云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测理科数学试题(三) Word版含解析

曲靖一中高考复习质量监测卷三
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足
121i
i z
-=+，则z =（ ）
A. B.
2
C.
2
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
先求z ，再根据模长公式，即可求解.
【详解】()()1211213122
i i i i
z i -----===+，所以z 2
=. 故选:C
【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题. 2. sin （25
6
-π）=（ ）
A. 12
-
B.
12
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】251sin sin 4sin 6662πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-π=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故选：A
【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用. 3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，17a =，则5a =（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
由35S S =得450a a +=，进而得2d =-，故514781a a d =+=-=- 【详解】解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得450a a +=， 即1270a d +=，得2d =-， 所以514781a a d =+=-=-. 故选：A.
4. 已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =，若a 与b 的夹角为56
π
，则a b -=（ ）
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2
a b -的值，即可得解. 【详解】
()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，
()
2
2
22
22522cos
1213376a b a b
a a
b b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭
，
因此，7a b -=. 故选：B.
【点睛】求向量模的常用方法：利用公式
2
2
a a =，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
5. 给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：“1122x
y
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”
是“ln ln x y <”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()p q ⌝∧ D. ()p q ⌝∨
【答案】D 【解析】 【分析】
由共面向量定义可知命题p 错；分别解出两个不等式，可知命题q 错，再利用
“或”“且”“飞”命题的判断方法，即可得答案.
【详解】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p 错，为假命题；
由1122x y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x y <，由ln ln x y <解得0x y <<，故“1122x y
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”不是“ln ln x y <”的充要条件，故命题q 错，为假命题； 所以p ⌝为真命题.
故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题 故选:D.
6. 设函数(
)2
()ln 1f x x =-，集合{}()A x y f x ==，{}()B y y f x ==，则图中的阴影部
分表示的集合为（ ）
A. []1,0-
B. (1,1)-
C. (,1](0,1)-∞-
D. (,1)(0,1)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
图中的阴影部分表示的集合
()A B A
B ⋃，集合A 元素代表是x ，即求函数()
2
()ln 1f x x =-的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数(
)2
()ln 1f x x
=-的值域，表示集合,A B ，再求
,A B A B ，利用补集定义即可求出阴影部分表示的集合.
【详解】由(
)2
()ln 1f x x
=-，知(){}{}
{}2
2
ln 11011A x y x x x
x ==-=->=-<<，
(
){
}{}2
ln 1ln1B y y x y y ==-=≤{}0y y =≤，
图中阴影部分表示：
()A B
A
B ⋃，又(,1)A B ⋃=-∞，(]1,0A B =-，
(]()(),10,1A B
A B =-∞-∴
，
故选：C.
【点睛】易错点睛：集合的表示法有很多种，列举法，描述法，图示法，自然语言等，在用描述法表示集合时，一定看清元素代表的意义；本题集合A 元素代表是x ，即求函数()f x 的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数()f x 的值域.
7. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数()y f x =，[]2,2x ππ∈-的部分图像如图所示 ，则()f x 的解析式可能为（ ）
A. 3
sin 2()e x
x x f x += B. (
)3
()sin 2x
f x x x
e
=+
C. 3
sin 2()e
x
x x f x += D. (
)3
()sin 2e x
f x x x
=+
【答案】C 【解析】 【分析】
首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数()f x 为奇函数，从而排除A ，D ；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B ，得出正确选项.
【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，排除A ，D ； 又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B 选项， 故选：C.
【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目. 8. 设1
5
1log 3a =，21
log 3
b =，则（ ） A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+
【答案】B 【解析】
【分析】
先利用对数函数的图像与性质判断出a 与b 的符号，从而可判断出ab 的符号，利用换底公式计算出
11
a b
+与1的大小，由此可得出+a b 、ab 、0三个数的大小关系. 【详解】对数函数15
log y x =为()0,∞+上的减函数，则1
155
1log log 103>=，即0a >. 又
对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则2
21
log log 103
<=，即0b <，0ab ∴< 由换底公式得31log 5a =，31
log 2b =-，333115log 5log 2log 2
a b ∴+=-=，
1101a b ∴<+<，即01a b ab
+<<，即0ab a b <+<，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题. 9. 将函数()sin 25f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称；
③该函数在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A. ②③ B. ①②
C. ②④
D. ③④
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，选项①错误；
令2x k =π，k Z ∈，求得2
k x =
π
，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫
⎪⎝⎭
π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()2
2
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈，
即()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，选项③正确，④错误. 故选:A
【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的
单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中
档题.
10. 基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt
I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数
增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，基本再生数0R 的值约为（ln 20.69≈）（ ） A 2.98 B. 3.08
C. 3.28
D. 3.48
【答案】C 【解析】 【分析】
根据所给模型求得0.38r =，再根据01R rT =+计算可得；
【详解】解：设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1.8天，则( 1.8)e 2e r t rt +=，
所以 1.8e 2r =，所以1.8ln 2r =，所以ln 20.69
0.381.8 1.8
r =≈≈，又01R rT =+，所以01160.38 3.28R rT =+=+⨯=， 故选：C.
11. 在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，
)
2224S a c b =+-，2AB BC ⋅=-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接
圆的半径R 为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角形的面积公式和余弦公式可求得角3
B π
=
，结合平面向量的数量积可求得4ac =，利
用正弦定理可得出2a c b +=，再利用余弦定理可求得2b =，进而利用正弦定理可求得R 的值.
【详解】由题意，)222
4S a c b =+-，即1
4sin 2cos 2
ac B ac B ⨯=，得tan B =
又()0,B π∈，所以3
B π
=
.
又因为()1
cos cos 22
AB BC ac B ac B ac π⋅=-=-=-
=-，所以4ac =.
由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=， 所以()222
3412a c ac b b +-=-=，所以2b =，
由正弦定理可得
22sin 3
sin 3
b R B π=
==
，所以3
R =， 故选：B.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 12. 已知函数2()22x x f x x -=++，若不等式(
)2
(1)2f ax f x -<+对任意x ∈R 恒成立，则
实数a 的取值范围是（ ）
A. ()
-
B. (-
C. (-
D. (2,2)-
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式(
)2
(1)2f ax f x
-<+化简为2
12ax x
-<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上
恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】函数2
()22
x
x
f x x -=++的定义域为R ，且2()2
2()x
x f x x f x -=-=++，所以
()f x 为偶函数.
又当0x ≥时, 2
()g x x =是增函数，
任取[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()11
2212()()22
22x
x x x h x h x ---=++-
()()12
1
2
12121212
121112
12222122222
2x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛
⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭
- 120x x >>，1
2
1
2
0,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->
所以()22-=+x x
h x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.
所以不等式(
)2
(1)2f ax f x
-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为2
12ax x
-<+，即
22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立
①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；
②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<
，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
已知
(11
1d x -=⎰________.
【答案】22
π+
【解析】 【分析】
根据定积分和微积分基本定理求解即可得到结果.
【详解】()1
1
1
11121
dx x
-==--=-⎰
，
1
-⎰
表示单位圆的上半圆的面积：
2111122ππ-∴=⨯⨯=⎰
，(111
122
dx π-∴=+⎰.
故答案为：22
π+
.
【点睛】该题考查定积分的求解问题，涉及到定积分和微积分基本定理的应用，属于基础题目.
14. 已知()f x 是定义在R 上的
偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时，
()2-=x f x ，则(2020)f =________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据(4)(2)f x f x +=-，结合()f x 是定义在R 上的偶函数，易得函数()f x 的周期为6，然后由(2020)(33664)(4)f f f =⨯+=求解.
【详解】因为(4)(2)f x f x +=-，且()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以(4)(2)f x f x +=-， 令2t x =-，则2x t =+，
所以(6)()f t f t +=，即()(6)f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为6，
所以2
(2020)(33664)(4)(2)(2)24f f f f f =⨯+==-=-==. 故答案为：4
15. 已知数列{}n a 满足()2
3
*1232222n n a a a a n n N +++
+=∈，若
221
1
log log n n n b a a +=
⋅，则数列{}n b 的前n 项和n S =________.
【答案】1
n n + 【解析】 【分析】
先根据前n 项和与通项的关系得1
2
n n a =，进而得111(1)1
n b n n n
n ，再根据裂项相消
求和法求解即可得答案.
【详解】因为()23
*1232222n n a a a a n n N +++
+=∈，
所以23
1123122221n n a a a a n --+++
+=-(2)n ≥，
两式相减得21(2)n
n a n =≥，当1n =时也满足，
故12n n
a =
，221
1log log n n n b a a +=
⋅111(1)1n n n n ==-++， 故1111111223111n n
S n n n n 1=-
+-++-=-=
+++. 故答案为：1
n
n +
【点睛】本题考查前n 项和与通项的关系，裂项相消求和.解题的关键在于根据已知条件得
{}2n
n
a 的前n 项和为n ，再根据前n 项和与通项的关系求得1
2
n
n a
=
，进而再根据裂项相消求和即可.考查运算求解能力，是中档题.
16. 如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零
点函数”.若2()log (3)f x x =-与2()x
g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围
为________. 【答案】214,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
求出()y f x =的零点2，设()y g x =的零点0x ，再根据题意求出013x <<，由02
0e 0x x a -=，
分离参数可得020e x x a =，设2
()e
x x h x =，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.
【详解】函数()y f x =有唯一的零点2，
由题意知函数()y g x =的零点0x 满足021x -<，即013x <<.
因为0
20
e 0x x a -=，所以0
2
e x x a =，
设2()e x x h x =，则2
2()e
x
x x h x -'=，(1,3)x ∈， 当(1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数； 当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数，
所以max 24()(2)e h x h ==
，又1(1)e h =，3
9
(3)e h =，
所以实数a 的取值范围为214,
e e a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故答案为：214,
e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，若1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=，且
c b >.
（1）求角B 的值；
（2）若6
A π
=
，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.
【答案】（1）6
B π
=；（2）AM =【解析】 【分析】
（1）由正弦定理边角互化整理得1
sin cos sin cos 2A C C A +=
，进而得1sin 2
B =，在结合c b >得6
B π
=；
（2）结合已知条件，由（1）知a b =，进而根据面积公式得4a =，再在三角形AMC 中利用余弦定理即可得答案.
【详解】解：（1）因为1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=
， 由正弦定理边角互化得1
sin sin cos sin sin cos sin 2
A B C C B A B +=， 由于()0,,sin 0B B π∈≠， 所以1sin cos sin cos 2
A C C A +=， 即1
sin()2A C +=
，得1sin 2
B =. 又c b >，所以02
B π
<<，所以6
B π
=
.
（2）由（1）知6
B π
=
，若6
A π
=
，故a b =，
则2112sin sin 223
ABC S ab C a π=
==△， 所以4a =，4a =-（舍）.
又在AMC 中，2
2
2
22cos
3
AM AC MC AC MC π
=+-⋅， 所以2
2
2
2211212cos 42242282232AM AC AC AC AC π⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以AM =【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据已知条件，由正弦定理边角互化得1
sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，进而得1sin 2
B =.考查化归转化思想与运算求解能力，是中档题.
18. 已知向量cos
sin ,2sin 222x x x a ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12cos()13αβ+=
，6
()5
f β=，求6f πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【答案】（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z π
π⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩
⎭
；（2）126
65. 【解析】 【分析】
（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由（1）得3sin 65πβ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13
αβ+=，5sin()13αβ+=
，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，
故1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
【详解】解（1）2
2()cos
sin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛
⎫=-+==+ ⎪⎝
⎭， 令26
2
x k π
π
π+
=
+，得23
x k π
π=
+，k Z ∈，
所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z π
π⎧⎫
=
+∈⎨⎬⎩
⎭
（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13
αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
∵02
π
β<<
，∴
2663
βπππ<+<，
又31sin 6522πβ⎛⎛
⎫
+
=∈ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
， ∴
6
6
4
π
π
π
β<+
<
，∴4cos 65
πβ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭， ∴cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的
值得关键点在于2663βπππ<+<，31sin ,6522πβ⎛⎛
⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中
档题.
19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设32log (1)n
n n b a n =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）3n
n a =；（2）223,,?21,.?2n n
n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨
-⎪+⎪⎩
为偶数为奇数. 【解析】 【分析】
（1）由()12n n n a S S n -=-≥,可得数列{}n a 是等比数列，求出通项公式即可；
（2）由（1）得到n b ，按n 为偶数和n 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列{}n b 的前n 项和n T ．
【详解】（1）当1n =时，1112233S a a ==-，所以13a =； 当2n ≥时，因为233n n S a =-，所以11233n n S a --=-，
两式作差得13n n a a -=，即1
3n
n a a -=， 因为13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，
故3n
n a =.
（2）32log 3(1)2(1)n n n
n b n n n =+-⋅=+-⋅，
当n 为偶数时，前n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22n n n n n
T n n +⋅=⋅
+-++-++-⋅=+； 当n 为奇数时，前n 项和2(1)11
2222
n n n n n T n n +⋅--=⋅+-=+， 则223,,?2
1,.?2n n
n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩
为偶数为奇数
【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．
20. 已知函数3()(2)f x x a x b =-+++，32()ln g x x x a x =-++. （1）当1a =时，若()f x 在[)3,2x ∈-上
的
最大值为10，求实数b 的值；
（2）若对任意[]1,e x ∈，都有()()g x b f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-8；（2）1a ≤-. 【解析】 【分析】
（1）由1a =，求导2
()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，令()0f x '=，得1x =-或1x =，
分别求得(3),(1),(1),(2)f f f f --，从中找出最大值，再根据最大值为10求解.
（2）由()()g x b f x +≥，得2
(ln )2x x a x x -≤-，然后转化为22ln -≤-x x
a x x 恒成立，令
22()ln -=
-x x
h x x x
，用导数法求得其最小值即可. 【详解】（1）当1a =时，由3
()3f x x x b =-++，得2
()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-， 令()0f x '=，得1x =-或1x =.
当x 变化时，()'
f x ，()f x 在[)3,2x ∈-的变化情况如下表：
所以()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为(3)1810f b -=+=，得8b =-.
（2）由()()g x b f x +≥，得2
(ln )2x x a x x -≤-，
因为[]1,e x ∈，ln 1x x ≤≤且等号不能同时取得， 所以ln x x <，即ln 0x x ->，
所以22ln -≤-x x
a x x 恒成立，即2min
2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭.
令22()ln -=-x x
h x x x
，[]1,e x ∈，则2
(1)(22ln )()(ln )-+-=-'x x x h x x x ， 当[]1,e x ∈时，ln 1x ≤，22ln 0x x +->，从而()0h x '
≥，
所以()h x 在[]1,e 上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-， 所以1a ≤-.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；
()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；
()()min a f x a f x <⇔<；
（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；
()()max a f x a f x <⇔<.
21. 已知函数1()cos x f x e x -=，2()x g x e +=. （1）求函数()f x 在(,)ππ-上的单调区间； （2）证明：对任意的实数1x ，211,2x ⎛
⎫
∈- ⎪⎝⎭
，12x x <，
都有()()()()121222g x g x f x f x ->-恒成立.
【答案】（1）单调递增区间是,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递减区间是3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）先求出函数的导数，然后分别由()0f x '>和()0f x '<可求出函数的单调区间； （3）因为12x x <，2
()x g x e
+=在
1
1,
2
上是增函数，所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-，即
()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，令21()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即
证函数()h x 在
11,
2
上是增函数，即证21()2(cos sin )0x x
h x e e x x +-'=-+≥，由于
1x e x ≥+，只需证2204x x π⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭，然后构造函数，利用导数证明即可
【详解】（1）解：11()(cos sin )sin 4x
x f x e
x x x π--⎛
⎫'=-+=+ ⎪⎝
⎭，
当,4x ππ⎛
⎫
∈--
⎪⎝
⎭
或3,4x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当3,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭时，()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间是,4ππ⎛
⎫
-- ⎪⎝
⎭
，3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递减区间是3,
44ππ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. （2）证明：因为12x x <，2
()x g x e
+=在
1
1,
2
上是增函数， 所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-， 即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立. 设2
1()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即证函数()h x 在
1
1,
2
上是增函数， 即证2
1()2(cos sin )0x x h x e e x x +-'=-+≥，
即证21
04x x e
π+⎛
⎫-+≥ ⎪⎝
⎭在
1
1,
2
上恒成立. 令()(1)x
u x e x =-+，()1x
u x e '=-，
()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，min ()(0)0u x u ==.
所以()0u x ≥，即1x e x ≥+.
因为11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，所以2122x e x +≥+.
所以要证21
04x x e
π+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭
成立，只需证2204x x π⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭，
令()14v x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭，
()14v x x π⎛
⎫'=-+ ⎪⎝
⎭
当(1,0)x ∈-时，()0v x '<，()v x 递减；当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
x 时，()0v x '>，()v x 递增.
min ()(0)0v x v ==
，所以2204x x π⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭，
即2
1()2(cos sin )0x x h x e
e x x +-'=-+≥在
1
1,
2
上恒成立，所以原命题成立. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()()()121222g x g x f x f x ->-等价转化为
()()()()211222g x g x f x f x ->-，即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，等价于
证明()()2()h x g x f x =+在在
1
1,
2
上是增函数，考查数学转化思想和计算能力 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325
425x t y t
=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
28
2cos ρθ
=
-，点P 的
极坐标为4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. （1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为Q ，求PQ .
【答案】（1）22280x y +-=；(2,2)P ；（2）
11041. 【解析】
【分析】
（1）直接由极坐标与直角坐标的互化公式化简，即可得到曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得2412201000t t ++=，设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-
，从而可得12110241
t t PQ +== 【详解】解：（1）C ：222222282cos 802802cos x y ρρρθθ
=⇒--=⇒+-=-， 所以，曲线C 的直角坐标方程是22280x y +-=.
点P
的极坐标为4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，化为直角坐标得(2,2)P （2）将直线l 的参数方程32,542,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入22280x y +-=中， 整理得2412201000t t ++=，22204411000∆=-⨯⨯>，此方程有不等实数根. 直线l 经过定点(2,2)P .
设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-. 已知Q 是线段MN 的中点，PQ 对应于参数取值1202t t t +=
， 所以12110241
t t PQ +==.
【点睛】关键点点睛：此题考查极坐标与直角坐标的互化，解题的关键是正确利用互化公式cos sin x y ，考查直线参数方程的几何意义的应用，直线的参数方程代入曲线方程中化简后要注意判别式的计算，在第二问的解题中关键是准确理解参数几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数()212f x x x =+--.
（1）解不等式：()7≤f x ；
（2）已知实数0x 满足：对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，若a ，b ，c +∈R 且
()00a b c f x +++=，求149a b c
++最小值. 【答案】（1）{}113x x -≤≤；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；
（2）由已知可知，0()f x 是函数()212f x x x =+--的最小值，求出即可得到3a b c ++=，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案
【详解】（1）()2127f x x x =+--≤
当1x ≤-时，由()2(1)(2)7f x x x =-++-≤得11x ≥-，则111x -≤≤-
当12x -<≤时，由()2(1)(2)7f x x x =++-≤得73x ≤
，则12x -<≤ 当2x >时，由()3f x x =≤，则23x <≤
综上，不等式()7≤f x 的解集：{}
113x x -≤≤
（2）已知对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，则()0min ()()f x f x x R =∈. 4,1()2123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩
则()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数.
所以min ()(1)3f x f =-=-.
()00a b c f x +++=，即3(,,0)a b c a b c ++=>，
则
222222
14913a b c ⎡⎤⎡⎤++=⋅++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
21123≥⋅+=， 当且仅当23b c a ==，即12a =，1b =，32
c =时，等号成立 所以，min
14912a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：
“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；
二维不等式：()()22222()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立；
一般形式： 2111
22()n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当1212n n a a a b b b ===时，等号成立.。