y x y Û-=.a ^b(a ¹0)Ûa ·b=012120x x y y Û+=.66.66. 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△则△ABC ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.67.67. 点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k ìì=+=-ïïÛíí=+=-ïïîî''OP OP PP Û=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x P(x，，y)y)在平移后图形在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y，且'PP的坐标为(,)h k .68.68. “按向量平移”的几个结论① 点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. ② 函数()y f x =的图象C按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.③ 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C的函数解析式为()y f x h k =+-.④ 曲线C:(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C,则'C的方程为(,)0f x h y k --=.⑤ 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .69.69. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC D 所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则，则① O 为ABC D 的外心222OA OB OC Û== . ② O 为ABC D 的重心0OAOB OC Û++= . ③ O 为ABC D 的垂心OA OB OB OC OC OA Û×=×=×. ④ O 为ABC D 的内心0aOA bOB cOC Û++=. ⑤O 为ABC D 的A Ð的旁心aOA bOB cOC Û=+.70.70. 常用不等式：常用不等式：① ,a b R ÎÞ222a b ab +³(当且仅当a ＝b 时取“=”号时取“=”号))． ②,a b R +ÎÞ2a bab +³(当且仅当a ＝b 时取“=”号时取“=”号))．③3333(0,0,0).a b c abc a b c ++³>>>④ 柯西不等式柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++³+Î⑤b a b a b a +£+£-.71.71. 基本不等式基本不等式已知y x ,都是正数，则有都是正数，则有① 若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；② 若和y x+是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .推广：推广： 已知R y x Î,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+① 若积xy 是定值是定值,,则当||y x -最大时最大时,,||y x +最大；最大；当||y x -最小时最小时,,||y x +最小最小. . ② 若和||y x +是定值是定值,,则当||y x -最大时最大时, , ||xy 最小；最小；当||y x -最小时最小时, , ||xy 最大最大. .72.72. 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ¹D =->，如果a与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. .121212()()0()x x x x x x x x x <<Û--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>Û--><或.73.73. 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当a> 0时，有时，有22x a x a a x a <Û<Û-<<.22x a x a x a >Û>Û>或x a <-.74.74. 无理不等式无理不等式①()0()()()0()()f x f xg x g x f x g x ³ìï>Û³íï>î .②2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ³ì³ìï>Û³íí<îï>î或. ③2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ³ìï<Û>íï<î. 75.75. 指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式① 当1a>时,()()()()f x g x aaf xg x >Û>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >ìï>Û>íï>î.② 当01a <<时,()()()()f x g x aaf xg x >Û<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >ìï>Û>íï<î76.76. 斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.77.77. 直线的五种方程直线的五种方程① 点斜式点斜式 11()y y k x x -=- ( (直线直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．② 斜截式斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距轴上的截距). ).③ 两点式两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ¹)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ¹)).④ 截距式截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ¹、) ⑤ 一般式一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).78.78. 两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直① 若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+i.i. 121212||,l l k k b b Û=¹;ii.ii.12121l l k k ^Û=-.② 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零都不为零,, i.i.11112222||A B C l l A B C Û=¹；ii.ii.1212120l l A A B B ^Û+=；79.79. 四种常用直线系方程四种常用直线系方程① 定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),),其中其中k 是待定的系数是待定的系数; ; ; 经过定点经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．是待定的系数．② 共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C l +++++=(除2l)，其中λ是待定的系数．是待定的系数．③ 平行直线系方程：平行直线系方程：直线直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，变动时，表示平行直线系方程．表示平行直线系方程．表示平行直线系方程．与与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By l ++=(0l ¹)，λ是参变量．④ 垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay l -+=,λ是参变量．是参变量．80.80. 点到直线的距离点到直线的距离0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).81.81.0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：所表示的平面区域是：① 若B ¹，当B与Ax By C++同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域的下方的区域..简言之简言之,,同号在上同号在上,,异号在下异号在下. .② 若B =，当A与Ax By C++同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域的左方的区域. . . 简言之简言之简言之,,同号在右同号在右,,异号在左异号在左..82.82. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ¹），则，则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分. .83.83. 圆的四种方程圆的四种方程① 圆的标准方程 222()()x a y b r-+-=.② 圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).③圆的参数方程圆的参数方程 cos sin x a r y b r qq =+ìí=+î. ④ 圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).84.84. 圆系方程圆系方程① 过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x l --+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c l Û--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程的方程,,λ是待定的系数．是待定的系数．② 过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是222()0xy Dx Ey F Ax By C l +++++++=,λ是待定的系数．是待定的系数．③ 过圆1C :2221110x y D x E y F ++++=与圆与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F l +++++++++=,λ是待定的系数．是待定的系数．85.85. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(rb y a x =-+-的位置关系有三种的位置关系有三种若2200()()da xb y =-+-，则，则① d r >Û点P 在圆外在圆外; ; ②d r =Û点P 在圆上在圆上; ;③d r <Û点P 在圆内在圆内. .86.86. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种的位置关系有三种:: ① 0<D ÛÛ>相离r d ; ② 0=D ÛÛ=相切r d ; ③0>D ÛÛ<相交r d . 其中22BA C Bb Aa d+++=.87.87. 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 22，dO O =21条公切线外离421ÛÛ+>r r d ;条公切线外切321ÛÛ+=r r d ;条公切线相交22121ÛÛ+<<-r r d r r ; 条公切线内切121ÛÛ-=r r d ; 无公切线内含ÛÛ-<<210r r d . 88.88. 圆的切线方程圆的切线方程① 已知圆220xy Dx Ey F ++++=．i.i.若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是00()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时圆外时, ,0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点表示过两个切点的切点弦方程．的切点弦方程． ii.ii.过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．轴的切线．iii.iii.斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．切线．② 已知圆222xy r+=．i.i.过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;ii.ii.斜率为k 的圆的切线方程为21y kx r k=±+.89.89. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b q q =ìí=î.90.90. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=.91.91. 椭圆的的内外部椭圆的的内外部①点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b Û+<.②点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b Û+>.92.92. 椭圆的切线方程椭圆的切线方程①椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.② 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. ③ 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.93.93. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.94.94. 双曲线的内外部双曲线的内外部①点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a bÛ->.②点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a bÛ-<.95.95. 双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为12222=-b y a x Þ渐近线方程：22220x y a b -=Ûx a b y ±=.② 若渐近线方程为x a by ±=Û0=±b y a x Þ双曲线可设为l =-2222by a x . ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为l =-2222b y a x （0>l ，焦点在x 轴上，0<l，焦点在y 轴上）轴上）.. 96.96. 双曲线的切线方程双曲线的切线方程① 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.② 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. ③ 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是22222A aB b c-=.97.97. 抛物线22y px =的焦半径公式的焦半径公式① 焦点为焦点为((2p ,0),0)；抛物线；抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.②过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122.98.98. 抛物线px y 22=上的动点可设为P),2(2 y py 或或)2,2(2ptpt P P (,)x y ，其中 22y px=.99.99. 抛物线的内外部抛物线的内外部① 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p Û<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p Û>>.② 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p Û<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p Û>->.③ 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p Û<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p Û>>. ④ 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p =>的内部22(0)x py p Û<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p =->的外部22(0)x py p Û>->.100.100. 抛物线的切线方程① 抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.② 过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.③ 抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.101.101. 两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程① 过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y l +=(l 为参数为参数). ).② 共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k +=--,其中22max{,}ka b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆表示椭圆;; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线表示双曲线. .102.102. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()AB x x y y =-+-或2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co a a=+-=-+=-+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程îíì=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到得到 02=++c bx ax ，0D >,a 为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）为直线的斜率）. .103.103. 圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题① 曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.② 曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A BA B++++--=++.104.104. “四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x，用0y y 代2y，用002x y xy +代xy ，用02x x+代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y y Ax x B Cy y D E F ++++×++×+×+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 105.105. 证明直线与直线的平行的思考途径① 转化为判定共面二直线无交点； ② 转化为二直线同与第三条直线平行； ③ 转化为线面平行；转化为线面平行； ④ 转化为线面垂直；转化为线面垂直； ⑤ 转化为面面平行转化为面面平行. .106.106. 证明直线与平面的平行的思考途径① 转化为直线与平面无公共点； ② 转化为线线平行；转化为线线平行； ③ 转化为面面平行转化为面面平行. .107.107. 证明平面与平面平行的思考途径① 转化为判定二平面无公共点； ② 转化为线面平行；转化为线面平行； ③ 转化为线面垂直转化为线面垂直. .108.108. 证明直线与直线的垂直的思考途径① 转化为相交垂直；转化为相交垂直； ② 转化为线面垂直；转化为线面垂直；③ 转化为线与另一线的射影垂直； ④ 转化为线与形成射影的斜线垂直转化为线与形成射影的斜线垂直. . 109.109. 证明直线与平面垂直的思考途径① 转化为该直线与平面内任一直线垂直； ② 转化为该直线与平面内相交二直线垂直； ③ 转化为该直线与平面的一条垂线平行； ④ 转化为该直线垂直于另一个平行平面； ⑤ 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. . 110.110. 证明平面与平面的垂直的思考途径① 转化为判断二面角是直二面角； ② 转化为线面垂直转化为线面垂直. .111.111. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律① 加法交换律：a ＋b =b ＋a ．② 加法结合律：加法结合律：((a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． ③ 数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 112.112. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. . 113.113. 共线向量定理共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ) )，，a ∥b Û存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线Û||AP AB ÛAP t AB = Û(1)OP t OA tOB =-+ . ||AB CD ÛAB 、CD共线且AB CD 、不共线ÛAB tCD = 且AB CD 、不共线不共线. .114.114. 平面向共面量定理平面向共面量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的Û存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的Û存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ， 使OP OM xMA yMB =++ .115.115. 对空间任一点O和不共线的三点A 、B 、C ，满足O P x O A y O B z O =++（x y z k ++=），则，则① 当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；四点共面； ② 当1k¹时，若O Î平面ABC ABC，则，则P 、A 、B 、C 四点共面；四点共面； ③ 若O Ï平面ABC ABC，则，则P 、A 、B 、C 四点不共面．四点不共面． ④ C A B 、、、D 四点共面ÛAD 与AB 、AC 共面共面ÛAD xAB yAC =+ Û(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O Ï平面ABC ABC））.116.116. 空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一，存在一个唯一 的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++ .117.117. 射影公式射影公式已知向量AB=a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e118.118. 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 ① a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ② a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；③ λa ＝123(,,)a a a l l l (λ∈R)R)；； ④ a ·b ＝112233a b a b a b ++；119.119. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则：，则：AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.120.120. 空间的线线平行或垂直空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则，则a b r r P Û(0)a b b l =¹r r r rÛ121212x x y y z zl l l =ìï=íï=î；a b ^r r Û0a b ×=r rÛ1212120x x y y z z ++=.121.121. 夹角公式夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则，则cos cos〈〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b a a a b b b ++++++.推论：2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++£++++，此即三维柯西不等式此即三维柯西不等式. .122.122. 四面体的对棱所成的角四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为q,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BD q +-+=×.123.123. 异面直线所成角异面直线所成角。
高考数学公式总结归纳
高考数学公式总结归纳高中数学理科是10本书，文科是9本书，数学公式非常多，如果基础知识不扎实，平时做题查阅公式就要浪费很多时间。
接下来是小编为大家整理的高考数学公式总结归纳，希望大家喜欢!高考数学公式总结归纳一圆的公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f>0】椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。
高考数学公式总结归纳二乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b||a|+|b||a-b||a|+|b||a|b=-bab|a-b||a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1_2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)=((1-cosa)/2)sin(a/2)=-((1-cosa)/2)cos(a/2)=((1+cosa)/2)cos(a/2)=-((1+cosa)/2)tan(a/2)=((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-((1+cosa)/((1-cosa)) 和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13 +15++(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62 +72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/41_+2_+3_+4_+5_+6 _++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：角b是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a，b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0注：d2+e2-4f0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p_2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积s=c_斜棱柱侧面积s=c_正棱锥侧面积s=1/2c_正棱台侧面积s=1/2(c+c)h圆台侧面积s=1/2(c+c)l=pi(r+r)l球的表面积s=4pi_2圆柱侧面积s=c_=2pi_圆锥侧面积s=1/2__=pi__弧长公式l=a_a是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2__锥体体积公式v=1/3__圆锥体体积公式v=1/3_i_2h斜棱柱体积v=sl注：其中，s是直截面面积，l是侧棱长柱体体积公式v=s_圆柱体v=pi_2h高考数学公式总结归纳三抛物线公式y = ax^2+bx+c 就是y等于ax的平方加上ba > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py面积公式圆的体积公式 4/3(pi)(r^3)圆的面积公式 (pi)(r^2)圆的周长公式 2(pi)r正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c_ 斜棱柱侧面积 S=c'_正棱锥侧面积 S=1/2c_' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi_2圆柱侧面积 S=c_=2pi_ 圆锥侧面积 S=1/2__=pi__弧长公式 l=a_ a是圆心角的弧度数r>0 扇形面积公式 s=1/2__ 锥体体积公式 V=1/3__ 圆锥体体积公式V=1/3_i_2h斜棱柱体积 V=S'L 注:其中S'是直截面面积L是侧棱长柱体体积公式 V=s_ 圆柱体V=pi_2h高考数学公式总结归纳四高中数学公式顺口溜一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
高中文理科数学公式及知识点汇总
高中文理科数学公式及知识点汇总一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠.6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量8、同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。
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快速公式： AB 1k2 A
AB
1
1 k2
y1 y2
1
1 k2
( y1 y2 )2 4y1y2
快速公式： AB
1
1 k2
A
（其中 A 是指消去 y 或 x 后得到一元二次方程中的二次项系数）
3．抛物线 定义
动点 P 到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离 即： PF PP ，（ F 到 l 的距离为 p ）
二、圆锥曲线
1．椭圆
动点 M 到两定点 F1, F2 的距离之和为 2a （ F1F2 2a ），
定义
即： MF1 MF2 2a ，（ c a ）
图形
标准方程 范围 长轴长 短轴长
焦点、焦距 顶点
离心率
准线
焦半径
MF1F2
面积公式
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
a x a ， b y b
高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）
一、常用逻辑用语
1．四种命题：（1）原命题：若 p 则 q （3）否命题：若 p 则 q
（2）逆命题： 若 q 则 p （4）逆否命题：若 q 则 p
（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假）
2．如果 p q ，那么 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 注意：（1）小范围 大范围，大范围 小范围，
标准 方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
图形
范围 对称轴
x0
x0 x轴
y0
y0
y轴
焦点
( p , 0)
准线
2
准线
x p
方程
2
( p , 0) 2
x p 2
(0, p ) 2
y p 2
(0, p) 2
y p 2
f (x0 )
.
瞬时速度 v s(t) . 瞬时加速度 a v(t) .（注意这个物理意义）
2. 函 数 y f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y f (x) 在 P(x0, f (x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 f (x0 ) ，相应的切线方程是 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .
离心率
e 1
焦半径
焦点弦 公式
PF
p 2
x0
AB p (x1 x2 )
PF
p 2
x0
AB p (x1 x2 )
PF
p 2
y0
AB p (y1 y2 )
PF
p 2
y0
AB p (y1 y2 )
焦点弦 的秘密
三个圆：以 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF 、 BF 为直径的圆都与坐标轴相切. 角平分线：设 M 为准线与坐标轴的交点，则 x 轴（或 y 轴）是 AMB 的角平分线
SMF1F2
b2
tan
2
（其中
F1MF2 ）
1
通径的长 2．双曲线
定义
2b2 a
动点 M 到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值为 2a （ F1F2 2a ） 即： MF1 MF2 2a （ c a ）
图形
标准方程
范围 实轴长 虚轴长 焦点、焦距
x2 a2
y2 b2
1
x a 或 x a ， y R
3. 几种常见函数的导数
（1）C 0（ C 为常数）.（2）(xn ) nxn1 .（3）(sin x) cos x .（4）(cos x) sin x .
3
（5） (ln x)
1 x
； (loga
x)
1 x ln a
.
（6） (ex ) ex ； (ax ) ax ln a .
最好记住这三条常用的公式：
2a 2b
(c, 0) 、 2c
y2 a2
x2 b2
1
x R ， y a 或 y a
(0, c) 、 2c
顶点 渐近线 离心率 准线 焦半径
MF1F2
面积公式 通径的长
小秘密
(a, 0)
(0, a)
ybx a
x a2 c
e c （e 1） a
yax b
y a2 c
MF1 ex0 a ， MF2 ex0 a
f (x)g(x) f (x)g(x) [ g ( x)] 2
5. 复合函数的求导法则：若 y f (u), u g(x) ，则 yx f (u)g(x) 6. 函数的单调性：设函数 y f (x) 在某个区间 (a, b) 可导，若 f (x) 0 ，则 y f (x) 在
AF
p 1 cos
， BF
p 1 cos
， AB
2p sin2
，SAOB
p2 2sin
，
1 AF
1 BF
2 p
（其中 为直线 AB 的倾斜角）
三、导数及其应用
1.
概念： f (x) 在 x0 处的导数（或变化率或微商） f (x0 )
y
x x0
lim y x0 x
lim x0
f (x0 x) x
（2）“ p 的充分不必要条件是 q ” “ q 是 p 的充分不必要条件” “q p， p q”
3．复合命题 p q 、 p q 、 p 的真假性（ p 即命题的否定）： （1）当 p 和 q 为一真一假时， p q 为假， p q 为真； （2） p 和 p 的真假性相反
4．全称命题与特称命题. 若 p ： x M , q ( x ) 成立，则 p ： x0 M ,q(x0 ) 成立
y2 a2
x2 b2
1 (a
b
0)
b x b ， a y a
2a 2b (c, 0) 、 2c
(0, c) 、 2c
(a, 0) ， (0, b)
(b, 0) ， (0, a)
x a2 c
e c （0 e 1） a
y a2 c
பைடு நூலகம்
MF1 a ex0 ， MF2 a ex0
MF1 a ey0 ， MF2 a ey0
(
1 x
)
1 x2
( x) 1 2x
(x ln x) 1 ln x
4. 导数的运算法则：（1）[Cf (x)] Cf (x)
（2）[ f (x) g(x)] f (x) g (x)
（3）[ f (x) g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
（4）[ f (x)] g(x)
MF1 ey0 a ， MF2 ey0 a
S MF1F2
b2
（其中
F1MF2 ）
tan
2
2b2
a
焦点到渐近线的距离为
b
；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为
ab c
2
注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用）
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2)2 4x1x2