对流-扩散方程的离散格式

一、系数aE与aW 之间的内在联系
aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。
对流项中心差分：
aE
De
Fe 2
, aW
Dw
Fw 2
aW
i 1
D
aE i
D
1
P 2
1
P 2
P
对流项一阶迎风：
aE De Fe,0 , aW Dw Fw,0
aW i 1 aE i
D
D
1 P,0
迎风格式离散形式： aPP aEE aWW
aE De Fe, 0 aW Dw Fw, 0
aP aE aW Fe Fw
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四、中心差分与一阶迎风格式的讨论
1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一 阶迎风格式的误差更小。
2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起 解的振荡，得到物理上看似合理的解。
1 P,0
P
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二、混合格式(Spalding,1971)
0
aE De
1 0.5Pe Pe
, Pe 2 , 2 Pe 2 , Pe 2
aE De
Pe
,
1 0.5Pe
,
0
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三、指数格式
利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。
三、指数格式（续）
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四、乘方格式(Patankar,1979)
0
, Pe 10
aE De
1 0.1Pe 5
1
0.1Pe
5
Pe
, ,
0 Pe 10 10 Pe 0
Pe
, Pe 10
aE
De
0
,
1 0.1 Pe
5
+
0
,
Pe
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u e
Fee
P
max Fe,0
E
max Fe,0
w界面
P Fe ,0 E Fe ,0
uw 0 , W ; uw 0 , P
u w
Fww
W
max Fw,0
P
max Fw,0
W Fw,0 P Fw,0
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三、对流项的迎风格式（续）
3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格， 否则计算结果的误差较大。
4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信 息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。
5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风 格式。
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§5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式
d
dx
采用控制容积积分法
e
x e
u e 2
w
x w
u w 2
P
e
x e
u e 2
E
w
x
w
u w 2
W
记：F = u 通过界面的流量。
D= x 界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。
F D
=
u x
u
x
P
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二、对流项的中心差分（续）
De
五、5种3点格式系数汇总只需给出
aE De
定义式
格式
定义
中心差分
1 Pe 2
迎风格式
1 Pe,0
混合格式 乘方格式 指数格式
Pe , 1 0.5Pe , 0
0
,
1 0.1 Pe
5
+
0
,
Pe
Pe
exp Pe 1
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§5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析
两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。
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§5.2 对流项的中心差分与迎风格式
一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解
d dx
u
d dx
d
dx
边界条件： x 0 , 0 ; x L , L
d udx C
ln
C1
ux
C2
C1eux C2
P
1
0.5P
E
2
1
0.5P
W
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二、对流项的中心差分（续）
例：在一维模型方程离散求解的
均分网格中，已知W =100， E =200。试对P =0，1，2及4
四种情况按中心差分格式计算
P之值。
负系数会导致物理上不真实的解。
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三、对流项的迎风格式
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一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）
0 L 0
eux euL
1 1
ePex L 1 ePe 1
Peclet数：
Pe uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
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二、对流项的中心差分
对方程
d u
dx
d dx
Fe 2
Dw
Fw 2
P
De
Fe 2
E
Dw
Fw 2
W
aPP aEE aWW
aP aE aW Fe Fw
,
aE
De
Fe 2
,
aW
Dw
Fw 2
在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，
则： aP aE aW
在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。
常物性条件下均分网格：
Hale Waihona Puke Baidu
Taylor展开法
d i i1 dx i x
,
ui 0
i1 i x
, ui 0
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
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三、对流项的迎风格式（续）
e界面
ue 0 , P ; ue 0 , E
一、通量密度及其离散表达式
d dx
u
d dx
d
dx
总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散
及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。
J
u
d
dx
x
P
d
d
x
x
J*
J D
P
d
d
x
x
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一、通量密度及其离散表达式（续）
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第5章 对流-扩散方程的离散格式
2009年3月13日
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§5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式
一、对流项离散格式的重要性
1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性
二、构造离散格式的两种方式
1、Taylor展开法 2、控制容积积分法
Fe exp exp Pe
Pe
1
exp
Fw Pw
1
P
exp
Fe Pe
1E
Fw exp Pw exp Pw
1
W
aPP aEE aWW
aE
Fe
exp Pe 1
,
aW
Fw exp Pw exp Pw 1
aP aE aW Fe Fw
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