2019年四川省成都市青羊区树德中学外地生自主招生数学试卷

2019年四川省成都市青羊区树德中学外地生自主招生数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）

A．a B．﹣a C．a D．﹣a

2．（5分）满足的所有实数x的和为（）

A．3B．4C．5D．6

3．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）

A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1

4．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）

A．15°B．18°C．20°D．22°

5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”

的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）

A．B．C．D．

6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）

A．B．C．D．

7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）

A．B．C．D．

8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）

A．B．C．D．

9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）

A．1B．C．3D．4

10．（5分）设，则的整数部分是（）

A．61B．62C．63D．64

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为．

13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．

14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果保留π）

16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥CE于H，则DG：DH＝．

三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．

（2）解方程：．

18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？

19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．

（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；

（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．

20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．

（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；

（2）求CE+2DE的最小值．

21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题

材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”

因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉

例如：已知﹣＝2，求+的值．

解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10

∵﹣＝2，

∴+＝5

材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，

则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以

AB＝1

反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如

＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．

（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；

（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；

②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直

接写出x的值．

22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝；

（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长；

（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）C（2，0）B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、C，点P在抛物线上，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．