厚壁圆筒应力

m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
n'
w
m
n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r
wdw wdw
dr dr
rwrddrdw r
变形协调方程
d
dr
1rr
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
r
1 E
r
z
2.3 厚壁圆筒应力分析
∑σ
∑σθ
∑σ
∑σθ
∑σz
O
r
∑σr
Ri Ro
∑σz
O
r
∑σr
Ri Ro
a.内加热图情况2-21 厚壁筒内的综合应b.外力加热情况 （a）内加热情况；(b)外加热情况
内加热——内壁应力叠加后得到改善，外壁应力有所恶化。 外加热——则相反，内壁应力恶化，外壁应力得到很大改善。
应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r d rr dd r rrd 2 dsr 2 i n 0
r
r dr
dr
（2-26）
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
zR i2p R i0 2 R R i0 2 2p0piR R i0 2 2 R p0 i2R 0 2＝ A （2-25）
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
Et
21
1 2ln Kr lnK
K
2
2
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
t
筒体内外壁的温差， t tit0
K — — 筒 体 的 外 半 径 与 内 半 径 之 比 K RR 0i
K r — — 筒 体 的 外 半 径 与 任 意 半 径 之 比 ， K r Rr0
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2，
双向约束：
xt
ty
Et 1
（2－36）
三向约束：
t x
ty
zt
1E2t
（2－37）
三维、二维、一维热应力比值 2.50：1.43：1.00
温度变化引起的弹性热应力
热应力
构件之间热变形 的相互约束
构件热变形受到 外界约束
构件内部温度 分布不均匀
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。
讨论
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
ty Et
（2－35）
（a）内部加热
(b)外部加热
2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： ① 热应力大小与内外壁温差成正比
t 取决于壁厚，径比K值愈大 t 值也愈大，表2-2中的 Pt 值也愈大。
②热应力沿壁厚方向是变化的
2.3 厚壁圆筒应力分析
3、内压与温差同时作用引起的弹性应力
r r rt, t, z zzt
内壁周向应力
有最大值，其值为：maxpi
K2 1 K2 1
外壁处减至最小，其值为：
minpi
2 K2 1
内外壁 之差为 p i ；
径向应力内壁处为 p i ，随着 r 增加， 径向应力绝对值
逐渐减小，在外壁处 r =0；
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z 12 r
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁容器：
Do/Di 1.11.2
应力
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 仅是半径的函数。
位移
周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
po=0 任意半径 r 内壁处
处
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
r=Ri
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r 处
po K 2 K 2 1
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
1 1
pi
K
2 2 1
po K 2 K 2 1
表中
Pt
Et
21
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
热应 任 意 半 径 r处 圆 筒 内 壁 Kr K 处 圆 筒 外 壁Kr 1 处
力
t r
p ln K r
K
2 r
1
t ln K
K 21
t
P 1 ln K r t ln K
K
2 r
1
K 2 1
t z
P 1 2 ln K r t ln K
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
dr dr
dr
n1
r
n
r
2 K 2 1
0
P 1 t ln K
2K 2 K 21
P 1 t ln K
2K 2 K 2 1
0
P 1
2
t ln K K 2 1
P 1
2
t ln K K 2 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
σ
O
Ri Ro
σ
σθt
σzt
r
σrt
O
Ri Ro
σzt σrt
r
σθt
图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布
1 E
r
z
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
r
1 E
r
z
1 E
r
z
r1 Er
d
dr
1rr
ddr1rEr
ddrE 1ddrddrr
d d rd d rr1 rr
r
r dr
dr
rdd2r2r
3dr
dr
0
（2－33）
r
A
B r2
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
径向应力
rpiR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2 （2-34）
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轴向应力
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
;
A
B r2
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时，r pi ； 当 r R0 时，r p0 。
由此得积分常数A和B为：
A piRi2 p0R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2R02
R02 Ri2
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力
piR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2 p 0R R i2 i2R 0 2r1 2
1
Ri2 r2
po
2K 2 K 2 1
po
K K
2 2
1 1
z
pi
K
211
po
K K2
2 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
max pi
K2 1 K2 1
min pi
2 K2 1
r r min 0
r max p0
r
z
p0
K2 K2 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0 2 rRi K2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
例题
2.3 厚壁圆筒应力分析
4、热应力的特点
a. 热应力随约束程度的增大而增大
b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力 （Self- balancing stress） c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变
可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的
减小热应力的措施
1、控制设备的加热和冷却速度 2、控制和减小构件的热变形约束 3、设置膨胀节 4、采用良好的保温层
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min p0
K2 1 K2 1
maxp0
2K2 K21
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值），
径向应力 r 为压应力（负值）。
2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律：
具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
（2-39）
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力
总应力 筒体内壁处rRi
r
p
pPtKK22
1 1lnK 1Pt lnK
z
p2PtK211Pt 1l2nlKnK
筒体外壁处rRo 0
pPtK221Pt ln1K pPtK211Pt ln1K
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（详细推导见文献[11]附录）
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
周向热应力
t
Et
21
1lnlnKKr
Kr2 K2
11
径向热应力
t r
Et
21
ln Kr ln K
Kr2 K2
11
轴向热应力
t z