实数的运算及大小比较

典例精析
例2 计算下列各式的值：
（1）( 3+ 5)- 5 ；（2）2 3-3 3 .
解: （1）( 3+ 5)- 5 = 3+( 5- 5)（加法结合律） = 3+0 =3
（2）2 3-3 3 =(2-3) 3（乘法对于加法分配律） =- 3
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应 的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
1. 相反数 只有符号不同的两个数叫互为相反数，零
的相反数是零.
如： 2与 2
2. 绝对值 数轴上一个数表示的点离开原点的距离 叫这个数的绝对值.
如： 2 2, 2 2
3. 倒数 如果两个数的积等于1，这两个数叫互为倒数. 其中一个叫另一个的倒数. 如： 2 的倒数是 1
2
练一练
在下列空格上填空： （1）一个正实数的绝对值等于 它本身 ； （2）一个负实数的绝对值等于 它的相反数 ； （3）0的绝对值等于 0 ； （4）互为相反数的两个实数的绝对值 相等 .
（2） 7 的相反数是____7___，绝对值是____7____;
（3）π
π
π
的相反数是___2____，绝对值是__2______;
2
（4）π 3.15 的相反数是_3_._1_5__π__，绝对值是_3__.1_5___π__;
（5）点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上对应的
数为 5 ，则A,B两点的距离为___4__5____.
思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘 方运算，实数可以吗？
讲授新课
一 用数轴上的点表示实数
我们知道，每一个有理数都可以用数轴上 唯一的一个点来表示.
那么每一个无理数是不是也可以用数轴上 唯一的一个点来表示呢？
思考：如何用数轴上的点表示无理数 8
8平方厘米
-1 0
123
无理数 3, 5, 7......是否也可以在数轴上表示出来，从中 我们可以的到什么结论
典例精析 例1 求下列各数的相反数和绝对值： 3,π 3.14.
解: 因为 ( 3) 3, (π - 3.14)= 3.14 π ,
所以， 3,π 3.14 的相反数分别为 3, 3.14 π .
由绝对值的意义得：
3 3,π 3.14 π 3.14.
三 实数的运算
a÷b
=
1 a·b
；
（12）实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0，
那么ab＿＿≠ ＿0.
实数的平方根与立方根的性质： 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相
反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根， 而且与它本身的符号相同.
此外，前面所学的有关数、式、方程（组） 的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
4. 估计 37 与6的大小. 解: 37 > 6.
（8）a(b+c) = ab+ac（乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = ba+ca （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b) ； （10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足
a·b = b·a =1，我们把b叫作a的＿＿倒＿数＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
2. 计算：
（1）3 22 2- 2 ；（2）3 5-5 5 . 解: (1) 原式=4 2 ；
(2)原式=-2 5 .
3. 用计算器计算（精确到0.01）：
（1） 2 3 ； （2）3 5 -1 ； （3） 5π . 解：(1) 2 3 3.15；
(2) 3 5 -10.71； (3) 5π7.02.
正wenku.baidu.com数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数 反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 负实数 原点 正实数 0
<
议一议
不用计算器， 5 与2比较哪个大？与3比较呢？
5 ，2可以看作分别是面积
为5，4的正方形的边长，
容易说明：面积较大的正
方形，它的边长也较大，
因此
5 2.
同样，因为5<9，所以 5 3.
第6章 实 数
6.2 实 数
第2课时 实数的运算及大小比较
枣树学校：黄炎
导入新课
回顾与思考
下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
2， 0， 1.414，
9，
π，

2 3
，
3 2， 0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.
0 , 1.414 ,
9,

2 3
是有理数，
2 ，π，3 2，0.1010010001 是无理数.
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b =
b+a
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c =
a+(b+c) （加法结合律）；
（3）a+0 = 0+a =
a
；
（4）a+(-a) = (-a)+a = 0
；
（5）ab =
ba （乘法交换律）；
（6）(ab)c = a(bc) （乘法结合律）；
（7） 1 ·a = a ·1 = a ；
例3 用计算器计算： 2 × 5（精确到小数点后面
第二位）.
解: 按键：
显示：3.162 277 66. 精确到小数点后面第二位得：3.16.
2 × 5 ≈3.16 .
四 实数的大小比较
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0，则 称a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
同样地，如果a-b<0，则称a小于b，记作a<b.
典例精析 例4 比较下列各组数的大小： (1) 12 1 与 3； (2) 10 与 －3.
解 ： （1）因为 12 < 42， 所以 12 < 4， 所以 12 －1< 3； 为什么？
（2）因为 10 > 32 ， 所以 10 3, 所以－ 10 －3.
为什么？
当堂练习
1.填空
（1）3.14的相反数是__3__.1_4__，绝对值是___3_.1__4__;
这可以说明： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.
反过来，还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.
上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应.
如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分 别应该在数轴的原点的哪侧呢？
二 实数的性质
有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用.