中考数学二轮复习专题10《等腰三角形探究问题》精练解析卷
人教版九年级数学中考等腰三角形专项练习及参考答案
1
1
2
∴BE=2BD,即 BE=3BC,CE=3BC,
√3
2
∵EF=EC·sin60°=3BC· 2 =
△
∴
△
2
)
=(
√3
2
√3
BC,
3
1
=( ) = .
3
3
8
三、解答题
5.
7
如图,等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别同时从点 A,B,C 出发,以相同的速度在 AB,BC,CA 上运动,连
接 DE,EF,DF.
(1)证明:△DEF 是等边三角形;
△
(2)在运动过程中,当△CEF 是直角三角形时,试求
的值.
△
(1)证明∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA,
①若腰为 2,底为 4,此时不能构成三角形,舍去,
②若腰为 4,底为 2,则周长为 4+4+2=10.故选 B.
2.(2018 山东淄博)如图,在 Rt△ABC 中,CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N,
且 MN 平分∠AMC,若 AN=1,则 BC 的长为(
A.4
B.6
C.4√3
D.8
)
答案 B
解析 ∵在 Rt△ABC 中,CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分∠AMC,
∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
等腰三角形中考真题(含解析及答案)
等腰三角形要点一、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．40【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30.3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE,∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A等于（）A、30oB、40oC、45oD、36o【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o,则∠ABD=x o, ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o,在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o5、（2009·武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110 C．140°D．150°【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．32B．23C．12D．34ADCPB60°BCOAD【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ，又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ， 所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23. 7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm 答案：选C二、填空题8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=21∠DAC=21×80°=40°. 答案：40°.9.（2009·云南中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）【解析】由∠ACB =90°，DE ∥AC ，得∠EDC=90°，又M 为BE 的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD和△MDE 是等腰三角形，∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC,∴△EAD 是等腰三角形.答案：△MBD 或△MDE 或△EAD10.（2008·菏泽中考）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．【解析】∵正三角形ABC 和正三角形CDE∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE∴ΔACD ≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP ≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º∴PQ ∥AE,∵∠AOB=∠OEA ＋∠OAE=∠OEA ＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.故恒成立的有①②③⑤答案：①②③⑤11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。
2023年中考数学二轮复习之三角形(含解析)
2023年中考数学二轮复习之三角形一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）A．2B．3C．4D．53．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（ ）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（ ）A．55°B．50°C．80°D．20°5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（ ）A．12°B．14°C．16°D．24°6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE 7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 ．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 ．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 ．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有： （将正确结论的序号填在横线上）．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 ．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 ．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 ．（填写正确结论的序号）16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 ．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝ °；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 ．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．2023年中考数学二轮复习之三角形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】由∠A＝∠ACD﹣∠B，直接可得答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）A．2B．3C．4D．5【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝2，进一步可得BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，∴BE＝AE，∵AE＝2，∴BE＝2，∵EC＝1，∴BC＝BE+EC＝3．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（ ）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝BE＝8 cm，从而可得解．【解答】解：∵DE是AB垂直平分线，∴AE＝BE＝8（cm），∴EC＝AC﹣AE＝14﹣8＝6（cm），故答案为：B．【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（ ）A．55°B．50°C．80°D．20°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．【解答】解：当∠A为顶角，；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（ ）A．12°B．14°C．16°D．24°【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的外角性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠CDE，再根据题设条件得到2∠CDE＝∠BAD即可求解．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∵∠AED是△CDE的一个外角，∴∠AED＝∠C+∠CDE，∵∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠C+∠BAD＝∠C+∠CDE+∠CDE，∴2∠CDE＝∠BAD＝24°，∴．故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质、角的运算，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【考点】全等三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴，整理得，α＝2β．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】先根据勾股定理得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形CEPG 是平行四边形，再由S四边形ECGP＝S△DFP，可以得到．【解答】解：由题意得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，∴四边形CEPG是平行四边形，∴，∵S△ABC＝S△AFG+S四边形BFPE+S四边形ECGP，∴S四边形ECGP＝S△DFP，∴．故选：C．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质及以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够正确理解题意．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据勾股定理可求出AB＝10，由线段垂直平分线的性质可得∠ADE＝90°，AD ＝BD，再证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴由勾股定理得，∵DE垂直平分线段AB，∴∠ADE＝90°，AD＝BD＝5，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 24 ．【考点】角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质可得AD＝DE，根据△DBC的面积＝即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝4，∴＝＝24．故答案为：24．【点评】本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线，再借助角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 2π ．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．【解答】解：由题意，得，，∵AC2+BC2＝AB2，∴，故答案为：2π．【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有： ②④⑤ （将正确结论的序号填在横线上）．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；非负数的性质：偶次方；科学记数法—表示较小的数；零指数幂．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，即可一一判定．【解答】解：①有两条边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，故该说法错误；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故该说法正确；③a0＝1（a≠0），故该说法错误；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5，故该说法正确；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a＝（2a+1）2的值都一定为非负数，故该说法正确，故其中正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，熟练掌握和运用各运算的法则及各图形的性质是解决本题的关键．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 60°或23.79° ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】分AB＝AC，AC＝BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．【解答】解：如图，当AB＝AC时，∵O为BC的中点，∴AO⊥BC，∵OD∥AC，∠C＝30°，∴∠DOB＝∠C＝∠B＝30°，∴∠AOD＝∠OAC＝60°；如图，当AC＝BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，设OB＝a，∴BC＝AC＝2a，∵O是BC的中点，OD∥AC，∴D为AB的中点，∠DOB＝∠C＝30°，∴，∵OF⊥AB，∴，∵∠DOB＝30°，BE⊥OB，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴∠OAF≈51.21°，∴∠AOD＝90°﹣∠OAF﹣∠DOF≈23.79°，故答案为：60°或23.79°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想求解是解答本题的关键．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 10 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出△AEH≅△CEB，然后求解即可．【解答】解：∵AC＝AB，AD⊥BC，∴BD＝CD＝5，BC＝10，∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴AE＝EC，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BAD+∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠B在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≅△CEB（AAS），∴AH＝BC＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明△AEH≅△CEB（AAS）是解题的关键．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 ①②③ ．（填写正确结论的序号）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】①证明∠AEB＝∠AFE，即可得到AE＝AF；②先根据ASA证明△ABM≌△NBM，则可得AM＝MN．然后在Rt△ADN中，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”即可得到AM＝DM；③根据ASA证明△BDF≌△ADN，则可得DF＝DN；④根据已知条件可判断AF≠EC．【解答】解：①∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠AEB＝∠BFD，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF，∴①正确．②∵AE＝AF，M为EF的中点，∴AN⊥BE，∴∠BMA＝∠BMN＝90°，又∵BM＝BM，∠ABM＝∠NBM，∴△ABM≌△NBM（ASA），∴AM＝MN，∴M是AN中点，在Rt△ADN中DM是斜边AN的中线，∴，∴AM＝DM，∴②正确．③∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADN＝90°，∵△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，∴，∴∠ABC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠DBF+∠BNM＝90°，∠DAN+∠BNM＝90°，∴∠DBF＝∠DAN，在△BDF和△ADN中，，∴△BDF≌△ADN（ASA），∴DF＝DN，∴③正确．④BE平分∠ABC，但AE≠EC，∵AF＝AE，∴④不正确．综上，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题难度较大主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 4 ．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知，BC2+AC2＝40，BC⋅AC＝14，然后运用完全平方公式（a±b）2＝a2+b2±2ab求解即可．【解答】解：根据题意，，，，∴，在Rt△ABC中，根据勾股定理，BC2+AC2＝AB2，∴BC2+AC2＝40，∵S Rt△ABC＝7，∴•BC•AC＝7，∴BC•AC＝14，∴BC+AC＝＝＝＝2，BC﹣AC＝＝＝2，∴，即，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件： ∠A＝∠D（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加∠A＝∠D，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB，根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∵∠ACB＝3∠B，∴∠B＝30°，∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，∴∠DAE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝ 120 °；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．【考点】等腰三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理计算即可；（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE＝PG，PE＝PH，可得PH＝PG，再证明△PDG≌△PFH（AAS），即可证明结论；（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，则，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD＝BD，∠ANB＝∠BDC＝80°，BD＝BN，再根据AAS证明△APD≌△CBN即可证明结论．【解答】（1）解：∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴，，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝＝＝120°．故答案为：120；（2）证明：过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴PE＝PG，PE＝PH，∴PH＝PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴∠GPH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠GPH＝∠APB＝120°＝∠DPF，∴∠DPG＝∠FPH，在△PDG和△PFH中，，∴△PDG≌△PFH（AAS），∴PD＝PF；（3）证明：如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则，∵∠ABC＝80°，∠C＝60°，∴∠CAB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，，∴，∠CAB＝∠ABD＝40°，∴AD＝BD，∠BDC＝∠CAB+∠ABD＝80°，∴，∴∠ANB＝∠C+∠CBN＝60°+20°＝80°，∴∠ANB＝∠BDC＝80°，∴BD＝BN，∴AD＝BN，在△APD和△BCN中，，∴△APD≌△CBN（AAS），∴AP＝BC．．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 30° ．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，易知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由F是BC边的中点，可得BF＝FC，可证△BDF≌△CGF，可得BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，可知∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC ＝∠AED+∠CEF＝60°+α，由平角可得∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF），根据∠ADB ＝∠AEC，可得α＝30°，进而可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，易知△PMD≌△DNP，进而可得由（2）易证△ABD≌△ACE，，则AD＝CE＝BD＝AP，则，如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，可证△PMO为等边三角形，即可得∠A ＝30°，即得∠PAD＝30°，（另外一种方法：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ，可证△APQ是等边三角形，即可得∠PAM＝30°即得∠PAD＝30°）；变式：由等腰三角形的性质可知∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，由平角可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠CAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵F是BC边的中点，∴BF＝FC，在△BDF和△CGF中，∵BF＝FC，∠BFD＝∠CFG，DF＝FG∴△BDF≌△CGF（SAS），∴BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，∴∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC＝∠AED+∠CEF＝60°+α，∵E、D、F在一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，∵∠ADB＝∠AEC，∴120°﹣α＝60°+α，∴α＝30°，∴∠ADB＝120°﹣α＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，∴△PMD≌△DNP，∴PM＝DN，∵PB＝PD，∴，∵由（2）易证，△ABD≌△ACE，则AD＝CE＝BD＝AP，∴，方法1：如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，∴MO＝PO，∵∠PMA＝90°，∴∠P+∠A＝∠PMO+∠AMO＝90°，∴∠A＝∠AMO，∴，∴△PMO为等边三角形，∴∠P＝60°，∴∠A＝30°，方法2：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ．∵AM⊥PQPM＝MQ，∴△APO是等腰三角形，∴AP＝AQ，又∵，∴AP＝2PM＝AQ＝PQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，∴∠PAM＝30°，故答案为：∠PAD＝30°；变式：证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD＝AE，即∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，∴∠ADB＝∠AEC＝∠AED+∠CEF，∠G＝∠CEF＝∠BDF，∴∠ADB＝∠AED+∠CEF＝∠ADE+∠BDF，又∵∠ADB+∠ADE+∠BDF＝180°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x 的规律 x 的取值范围表示方法a 的取值n 的取值|x |≥10a ×10n 整数的位数﹣1|x |＜1a ×10﹣n 1≤|a |＜10第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）3．零指数幂零指数幂：a 0＝1（a ≠0）由a m ÷a m ＝1，a m ÷a m ＝a m ﹣m ＝a 0可推出a 0＝1（a ≠0）注意：00≠1．4．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．6．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．7．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．10．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE11．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．12．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．13．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．14．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖。
中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)
中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个MECA3. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°， 四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有（第1题）A BCD EA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，ΔABC中，以B 为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC和AB于D、E两点，并连接BD、DE若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 755. 如图(1)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(2)所示．求图(1)与图(2)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图1 图2A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：46. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm7. 如图，在ABC△中13AB AC==，10BC=点D为BC的中点DE DE AB⊥垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513 ABCDE FG8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或209．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ） A ． 20° B ． 50° C ． 60° D ． 80°10．把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （ ）11.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ． 2B ．23C ．3D ．312．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第11题图AD E F PQC13．已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC =2，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+15．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ．D ． +116.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④234ABD S AB =△．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二.填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊEB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A 则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．6. 如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。
2024年中考数学压轴题(全国通用)：二次函数与等腰三角形问题(教师版含解析)
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点 D（1，4）；
（2）如图，连接 BD，若点 E 在线段 BD 上运动（不与 B，D 重合），过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，设 EF
＝m，问：当 m 为何值时，△BFE 与△DEC 的面积之和最小；
（3）若将抛物线 L1 绕点 B 旋转 180°得抛物线 L2，其中 C，D 两点的对称点分别记作 M，N．问：在抛
当 M 在线段 BD 的延长线上时，∠BDF 为锐角， ∴∠FDM 为钝角， ∵△MDF 为等腰三角形， ∴DF＝DM， ∴∠M＝∠DFM， ∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M， ∵BM∥OC， ∴∠M＝∠MOC， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°， ∴∠M＝30°， 在 Rt△BOM 中，
BM＝
，
∴ME＝BM﹣BE＝3 ②如图，
﹣2；
当 M 在线段 BD 上时，∠DMF 为钝角，
∵△MDF 为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
【分析】（1）把 A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入 y＝ax2+bx+c，即可得解； （2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由 BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利 用全等三角形的性质得出结论； （3）分两种情况讨论解答，当 M 在线段 BD 的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果， 当 M 在线段 BD 上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可． 【解答】（1）解：设抛物线的表达式为 y＝ax2+bx+c， 把 A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型三 等腰三角形问题(含菱形问题)(课件)
例6题图③
例6题解图④
探究3：在抛物线上找一点E，平面内找一点P，使得以E、P、B、C为 顶点的四边形为菱形．在图④中画出所有满足条件的点E、P的示意图 (保留作图痕迹)．
【作法提示】如解图⑤，当BC为菱形的对角线时， 点E、P即为所求；如解图⑥，当BC为菱形的边， 且BE为对角线时，点E、P即为所求；如解图⑦， 当BC为菱形的边，且CE为对角线时，点E、P即为 所求．
例6题图④
画出函数图象如解图⑤⑥⑦，点E，P即为所求．
例6题解图⑤
例6题解图⑥
例6题解图⑦
【方法总结】二次函数中菱形的存在性问题可考虑先转化为等腰三角形 的存在性问题，如探究3中，可以先画出△BCE为等腰三角形的点E， 再过等腰△BCE的顶点向底边作垂线，然后利用菱形对角线上的顶点关 于另一条对角线对称确定点P的位置．
注意点E分别在点A的两侧两种情况；
(2)解：存在．
∵抛物线的解析式为y＝－ 2 x2＋ 4 x＋2，
3
3
∴当y＝0时，－ 2 x2＋ 4 x＋2＝0，
33
解得x1＝－1，x2＝3，
例7题图②
∵点A在点B的左边， ∴A(－1，0)，B(3，0)， 由(1)知C(0，2)， ∴AC＝ 5 ，△ACE是等腰三角形，分以下三种情况： ①当AE＝AC时，AE＝AC＝ 5 ， 当点E在点A左边时，点E的横坐标为－1－ 5， 当点E在点A右边时，点E的横坐标为 5－1； ②当AC＝CE时，由三线合一知AO＝EO， ∴点E的横坐标为1；
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷（附带答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图在▱ABCD中AD=5AB=3DE平分∠ADC交BC边于点E则BE=（）A．2B．3C．4D．52．如图在▱ABCD中∠B=40°，AB=AC将△ADC沿对角线AC翻折AF交BC于点E 点D的对应点为点F则∠AEC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°3．菱形ABCD如图E为AD上一点F为CB延长线上一点EF⊥AC于点P交AB于G若AE=13AD则AGFC的值为（）A．13B．15C．25D．164．如图△ABC是等腰三角形∠BAC=90°BC=7．点D在BC上且BD:CD=2:5．连接AD将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE连接BE DE．则△BDE的面积是（）A．4B．5C．6D．75．如图在△ABC中AB=AC=6∠BAC=120°以边BC为直径作⊙O与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E则弧DE的长为（）A．3πB．2πC．√3πD．2√3π6．如图EF为半圆形量角器直径直角三角板ABC与半圆形量角器如图放置其中斜边AB 与半圆形量角器交于A D两点AC经过点F AB∥EF若BD=8AF=BF则AD长度是（）A．4B．4√3C．6D．4√67．如图矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E过点A作AF⊥DE交DE于F点连接FO若DF=√2CD=3则FO的长为（）A．1B．23C．12D．148．如图△ABC中∠ABC=45°CD⊥AB于D BE平分∠ABC且BE⊥AC于E与CD相交于点F H是BC边的中点连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF=AC②CE=12BF③△DGF是等腰三角形④BD+DF=BC⑤S△BDFS△BCF=BDBCA．5B．4C．3D．2二填空题9．已知：等腰△ABC，BA=BC点D在AB上点E在BC的延长线上AD=CE连接DE 交AC于点F作DH⊥AC于点H∠HDF−∠E=30°CE=6，CF=2则HF的长为．10．如图矩形ABCD的对角线相交于O AE平分∠BAD交BC于E若∠CAE=15°则∠COE=度．11．如图菱形ABCD中∠ABC=135°DH⊥AB于H交对角线AC于E过E作EF⊥AD 于F若△DEF的周长为2 则菱形ABCD的边长为．12．如图在△ABC中∠B=90°AB=4BC=6以AC为斜边作等腰直角三角形ADC 连接BD则BD的长为．13．如图平行四边形A BCD的对角线AC BD相交于点O AB⊥AC AB=3∠ACB= 30°点P从点A出发沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒在点P的运动过程中当△APO是等腰三角形时t的值为．14．如图在△ABC中AB=AC点D为线段BC上一动点（不与点B C重合）连接AD 作∠ADE=∠B=40°DE交线段AC于点E下列结论：①∠DEC=∠BDA②若AB=DC则AD=DE③当DE⊥AC时则D为BC中点④当△ADE为等腰三角形时∠BAD=40°．正确的有．（填序号）15．如图已知A，B为反比例函数y=4x图象上两点连接AB线段AB经过原点O C为反比例函数y=kx(k<0)在第四象限内图象上一点当△CAB是以AB为底的等腰三角形且CA AB =58时k的值为．16．如图已知直线L：y=x+2交x轴于点A交y轴于点A1点A2A3…在直线L上点B1 B2B3…在x轴的正半轴上若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形直角顶点都在x轴上则△A2024B2023B2024的面积为．三解答题17．如图在△ABC中CD是AB边上的高．AB(1)若∠ABC=∠ACB=15°请证明：CD=12(2)若∠ABC=30°CD=3点E是BC边上的中点求AC+AE的最小值．18．如图已知△ABC中∠B=90°AB=8cm BC=6cm P Q是△ABC边上的两个动点其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm点Q从点B开始沿B→C 方向运动且速度为每秒2cm它们同时出发设出发的时间为t秒．(1)当t=2秒时求PQ的长(2)求出发时间为几秒时△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动则当点Q在边CA上运动时求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1 连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系并证明你的结论②求证：AE2+AD2=2AC2．(2)如图2 若AE=2,AC=2√5点F是AD的中点求CF的长．20．如图在▱ABCD中∠BAD的平分线交边BC于点E交边DC的延长线于点F．(1)如图1 求证：CE=CF(2)如图2 若∠ABC=90°,G是EF的中点分别连结CG，BG，DG求证：DG⊥BG(3)如图3 若∠ABC=120°四边形CFGE为平行四边形分别连结DB，DG试判断△BDG的形状并证明．21．【问题背景】已知：在△ABC中AB=AC点D E分别为直线BC上两动点探究线段BD DE EC三条线段之间的数量关系：（1）如图1 当∠BAC=90°时点D E分别为线段BC上两动点且∠DAE=45°猜想BD DE EC三条线段之间存在的数量关系式直接写出你的猜想__________【问题拓展】（2）如图2 当动点E在线段BC上动点D运动在线段CB延长线上时其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【问题迁移】（3）如图3 当∠BAC=60°时点D E在边BC上2BD−DE=3点F在边AB上点F到AC的距离是2√3且∠DFE=30°CE=7求△FDE的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD为平行四边形AD=5AB=3∵AD∥BC,CD=AB=3,BC=AD=5∵∠ADE=∠DEC∵DE平分∠ADC∵∠ADE=∠CDE∵∠DEC=∠CDE∵CE=CD=3∵BE=BC−CE=5−3=2．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形∵AD∥BC∵∠DAC=∠ACB∵∠B=40°，AB=AC且AD∥BC∵∠B=∠ACB=40°，∠BAD=140°∵∠DAC=∠ACB=40°由折叠的性质可知∠DAC=∠FAC=40°∵∠AEC=180°−(∠ACB+∠FAC)=180°−(40°+40°)=100°．故选：C．3．解：∵菱形ABCD∵∠AEF=∠F∠EAC=∠ACF∠BAC=∠DAC AD=BC∵△APE∽△PFC∵∠AGE=∠BGF∵△AEG∽△BGF∵EF⊥AC∵在△AGP和△AEP中{∠BAC=∠DAC AP=AP ∠APG=∠APE∵△AGP≌△AEP∵AG=AE∵AE=13AD∵AE=13BC∵设AG=AE=x则BG=2x∵AG GB =12∵BF=2x ∵FC=5x∵AG FC =x5x=15故选：B．4．解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE ∵AD=AE，∠DAE=90°∵∠EAB+∠BAD=90°在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°∵∠EAB=∠CAD∵△EAB≌△DAC(SAS)∵∠C=∠ABE=45°，CD=BE∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°∵BC=7，BD：CD=2：5∵BD=2，CD=BE=5∵S△BDE=12BD⋅BE=12×2×5=5故选：B．5．解：如图连接OA,OD,OE,CE∵∠BAC=120°AB=AC=6(180°−∠BAC)=30°∴∠CBE=∠BCD=12∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∴∠BCE=90°−∠CBE=60°∵∠DCE=∠BCE−∠BCD=30°∴∠DOE=2∠DCE=60°∵AB=AC=6OB=OC∴AO⊥BC∴OB=AB⋅cos∠CBE=AB⋅cos30°=3√3∴OD=OE=OB=3√3∴弧DE的长=60×3√3π=√3π180故选：C．6．解：如图连接OD DF．∵AD∥EF∠BAC=30°∵∠AFE=∠CAB=30°∠DOF=2∠CAB=60°∵OD=OF∵△ODF是等边三角形∵∠OFD=60°∵∠AFD=∠OFD−∠AFE=60°−30°=30°∵∠DAF=∠AFD=30°∵AD=DF∵FA=FB∵∠A=∠ABF=30°∵∠AFB=180°−30°−30°=120°∵∠BFD=∠AFB−∠AFD=120°−30°=90°∵DF=12DB∵BD=8∵AD=DF=4．故选：A．7．解：四边形ABCD为矩形CD=3∴AB=CD=3∠ADC=∠BAD=90°，OD=OB ∵DE平分∠ADC∴ADE=∠CDE=12∠ADC=45°∴△ADE为等腰直角三角形∴AD=AE∵AF⊥DE∴DF=EF，∠AFD=90°∴△ADF为等腰直角三角形∴AD=√DF2+AF2=√2DF=2∴AE=AD=2∴BE=AB−AE=3−2=1∵DF=EF，OD=OB即点F O分别为DE、BD的中点∴OF为△BDE的中位线∴OF=12BE=12故选：C．8．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC∵∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°∵∠A=∠DFB∵∠ABC=45°，∠BDC=90°∵∠DCB =90°−45°=45°=∠DBC∵BD =DC在△BDF 和△CDA 中{∠BDF =∠CDA∠A =∠DFB BD =CD∵△BDF≌△CDA (AAS )∵BF =AC 故①正确．∵∠ABE =∠EBC =22.5°，BE ⊥AC∵∠A =∠BCA =67.5°∵BA =BC∵BE ⊥AC∵AE =EC =12AC =12BF 故②正确 ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =45°∵∠ABE =∠CBE =22.5°∵∠BDC =90°，BH =HC∵∠BHG =90°∵∠BDF =∠BHG =90°∵∠BGH =∠BFD =67.5°∵∠DGF =∠DFG =67.5°∵DG =DF∵△DGF 是等腰直角三角形 故③正确．∵△BDF≌△CDA∵DF =AD∵BC =AB =BD +AD =BD +DF 故④正确∵BE 平分∠ABC∵点F 到AB 的距离等于点F 到BC 的距离∵ S △BDFS △BCF = BD BC 故⑤正确所以 正确的结论是①②③④⑤ 共5个故选：A ．9．解：如图过点D作DG∥BC交AC于点G．∵BA=BC∵∠A=∠BCA∵DG∥BC∵∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF∵∠A=∠DGA∵DA=DG∵AD=CE∵DG=CE=6在△DFG和△EFC中{∠DFG=∠CFE ∠DGF=∠EFC DG=EC∵△DFG≌△EFC(AAS)∵GF=CF=2，∠GDF=∠E∵∠HDF−∠E=30°∵∠HDG=∠HDF−∠GDF=30°∵DH⊥AC∵GH=12DG=3∵HF=GH+GF=3+2=5．故答案为：5．10．解：在矩形ABCD中AO=BO=CO=DO∠ABC=90°∵∠CAE=15°AE平分∠BAD∴∠BAE=∠BEA=45°∴AB=BE∴∠BAC=60°OA=OB∴△AOB是等边三角形∴∠BAC=60°AC=BO∴∠BCA=30°AB=12∴BE=BO又∵∠DBC=∠ACB=30°在△BOE中∠BOE=(180°−∠DBC)÷2=75°∴∠COE=180°−60°−75°=45°．故答案为：45．11．解：∵四边形ABCD是菱形∠ABC=135°∵AD∥BC∠DAC=∠BAC∵∠DAB=45°∵DH⊥AB EF⊥AD∵EF=EH∵AH=DH∵∠ADH=45°且EF⊥AD∵∠ADH=∠DEF=45°∵DF=EF∵DE=√2EF∵∵DEF的周长为2∵DE+EF+DF=2∵(2+√2)EF=2∵EF=2−√2∵EH=2−√2DE=2√2−2∵DH=DE+EH=√2∵AH=DH=√2∵AD=√2AH=2∵菱形ABCD的边长为2故答案为：212．解：当在AC上方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠DFB=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=α+45°∠BAD=∠BAC+∠DAC=(90°−α)+45°=135°−α∴∠DAE=180°−∠BAD=α+45°∵∠EAD=∠FCD∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF∵∠DEA=∠B=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形在Rt△ABC中AC=√AB2+BC2=2√13∵S四边形ABCD=S△ABC+S ADC=S△ABD+S BDC∴12AB⋅BC+12AC×12AC=12AB⋅DE+12BC⋅DF即4×6+12×(2√13)2=4DE+6DF=10DF解得DF=5即正方形BFDE的边长为5∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=5√2当在AC下方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠EBF=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=45°−α∠BAD=∠BAC−∠DAC=(90°−α)−45°=45°−α∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF AE=FC∵∠DEA=∠EBF=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形即BE=BF∵AB=4,BC=6∴AB+BE=BC−BF即4+BE=6−BE解得BE=1即正方形BFDE的边长为1∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=√2综上所述BD的长为5√2或√2故答案为：5√2或√2．13．解：如图所示作点E G M使得AE=OE AG=AO AO=MO当点P分别运动到点E G M时△APO是等腰三角形①当点P运动到点E：此时∠BFE=∠DEF=2∠EAO=2∠ACB=60°又∵∠ABC =90°−∠ACB =60° 且AE ∥BF∴四边形ABFE 为等腰梯形∴AE =OE =12EF =12AB =32∴t 1=32②当点P 运动到点G ：此时AG =AO =12AC =√32AB =3√32∴t 2=3√32③当点P 运动到点M ：AO =MO作OT ⊥AM 交AM 于点T ∠CAD =∠AMO =30°根据等腰三角形三线合一得：AM =2AT =2AO ⋅√32=√32AC =√32⋅AB ⋅√3=92∴t 3=92． 答：点P 的运动时间为32或3√32或92． 14．解：①∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠ADE =40° ∵∠BAD =∠CDE∵AB =AC∵∠B =∠C∵由三角形内角和定理知：∠DEC =∠BDA 故①正确 ②∵AB =AC∵∠B =∠C =40°由①知：∠DEC =∠BDA∵AB =DC∵△ABD ≌△DCE (AAS )∵AD =DE 故②正确③∵DE ⊥AC∵∠DEC =90°∵∠CDE=50°∵∠ADC=90°∵AD⊥BC∵AB=AC∵BD=CD∵D为BC中点故③正确④∵∠C=40°∵∠AED＞40°∵∠ADE≠∠AED∵△ADE为等腰三角形∵AE=DE或AD=DE当AE=DE时∠DAE=∠ADE=40°∵∠BAC=180°−40°−40°=100°∵∠BAD=60°当AD=DE时∠DAE=∠DEA=70°∵∠BAD=30°故④不正确．∵正确的有①②③故答案为：①②③．15．解：如图：作AE⊥y轴于E CF⊥y轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称∵AC=BC，OA=OB∵OC⊥AB∵∠CFO=∠COA=∠AEO=90°∵∠COF+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°∵∠COF=∠OAE∵△CFO∽△OEA∵S△COF S△AOE =(COOA)2∵CA AB =58AO=OB∵CA:OA=5:4又∵AC2=OA2+OC2∵CO:OA=3:4∵S△COF S△AOE =(COOA)2＝916即12|k|12×4=916∵k<0∵k=−94故答案为：−94．16．解：y=x+2交y轴于点A1∴A1(0，2)∵△A1OB1是等腰直角三角形∴B1(2，0)∵若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形∴A2(2，4)B2(6，0)A3(6，8)B3(14，0)∴S△A1OB1=12×2×2=21S△A2B1B2=12×4×4=23S△A3B2B3=12×8×8=25…S△An B n−1B n=22n−1∴△A2024B2023B2024的面积为=24047故答案为：24047．17．（1）证明：∵∠ABC=∠ACB=15°CD是AB边上的高．∵AB=AC,∠CAD=30°∵CD=12AC=12AB（2）延长CD到C′使C′D=CD=3连接AC′,C′E如图：∵CD是AB边上的高∵BD是CC′的垂直平分线∵AC′=AC∴AC+AE=AC′+AE≥C′E,即AC+AE的最小值为C′E∵∠ABC=30°,CD=3∴BC=2CD=6∵ 点E是BC边上的中点∴CE=3=CD∵BC=C′C=6∠BCD=∠C′CE∴△BCD≌△C′CE(SAS)∴BD=C′EBD=√BC2−CD2=√62−32=3√3∴C′E=3√3即最小值为3√3．18．（1）解：∵AP=2×1=2(cm)BQ=2×2=4(cm)∵BP=AB−AP=8−2×1=6(cm)∵∠B=90°∵PQ=√BQ2+BP2=√42+62=2√13(cm)（2）解：根据题意得：BQ=BP即2t=8−t解得：t=83即出发时间为83秒时△PQB是等腰三角形（3）解：分三种情况：当CQ=BQ时如图1所示：则∠C=∠CBQ∵∠ABC=90°∴∠CBQ+∠ABQ=90°∠A+∠C=90°∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ∵CQ=AQ∵∠B=90°AB=8cm BC=6cm∴AC=√82+62=10(cm)∴CQ=AQ=12AC=5(cm)∴BC+CQ=11(cm)∴t=11÷2=5.5（秒）．当CQ=BC时如图2所示：则BC+CQ=12(cm)∴t=12÷2=6（秒）．当BC=BQ时如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BE则BE=AB⋅BCAC =6×810=4.8(cm)∴CE=√BC2−BE2=3.6(cm)∴CQ=2CE=7.2cm∴BC+CQ=13.2cm∴t=13.2÷2=6.6（秒）．由上可知当t为5.5秒或6秒或6.6秒时ΔBCQ为等腰三角形．19．（1）解：①AE=BD理由如下：∵∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠BCD又∵CA=CB,CE=CD,∵△ACE≌△BCD(SAS)∵AE=BD②∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD ∵∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°∵∠ECA=∠DCB在△ECA和△DCB中{CE=CD ∠ECA=∠DCB AC=BC∴△ECA≌△DCB(SAS),∵AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°,∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°∴△ADB是直角三角形∴AD2+BD2=AB2,∴AD2+AE2=AB2,∴AE2+AD2=2AC2．（2）解：过点C作CH⊥DE于H如图：∵AC2+BC2=2AC2,AD2+AE2=AB2,AE=2,AC=2,∴AD=6,∴DE=AE+AD=8,∵点F是AD的中点∴AF=DF=3,∴△ECD是等腰直角三角形∴CH=DH=EH=4,∴HF=DH−DF=1,∴CF=√GH2+HF2=√42+12=√17．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∵AB∥CD,AD∥BC∵∠F=∠BAF∠CEF=∠DAF∵AF平分∠BAD∵∠BAF=∠DAF∵∠F=∠CEF∵CE=CF．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90°∵四边形ABCD是矩形∵AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°∵∠BCF=90°∵G是EF的中点∵CG=EG=FG∵△CEG和△CFG都是等腰直角三角形∵∠ECG=∠F=45°∵∠ADC=90°∵∠DAF=45°∵△DAF是等腰直角三角形∵DA=DF∵BC=DF∵△BCG≌△DFG(SAS)∵∠BGC=∠DGF∵∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90°∵DG⊥BG．（3）解：△BDG是等边三角形理由如下：如图延长AB、FG交于点H连接DH∵FG∥CE,CE∥AD∵FH∥BC∥AD∵AH∥DF∵四边形AHFD是平行四边形∵∠DFA=∠FAB=∠DAF∵DA=DF∵四边形AHFD是菱形∵FD=FH,AD=AH∵∠ABC=120°∵∠DFH=∠DAH=60°∵△FDH和△ADH都是等边三角形∵∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°,FD=HD ∵四边形BCFH是平行四边形∵BH=CF∵FG=CE,CE=CF∵FG=BH在△DFG和△DHB中{FG=BH∠GFD=∠BHD, FD=HD∵△DFG≌△DHB(SAS)∵∠FDG=∠HDB,DG=DB∵∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°∵△BDG是等边三角形．21．解：（1）DE2=BD2+EC2证明：如图将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB FD=DB∠FAD=∠BAD∠AFD=∠ABD∵∠BAC=90°∠DAE=45°∵∠BAD+∠CAE=45°,∠FAD+∠FAE=45°∵∠CAE=∠FAE又∵AE=AE,AF=AB=AC∵△AFE≌△ACE∵∠DFE=∠AFD+∠AFE=45°+45°=90°∵DE2=FD2+EF2∵DE2=BD2+EC2（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD又∵AB=AC∵AF=AC∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB∵∠FAE=∠EAC又∵AE=AE∵△AFE≌△ACE∵FE=EC∠AFE=∠ACE=45°∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°,∵∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°∵在Rt△DFE中DE2=FD2+EF2即DE2=BD2+EC2（3）过点F作FH∥AC交BC于点H作FG⊥AC于点G则FG=2√3∵∠BAC=60°∵∠AFG=30°AF∵AG=12AF)2+(2√3)2又∵AF2=AG2+FG2即AF2=(12解得：AF=4或AF=−4（舍）又∵AB=AC∵△ABC是等边三角形∵BA=BC又∵FH∥AC∵∠BFH=∠A=∠C=∠FHB=∠B=60°∵BF=BH=FH即AF =CH =4∵EH =EC −EH =7−4=3将△FDB 沿直线FD 对折 得△FMD 连ME 过E 点作EN ⊥DM 交DM 的延长线于点N ∵△FBD ≌△FMD∵FB =FM BD =DM ∠BFD =∠MFD ∠FBD =∠FMD∵∠BFH =60° ∠DFE =30°∵∠BFD +∠HFE =30°,∠DFM +∠MFE =30°∵∠HFEE =∠MFE又∵FE =FE,FH =FB =FM∵△FHE ≌△FME∵∠FME =∠FHE =60° EM =EH =3∵∠DME =∠FMD +∠FME =60°+60°=120°∵∠NME =60°∵∠MEN =30°∵MN =12EM =32 EN =√MF 2−MN 2=√32−(32)2=32√3∵DN =DM +MN =BD +MN =BD +32 又∵2BD −DE =3∵DE =2BD −3在Rt △DNE 中 DE 2=DN 2+EN 2 即(2BD −3)2=(BD +32)2+(32√3)2解得：BD =0（舍）或BD =5∵DE =7 BF =BH =BD +DE +EH =5+7+3=15过点F 作FQ ⊥BC 于点Q∵∠BFQ=30°∵BQ=12BF=152FQ=√BF2−BQ2=√152−(152)2=152√3∵S△DEF=12DE⋅FQ=12×7×152√3=105√34．。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。
2021年中考数学专题训练：等腰三角形(含答案)
2021中考数学专题训练：等腰三角形一、选择题1. (2019•天水)如图，等边OAB △的边长为2，则点B 的坐标为A ．(11)，B ．(13)，C ．(31)，D ．(33)，2. （2020·福建）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5 BD ，则CD 等于（ ）A.10B.5C.4D.33. （2020·烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB 于点D ，则∠ADC 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．85°4. （2020·铜仁）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．45. （2020·河南）如图，在△ABC 中，AB =BC 3，∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( )A.63B.9C.6D. 336. (2020自贡)如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°7. （2020·玉林）如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形8. （2020·无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝12，线段PQ在边BA上运动，PQ＝12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3＋37 2.其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③DQPCBA二、填空题9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为.10. 若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为.11. (2019•哈尔滨)在ABC△中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D在AB边上，连接CD，若ACD△为直角三角形，则BCD∠的度数为__________．12. （2020·湖北孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为________米．（结果保留根号）13. （2020·贵阳）（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．14. (2019•黄冈)如图，AC BD，在AB的同侧，288AC BD AB===，，，点M为AB的中点，若120CMD∠=︒，则CD的最大值是__________．三、解答题15. 已知：如图，B ，E ，F ，C四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B＝∠C .求证：OA ＝OD .16. （2020·广东）如题20图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD =CE ，∠ABE =∠ACD ，BE 与CD 相交于点F ．求证：△ABC 是等腰三角形．FEAD17. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA18. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ，连接AC 交DE 于点M .(1)求证：AD ＝BE ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； (3)△DBC 是等腰三角形吗？说明理由．2021中考数学专题训练：等腰三角形-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】如图，过点B 作BH AO ⊥于H 点，∵OAB △是等边三角形，∴1OH =，22=213BH -=．∴点B 的坐标为(13)，．故选B ．2. 【答案】B【解析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，∵AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5=BD ，∴CD=BD=5，因此本题选B ． 3. 【答案】∵OA ＝OB ，∠AOB ＝140°， ∴∠A ＝∠B（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝∠A +∠AOC ＝20°+60°＝80°， 故选：C ．4. 【答案】C【解析】设等边三角形的边长为2x ，过等边三角形的一个顶点作对边的高，由等边三角形“三线合一”的性质得直角三角形的一条直角边为x ，由勾股定理得x 2＋（2）2=（2x ）2，解得x =4，因此本题选C ．5. 【答案】D【解析】∵分别以点A 、C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，∴AD=AC=CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC ，AD=CD ，连接BD 交AC 于点E ，∴BD 垂直平分AC ，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°， AB= 3，∴BE=32，AE=32，∴AC=3．在R t △ADE 中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=32，∴DE=332，∴BD=333232，∴四边形ABCD 的面积为：3333221=⨯⨯．6. 【答案】D ．【解析】本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝40°，∵BC ＝BD ，∴∠BCD ＝∠BDC （180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD ＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D ．7. 【答案】A【解析】如图所示：∵C 岛在A 岛的北偏东35°方向，∴∠CAD ＝35°， ∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，∴∠BAD ＝80°，∴∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝45°，∵C 岛在B 岛北偏西55°方向，∴∠CBE ＝55°，又∵DA ∥EB ，∴∠ABE ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABE ＝100°， ∵∠CBE ＝55°，∴∠CBA ＝100°－55°＝45°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴CA ＝CB ， 在△ABC 中，∴∠C ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：C ． 8. 【答案】 D【解析】设AQ ＝x ，则BP ＝52—x①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确；③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S△BPC＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确；④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.二、填空题 9. 【答案】15° [解析]∵△ABC 绕点A 逆时针旋转150°得到△ADE ， ∴∠BAD=150°，△ABC ≌△ADE ，AB=AD ，NMHG AB CD EFC B FE ABCP QDD Q C B(P)AE∴△BAD 是等腰三角形，∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD )=15°.10. 【答案】36°[解析]∵等腰三角形的一个底角为72°，∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.11. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．12. 【答案】（533-1.6）．【解析】如图，过点A 作AMCM 于M ，则CM=5m ，在R t △BCM 中，∠BCM＝30°,所以BM=CM tan 30°53.由题意可知△DCN 是等腰直角三角形，所以CN=CD=3.4m ,所以MN=5-3.4=1.6(m ),因为△AMN 是等腰直角三角形，所以MN=AM=1.6m ，所以AB=BM-AM=（533-1.6）m .故答案为（533-1.6）．13. 【答案】4【解析】解：延长BD 到F ，使得DF ＝BD ，∵CD ⊥BF ，∴△BCF 是等腰三角形，∴BC ＝CF ，过点C 点作CH ∥AB ，交BF 于点H ∴∠ABD ＝∠CHD ＝2∠CBD ＝2∠F ，∴HF ＝HC ，∵BD ＝8，AC ＝11，∴DH ＝BH ﹣BD ＝AC ﹣BD ＝3，∴HF ＝HC ＝8﹣3＝5， 在R t △CDH ，∴由勾股定理可知：CD ＝4，在R t △BCD 中，∴BC 4，故答案为：414. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=，∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题15. 【答案】证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE.∴AF ＝DE ，∠AFB ＝∠DEC. ∴OF ＝OE.∴AF －OF ＝DE －OE ，即OA ＝OD.16. 【答案】证明：在△BFD 和△CFE 中，∠ABE=∠ACD ，∠DFB=∠CFE ，BD=CE ， ∴△BFD ≌△CFE （AAS ）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD ∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.∴∠ABC=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ ABC 是等腰三角形.【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF ，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB ，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ ABC 是等腰三角形.17. 【答案】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN =再由三角形中位线可得MN BC ∥．18. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°. ∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°. ∴∠ABD ＝∠BCE. 在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)． ∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE. ∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上． ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上． ∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE. 由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．。
通用版中考数学二轮复习专题10：等腰三角形探究同步测试(含答案)
通用版中考数学二轮复习专题10：等腰三角形探究同步测试（含答案）一、选择题1．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是( D )A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°,第1题图) ,第2题图) 2．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( D )A．1个B．2个C．3个D．3个以上【解析】如图，在OA，OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP ＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，可证△PEM≌△PON(ASA)，∴PM＝PN，∵∠MPN ＝60°，∴△POM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．二、填空题3．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三角形，则腰长为22．【解析】如图①，当E ，C 重合时，PB ＝PC ＝25；在AB 上取E 使PE ＝EB ，如图②，设AE ＝x ，∴(4－x )2＝x 2＋4，解得x ＝32，使PE ＝52；在BP 上取中点M ，如图③，作ME ⊥PB 交DC 于E .设EC ＝x ，由PE ＝BE 知42＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝12，∴PE ＝22＋（4－12）2＝652.4．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4 cm ，∠ADC ＝120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为__43__.三、解答题5．如图，已知点A (1，2)是反比例函数y ＝kx图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，求点P 的坐标．解：∵反比例函数y ＝k x图象关于原点对称，∴A ，B 两点关于O 对称，∴O 为AB 的中点，且B (－1，－2)，∴当△PAB 为等腰三角形时有PA ＝AB 或PB ＝AB ，设P 点坐标为(x ，0)，∵A (1，2)，B (－1，－2)，∴AB ＝[1－（－1）]2＋[2－（－2）]2＝25，PA ＝（x －1）2＋22，PB ＝（x ＋1）2＋（－2）2，当PA ＝AB 时，则有（x －1）2＋22＝25，解得x ＝－3或5，此时P 点坐标为(－3，0)或(5，0)；当PB ＝AB 时，则有（x ＋1）2＋（－2）2＝25，解得x ＝3或－5，此时P 点坐标为(3，0)或(－5，0)．综上可知P 点的坐标为(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)6．已知抛物线c 1的顶点为A (－1，4)，与y 轴的交点为D (0，3)，抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2.(1)求c 2的解析式；(2)若c 2与x 轴正半轴交点记作B ，试在x 轴上求点P ，使△PAB 为等腰三角形.解：(1)∵抛物线的顶点为A (－1，4)，∴c 1设的解析式为：y ＝a (x ＋1)2＋4，∵抛物线c 1与y 轴的交点为D (0，3)∴3＝a ＋4，即a ＝－1，∴y ＝－(x ＋1)2＋4.∵抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2，∴c 2：y ＝－x 2＋2x ＋3(2)∵c 2与x 轴正半轴交点记作B ，∴点B (3，0)，∵点A (－1，4)，∴AB ＝42＋42＝42，当PB ＝AB 时，点P (3－42，0)或(3＋42，0)；当PA ＝AB 时，点P (－5，0)；当PA＝PB 时，点P (－1，0)，所以，当点P 为(3－42，0)或(3＋42，0)或(－5，0)或(－1，0)时，△PAB 为等腰三角形7．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ，过点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE ＝90°，且点D 在直线MN 上(不与点A 重合)，如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD ＝DP .(无需写证明过程)(1)在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，BD ＝DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．解：(1)BD ＝DP 成立，证明：如图②，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线与点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA ＝DF.∵∠1＋∠ADB ＝90°，∠ADB ＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF 与△PDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠2＝∠1，DF ＝DA ，∠DFB ＝∠DAP ＝45°，∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP(2)BD ＝DP.证明：如图③，过点D 作DF ⊥MN ，交BA 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA ＝DF.在△BDF 与△PDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠PAD ＝45°，DF ＝DA ，∠BDF ＝∠PDA ，∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCO 的顶点B (4，3)，C ，D 为BC 的中点，直线AD 与y 轴交于E 点，与抛物线交于第四象限的F 点．(1)求该抛物线解析式与F 点坐标；(2)如图2，动点P 从点C 出发，沿线段CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AE 以每秒132个单位长度的速度向终点E 运动．过点P 作PH ⊥OA ，垂足为H , 连结MP ，MH .设点P 的运动时间为t 秒．若△PMH 是等腰三角形，求出此时t 的值．解：(1)∵矩形ABCO ，B 点坐标为(4，3)，∴C 点坐标为(0，3)，∵抛物线y ＝－12x 2＋bx＋c 经过矩形ABCO 的顶点B ，C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－8＋4b ＋c ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，b ＝2，∴该抛物线解析式y＝－12x 2＋2x ＋3，设直线AD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∵A (4，0)，B (2，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k 1＋b 1＝0，2k 1＋b 1＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－32，b 1＝6，∴y ＝－32x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－32x ＋6，y ＝－12x 2＋2x ＋3，∵F 点在第四象限，∴F (6，－3)(2)如图①过M 作MN ⊥OA 交OA 于N ，∵△AMN ∽△AEO ，∴AM AE＝AN AO ＝MN EO，∴AN ＝t ，MN ＝32t ，①如图③，当PM ＝HM 时，M 在PH 的垂直平分线上，∴MN ＝12PH ，∴MN ＝32t＝32，∴t ＝1；②如图①，当HM ＝HP 时，MH ＝3，MN ＝32t ，HN ＝OA －AN －OH ＝4－2t ，在Rt △HMN 中，MN 2＋HN 2＝MH 2，∴(32t )2＋(4－2t )2＝32，解得：t 1＝2(舍去)，t 2＝1425；③如图②，如图④，当PH ＝PM 时，∵PM ＝3，MT ＝|3－32t|，PT ＝BC －CP －BT ＝|4－2t|，∴在Rt △PMT 中，MT 2＋PT 2＝PM 2，即(3－32t )2＋(4－2t )2＝32，解得：t 1＝165，t 2＝45.综上所述：t ＝1425或45或1或165.。
2021年中考数学 二轮专题汇编：等腰三角形(含答案)
2021中考数学 二轮专题汇编：等腰三角形一、选择题 1. 如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于 ( )A .15°B .30°C .45°D .60°2. 如K19-6，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F .若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE 的度数为 ( )A .35°B .40°C .45°D .50°3. 如图，∠AOB ＝50°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA于点A ，MB ⊥OB 于点B ，则∠MAB 等于( )A ．50°B ．40°C ．25°4. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A．40︒B．45︒C．50︒D．60︒5. （2020·玉林）如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6. （2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC 绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. （2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm .10. （2020·襄阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠BAD ＝20°，则∠C ＝__________°．DCB A11. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD12. （2020·营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为 ．EFA13. 如图，BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN 过点O 且MN ∥BC ，设AB ＝12，AC ＝18，则△AMN 的周长为________．14. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．15. (2019•哈尔滨)在ABC△中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D在AB边上，连接CD，若ACD△为直角三角形，则BCD∠的度数为__________．16. （2020·聊城）如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B ＝∠C.求证：OA＝OD.ODABCxy19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.21. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．22. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．23. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系为;(2)问题探究:如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.①②24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=60°-45°=15°.2. 【答案】C[解析]因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是线段AE的垂直平分线，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故选C.3. 【答案】C[解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.4. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．5. 【答案】A【解析】如图所示：∵C 岛在A 岛的北偏东35°方向，∴∠CAD ＝35°， ∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，∴∠BAD ＝80°，∴∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝45°，∵C 岛在B 岛北偏西55°方向，∴∠CBE ＝55°，又∵DA ∥EB ，∴∠ABE ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABE ＝100°， ∵∠CBE ＝55°，∴∠CBA ＝100°－55°＝45°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴CA ＝CB ， 在△ABC 中，∴∠C ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：C ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-12θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+12θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7. 【答案】B 【解析】连接DE ，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，过E 作EG ⊥BC ，垂足为G .∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，BC ＝12，∴BF ＝FC ＝6，又∵E 是AC 的中点，EG ⊥BC ，∴EG ∥AF ，∴CG ＝FG ＝12CF ＝3，∵在Rt △CEG 中，tan C ＝EGCG ，∴EG ＝CG×tan C ＝3y ；∴DG ＝BF ＋FG －BD ＝6＋3－x ＝9－x ，∵HD 是BE 的垂直平分线，∴BD ＝DE ＝x ，∵在Rt △EGD 中，由勾股定理得，ED 2＝DG 2＋EG 2，∴x 2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x －y 2＝9.8. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm 2），平行四边形面积为2cm 2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm 2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．二、填空题9. 【答案】23【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝12(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝23(cm)．10. 【答案】40．【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°，∴∠ADB＝180202︒-︒＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝12∠ADB＝40°．故答案为40．序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形12. 【答案】33【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EF≥CF，又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2），在R t △AFC 中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin 60°=6×32=33．13. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC. ∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC＝AB ＋AC＝30.14. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.15. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，DEFAFE D图1图2∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．16. 【答案】4＋25【解析】先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可．由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C(3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE=2，则EC=4．在R t △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝22EC BC +＝2242+＝25．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋25＝4＋25． 三、解答题17. 【答案】解:(1)(方法一):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD ⊥BC ，OD A BC xyE∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF ∥AC ，∴∠CAF=∠F ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AE=FE.18. 【答案】证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE.∴AF ＝DE ，∠AFB ＝∠DEC.∴OF ＝OE.∴AF －OF ＝DE －OE ，即OA ＝OD.19. 【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.20. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD 是AB 边上的高，∴CD ⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE ，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE ，∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上.(2)∵BD=DE ，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE ，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.21. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.∴∠ABD ＝∠BCE.在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．22. 【答案】【思路分析】(1)因为PE 是直径，所以∠PAE ＝90°，要证△PAE 是等腰直角三角形，只要证PA ＝EA ，由已知得∠PBA ＝45°，而∠PEA 与∠PBA 是同弧所对的圆周角，所以∠PEA ＝∠PBA ，问题得证；(2)由(1)得△PAC ≌△EAB ，所以PC ＝BE ，因为PE 是直径，所以∠PBE ＝90°，所以PC 2＋PB 2＝BE 2＋PB 2＝PE 2＝4.解图(1)证明：如解图，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∠PBA ＝45°，∵在⊙O 中，∠PEA 与∠PBA 都是AP ︵所对的圆周角，∴∠PEA ＝∠PBA ＝45°，∵PE 为⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，(4分)∴△PAE 为等腰直角三角形且AP ＝AE ；(5分)(2)∵∠PAE ＝∠CAB ＝90°，∴∠CAB －∠PAB ＝∠PAE －∠PAB ，∴∠CAP ＝∠BAE ，∴△CAP ≌△BAE(SAS )，(8分)∠C ＝∠ABE ＝45°，∠PBE ＝∠PBA ＋∠ABE ＝90°(10分)在Rt △PBE 中，PC 2＋PB 2＝PE 2＝4.(12分)23. 【答案】解:(1)AD=AB +DC[解析]延长AE 交DC 的延长线于点F ，∵AB ∥DC ，∴∠BAF=∠F .∵E 是BC 的中点，∴CE=BE.在△AEB 和△FEC 中，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB=FC.∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAF=∠BAF ，∴∠DAF=∠F ，∴DF=AD ，∴AD=DC +CF=DC +AB.故答案为:AD=AB +DC.(2)AB=AF +CF .证明:如图，延长AE 交DF 的延长线于点G ，∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE=∠G .在△AEB 和△GEC 中， ∴△AEB ≌△GEC ，∴AB=GC.∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG=∠F AG ，∴∠F AG=∠G ，∴F A=FG ，∴AB=CG=AF +CF .24. 【答案】(1)如解图①，连接DF ，解图①∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3， 在Rt △ABD 中AD ＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD ，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴32(4－t )＝3， ∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC ，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN＝6－12(4－t ) ·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73， ∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵P A ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512， ∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．。
2021届初三数学中考复习 等腰三角形 专项复习练习 含答案
2021届初三数学中考复习等腰三角形专项复习练习1．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，那么∠C的度数为( ) A．35° B．40° C．45° D．50°2. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，那么这个等腰三角形的周长为( )A．16 B．20或16 C．20 D．123. 如图，假设△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，那么BE＝( )A．7 B．8 C．9 D．104. 某城市几条道路的位置关系如下图，AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，假设CF与EF的长度相等，那么∠C的度数为( )A．48° B．40° C．30° D．24°5. 实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对6. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，那么∠E的度数为( )A．15° B．20° C．30° D．40°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且DA＝DC，BD＝BA，那么∠B的大小为( )A．40° B．36° C．30° D．25°8. 如图，等边△OAB的边长为2，那么点B的坐标为( )A．(1，1) B．(3，1) C．(3，3) D．(1，3)9. 如图，是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，假如点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10. 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE 和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC.其中结论正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11. 等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50°，那么顶角的度数为___________．12. 如图1所示是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.假设剪刀张开的角为30°，那么∠A＝________度．13. 等腰三角形的一个内角为80°，那么顶角的度数是__________________．14. 如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．参考答案：1---10 ACCDB CBDBD11. 140°或40°12. 7513. 80°或20°14. 解：(1)∵BO＝OC，∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形(2)点O在∠BAC的平分线上．理由：连接AO，∵AB＝AC，BO＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，∴点O在∠BAC的平分线上。
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。
则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。
中考数学总复习-中考数学专题复习 等腰三角形的存在性问题复习讲义 含解析
中考数学专题复习-等腰三角形的存在性问题【问题描述】如图，已知点A 坐标为（1，1），点B 坐标为（4，3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ； （2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ； （3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．一．选择题1．直线112y x =-+交x 、y 轴于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 有( )个． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直线3y =+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P在抛物线2(4y x =--+上，能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数有( ) A ．8个B ．4个C ．5个D ．6个3．如图，抛物线22y x m =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则m 的值是( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-二．填空题4．已知抛物线2y x k =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则k 的值是 ．5．如图，直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点，若第一象限内一点P 在直线4y x =-+上且使得APO ∆是等腰三角形，点P 的坐标是 ．6．如图，一次函数22y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且90BAC ∠=︒，则点C 坐标为 ．7．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 在抛物线上，且PCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．8．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ⋯都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ⋯都在直线y x =上，△11OA B ，△112B A A ，△212B B A ，△223B A A ，△323B B A ⋯都是等腰直角三角形，且11OA =，则点2019B 的坐标是 ．9．二次函数22y x =的图象如图所示，坐标原点O ，点1B ，2B ，3B 在y 轴的正半轴上，点1A ，2A ，3A 在二次函数22y x =位于第一象限的图象上，若△11A OB ，△212A B B ，△323A B B 都为等腰直角三角形，且点1A ，2A ，3A 均为直角顶点，则点3A 的坐标是 ．10．如图，抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,2)D ，点M 是抛物线上的动点．若MCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点M 的坐标为 ．11．已知抛物线21242y x x =-+如图，点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，则以AC 为斜边的等腰直角三角形的面积是 ．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点C 在x 轴正半轴上，抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ．若ABD ∆为等腰直角三角形，则a 的值为 ．三．解答题13．如图，正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点(,6)A a ，且点(9,2)C 在反比例函数的图象上，点B 的坐标为(4,0)．（1）求正比例函数1y k x =的解析式；（2）若P 为射线OA 上一点，①若点P 的横坐标为x ，OPB ∆的面积为S ，写出S 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；②当POB ∆是等腰三角形时，求点P 的坐标．14．如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点(2,)P p 在第一象限，直线PA 交y 轴于点(0,2)C ，直线PB 交y 轴于点D ，AOP ∆的面积为6．（1）求点A 的坐标； （2）求点P 的坐标；（3）若BOP ∆是以OP 为腰的等腰三角形，直接写出直线点D 坐标．15．已知(0,6)A ，点(,0)B t 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AB ，作BC AB ⊥，且:1:2BC AB =．又BD x ⊥轴交直线AC 于点D ．（1）如图，用含t 的代数式表示点C 的坐标及ABC ∆的面积； （2）当ABD ∆为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B 的坐标．16．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点(1,3)M 和(3,5)N ． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向 （填“上”成“下” )平移 个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点(2,0)A -，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．17．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．18．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：BCD ∆是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，抛物线与x 轴相交于B ，C 两点，与y 轴交于点(0,3)D ．（1）求抛物线的表达式以及点B 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得DP CP +最小，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作//为等腰直角QF x轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使QEF三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题（共5小题）1．直线112y x =-+交x 、y 轴于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 有( )个． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图由图象可知，满足条件的点C 有三个． 故选D ．3．已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线2(3)4y x =--+上，能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数有( ) A ．8个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：分三种情况考虑：①以点B 为圆心，AB 长度为半径作圆，交抛物线于点1P 、2P ；②以点A 为圆心，AB 长度为半径作圆，交抛物线于点3P 、4P 、5P 、6P ； ③作线段AB 的垂直平分线，交抛物线于点7P 、8P ． 综上所述：能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数为8个． 故选：A ．4．如图，抛物线22y x m =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则m 的值是( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-【解答】解：Q 抛物线解析式为22y x m =-， ∴该抛物线的顶点P 的坐标为(0,)m -，Q 抛物线和x 轴有两个交点， ∴△042()0m =-⨯->，0m ∴>，令0y =，得2mx =， 又ABP ∆Q 是等腰直角三角形， ∴2mm =， 解得12m =，故选：B ．二．填空题（共10小题）6．已知抛物线2y x k =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则k 的值是 1 ．【解答】解：Q 抛物线解析式为2y x k =-， ∴该抛物线的顶点(0,)k -，Q 抛物线和x 轴有两个交点， 40k ∴>， 0k ∴>，令0y =，得x k =又Q 抛物线2y x k =-与x 轴的两个交点以及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，∴k k =．解得1k =， 故答案为1．7．如图，直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点，若第一象限内一点P 在直线4y x =-+上且使得APO ∆是等腰三角形，点P 的坐标是 (2,2)或(422-，22) ．【解答】解：Q 直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点， (4,0)A ∴，(0,4)B ，设(,4)P m m -+，当OP PA =时，则22OP PA =，即2222(0)(40)(4)(4)m m m m -+-+-=-+-+， 解得2m =； ∴此时(2,2)P ；当PA OA =时，则22PA OA =，即222(4)(4)4m m -+-+=， 解得42m =-422m =+（舍去）， ∴此时(42P -，2)；综上，P 点的坐标为(2,2)或(42-22)， 故答案为(2,2)或(422-22)．8．如图，一次函数22y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且90BAC ∠=︒，则点C 坐标为 (3,1) ．【解答】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ， 令0x =，得2y =， 令0y =，得1x =， (1,0)A ∴，(0,2)B ， 1OA ∴=，2OB =， ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AB AC ∴=，90BAC ∠=︒， 90BAO CAD ∴∠+∠=︒， 90ACD CAD ∠+∠=︒Q ， BAO ACD ∴∠=∠， 90BOA ADC ∠=∠=︒Q ，()ABO CAD AAS ∴∆≅∆， 2AD BO ∴==，1CD AO ==， 3OD ∴=，(3,1)C ∴故答案为(3,1)．9．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 在抛物线上，且PCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 (12+，2)或(12-，2) ．【解答】解：Q 抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ， (0,3)C ∴．PCD ∆Q 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上，(0,1)D Q ，(0,3)C ， (0,2)E ∴，过点E 作PE y ⊥轴，交抛物线于点P ，则点P 即为所求． P ∴点纵坐标为2，在223y x x =-++中，令2y =，可得2232x x -++=，解得12x =±， P ∴点坐标为(12+，2)或(12-，2)，故答案为：(12+，2)或(12-，2)．10．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ⋯都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ⋯都在直线y x =上，△11OA B ，△112B A A ，△212B B A ，△223B A A ，△323B B A ⋯都是等腰直角三角形，且11OA =，则点2019B 的坐标是 2018(2，20182) ．【解答】解：11OA =Q ， ∴点1A 的坐标为(1,0)，Q △11OA B 是等腰直角三角形， 111A B ∴=，1(1,1)B ∴，Q △112B A A 是等腰直角三角形， 121A A ∴=，122B A =Q △212B B A 为等腰直角三角形， 232A A ∴=， 2(2,2)B ∴，同理可得，23(2B ，22)，34(2B ，32)，1(2n n B -⋯，12)n -， ∴点2019B 的坐标是2018(2，20182)．故答案为2018(2，20182)．11．二次函数22y x =的图象如图所示，坐标原点O ，点1B ，2B ，3B 在y 轴的正半轴上，点1A ，2A ，3A 在二次函数22y x =位于第一象限的图象上，若△11A OB ，△212A B B ，△323A B B 都为等腰直角三角形，且点1A ，2A ，3A 均为直角顶点，则点3A 的坐标是 (2，2．【解答】解：分别过1A ，2A ，3A 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ， 设1OB a =，12B B b =，23B B c =，则112AA a =，212BA b =，312CA c =， 在等腰直角△11OB A 中，11(2A a ，1)2a ，代入22y x =中，得2112()22a a =，解得1a =，11(2A ∴，1)2，在等腰直角△122B A B 中，21(2A b ，11)2b +，代入22y x =中，得21112()22b b +=g ，解得2b =，2(1,2)A ∴，在等腰直角△233B A B 中，31(2A c ，3)2c+，代入22y x =中，得21132()22c c +=g ，解得3c =，33(2A ∴，9)2，故答案为3(2，9)2．13．如图，抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,2)D ，点M 是抛物线上的动点．若MCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点M 的坐标为 (12+，3)或(12-，3) ．【解答】解：MCD ∆Q 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点M 在线段CD 的垂直平分线上，Q 抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ， (0,4)C ∴，且(0,2)D ， CD ∴中点E 的坐标为(0,3)，如图，过点E 作CD 的垂线与抛物线交于点M ，M ∴点纵坐标为3，在224y x x =-++中，令3y =，可得2243x x -++=，解得12x =±，M ∴点坐标为(12+，3)或(12-，3)，故答案为：(12+，3)或(12-，3)． 14．已知抛物线21242y x x =-+如图，点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，则以AC 为斜边的等腰直角三角形的面积是 1 ．【解答】解：Q 点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2， 21222422y ∴=⨯-⨯+=， (2,2)A ∴，AC x ⊥Q 轴于点C ， 2AC ∴=，ABC ∆Q 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， AB BC ∴=，设AB BC a ==， 2222a a ∴+=， 22a ∴=， 2112ABC S a ∆∴==， 故答案为：1．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点C 在x 轴正半轴上，抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ．若ABD ∆为等腰直角三角形，则a 的值为 1- ．【解答】解：Q 抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ， ∴抛物线的对称轴是直线1x =，且A 、B 关于直线1x =对称，过D 作DF x ⊥轴于F ，交AB 于E ， ABD ∆Q 为等腰直角三角形， 1AE BE ∴==， 2AB ∴=，112DE AB ==， Q 四边形OABC 是正方形，2OA AB BC OC ∴====，123DF =+=，(0,2)A ∴，(1,3)D ，把A 、D 的坐标代入2(1)y a x c =-+得：22(01)2(11)3a c a c ⎧-+=⎨-+=⎩解得：1a =-， 故答案为：1-．三．解答题（共15小题）16．如图，正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点(,6)A a ，且点(9,2)C 在反比例函数的图象上，点B 的坐标为(4,0)．（1）求正比例函数1y k x =的解析式；（2）若P 为射线OA 上一点，①若点P 的横坐标为x ，OPB ∆的面积为S ，写出S 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；②当POB ∆是等腰三角形时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）Q 点(2,9)C 在反比例函数2k y x=的图象上， 218k ∴=，∴反比例函数的解析式为18y x=， Q 点(,6)A a 在反比例函数18y x=的图象上， 3a ∴=，(3,6)A ∴，Q 点(3,6)A 在正比例函1y k x =的图象上 12k ∴=，∴正比例函数的解析式为2y x =；（2）由（1）知，正比例函数的解析式为2y x =， (,2)P x x ∴，①(4,0)B Q ， 4OB ∴=1424(0)2S x x x ∴=⨯⨯=>；②由①知，(,2)P x x ，4OB =，22(2)5OP x x x ∴=+=，222(4)(2)5816BP x x x x =-+=-+POB ∆Q 是等腰三角形， ∴Ⅰ、当OP OB =时，45x ∴=，455x ∴=， 45(5P ∴，85)5， Ⅱ、当OP PB =时， ∴255816x x x =-+，2x ∴=，(2,4)P ∴Ⅲ、当PB OB =时， ∴258164x x -+=，85x ∴=或0x =（舍)， 8(5P ∴，16)5，∴点P 坐标为45(5，85)5或(2,4)或8(5，16)5． 17．如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点(2,)P p 在第一象限，直线PA 交y 轴于点(0,2)C ，直线PB 交y 轴于点D ，AOP ∆的面积为6．（1）求点A 的坐标； （2）求点P 的坐标；（3）若BOP ∆是以OP 为腰的等腰三角形，直接写出直线点D 坐标．【解答】解：（1）作PE y ⊥轴于E ， P Q 的横坐标是2，则2PE =． 1122222COP S OC PE ∆∴==⨯⨯=g ；624AOC AOP COP S S S ∆∆∆∴=-=-=，142AOC S OA OC ∆∴==g ，即1242OA ⨯⨯=，4OA ∴=，A ∴的坐标是(4,0)-．（2）设直线AP 的解析式是y kx b =+，则 402k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线的解析式是122y x =+． 当2x =时，3y =，即3p =， ∴点P 的坐标为(2,3)；（3）①当OP PB =时，作PF x ⊥轴于F ， (2,0)F ∴，F 是线段OB 的中点， (4,0)B ∴，∴直线3:62BP y x =-+，(0,6)D ∴；②当OP OB =时，OP =Q ，B ∴，0)， ∴直线:BP y =+D ∴． 19．已知(0,6)A ，点(,0)B t 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AB ，作BC AB ⊥，且:1:2BC AB =．又BD x ⊥轴交直线AC 于点D ．（1）如图，用含t 的代数式表示点C 的坐标及ABC ∆的面积； （2）当ABD ∆为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B 的坐标．【解答】解：（1）过点C 作CE OB ⊥于E ．在AOB ∆与BEC ∆中，90AOB BEC ∠=∠=︒Q ，90ABO BCE CBE ∠=∠=︒-∠，AOB BEC ∴∆∆∽， ∴2OA OB AB EB EC BC===， 即62t BE EC ==， 3BE ∴=，12EC t =， 3OE OB BE t ∴=+=+，∴点C 的坐标为1(3,)2t t +； 在Rt BCE ∆中，2222194BC CE BE t =+=+， AB BC ⊥Q ，2AB BC =，212ABC S AB BC BC ∆∴==g ， 2194ABC S t ∆∴=+；（2）(0,6)A Q ，1(3,)2C t t +； ∴直线AC 的解析式为16263t y x t -=++． Q 点(,0)B t ，∴设162(,6)3t D t t t -++， 2236AB t ∴=+，222162()3t AD t t t -=++，22162(6)3t BD t t -=++．分三种情况：①当AD AB =时，222162()363t t t t t -+=++，2162()363t t t -=+， ∴16263t t t -=+或16263t t t -=-+， 当16263t t t -=+时，整理得224360t t --=，解得112t =+，212t =-（不合题意，舍去），1(12B ∴+，0)； 当16263t t t -=-+时，整理得2360t +=， 此方程无解；②当AD BD =时，222116622()(6)33t t t t t t t --+=+++， 整理得323361080t t t -+-=，2(3)(36)0t t ∴-+=，解得3t =，2(3,0)B ∴；③当AB BD =时，2216236(6)3t t t t -+=++， 整理得328362880t t t +++=，2(8)(36)0t t ∴++=，解得8t =-（不合题意，舍去）．综上可知，符合条件的点B的坐标为1(12B +0)，2(3,0)B ．21．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点(1,3)M 和(3,5)N ．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向 下 （填“上”成“下” )平移 个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点(2,0)A -，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：539355a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩， 故抛物线的表达式为：2231135()24y x x x =-+=-+， 故顶点坐标为：3(2，11)4；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移114个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点， 故答案为：下，114；（3）A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点B 的坐标为：(0,2)或(0,2)-， ①当点(0,2)B 时，抛物线的表达式为：22y x bx =++，将点A 的坐标代入上式并解得：3b =， 故抛物线的表达式为：223132()24y x x x =++=+-， 此时顶点坐标为：3(2-，1)4-； ②当点(0,2)B -时，同理可得顶点坐标为：1(2-，9)4-， 故将原抛物线向左平移3个单位向下平移3或向左平移2个单位向下平移5个单位即可满足条件．23．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【解答】解：（1）把(1,0)B 和(0,3)C 代入22y ax x c =-+中， 得203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式是：223y x x =--+，2223(1)4y x x x =--+=-++Q ，∴顶点坐标(1,4)D -；（2）令0y =，则2230x x --+=，解得13x =-，21x =，(3,0)A ∴-，3OA OC ∴==，CAO OCA ∴∠=∠，在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==，AC ==Q，DC ==，AD ==，22220AC DC AD ∴+==；ACD ∴∆是直角三角形且90ACD ∠=︒，1tan 3DC DAC AC ∴∠===， 又DAC ∠Q 和OCB ∠都是锐角，DAC OCB ∴∠=∠，DAC CAO BCO OCA ∴∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠；（3）令(,)Q x y 且满足223y x x =--+，(3,0)A -，(1,4)D -， ADQ ∆Q 是以AD 为底的等腰三角形，22QD QA ∴=，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，化简得：220x y -+=，由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点Q的坐标是，． 26．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：BCD ∆是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，∴根据题意，得3033a b a a --=⎧⎨-=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．（2）由2223(1)4y x x x =-++=--+得，D 点坐标为(1,4)， 定义抛物线223y x x =-++．令0y =，2230x x -++=，解得1x =-或3， (1,0)A ∴-，(3,0)B ，22(10)(43)2CD ∴=-+-=，223332BC =+=，22(31)(40)5BD =-+-=2222(2)(32)20CD BC +=+=Q ，22(25)20BD ==，222CD BC BD ∴+=，BCD ∴∆是直角三角形；（3）存在．223y x x =-++对称轴为直线1x =．①若以CD 为底边，则11PD PC =， 设1P 点坐标为(,)x y ，根据勾股定理可得2221(3)PCx y =+-，2221(1)(4)PD x y =-+-， 因此2222(3)(1)(4)x y x y +-=-+-，即4y x =-．又1P 点(,)x y 在抛物线上，2423x x x ∴-=-++，即2310x x -+=， 解得1352x +=，23512x -=<，应舍去， 352x +∴=， 5542y x -∴=-=， 即点1P 坐标为35(2+，55)2-． ②若以CD 为一腰，Q 点2P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点2P 与点C 关于直线1x =对称， 此时点2P 坐标为(2,3)．∴符合条件的点P 坐标为35(2+，55)2-或(2,3)．28．如图1，抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，抛物线与x 轴相交于B ，C 两点，与y 轴交于点(0,3)D ．（1）求抛物线的表达式以及点B 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得DP CP +最小，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q 是线段BD 上方抛物线上的一个动点．过点Q 作x 轴的垂线，交线段BD 于点E ，再过点Q 作//QF x 轴交抛物线于点F ，连结EF ，请问是否存在点Q 使QEF ∆为等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）Q 抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，∴设抛物线的表达式为：2(1)4y a x =-+，把(0,3)代入得：23(01)4a =-+，1a =-，∴抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =--+=-++；令0y =，2(1)40x --+=，解得13x =，21x =-，B ∴的坐标是(3,0)，C 的坐标是(1,0)-；（2）存在，如图1，因为B ，C 关于对称轴对称，连接BD 交对称轴于P ，此时DP CP +的值最小，(0,3)D Q ，(3,0)B ，易得BD 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，P ∴的坐标是(1,2)；（3）如图2，存在点Q ，使QEF ∆为等腰直角三角形，设2(,23)Q n n n -++，则(,3)E n n -+，2(2,23)F n n n -+-++， 22(23)(3)3QE n n n n n ∴=-++--+=-+，|22|QF n =-， QE x ⊥Q 轴、//QF x 轴，90EQF ∴∠=︒，∴当QE QF =时，QEF ∆为等腰直角三角形，即：23|22|n n n -+=-， ①2322n n n -+=-，解得：11n =-（不合题意，舍去），22n =， 则(2,3)Q ；②2322n n n -+=-+， 解得：15173n +=>（不合题意，舍去），2517n -= 则517(Q -3175-． 综上，点Q 的坐标为(2,3)或517(-3175-．。
中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷带答案
中考数学总复习《等腰三角形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.(2024·临夏州中考改编)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是( )A.12B.24C.30D.152.如图,OC是线段AB的垂直平分线,∠ACO=15°,则∠B的度数为( )A.60°B.70°C.75°D.80°3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2√3,∠A=30°,分别以点A,点B为圆心,大于1AB2长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则△ABD的周长是( )A.4B.4+2√3C.6√3D.64.(2024·重庆中考改编)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=10,则AD的长度为.AB 5.如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于12的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为.6.(2024·贵州中考改编)如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若∠ABC=55°,则∠ADC的度数为.7.(2024·新疆中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,求AD的长.【B层·能力提升】8.如图,直线l1∥l2,直线AB分别交l1,l2于点A,B,∠MAB=120°,以点B为圆心,BA 长为半径画弧,若在弧上存在点C使∠ACB=20°,则∠1的度数是( )A.80°B.75°C.70°D.60°9.(2024·自贡中考)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )A.(24-12√3)mB.(24-8√3)mC.(24-6√3)mD.(24-4√3)mAB的长为10.如图,在△ABC中,∠C=85°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于12半径画弧,两弧相交于点M,N,连接M,N,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为( )A.50°B.45°C.35°D.30°11.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(-8,6),过点B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为点C,点A,直线y=-2x-6与AB交于点D,与y轴交于点E,动点M 在线段BC上,动点N在直线y=-2x-6上,若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为.12.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,AD=BD.(1)求证:AC=BE;(2)求∠B度数.【C层·素养挑战】13.(2024·新疆中考改编)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.参考答案【A层·基础过关】1.(2024·临夏州中考改编)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是(A)A.12B.24C.30D.152.如图,OC是线段AB的垂直平分线,∠ACO=15°,则∠B的度数为(C)A.60°B.70°C.75°D.80°AB 3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2√3,∠A=30°,分别以点A,点B为圆心,大于12长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则△ABD的周长是(B)A.4B.4+2√3C.6√3D.64.(2024·重庆中考改编)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=10,则AD的长度为10.AB 5.如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于12的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为56°.6.(2024·贵州中考改编)如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若∠ABC=55°,则∠ADC的度数为125°.7.(2024·新疆中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,求AD的长.【解析】在Rt△ABC中,sin A=BCAB×8=4,∴AC=√82-42=4√3.∴BC=12当点D在点B左上方时,如图所示∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.又∵∠BCD=30°,∴∠BDC=60°-30°=30°∴BD=BC=4,∴AD=8+4=12.当点D在点B的右下方时,如图所示∵∠ABC=60°,∠BCD=30°,∴∠CDA=90°.在Rt△ACD中cos A=ADAC ,∴AD=√32×4√3=6.答:AD的长为12或6.【B层·能力提升】8.如图,直线l1∥l2,直线AB分别交l1,l2于点A,B,∠MAB=120°,以点B为圆心,BA 长为半径画弧,若在弧上存在点C使∠ACB=20°,则∠1的度数是(A)A.80°B.75°C.70°D.60°9.(2024·自贡中考)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)A.(24-12√3)mB.(24-8√3)mC.(24-6√3)mD.(24-4√3)mAB的长为10.如图,在△ABC中,∠C=85°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于12半径画弧,两弧相交于点M,N,连接M,N,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为(C)A.50°B.45°C.35°D.30°11.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(-8,6),过点B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为点C,点A,直线y=-2x-6与AB交于点D,与y轴交于点E,动点M 在线段BC上,动点N在直线y=-2x-6上,若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为(-8,6).12.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,AD=BD.(1)求证:AC=BE;【解析】(1)证明:∵DE⊥AB于E,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,∴CD=DE 在Rt△ACD与Rt△BED中,{AD=BDCD=DE∴Rt△ACD≌Rt△BED(HL),∴AC=BE.(2)求∠B度数.【解析】(2)∵AD是△ABC的角平分线∴∠CAD=∠BAD∵AD=BD,∴∠B=∠BAD,∴∠CAD=∠BAD=∠B,∵∠C=90°∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°,∴∠B=30°.【C层·素养挑战】13.(2024·新疆中考改编)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;【解析】(1)CE+CD=CA.理由如下:∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中,{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD.∵BD+CD=BC,∴CE+CD=CA.(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.【解析】(2)CA+CD=CE.理由如下:∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中,{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴CE=BD,∵CB+CD=BD ∴CA+CD=CE.。
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型（含答案）知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形；4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.变式练习1：如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.变式练习2：如右图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 __7__．变式练习5：一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A．12 B．16 C．20 D．16或202.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.变式练习1：△ABC中，∠B=60°，AB=A C，BC=3，则△ABC的周长为9.变式练习2：在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D 作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.变式练习3：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.知识点二：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21P C OBAPCO B A注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.变式练习：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
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中考数学二轮复习专题10《等腰三角形探究问题》精练解析卷
一、选择题
1．如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是(D )
A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°
,第1题图),第2题图)
2．如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有(D )
A．1个B．2个
C．3个
D．3个以上
【解析】
如图，在OA ，OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°.∵OP 平分∠AOB ，∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN ，可证△PEM ≌△PON (ASA)，∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°，∴△POM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．
二、填空题
3．正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三
角形，则腰长为__25或52或652
__．
【解析】如图①，当E ，C 重合时，PB ＝PC ＝25；在AB 上取E 使PE ＝EB ，如图②，设AE ＝x ，∴(4－x )2＝x 2＋4，解得x ＝32，使PE ＝5
2；在BP 上取中点M ，如图③，作ME ⊥PB 交DC 于E .设EC ＝x ，
由PE ＝BE 知42＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝1
2
，∴PE ＝
22＋（4－12）2＝65
2
.
4．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm，∠ADC ＝120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，
CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1cm/s，点F 的速度为2cm/s，经过t 秒△DEF
为等边三角形，则t 的值为__4
3
__.
三、解答题
5．如图，已知点A (1，2)是反比例函数y ＝k
x
图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支
于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，求点P 的坐标．
解：∵反比例函数y ＝k
x
图象关于原点对称，∴A ，B 两点关于O 对称，∴O 为AB 的中点，且B (－1，
－2)，∴当△PAB 为等腰三角形时有PA ＝AB 或PB ＝AB ，设P 点坐标为(x ，0)，∵A (1，2)，B (－1，
－2)，∴AB ＝[1－（－1）]2＋[2－（－2）]2
＝25，PA ＝（x －1）2＋22，PB ＝（x ＋1）2＋（－2）2，
当PA ＝AB 时，则有（x －1）2＋22＝25，解得x ＝－3或5，此时P 点坐标为(－3，0)或(5，0)；当
PB ＝AB 时，则有（x ＋1）2＋（－2）2＝25，解得x ＝3或－5，此时P 点坐标为(3，0)或(－5，0)．综
上可知P 点的坐标为(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)
6．已知抛物线c 1的顶点为A (－1，4)，与y 轴的交点为D (0，3)，抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2.
(1)求c 2的解析式；
(2)若c 2与x 轴正半轴交点记作B ，试在x 轴上求点P ，使△PAB 为等腰三角形.
解：(1)∵抛物线的顶点为A(－1，4)，∴c
1设的解析式为：y＝a(x＋1)2＋4，∵抛物线c
1
与y轴
的交点为D(0，3)∴3＝a＋4，即a＝－1，∴y＝－(x＋1)2＋4.∵抛物线c
1
关于y轴对称的抛物线记作
c 2，∴c
2
：y＝－x2＋2x＋3
(2)∵c
2
与x轴正半轴交点记作B，∴点B(3，0)，∵点A(－1，4)，∴AB＝42＋42＝42，当PB
＝AB时，点P(3－42，0)或(3＋42，0)；当PA＝AB时，点P(－5，0)；当PA＝PB时，点P(－1，0)，所以，当点P为(3－42，0)或(3＋42，0)或(－5，0)或(－1，0)时，△PAB为等腰三角形
7．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图1，DE与AC交于点P，易证：BD＝DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
解：
(1)BD ＝DP 成立，证明：如图②，过点D 作DF⊥MN ，交AB 的延长线与点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA ＝DF.∵∠1＋∠ADB ＝90°，∠ADB ＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF 与△PDA 中，
∠2＝∠1，DF ＝DA ，
∠DFB ＝∠DAP ＝45
°，
∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP
(2)BD ＝DP.证明：如图③，过点D 作DF⊥MN ，交BA 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，
∴DA ＝DF.在△BDF 与△PDA ∠F ＝∠PAD ＝45°，
DF ＝DA ，
∠BDF ＝∠PDA ，
∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP
8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCO 的顶点B (4，
3)，C ，D 为BC 的中点，直线AD 与y 轴交于E 点，与抛物线交于第四象限的F 点．
(1)求该抛物线解析式与F 点坐标；
(2)如图2，动点P 从点C 出发，沿线段CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AE 以每秒
13
2
个单位长度的速度向终点E 运动．过点P 作PH ⊥OA ，垂足为H ,连结MP ，MH .设点P 的运动时间为t 秒．若△PMH 是等腰三角形，求出此时t 的值．
解：(1)∵矩形ABCO ，B 点坐标为(4，3)，∴C 点坐标为(0，3)，∵抛物线y ＝－1
2
x 2＋bx ＋c 经过
矩形ABCO 的顶点B ，C c ＝3，
－8＋4b ＋c ＝3，
c ＝3，
b ＝2，
∴该抛物线解析式y ＝－12x 2
＋2x ＋3，设
直线AD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∵A (4，0)，B (2，34k 1＋b 1＝0，2k 1＋b 1＝3，k 1＝－3
2，b 1
＝6，
∴y ＝－32x ＋6，y ＝－3
2
x ＋6，
y ＝－12
x 2
＋2x ＋3，
∵F 点在第四象限，∴F (6，－3)(2)如图①过M 作MN⊥OA 交OA 于N ，∵△AMN ∽△AEO ，∴AM AE ＝AN AO ＝MN EO ，∴AN ＝t ，MN ＝3
2t ，①如
图③，当PM ＝HM 时，M 在PH 的垂直平分线上，∴MN ＝12PH ，∴MN ＝32t ＝3
2，∴t ＝1；②如图①，当HM
＝HP 时，MH ＝3，MN ＝32t ，HN ＝OA －AN －OH ＝4－2t ，在Rt △HMN 中，MN 2＋HN 2＝MH 2，∴(3
2
t )2＋(4－2t )2
＝32，解得：t 1＝2(舍去)，t 2＝
1425；③如图②，如图④，当PH ＝PM 时，∵PM ＝3，MT ＝|3－3
2
t|，PT ＝BC －CP －BT ＝|4－2t|，∴在Rt △PMT 中，MT 2＋PT 2＝PM 2，即(3－32t )2＋(4－2t )2＝32，解得：t 1＝16
5，
t 2＝45.综上所述：t ＝1425或45或1或16
5
.。