2015届高考理科数学解答题的八个大题模板

方达教育学科教师辅导教案学员姓名年 级高三辅导科目 数 学授课老师翟 嘉 课时数2h 第 次课授课日期及时段 2015年 月 日 ： — ：数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1.解答题的八个答题模板a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 所以a ＋c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， 故a ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．(2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2＋c 2－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 模板3 数列的通项、求和问题已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝2n －1·3n －1――→错位相减法得S n规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式． 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)． 第四步 写步骤：规范写出求和步骤． 第五步 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板4 利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图(1)． 在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因为C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC .由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，由题意得∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步 求夹角：计算向量的夹角．第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0.解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b2， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b a ＋1a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.模板6 解析几何中的探索性问题解(1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0. (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB → ＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1.注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.(2014·福建)已知双曲线E ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2x 2＋1－2x ·2x x 2＋12＝2－2x 2x 2＋12，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2ax 2＋1－2x 2ax －a 2＋1x 2＋12＝－2x －a ax ＋1x 2＋12.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－1a)－1a(－1a，a )a(a ，＋∞)f ′(x)－0 ＋ 0 －f (x )极小值极大值所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a 内为增函数．函数f (x )在x 1＝－1a 处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，a )a(a ，－1a)－1a(－1a，＋∞)。