2015届高考理科数学解答题的八个大题模板

方达教育学科教师辅导教案

学员姓名

年 级

高三

辅导科目 数 学

授课老师

翟 嘉 课时数

2h 第 次课

授课日期及时段 2015年 月 日 ： — ：

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．

模板1 三角变换与三角函数的性质问题

已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1.

解答题的八个答题模板

a ·

1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝3

2

b ， 所以a ＋

c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， 故a ＋c ＋

⎝

⎛

⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 2

2bc ＝3b ，

整理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．

(2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ＝

a 2＋c 2－⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋c 22

2ac

＝

3a 2＋c 2－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝1

2

，

因为0

π

3

.

解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b

2

＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2

＋c 2

＝9＋2×6×1

3＝13.解⎩⎨⎧

ac ＝6，a 2

＋c 2

＝13，

得⎩⎨⎧

a ＝2，

c ＝3

或

⎩⎨

⎧

a ＝3，c ＝2.

因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.

(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2

B ＝

1－

13

2

＝223

，

由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42

9.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，

因此cos C ＝1－sin 2

C ＝ 1－

42

9

2

＝7

9

.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝23

27

. 模板3 数列的通项、求和问题

已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，

n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n

，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .

审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→

a n ＋1

b n ＋1－a n

b n

＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝2n －1·3n －1

――→错位相减法得S n

规 范 解 答 示 例

构 建 答 题 模 板

解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，

所以a n ＋1b n ＋1－a n

b n

＝2，即c n ＋1－c n ＝2，

所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.

(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，

3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n

，

相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.

第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．

第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式． 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)． 第四步 写步骤：规范写出求和步骤． 第五步 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.

当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)T n ＝

1

b 1b 2＋

1

b 2b 3＋

1

b 3b 4

＋…＋

1

b n b n ＋1

＝11×3＋13×5＋15×7

＋…＋12n －1

×

2n ＋1

＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝

⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n

2n ＋1.

由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 001

10，

∴满足T n >1 001

2 012

的最小正整数n 的值为101.

模板4 利用空间向量求角问题

(2014·山东)如图，在四棱柱

ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；

(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．

审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CD

CD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1