静电场习题课讲稿.ppt

平面，单位长度的电量为，面外与带电平面共
面的有一点Ｐ，与带电面的右边缘相距为b，试 求Ｐ点的场强。 a
Ｏ X
Ｐ
Ｘ
b
dx
例2. 无限长均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为
解：场具有轴对称分布 高斯面：圆柱面
(1) r <R
e E dS E dS E dS E dS
解： r<R
e E dS E4r 2
qi
q
4 R3
4 r 3
3
E
E
3
q
E4r 2
1
0
qr 3 R3
rr
R
场强
E
qr
4 0R3
wk.baidu.com E
E
高斯面
E
r dS E
dS
E
r
r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
E
q
4 0r 2
下面举例说明
第一种情形：电场呈现球对称分布
例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0
解: 对称性分析 E具有球对称 作高斯面——球面
rR
电通量
e E1 dS E1 dS E1 4r 2
++ E
+ +
R
+
r
++q +
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
V
iˆ V
ˆj V
kˆ)
x y z
将 gradV ( V iˆ V ˆj V kˆ) 称为电势梯度 x y z
课堂练习 利用场强与电势梯度的关系求均匀带电细杆中垂线
上P点的电场强度。已知细杆的的电量为q ,长度为L。 y
P
y
O dx
Lx
X
电势的计算
电势计算的第一种方法：
由点电荷电势公式以及电势叠加原理计算
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面S的电通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电 量的代数和除以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
e
s
E dS
1
0
qi
2、高斯定理的理解
e
s
E
dS
1
0
qi
q1 q2
q3
q4
a. E是髙斯面各面元处的电场强度，是由全部电
荷（面内外电荷）共同产生的场强的矢量和，而过
R
＋Q
b
q a
例题：
MO
N
D
-q
q0
+q
例、如图所示，在点电荷＋q的电场中，若取图中 的N点处为电势零点，则M点的电势为多少？
＋q
N
M
a
a
例题、在点电荷q的电场中，选取以q为中心、 半径为Ｒ的球面上的一点Ｐ为电势零点，则与 点电荷q距离为r的Ｑ点的电势为多少？
Ｐ
Ｒ q
Ｑ
Ｗ
r
例2 求一均匀带电圆环轴线上任一点 P处的电势。
Q
Ｌ
x dx ＋q B
-q C
P
Ｏ ＋ ＋ ＋ ＋ － － －－
x
Ｌ
Ｌ
Ｌ
x
dx
课堂练习：
求均匀带电半圆环圆心O处的电势，已知 半圆环的
半径为R 、电荷的线密度为 。
Y
dq
Ro
d
X
O
计算电势的第二种方法：
根据已知的场强分布，按定义式以及电势叠加 原理计算
U P E • dl
P
例. 求均匀带电球面电场中的空间电势分布。 已知R、 q>0
+
R
Ox
P
电场强度的计算方法之三 利用电场强度与电势梯度的关系
在直角坐标系中，电势V是坐标X、Y、Z的函数，因此， 我们可以把X、Y、Z轴的正方向取作dl的方向，这样就可得 电场强度在X、Y、Z三个方向上的分量分别为：
Ex
V x
Ey
V y
V Ez z
于是电场强度与电势的关系就各表示为：
E
(
R1
R2
2 1 I II III
第三种情形：电场呈现面对称分布（镜像对称）
例1. 均匀带电无限大平面的电场，已知电荷面密度为 解: E具有面对称 高斯面:柱面
e E dS E dS E dS E dS
高
S1
S2
S侧
斯
ES1
2ES
ES2
1 S
0
1 S
0 E
面
S E
0
2 0 R
dE y
＋
＋
＋
dEx
－
－
dE y
－
dE
例求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知：q、 R、 x 求：Ep
解：细圆环所带电量为
dq 2rdr
q
R2
由上题结论知：
dE 1
xdq
4 0 (r 2 x 2 )3 2
4
x 2rdr 0 (r 2 x2 )3
2
E dE
R 0
x rdr 20 (r 2 x2 )3
静电场的两个主要问题： １、场强的计算 ２、电势的计算
电场强度的计算方法之一 利用点电荷的场强公式
电场强度的计算 1. 点电荷的电场
E
1
4 0
q r2
er
重要
F
1
4 0
qq0 r2
er
E
F q0
1
40
q r2
er
q(er0)
q( 0) er
P E
E
P
2. 点电荷系的电场
q2 q1
已知： q 、R 、 x。
dq
y
r
R
p
xx
x
z
例、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环， 带电量为Q，水平放置，在圆环轴线上方离圆 心为R处，有一质量为m、带电量为q的小球， 当小球由静止下落到圆环的圆心位置O时，它 的速度为多少？
m q
R
Q OR
例3 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。
已知：q、 R、 x 求：Up
E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
E
qr 4 0 R 3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
课堂练习. 如图所示的均匀同心带电球面，两球面 的半径分别为R1和R2，所带电量分别为q1和q2， 求区域I、II和III的场强分布。
R1
q1
R2
I
II
III
q2
高斯面
R1
q1
R2
I
II
III
q2
例. 如图所示,一半径为R的带电球体，其电荷体密
场强的大小，这样的一组曲线称为电力线。 E
我们可以在电场中取一个垂直于电场方向的小面 元dS，通过该小面元的电力线根数与该面元的面积 的比值称为电力线密度。我们规定电场中某点的场 强的大小在数值上必须等于该点的电力线密度。
dS
E
E dN dS
总结：
E
方向：切线方向
大小： E dN =电力线密度
E1
E
P E2
3. 连续带电体的电场
dE
dq
40r 2
er
E
dE
1
4 0
drq2 er
dq
P
r
线电荷 d q d l
面电荷 dq dS
体电荷 dq dV
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
在正方形的顶点处放置等量的点电荷，要求中 心P处的场强和电势都等于零，应如何放置？
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
r
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
dq
电荷元dq产生的场 dE 4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
d
E
dEx
dE
sin
0
Rd 4 0 R2
sin
dE
oR
X
4 0R2
( cos )
s
E dS
1
0
qi
1 . 利用高斯定理求某些特殊情况下的电通量
例：如图所示，在半球面的球心处有一点电荷q，计 算通过该半球面的电通量。
E
q
O
E
q
O
E
例:如图所示，正方形面ABCD的边长为a，点电 荷q在面ABCD的中垂线上，且与面ABCD的距 离也为a，求通过面ABCD的电通量。
B
a/2 A a
q
q
UP
E • dl
P
r
4
0r
2
dr
4 0r
例、如图所示，已知边长为a的正方形顶点上 有四个电量均为q的点电荷，求：
①正方形中心O点的电势Uo。
②将试验电荷q0从无穷远处移到正方形中 心O点时，电场力所作的功。
q
q
a
O
q
q
课堂练习：如图所示，边长为a的等边三角形 的三个顶点上分别放置三个正的点电荷，电 量分别为q、2q和3q，若将另一个正点电荷Q 从无穷远处移到三角形的中心O点处，电场力 所作的为多少？
dS
Eb
Ec
b
Ea
c
E
a
电力线性质：
1、不形成闭合回线，也不中断，而是起于正电荷（或 无穷远处）、止于负电荷（或无穷远处）；
2、任何两条电力线不相交。
二、电通量
通过电场中某一给定面的电力线根数称为通过该面的电
通量。用e表示。
均匀电场 S与电场强度方向垂直
均匀电场，S 法线方向与
电场强度方向成角
S
E
E
E
E
R
均匀带电球面
E
E
E
dS
E
r
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
E2
q
4 0r 2
+ +
++
O
++
E
+ +
r
q
+ +
+
E
1
q
r2
4 0 R2
r
O
R
例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R
曲面的通量由曲面内的电荷决定。当通过髙斯面的
电通量等于零时，并不意味着曲面上各点的电场强
度等于零。
b.当通过髙斯面的电通量为正时，表示该髙斯面内
的净电荷为正，从髙斯面内出来的电力线多于进入
髙斯面内的电力线；反之，当通过髙斯面的电通量
为负时，则进入面内的电力线多于出来的电力线。
四、高斯定理的应用
e
s
上底
下底
侧面
l
0 0 E2rl
qi 0
E0
高 斯 面
r E
r
dS E
r
l
dS E
例3：求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知
圆柱体的半径为R，单位长度的电量为。
高
斯
面
r E
l
r
dS E
r
l
dS E
例4. 如图所示的无限长均匀同心带电圆柱面，内 外圆柱面的半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位 长度的带电量分别为1和2，求区域I、II和III的 场强分布。
a
b
Ｐ
d
c
例、求顶点Ｐ处的电场强度
a
Ｐ
q
例、求Ｐ点处的电场强度
q
a
q
Ｐ
q
q
例、求Ｐ点处的电场强度
q
a
q
Ｐ
－q
－q
例题 求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a
x dx
O
P
L
a dE X
课堂练习
求均匀带电细杆中垂线上一点的场强。已知 q ,L,a dE
P
a
O X dx
x
L
例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
度分布为 ,若在球体内挖去一个半径为r的小球
体，求两球心O和O’处的场强。两球心间的距离为 d。
O d rr
O，
R
O
d
r
O，
R
O R
d r
O，
第二种情形：电场呈现轴对称分布
例1、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长 度的电量为 ，求其空间电场分布。
r
r
h
dS
E
例． 如图所示，一宽度为a的无限长均匀带电
R
r
x
P
dr
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L,a
x dx
O
L
P
a
X
课堂练习 求均匀带电细杆中垂线上一点P的电势。已知细杆的 的电量为q ,长度为L, P点与细杆的距离为a。
P
a
O dx
Lx
X
如图所示，取无穷远处的电势为零，求Ｐ、Ｑ两点的电势。若 取Ｂ点的电势为零又如何？
q
O
2q
3q
例题、点电荷q位于圆心Ｏ点处，Ａ、Ｂ、Ｃ、 Ｄ为圆周上的四个点，将试验电荷q0从圆周上 的Ａ点分别移动到Ｂ、Ｃ、Ｄ各点，所作的功 如何？
Ｄ
Ａ q0
q
Ｃ Ｂ
例、如图所示，将一试验电荷q在点电荷＋Q产生的 电场中从a点沿着半径为R的3/4圆弧轨道移动到b点 的过程中电场力所作的功为__________；从b点移 到无穷远处电场力所作的功为___________。
q
C
D
B A q
C D
例:如图所示，在正方体的某一顶点上有一点电 荷q，求通过面ABCD的电通量。
q B
A C
D
B A
C D
当电场分布具有高度对称性时可以利用高斯 定律计算场强分布 步骤： 1.对称性分析，确定电场强度的大小和方向的 分布特征。 2.根据电场的对称性作高斯面，计算电通量。
3.利用高斯定理求解
++ +
+
E
+ +q
+R
+
+
r
+
+
+
+++ +
例. 求均匀带电球体电场的空间电势分布。已知q , R
0
S2
S侧 S1
E
σ
2 0
E
S
S E
+
+
+
A
B
C
D
例、 A、B为真空中两个无限大的带电平面，两平
面间的电场强度大小为E0，两平面外侧的电场强 度大小为E0/3，则两平面上的电荷面密度为多少？
A
B
E0/3
A
E0/3
B
E0
E1
2
0
E2
2
0
(1
x) R2 x2
E E1 E2
x
2 0 R2 x2
Sn
E
e ES E • S
e ES cos E • S
电场不均匀，S为任意曲面
de EdS cos
E dS
e
de
S
E cos dS
S
E • dS
S
S为任意闭合曲面
e
E cosdS
S
E dS
S
如图，对于闭合曲面我们 通常规定外法线方向为正 方向。
这样，进入闭合曲面的电力线产生的电通量为负； 从闭合曲面中出来的电力线产生的电通量为正。如 果出来的电力线根数多于进入的电力线根数，表明 此闭合曲面内正电荷多于负电荷；反之，则负电荷 多于正电荷。
2
dr
Rr
(1
20
r2 x2 dE
xP
x )
R2 x2
Rsin
Rd
R
d
O
R cos
求O点的电场强度
Q 3R
R
Q
O
q
R
O d
电场强度的计算方法之二 利用高斯定律
第二讲 电通量 高斯定理 一、电场的图示法电力线
在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向 与该点的电场强度方向一致，曲线的疏密程度表示