计数原理单元测试题
计数原理单元测试卷一
计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。
现在，让我们开始今天的测试。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。
2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。
2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。
现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。
如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。
2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。
计算出有多少种不同的放球方法。
五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。
同学们，测试结束。
请检查自己的答案，确保没有遗漏。
希望你们都能取得好成绩。
如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。
谢谢大家的努力和参与。
(完整版)(数学选修23)第一章计数原理测试题
(数学选修2--3)第一章计数原理一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有〔〕A．81B．64C．12D．142．从4台甲型和5台乙型机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型机各1台，不同的取法共有〔〕A．140种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有〔〕A．A33B．4A33C．A55A32A33D．A22A33A21A31A334．a,b,c,d,e共5个人，从中1名1名副，但a不能当副，不同的法数是〔B．16C．10D．65．有男、女学生共8人，从男生中2人，从女生中1人分参加数学、物理、化学三科，共有90种不同方案，那么男、女生人数分是〔〕A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人.x186．在的展开式中的常数是〔〕23xB．7C．28D．287．(12x)5(2x)的展开式中x3的的系数是〔〕B．120C．100D．1002n8．x展开式中只有第六二式系数最大,展开式中的常数是〔〕x2A．180B．90C．45D．360二、填空题1．从甲、乙，⋯⋯，等6人中出4名代表，那么〔1〕甲一定当，共有种法．〔2〕甲一定不入，共有种法.〔3〕甲、乙二人至少有一人当，共有种法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，有种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9六个数字成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x3)10的展开式中，x6的系数是.5．在(1x2)20展开式中，如果第4r和第r 2的二式系数相等，r，T4r.6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字成四位数,288,.所有些四位数中的数字的和x8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，成没有重复数字的五位数，共________________个？三、解答1．判断以下是排列是合？并算出果.1〕高三年学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？2〕高二年数学外小10人：①从中一名正和一名副，共有多少种不同的法？②从中2名参加省数学，有多少种不同的法？2．7个排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？1〕甲排，（2〕甲不排，也不排尾，〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起，4〕甲、乙之间有且只有两人，5〕甲、乙、丙三人两两不相邻，6〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕，7〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，8〕甲不排头，乙不排当中。
(人教版)重庆市选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960- B ．960 C ．1120D ．16802．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．13．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种4．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C5．已知二项式()nx x-的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20B ．－15C ．15D ．206．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．407．在()nx x+的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．7298．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．在二项式3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49611．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．2021212．以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为________.15．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.16．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______. 17．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.18．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．19．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．20．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）三、解答题21．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑22．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+； （2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.23．已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<． （1）证明：i i i im n n A m A <； （2）证明：(1)(1)m n n m +<+． 24．已知()(n f x x =，()f x 的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的有理项；（3）求()f x 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.25．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项．26．已知5nx⎛⎝.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ．【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．2．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．4．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.5．C解析：C 【分析】利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】二项式(nx 的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒=36662166(((1)r r r r rr r x T C x C x --+-⇒=⋅=-当36042r r -=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.6．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．7．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.10．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.11．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案． 【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种， 故选：B. 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共面的情况，做到不重不漏，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =， 所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭. 故答案为：-4 【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.14．36【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体再把它同另外两个元素在三个位置全排列根据分步乘法原理得到结果【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体有种再和另外两人分别推荐到3所不同的大学共解析：36 【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体，有24C 种，再和另外两人分别推荐到3所不同的大学，共有234336C A =种分配方案.故答案为：36 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，利用了捆绑法，属于中档题.15．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们 解析：36【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.16．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.17．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．19．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个. 故答案为14.20．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】622x x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()3666216612222xrr x r r r r T C x C x x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为60三、解答题21．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 22．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.23．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n n n---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n ---------=<⇒<， 由不等式的性质可知： 121m m m m i m m mm ---+⋅⋅<121n n n n i n n nn---+⋅⋅，即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi i ni imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nm i i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力.24．（1）7n =；（2）71=T x ，3435T x =-，177-=T x ；（3）系数最大的项为第五项53535T x =；系数最小的项为第4项3435T x =-【分析】（1）根据()f x 的展开式的各二项式系数的和等于2128n =求解. （2）先得到()f x 的展开式中的通项公式47317(1)r r rr TC x-+=-，再令473r-为整数求解. （3）由通项公式知：第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，若该系数最大，则r 为偶数，且7rC 最大求解.若该系数最小，则r 为奇数，且7rC 最大求解. 【详解】 （1）已知()(n f x x =，()f x ∴的展开式的各二项式系数的和等于2128n =，7n ∴=.（2）()f x 的展开式中的通项公式为47317(1)-+=⋅-⋅r r rr T C x，令473r-为整数，可得0r =，3，6， 故展开式的有理项为71=T x ，3435T x =-，177-=T x . （3）第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，当该系数最大时，r 为偶数，且7rC 最大，此时，4r =， 故()f x 的展开式中系数最大的项为第五项53535T x =； 当该系数最小时，r 为奇数，且7rC 最大，此时，3r =， 故()f x 的展开式中系数最小的项为第4项3435T x =-.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rrr nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 26．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515r r rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．。
苏州市选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．15．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C6．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5007．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种8．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050C ．432D ．86410．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或611．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．20212二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.15．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．20．设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________三、解答题21．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.22．已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中含有2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项. 23．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．24．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项. 25．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 26．已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．5．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.7．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况； 第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．D解析：D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48解析：-48 【分析】令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出． 【详解】令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．16．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.19．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.20．【分析】当时共有种情况当时共有种情况由此可计算得到答案【详解】由题意当时即中有个元素所以共有种情况此时集合中剩下个元素其子集个数为个即共有种情况所以的—覆盖个数为故答案为：【点睛】本题主要考查组合数解析：2k n kn C -⋅【分析】 当||A B k =时，共有k n C 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案. 【详解】 由题意，当||AB k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k k k k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n .【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 22．（1）8；（2）4-；（3）24x -，358，2116x- 【分析】（1）先写出展开式的通项公式2311()2n rr r r nT C x -+=-，由展开式中第5项为常数项，则当4r =时，有203n r-=，从而求出n 出的值. （2）由（1）中得到8n =，则含有2x 项，即8223r-=，得到1r =，从而求出答案. （3）展开式中所有的有理项,则82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，可得r 可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为2311(()2n rr n rrr r r nnT C C x --+==-.因为第5项为常数项. 所以4r =时，有203n r-=，解得8n =. （2）令223n r-=，由（1）8n =，解1r =， 故所求系数为181()42C -=-（3）有题意得，82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令82()3r k k Z -=∈，则833422k r k -==- 所以k 可取2,0,2-，即r 可取1，4，7它们分别为24x -，358，2116x -. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题. 23．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x+展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．25．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C =所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x ⎛⎝展开式的通项为488318831kk kkkk k T C xCxx由4803k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。
(人教版)杭州市选修三第一单元《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30 B ．30 C ．-40D ．402．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-74．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．255．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1686．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C7．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1088．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4009．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >10．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56011．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63C ．189D ．72912．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．二项式92(x展开式中3x 的系数为__________．19．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x20a x dx =⎰________. 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++．22．已知2nx ⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项.23．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项； （2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.24．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++． 25．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.26．已知4530n n A C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．3．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．5．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.6．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.7．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为22C ，即可得到输出条件. 【详解】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，当0n =时，输出的是00C ； 当1n =时，输出的是0111,C C ； 当2n =时，012222,,C C C ；当3n =时，输出的是01233333,,,C C C C ，因为第5次输出数“1”，即2n =，输出22C 后结束程序， 所以3n =时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为3n <，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x 时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题11．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 12．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrrr r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．9【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)nx的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-，令843r-=，求得2r，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan的值再令x＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得3n+1+解析：175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n的值，再令x＝0可得a0=81，即可求解.【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得 3n+1+（n+6）＝23，或 3n+1＝n+6，解得n＝4 或n52=（舍去）．故（3﹣x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a4 x4，令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝44＝256，再令x＝0可得a0=81，∴﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝256-81=175，故答案为 175．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．【分析】由题意求得二项展开式的通项利用展开式的通项即可求解的系数得到答案【详解】由题意二项式展开式的通项为令解得所以即中的系数为【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解其中熟记二项展开式解析：18【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式92x⎛⎝展开式的通项为(()93992199212rr rrr r rrT C C xx---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x5156a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】（1）利用赋值法令0x =得0a ，再令1x =即可得到结果. （2）令1x =和1x =-，将得到的两个式子作差可得结果. （3）令1x =和1x =-，将得到的两个式子相加可得结果. 【详解】（1）令0x =，则01a =-，令1x =，则128270167==++++a a a a ．∴129721=+++a a a ．（2）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相减得：()713572128(4)16512a a a a +++=--=，则1357=8256a a a a +++.（3）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相加得：()02462=a a a a +++()7128416256+-=-，则02468128a a a a +++=- 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题. 22．（1）60（2）32160x【分析】（1）根据2nx⎛ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22，由01222n n n C C C ++=，解得6n =，再得到2nx⎛+ ⎝展开式的通项1r T +366262rr r C x --=，令3602r -=求解. （2）根据6n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第四项，再利用通项公式求解.. 【详解】（1）因为2nx⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22，所以01222n n n C C C ++=，即(1)1222n n n -++=， 所以2420n n +-=， 解得6n =或7n =-（舍去）.所以2nx⎛+ ⎝展开式的通项为：16216(2)rr r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭366262r r r C x --=，令3602r -=，得4r =， 所以展开式中的常数项为41T +=4206260C x =.（2）因为6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3133322316(2)160T C x x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．(1)84 (2)2048 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x 的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得11n =，111(x的各项系数绝对值之和与111(x的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为91(x 的通项是39921991()((1)r r r r r r r T C C x x--+==-，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项是6679(1)84T C =-=.（2）1(n x 的通项为3211()((1)r n r n r r r r r n n T C C x x--+==-，则第6项与第7项分别为15526n nT C x-=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6n C .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =，因为111(x 的各项系数绝对值之和与111(x 的各系数之和相等，令1x =，得111(x的各项系数的绝对值之和为1122048=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10i ii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即100246810132a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x⎛⎝展开式的通项为488318831k kk kk kkT C x C xx由4803k得6k=，即()f x的展开式中的常数项为728T．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。
常德市选修三第一单元《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种C ．60种D ．72种3．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．256．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7 B ．8 C ．11 D ．147．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-18．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．969．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16511．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 16．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.17．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．若二项式nx ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.20．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.三、解答题21．已知()2*12nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项. 22．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（3）若直线方程0ax by +=中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条?23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.25．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b .（1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.26．已知22)nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大 （1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。
(新教材)人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第06章 计数原理(A卷基础卷)(学生版+解析版)
（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试第六章计数原理（A卷基础卷）考试时间：100分钟；学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．402．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．4804．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．4205．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．106．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．1812．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是，含x4的项的系数是．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种．16．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有种不同的贴标签的方法．（用数字作答）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第六章计数原理（A卷基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．40【解答】解：利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种方法．、故共有：5+4＝9种完成工作．故选：A．2．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A31A33＝18种．故选：B．3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．480【解答】解：从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排即可，故有A52A44＝480种，故选：D．4．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．420【解答】解：根据题意，分2步进行计算：①先将6名医生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C64＝15种分组方法，若分为1、2、3的三组，有C63C32＝60种分组方法，若分为2、2、2的三组15种分组方法，则有15+60+15＝90种分组方法；②将分好的三组对应三个医院，有A33＝6种情况，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为90×6＝540种；故选：C．5．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【解答】解：（2）5的展开式中，通项公式为T r+1•（﹣2）r•，令2，求得r＝1，可得x2的系数为•（﹣2）＝﹣10，故选：C．6．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．【解答】解：因为（x）6的通项公式为：T r+1•x6﹣r•（）r＝（）r••x6﹣2r；6﹣2r＝0时，r＝3；6﹣2r＝﹣1时，r不存在；∴的展开式中，常数项为：（）3•3；故选：A．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵（n∈N*）的展开式中的第9项T9•（﹣3）8•2n﹣8•x2n﹣20为常数项，故有2n﹣20＝0，∴n＝10，故选：D．8．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种【解答】解：根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1、3、5、7、9，一组为偶数：2、4、6、8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有C53＝10种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有C51C42＝30种情况，则和为奇数的情况有10+30＝40种．故选：B．二．多选题（共4小题）9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C【解答】解：n!，A正确；（n+1）!，B错误；n n•（n﹣1）!＝n!，C正确；m!m!•n!，D错误；故选：AC．10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【解答】解：∵的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴；所以n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；故选：CD．11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．18【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有C A种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C C种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有C C A22种；故选：BC．12．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3【解答】解：因为（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，令x＝0可得：a0＝1；令x＝1可得a0+a1+a2+…a10＝310；故选：AC．三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是32，含x4的项的系数是10．【解答】解：在二项式的展开式中，二项式系数之和是25＝32，通项公式为T r+1•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，可得含x4的项的系数是10，故答案为：32；10．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种1344．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A，则共有4（4×A3×A3×A4×A）＝4×14×A4×14×24＝1344，故答案为：134415．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有120种．【解答】解：根据题意，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：①“数”排在第一节，“射“和“御“两门课程联排的情况有4×A22＝8种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种排课顺序；②“数”排在第二节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；③“数”排在第三节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；则有48+36+36＝120种排课顺序；故答案为：12016．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有120种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有31种不同的贴标签的方法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则有A55＝120种不同的贴标签的方法：若这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，分3种情况讨论：①5把都可以打开贴有相同标签的锁，即5个标签全部贴对，有1种贴标签的方法；②5把钥匙中有3把可以打开贴有相同标签的锁，即有3个标签贴对，有C53＝10种贴标签的方法；③5把钥匙中有2把可以打开贴有相同标签的锁，即有2个标签贴对，有2C52＝20种贴标签的方法；则一共有1+10+20＝31种贴标签的方法；故答案为：120，31．四．解答题（共5小题）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解答】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有C42＝6种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有3×3×3×3×3＝35＝243种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分法．18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）【解答】解：（1）根据条件可知有以下两种情况：①选两个男医生和三个女医生，有C•C15种建组方案；②选三个男医生和两个女医生，有C•C60种建组方案；故共有15+60＝75种不同的建组方案．（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，若选2男3女，甲必选，则还需要在5名男医生选1名，有5种建组方案；若选3男2女，甲必选，则还需要在5名男医生选2名，有30种建组方案；若选4男1女，甲必选，则还需要在5名男医生选3名，有30种建组方案；则共有5+30+30＝65种组建方案．（3）6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，有126种组建方法，若男医生甲与女医生乙被同时选中，则有35种方法，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有126﹣35＝91种，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率P．19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有A75＝2520种排法；（2）根据题意，前排4人，有A74种排法，后排3人，有A33种排法，则有A74×A33＝5040种排法；（3）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法；（4）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法；（5）根据题意，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以n＝10，所以120，故两项的二项式系数120．（Ⅱ）含x2项的系数为285，故答案为：285．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．【解答】解：（1）当n＝6时，令x＝1，则（1+2）6＝36＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6①，令x＝﹣1，则（1﹣2）6＝1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6②，①+②得，；（2）③，④，③+④得，，即．。
(人教版)深圳市选修三第一单元《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn2．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -3．动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．134．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种5．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -6．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．98．已知二项式(nx的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20 B ．－15C ．15D ．209．若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分22abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72911．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种二、填空题13．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.14．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．15．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.16．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 17．在(23)n x y -的二项展开式中，二项式系数的和是512，则各项系数的和是_____ . 18．二项式92(x展开式中3x 的系数为__________．19．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.20．()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10-，则实数a =___________.三、解答题21．设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++;（3）求.312232222nna a a a ++++. 22．（1）3本不同的书分给甲、乙两人，每人至少一本，共有多少种不同分法？ （2）()102100121021...x a a x a x a x -=++++，求下列各式的值： ①01210...a a a a ++++； ②0210...a a a +++.23．将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ （4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？24．已知二项式n⎛⎝的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数.（1）求n 的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值.25．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.26．已知二项式()23nx x+.（1）若它的二项式系数之和为128.求展开式中二项式系数最大的项； （2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.2．D解析：D 【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．3．D解析：D 【分析】根据题意，分为动点M ①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案. 【详解】根据题意，分4种情况讨论：①，动点M 向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M 向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M 向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2， ④，动点M 向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M 在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．5．D解析：D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．7．C解析：C 【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.8．C解析：C 【分析】利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】 二项式(nx的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒= 36662166(((1)r r r r rr r x T C x C x --+-⇒=⋅=-当36042r r -=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.9．C解析：C 【分析】由二项式定理展开项可得1ab =，再22022abxdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果.【详解】二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r rr T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴=而定积分2202222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰当且仅当a b =时取等号 故选C 【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.10．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.详解：()()()()()()829999!181920...9917!kk k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．C解析：C 【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解 【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A += 故选：C 【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.二、填空题13．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们 解析：36【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.14．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．15．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．0或2或4【分析】因为所以：或解方程可得【详解】解：因为所以：或解得：（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式属于基础题解析：0或2或4 【分析】因为222424x xC C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍） 故答案为：0或2或4 【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．17．【分析】根据二项式系数的和求解出的值求解各项系数的和时可考虑令由此可计算出各项系数的和【详解】因为二项式系数的和是所以所以又因为令可得：所以各项系数的和为：故答案为【点睛】本题考查根据二项式系数求参 解析：1-【分析】根据二项式系数的和求解出n 的值，求解各项系数的和时可考虑令1x y ==，由此可计算出各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是512，所以01...2512n nn n n C C C +++==，所以9n =，又因为()()()()()()()998109129992323...2323C x y C x y C x y x y =-+-+-+-， 令1x y ==可得：()()()()()()()998191299912323...231C C C -=-+-++-=-，所以各项系数的和为：1-. 故答案为1-. 【点睛】本题考查根据二项式系数求参数以及求解各项系数和，难度一般.（1）求解形如()nax by +的展开式中的各项系数和时，可令1x y ==求得结果； （2）形如()nax by +的展开式中的二项式系数之和为2n .18．【分析】由题意求得二项展开式的通项利用展开式的通项即可求解的系数得到答案【详解】由题意二项式展开式的通项为令解得所以即中的系数为【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解其中熟记二项展开式 解析：18【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x 的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式92x ⎛ ⎝展开式的通项为(()93992199212rrr rr rr r T C C xx ---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点解析：240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ； 则6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20．【分析】由分别写出和的展开式通项分别令的指数为求出对应的参数值代入通项可得出关于的等式进而可求得实数的值【详解】的展开式通项为所以的展开式通项为令可得由题意可得解得故答案为：【点睛】方法点睛：对于求 解析：2由()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，分别写出()61x +和()61ax x +的展开式通项，分别令x 的指数为3，求出对应的参数值，代入通项可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，()61x +的展开式通项为16kkk T C x +=⋅，所以，()61ax x +的展开式通项为1166r r r r r A axC x aC x ++=⋅=⋅，令313k r =⎧⎨+=⎩，可得32k r =⎧⎨=⎩，由题意可得3266201510C aC a -=-=-，解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．三、解答题21．（1）2018；（2）20183；（3）-1. 【分析】（1）由二项式系数的对称性，2018=n ． （2）012||,||,||,||n a a a a 即为2018(21)x +展开式中各项的系数，在2018(21)x -中令1x =- ，即可得出．（3）由2018220180122018(21)a a x a x a x x =++-++，令0x =和 12，可求出0a 与32018122320182222a a a a ++++的值． 【详解】（1）由二项式系数的对称性，1101020182nn +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++=（3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=， 故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.本题考查了二项式定理及其性质，考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）6；（2）①1；②10132+【分析】(1)先把书分成两堆，再分给甲乙两人可得.(2)①赋值令1x =可得，②赋值令1x =-，两式相加可得 【详解】（1）第一步先把书分成两堆有13C 种，第二步再分给甲乙两人有22A 种，则12326C A ⨯=（2）（1）令1x =，则0110...1a a a +++=①（2）令1x =-，则10012310...3a a a a a -+-++=②①+②得：10021013 (2)a a a ++++=【点睛】二项展开式中系数和的问题(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．23．（1）24（种）；（2）144（种）；（3）8（种）；（4）12（种）. 【分析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有1个小球，利用排列数可得出结果；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，利用组合与排列计数原理可得出结果；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，列举出此种情况下其它3个球均未放入相应编号的盒子里，在此种放法种数上乘以4可得结果；（4）空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，利用隔板法求出结果，乘以4即得所求放法种数. 【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为4424A =（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344144C A =（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3， 因此，所求放法种数为248⨯=（种）； （4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为23412C =（种）.【点睛】本题考查计数应用题，涉及分步乘法计数原理、隔板法以及列举法的应用，考查计算能力，属于中等题.24．（1）8n =；（2）12a =±. 【分析】（1）根据二项式系数和列方程，解方程求得n 的值.（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由题知，二项式系数和1202256n n n n n n C C C C ++++==，故8n =；（2）二项式系数分别为01288888,,,,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大，即为展开式中第5项，∴44482()70C a -⋅⋅=，即12a =±. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于中档题.25．()18n =；()277=16T ，835=70T x .【分析】()1等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n ；()2写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】解：()1二项式nx ⎛⎝的展开式的通项公式为143311122rrrr n r r n r r n r r r n n n T C x C x x C x ----+⎛⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，第一项系数为00112n C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，第二项系数为11122n n C ⎛⎫-⋅=⎪⎭- ⎝，第三项系数为()22212148n n C C n n ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭-=，前三项系数的绝对值分别为1，2n ，()18n n -， 因为前三项系数的绝对值成等差数列，(1)2128n n n -∴⨯=+，即2980n n -+=，求得1n =（舍去），或8n =.()2二项式n x ⎛ ⎝，由()1可知8x ⎛⎝， 它的通项公式为4831812rr rr T C x -+⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令4803r -=，可得6r =，故展开式的常数项为667817·216T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 二项式系数为8rC ，故当4r =时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为88433581··7016T C x x ==. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.26．（1）()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====；（2）1【分析】（1）根据二项式性质可求n 的值，再根据通项公式可得展开式中二项式系数最大的项.（2）由题意得二项式2016201630(282)=+，按二项式定理展开转化为20162被7除的余数，再由20166722(71)=+，再展开可解.【详解】 （1）2128,7n n =∴=∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项，()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====.（2）2016201620161201520152015201620162016201630(282)282822822282C C K =+=+⋅⋅+⋯+⋅⋅+=+转化为20162被7除的余数，201667267228(71)71k ==+=+，即余数为1.【点睛】考查二项式定理和二项式通项公式.二项式定理：011222n ()+C n n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C a b b ---+=+++++………….二项式通式：1(0,1n)r n r rr n T C a b r -+==…….。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-3．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．965．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．5606．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．407．在二项式3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．4969．若从1,2,3,...,9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法种数为（ ） A ．10B ．30C ．40D ．6010．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525B ．1050C ．432D ．86411．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．384 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答） 14．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.15．82x x 的展开式中常数项为_________.16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．17．二项式61(2x )x-的展开式中常数项为______(用数字表示)． 18．已知()n x y +的展开式中，只有第七项的系数最大，则n =___________19．()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______． 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．在2(n x+的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 22．已知(2nx+的展开式中各项的二项式系数之和为32． ()1求n 的值；()2求(2nx的展开式中2x 项的系数； ()3求(2nx x⎛⎝展开式中的常数项． 23．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.24．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③22110n n nC C -+-=.已知在n的展开式中，________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项.25．已知5nx⎛⎝.（1）当6n =时，求：①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.26．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.4．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题6．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．7．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.8．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.9．C解析：C 【解析】分析：分两种情况讨论：先在1,3,5,7,9五个数中取出三个个奇数，再在1,3,5,7,9五个数中取出一个奇数在2,4,6,8四个偶数中取出两个偶数，由分类计数加法原理结合分步计数乘法原理可得结果.详解：根据题意，从1到9的正整数正任意抽取3个数相加， 若所得的和为奇数，则取出的数为3个奇数或1奇数2个偶数，在1,3,5,7,9五个数中取出1个奇数，有155C =种取法.在2,3,6,8四个偶数中取出2个偶数，有246C =种取法. 则1奇数，2个偶数的取法有5630⨯=种， 在1,3,5,7,9五个数中取出3个奇数，有3510C =种取法 即所得的和为奇数的不同情形种数是301040+=，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11．B解析：B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.12．C解析：C由排列数的定义即可得出结果. 【详解】12100=10099(100121)1009989⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯A故选：C 【点睛】本题考查了排列数的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.二、填空题13．30【分析】根据题意先将5名医生分成2组再分配的两家医院即可求得分配方案的种数分组时有和两种分组方法结合组合的运算集合求出结果【详解】解：由题可知先将5名医生分成2组有种再分配的两家医院有种即有30解析：30 【分析】根据题意，先将5名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有14+和23+两种分组方法，结合组合的运算集合求出结果. 【详解】解：由题可知，先将5名医生分成2组，有1423545351015C C C C ⋅+⋅=+=种， 再分配的两家医院有221530A =种，即有30种分配方案. 故答案为：30. 【点睛】本题考查排列和组合的运算和应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论.14．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数再代入得结果【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知 解析：35.2【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果. 【详解】8418840,4r r r r r r r T C C x r r --+==∴-== 即常数项为44835.2C =【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16．10【分析】分类讨论：选择两门理科学科一门文科学科；选择三门理科学科即可得出结论【详解】选择两门理科学科一门文科学科有种；选择三门理科学科有1种故共有10种故答案为10【点睛】本题考查计数原理的应用解析：10 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论． 【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种． 故答案为10． 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．-160【解析】二项式的展开式的通项为令可得即展开式中常数项为答案：解析：-160 【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-⋅⋅⋅，0,1,2,,6r =．令3r =，可得33346(1)2160T C =-⋅⋅=-，即展开式中常数项为160-． 答案：160-18．12【分析】根据题意利用二项式定理二项式系数的性质得出结论【详解】的展开式中只有第七项的系数最大故展开式中有13项则故答案为：12【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理如果二项式的幂指数n 是偶数中间一解析：12 【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论. 【详解】()+n x y 的展开式中，只有第七项的系数最大，故展开式中有13项，则12n =故答案为：12 【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幂指数n 是偶数，中间一项12nT +项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间两项12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．19．【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数再求展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式为: 令解得 令解得 展开式中常数项为: 故答案为:【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解属于基础题 解析：25-【分析】先求出61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 6621661(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(1)20T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(1)15T C x x +∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: 2(20)1525⨯-+=-.故答案为:25-.【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）7n =； （2）14x ，984x ，4560x ，1448x -； (3)32672x . 【分析】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果 (2)由通项公式分别计算当0246r =、、、时的有理项 (3)设展开式中第1r +项的系数最大，列出不等式求出结果 【详解】 （1）由题意知：52212n rr rr nTC x-+=，则第4项的系数为332n C ，倒数第4项的系数为332n n nC --， 则有33332122n n n n C C --=即61122n -=，7n ∴=.（2）由（1）可得()51421720,1,,7rr rr TC xr -+==，当0,2,4,6r =时所有的有理项为1357,,,T T T T即001414172T C x x ==，229937284T C x x ==， 4444572560T C x x ==，6611772448T C x x --==.（3）设展开式中第1r +项的系数最大，则117711772222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⇒⎨≥⎩ ()()12728r r r r ⎧+≥-⎪⎨-≥⎪⎩ 131633r ⇒≤≤， 5r ∴=，故系数最大项为335522672672T C x x ==.【点睛】本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法． 22．(1)5. (2)80. (3)-30. 【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为2n 求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据52x ⎛⎝展开式的通项并结合组合的方法求解．详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =， 解得5n =．（2）由题意得52x ⎛+ ⎝的通项公式为()3555215522rrr r r r r T C x C x ---+==， 令3522r-=，解得2r =，所以52x ⎛+ ⎝的展开式中2x 项的系数为325280C ⨯=．（3）由（2）知，52x ⎛ ⎝的展开式的通项为3552152r r r r T C x --+=，令3512r-=-，解得4r =； 令31522r -=，解得3r =．故2nx x ⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-． 点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1r n r rr n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0，1，2，…，n )． （2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ＋1项，而不是第r 项；②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒． 23．（1）504种；（2）1440种. 【分析】（1）由题意，分“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制和“射”不排在最后一周从中间四周选一周，再选一门课程排在最后一周，其他没有限制，然后与加法计数原理求解. （2）由题意，分甲只任教1科和甲任教2科，然后与加法计数原理求解. 【详解】（1）当“射”排在最后一周时，5554321120A =⨯⨯⨯⨯=， 当“射”不排在最后一周时，114444444321384C C A =⨯⨯⨯⨯⨯=，120384504+=，所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.（2）当甲只任教1科时，11121454325433554341200C C C C C A A =⨯⨯⨯⨯=， 当甲任教2科时，245454432124021C A ⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯， 12002401440+=，所以甲不任教“数”的课程安排方案有1440种. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分步，分类计数原理的应用，属于中档题.24．（1）56252x-；（2）5x . 【分析】（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出n ，即可知道二项式系数最大的项； （2）令x 的指数为5，即可计算出r ，求出含5x 的项. 【详解】可知3561(1)rn rr n r r r r n n T C C x --+⎛==- ⎝， 方案一：选条件①，（1）由题可知4422(1)14(1)3n n C C -=-， !2!(2)!144!(4)!!3n n n n -∴⨯=-，25500n n ∴--=，解得10n =或5n =-（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）由（1）知56110510,(1)r r r rn T C x-+==-，令5556r -=，0r ∴=，51T x ∴=， 所以展开式中含5x 的项是第一项，为5x ； 方案二：选条件②， （1）由题可知21212552n nnnnn nC CC C -++=+==，整理得21100n n +-=，解得10n =或11n =-（舍去）， 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）； 方案三：选条件③， （1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==，10n ∴=，所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）. 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题. 25．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数．【详解】（1）①当6n =时，65x ⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515r r rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．26．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项， （1）832r r--为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项. 【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r rr r rrr r T C xxC x----+∴=-=-，（1）当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =，所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -； （2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C xx ----=.【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.。
高一数学计数原理单元测试.doc
计数原理、概率与统计班级 姓名 学号 成绩一、选择题:1．某次抽奖活动，甲中奖的概率为12，乙中奖的概率为14，则甲、乙都中奖的概率为 A ．18B ．34C ．14D ．122．已知211(),(),()5410P A P B P AB ===，则()P B A = A ．110B ．14C ．25D ．13203．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为本。
若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数 是 A ．2 B ．3 C ．5 D ．134．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 5．过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条6．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为A ．1－k pB ．()k n kp p --1 C ．1－()kp -1 D ． ()k n kkn p p C --17．事件A 与B 相互独立是事件A 与B 相互独立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： A ．110B ．120C ．140D ．1120二、填空题：9．在72)x的展开式中，2x 的系数为_________________（用数字作答）.10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_________种。
2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)+答案解析
第七章计数原理（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若2A3m＝A5m，则m的值为()A.5B.3C.6D.7【答案】A【解析】依题意得m！（m－5）！＝2·m！（m－3）！，化简得m2－7m＋10＝0，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.2．若C3n＋C4n＝C3n＋1，则n的值是()A．5B．7C．6D．8【答案】C【解析】∵C3n＋1＝C3n＋C4n＝C4n＋1，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.3．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名志愿者有5种选择方法，第二名志愿者有5种选择方法，……，第六名志愿者有5种选择方法，综上，6名志愿者共有56种不同的选法．4.若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于()A.32B.－32C.1024D.512【答案】A【解析】由二项式定理，得a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋C110(－2)1·a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1010(－2)10＝(a－2)10＝(－2)10＝25＝32.5.(1＋x)3(1－2x)的展开式中含x3的项的系数为()A.－5B.－4C.6D.7【答案】A【解析】因为(1＋x)3(1－2x)＝(1＋x)3－2x(1＋x)3，所以含x3项的系数为C33－2C23＝1－2×3＝－5.6.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】若第一棒选A，则有A24种选派方法，若第一棒选B，则有2A24种选派方法.由分类计数原理知，共有A24＋2A24＝3A24＝36(种)选派方法.7.已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项【答案】D【解析】∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C45＋C46＋C47＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名同学有5种选择方法，第二名同学有5种选择方法，……，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若C m－18>3C m8，则m的取值可能是()A.6B.7C.8D.9【答案】BC【解析】对于C m －18和3C m8，有0≤m －1≤8且0≤m ≤8，则1≤m ≤8.又C m －18>3C m 8，∴8！（m －1）！（9－m ）！>3·8！m ！（8－m ）！，化简得m >27－3m ，解得m >274.综上可得274<m ≤8，又m ∈N ，故m ＝7或m ＝8.故选BC.10.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为()A.A 55－A 44 B.A 44－C 12A 33C.C 11C 12A 33D.12A 44【答案】BCD【解析】间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为A 44－C 12A 33.直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N 1＝C 11·C 12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N 2＝A 33＝6种排法，则不同站法共有N ＝N 1×N 2＝2×6＝12(种).或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占12，故有12A 44，故选BCD.11．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5【答案】AD【解析】只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.【答案】240【解析】分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法.由分步计数原理得，不同的种植方法共有A 22A 55＝240(种).13.2x 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为________.【答案】－448【解析】2＋a ）n ＝1，n ＝128，＝7，＝－1.2x 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x )7－＝C r 727－r(－1)r x 7－3r 2，令7－3r 2＝2，解得r ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种．【答案】54【解析】根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况．综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】(1)将取出的4个球分成三类：①取4个红球，没有白球，有C 44种取法；②取3个红球，1个白球，有C34C16种取法；③取2个红球，2个白球，有C24C26种取法，故共有C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)取法．(2)设取x个红球，y＋y＝5，x＋y≥7，≤x≤4，≤y≤5，＝2，＝3＝3，＝2＝4，＝1.因此，符合题意的取法有C24C36＋C34C26＋C44C16＝186(种)．16.(本小题满分15分)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.(1)求n的值及展开式中所有项的系数和；(2)求展开式中含x3的项.【解析】(1)若选①，则n2＝5，∴n＝10；若选②，则C3n＝C7n，∴n＝37＝10；若选③，则2n＝210，∴n＝10.令x＝1得，(2×1－1)10＝1，故展开式中所有项的系数和为1.(2)由(1)知，n＝10，∴(2x－1)10的展开式的通项为T r＋1＝C r10·(2x)10－r·(－1)r＝(－1)r·210－r·C r10x10－r.令10－r＝3，得r＝7，∴展开式中含x3的项为T8＝(－1)7×23·C710x3＝－960x3.17.(本小题满分15分)某兴趣小组有男生12名，女生8名，现选派5名参加知识竞赛．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)兴趣小组中至少有1名男生和1名女生，有多少种选法？【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)选法．(4)方法一(直接法)至少有1名男生和1名女生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)选法．方法二(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)选法．18.(本小题满分17分)组合数公式的推广：定义C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m ∈N *，且规定C 0x ＝1.(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，函数f (x )＝C 3x （C 1x ）2取得最小值？【解析】(1)由题意得C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3！＝－680.(2)由题意得f (x )＝C 3x（C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝＋2x －又x >0，由基本不等式得x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以当x ＝2时，C 3x （C 1x ）2取得最小值.19.(本小题满分17分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7.(1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求ba .【解析】(1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1) 2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a＝C48＝70，再根据r8·2r≥C r＋18·2r＋1，r8·2r≥C r－18·2r－1，≥5，≤6，又r∈N*，∴r＝5或6，此时，b＝7×28，∴ba＝1285.。
2024年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)(解析版)
计数原理（单元重点综合测试）144009，12，共有5项，故D 正确．故选：ABD.12．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）与二项式定理()0C nnk n k kn k a b a b -=+=∑类似，有莱布尼兹公式：()()()()()()()()()()()()0112200120C C C C C nn n n n n n k k n k nnnnn n uv u vuv uv u vuv ---==+++⋅⋅⋅+=∑，其中()k u （0,1k =，2，…，n ）为u 的k 阶导数，()0u u =，()0v v =，则（）A ．1C 2nk nn k ==∑B ．1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=C ．()()()()n n uv vu =D ．()6e x f x x =，则()()606!f =【答案】BCD【详解】A.由二项式定理可知，当1a b ==时，()0C 1111C2n nnnk n k k k nnk k -==+===∑∑，1C221nk n n k n n C ==-=-∑，故A 错误；B.由二项式定理可知，当1,1a b ==-时，()012345.1C C C C C C .1.nn n n n n n =-+-+-+-()()024135C C C ...C C C ...0n n n n n n =+++-+++=，所以024135C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++又由A 可知，012345C C C C C C ...2nn n n n n n ++++++=，所以1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=，故B 正确；C.()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n uv u v u v u v u v--=++++()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n vu v u v u v u v u--=++++，由组合数的性质可知，0C C n n n =，11C C n n n -=，22C C n n n -=，……，可知，()()()()n n uv vu =，故C 正确；D.()()()()()()()()()()()()()()()()()()6605142066061626666666e C e C e C e ...C e x xx x x x x x x x =++++，因为()()e e n x x =，()()066x x =，()()1656x x =，()()26465x x =⋅⋅，()()363654x x =⋅⋅⋅，()()4626543x x =⋅⋅⋅⋅，()()5665432x x =⋅⋅⋅⋅⋅，()()666543216!x =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以()()606!f =，故D 正确.故选：BCD2【答案】22【详解】由题意知，得到的六位数的各个数位上均为数字1或5，要使这个六位数能被况：①6个1，只有111111；②6个5，只有555555；③3个1和3个5，有6A【答案】（1）（i）126；（【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的插入5块板子分成6份，每一种分法所得所以不同的发放方法59C=1。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测(含答案解析)
一、选择题1．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ） A ．3B ．8C ．12D ．62．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-3．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．255．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn mk n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．257．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960-B ．960C ．1120D ．16808．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．27C ．30D ．369．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56010．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12011．在二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．256二、填空题13．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答） 14．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=32=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.15．计算：01220181232019C C C C ++++=______．16．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）17．二项式92(x x展开式中3x 的系数为__________． 18．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．19．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．已知()2*12nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项. 22．计算：（1）()2973100100101C C A +÷（2）3333410C C C +++. 23．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数.24．若某一等差数列的首项为112225113nn nnCA----,公差为52mx ⎛ ⎝展开式中的常数项,其中m 是777715-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．已知二项式)22nx-．（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1:8，求二项展开式的系数之和． （2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A =种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A =种.综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种. 故选：C. 【点睛】方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．2．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．4．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.6．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．7．C解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ． 【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．8．C解析：C 【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可. 【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有236A =个奇数，第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有2112322224C C C A =个奇数，综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为62430+=个， 故选C ． 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.9．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r TC x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题10．C解析：C 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.12．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：4400111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．二、填空题13．24【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班即有种方式其它三天安排乙丙丁值班有种方式由分步计数原理即有总方法有种即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班甲连续两天值班乙丙丁每人值班一天【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有14C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 33A 种，即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：14C 种安排方法 甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：33A 种安排方法 以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 33A = 24种 故答案为：24 【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法14．①②【分析】根据新定义结合组合数公式进行分类讨论即可【详解】当时由定义可知：当时由定义可知：故①成立；当时由定义可知：当时由定义可知：故②成立故答案为：①②【点睛】本题考查了新定义题考查了数学阅读能解析：①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②.本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.15．【分析】将变为然后利用组合数性质即可计算出所求代数式的值【详解】故答案为：【点睛】本题考查组合数的计算利用组合数的性质进行计算是解题的关键考查计算能力属于中等题 解析：2039190【分析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值.【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+， 012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=2039190=.故答案为：2039190. 【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人全排列然后排甲甲只能在两端有2种站法利用分步乘法计数原理可求出答案【详解】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人 解析：96【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案. 【详解】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.17．【分析】由题意求得二项展开式的通项利用展开式的通项即可求解的系数得到答案【详解】由题意二项式展开式的通项为令解得所以即中的系数为【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解其中熟记二项展开式 解析：18【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x 的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式92x ⎛ ⎝展开式的通项为(()93992199212rrr rr rr r T C C xx ---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．19．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rr rr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）54500T x =-，25280T x =（2）112 【分析】（1）由偶数项二项式系数可得7n =，可知展开式中间两项二项式系数最大，利用展开式通项公式求解；（2）由（1）利用展开式通项公式求含1x -和2x 项，结合与212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相乘即可求解. 【详解】（1）由展开式中所有的偶数项二项式系数和为64，得1264n -=， 所以7n =所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.因为7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()72714317712121rrrr r r rr r T C xC x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的展开式中二项式系数最大的项为54500T x =-，25280T x =（2）由（1）知7n =，且7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x -项为684T x =-， 2x 项为25280T x =，所以221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式的常数项为()2841280112⨯-+⨯=, 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题. 22．（1）16（2）330 【分析】（1）根据组合数的性质以及组合数的计算公式，化简得出结果.（2）根据组合数的性质以及组合数的计算公式，通过逐步求和，求出计算结果. 【详解】 解：（1）原式()23333100100101101101C CACA=+÷=÷333101101333116A A A A =÷=÷=. （2）原式43333445105140C C C C C C =+++⋯+=+4334346610101011C C C C C C =++⋯+==+=330=.【点睛】本小题主要考查组合数的性质以及组合数的计算公式，属于基础题. 23．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C = 所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.24．此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261300S S ==. 【分析】根据题意，由排列、组合数的性质，可得不等式112522113n nn n -≤⎧⎨-≤-⎩，解可得n 的范围，结合n ∈N ，可得n 的值，进而可得首项a 1，对7777﹣15变形，结合二项式定理可得m 的值，从而可得数列的公差，即可得数列的通项公式，根据等差数列的性质，设其前k 项之和最大，则()10440104410k k -≥⎧⎨-+⎩＜，解可得k=25或k=26，可得答案．【详解】由已知得：112522113n nn n-≤⎧⎨-≤-⎩,又,2n N n ∈∴=, 1122272325113105105n n n n C A C A C A ---∴-=-=- 10985410032⨯⨯=-⨯=⨯故1100a =. ()7777771576115-=+- 7717617777767676115C C =+⋅+⋅⋅⋅+⋅+-()7614,*M M N =-∈,所以777715-除以19的余数是5,即5m =52m x ⎛- ⎝的展开式的通项51552rrr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎭⎝()()52553551,0,1,2,3,4,52rr rr C xr --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若它为常数项,则550,33r r -=∴=,代入上式44T d ∴=-=.从而等差数列的通项公式是：1044n a n =-，……10分设其前k 项之和最大，则()10440104410n k -≥⎧⎨-+<⎩，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261001044252513002S S +-⨯==⨯=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，排列组合数的性质和等差数列的性质，关键由排列、组合数的性质得出首项，根据二项式定理得到m 的值，从而得到公差． 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）-1 （2）180 【分析】(1)先求出n 的值，再求二项展开式的系数之和；(2)根据已知求出n 的值，再求出展开式中的常数项． 【详解】 (1)二项式)22nx x--的展开式的通项为5221()(2)(2)n r rn rr rr r nnTC x x C x---+=-=-，所以第二项系数为1(2)n C -，第四项系数为33(2)n C -，所以13(2)188n n C C -=-，所以5n =. 所以二项展开式的系数之和)521211-⨯=-.(2)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式有11项，所以10.n = 令1050,22rr -=∴=. 所以常数项为2210(2)180C -=.【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，考查指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(人教版)青岛市选修三第一单元《计数原理》检测(含答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种3．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83B ．1或83C ．82D ．1或824．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-75．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．256．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．148．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C +B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +10．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ）A ．200B ．400C ．-200D ．-40011．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．已知()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++，则0128a a a a ++++=_______.14．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.15．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.16．计算：01220181232019C C C C ++++=______．17．二项式63ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰________. 18．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.19．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+；（2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.22．已知二项式n⎛⎝的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数.（1）求n 的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值.23．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 24．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.25．（1）求(-x +12x)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项. （2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相. ①求3位女同学站在一起的概率； ②求4位男同学互不相邻的概率.26．已知二项式()23nx x +.（1）若它的二项式系数之和为128.求展开式中二项式系数最大的项； （2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．3．B解析：B 【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=，令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.6．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.7．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为n m n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．10．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．解：∵（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n ， 而a 0+a 1+a 2+…+a n =254==2n+1﹣2，∴n=7 故答案为C考点：数列的求和；二项式定理的应用．12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．【分析】在等式中令利用等比数列求和公式可求得的值【详解】在等式中令可得故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和同时也考查了等比数列求和考查计算能力属于中等题 解析：510【分析】在等式中令1x =，利用等比数列求和公式可求得0128a a a a ++++的值.【详解】在等式()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++中，令1x =可得()82380128212222251012a a a a -++++=++++==-.故答案为：510. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们 解析：36【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.15．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.16．【分析】将变为然后利用组合数性质即可计算出所求代数式的值【详解】故答案为：【点睛】本题考查组合数的计算利用组合数的性质进行计算是解题的关键考查计算能力属于中等题 解析：2039190【分析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值.【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+， 012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=2039190=.故答案为：2039190. 【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.17．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x5156a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．18．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．19．【分析】组成没有重复数字的三位数且是偶数按个位是0和不是0进行分类;个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解【详解】由题意从六个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位偶数可分为两类当末位是时这样 解析：52【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解. 【详解】由题意，从0,1,2,3,4,5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类，当末位是0时，这样的三位数有2520A =个当末位不是0时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有11124432A A A ⨯⨯=综上得这样的三位数共有203252+=个. 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.22．（1）8n =；（2）12a =±. 【分析】（1）根据二项式系数和列方程，解方程求得n 的值.（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由题知，二项式系数和1202256n n n n n n C C C C ++++==，故8n =；（2）二项式系数分别为01288888,,,,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大，即为展开式中第5项，∴44482()70C a -⋅⋅=，即12a =±. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于中档题. 23．（1）352x-；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项， 即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为. ()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.24．（1）4096（2）1560（3）10（4）2160 【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分(2)2211346421642222C C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 560； 6分 (3) 24C ＋4＝10；或25C ＝10； 9分(4) 222321236426315433C C C C C C C A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2 160. 12分 考点：排列组合的运用点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题． 25．（1）各项系数之和为：164，常数项为：52- ；（2）①17；②135 . 【分析】（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可． （2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可． 【详解】解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264-+=，展开式的通项公式666216611()()(1)()22k kk kk k k k T C x C x x ---+=-=-， 由620k -=得3k =，则常数项为333615(1)()22C -=-．（2）①把3位女生当作一个元素，则有5353A A 种排法，则对应的概率53537717A A P A ==．②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有3434A A ．则对应概率343477135A A P A ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大．26．（1）()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====；（2）1【分析】（1）根据二项式性质可求n 的值，再根据通项公式可得展开式中二项式系数最大的项.（2）由题意得二项式2016201630(282)=+，按二项式定理展开转化为20162被7除的余数，再由20166722(71)=+，再展开可解.【详解】 （1）2128,7n n =∴=∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项，()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====.（2）2016201620161201520152015201620162016201630(282)282822822282C C K =+=+⋅⋅+⋯+⋅⋅+=+转化为20162被7除的余数，201667267228(71)71k ==+=+，即余数为1.【点睛】考查二项式定理和二项式通项公式.二项式定理：011222n ()+C n n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C a b b ---+=+++++…………. 二项式通式：1(0,1n)r n r rr n T C a b r -+==…….。
(人教版)重庆市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．403．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种4．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．60种 D ．72种5．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种B ．60种C ．12种D ．6种6．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项 7．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．248．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-489．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种10．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-5 B ．7C ．-11D ．1311．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 15．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)18．若28C x ＝3828C x -，则x 的值为_______．19．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.20．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．三、解答题21．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+；（2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.22．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.23．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项.24．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．25．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.26．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．B解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.3．B解析：B 【分析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节，则政治课有12C 种排法，其他课可以任意排，有22A 种排法，共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选：B . 【点睛】本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.4．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
(人教版)天津市选修三第一单元《计数原理》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．242．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960-B ．960C ．1120D ．16805．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．146．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-487．已知67017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ）A ．5-B ．20-C ．15D ．358．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项9．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．4010．在二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．38412．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 14．若28C x ＝3828C x -，则x 的值为_______． 15．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．16．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．17．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．18．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．19．()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10-，则实数a =___________.20．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．已知（x）n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．22．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+； （2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.23．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项. 24．设(nx 的展开式中，第二项与第四项的系数比为1:2，试求2x 项的系数.25．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．26．若2012112nn n x a a x a x a x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，且27a =.（1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项； （2）求23112342222n n a a a a a -+++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题2．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．C解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ． 【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．5．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法；第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.6．D解析：D 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.7．A解析：A 【分析】令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，所以二项式为666(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为332266(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础9．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．10．A解析：A【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11．B解析：B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.12．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．0或2或4【分析】因为所以：或解方程可得【详解】解：因为所以：或解得：（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式属于基础题解析：0或2或4 【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x xC C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍） 故答案为：0或2或4 【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．14．4或9【解析】分析：先根据组合数性质得解方程得结果详解：因为＝所以因此点睛：组合数性质：解析：4或9. 【解析】分析：先根据组合数性质得383828x x x x 或=-+-=，解方程得结果 详解：因为28C x ＝3828C x -，所以383828x x x x 或=-+-= 因此49.x x ==或点睛：组合数性质：11111,,.m n m m m m k k n n n n n n n C C C C C kC nC -++-+-=+==15．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．16．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3nC 最大， 3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)nx x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.17．23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题S 集合中选出一个数字共有3种选法P 集合中选出一个数字共有4种结果取出的两个数字可以作为横标和纵标因此要乘以2去掉重复的数字得到结果解：由题意知本题解析：23 【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，S 集合中选出一个数字共有3种选法，P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从S 集合中选出一个数字共有3种选法， 再从P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列， ∴共有C 31C 41A 22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果， 故答案为23考点：计数原理的应用．18．1023【分析】赋值法令得：；令得：再两式相减可得【详解】解：∵令得：；①令得：；②由①②可得：；故答案为：【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法解析：1023 【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得.【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023． 【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()m ax bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()n ax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可． (3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．19．【分析】由分别写出和的展开式通项分别令的指数为求出对应的参数值代入通项可得出关于的等式进而可求得实数的值【详解】的展开式通项为所以的展开式通项为令可得由题意可得解得故答案为：【点睛】方法点睛：对于求 解析：2【分析】由()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，分别写出()61x +和()61ax x +的展开式通项，分别令x 的指数为3，求出对应的参数值，代入通项可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，()61x +的展开式通项为16kkk T C x +=⋅，所以，()61ax x +的展开式通项为1166r r r r r A axC x aC x ++=⋅=⋅，令313k r =⎧⎨+=⎩，可得32k r =⎧⎨=⎩，由题意可得3266201510C aC a -=-=-，解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．20．①②③【分析】①根据所有选的总数来确定即可；②需要一定的推理能力由化学人数有人来断定选考科目组合为历史+地理+政治的学生一定不超过9人；③五选二可据组合知识求解；④根据政治地理人数都不确定无法判断结解析：①②③【分析】①根据所有选的总数来确定b 即可；②需要一定的推理能力，由化学人数有28人，来断定选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③五选二，可据组合知识求解；④根据政治，地理人数都不确定，无法判断结论.【详解】①所有学生选的科目总数为373111⨯=，则1112428141530a b +=----=，若19=a ，则11b =，故①对；②选化学的学生有28人，37289-=人，则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故②对；③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有2510C =，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对；④因为地理，政治人数不确定，选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多.故④错.故答案为：①②③【点睛】该题不仅考查了组合知识，还需要学生具备一定的常识和逻辑推理能力.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．三、解答题21．（1）5n =；（2）51T x =,235 2T x =,55 16T x=． 【分析】（1）写出二项式(n x +展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于n 的方程，解得答案；（2）由（1）得到n的值，写出二项式(n x 展开式的通项公式，整理后，得到其x 的指数为整数的r 的值，再写出其展开式中的有理项.【详解】解：二项式(n x +展开式的通项公式为32112r r n r r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，()0,1,2r n =⋅⋅⋅； （1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得2121122n n C C ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 即()111242n n n -=⋅, 解得5n =；（2）二项式展开式的通项公式为3521512r r r r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，()0,1,2r n =⋅⋅⋅； 当0,2,4r =时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为00551512T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭, 22532351522T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭, 44565515216T C x x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.22．（1）31464；（2）29302⋅.【分析】（1）根据组合数性质11m m m n n n C C C -++=即可得结果；（2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果； 【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 29302=⋅【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.23．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论；（2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解；（3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论．（1）2()n x x+的展开式中第m 项为 11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=； 112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =； 即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()n x x+展开式中的通项公式 6621662()2r r r r r r r T C x C x x--+==， 依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．24．12【分析】分别写出(n x -的展开式的第二项与第四项，由展开式中第二项与第四项的系数比为1:2，可求出n ，进而可得出展开式中2x 项的系数.【详解】(n x -展开式的第二项与第四项分别为：1112(n n n T C x --==，333334(n n n n T C x x --==-.12=，即2340nn --=， 解得4n =或1n =-，显然只有4n=符合题意，设(4x 展开式中2x 项为第1r +项， 则441(r r r r T C x -+=⋅，令42-=r ，得2r ，即(4x 展开式中2x 项为222234(12T C x x ==.故2x 项的系数为12.本题考查二项式的系数，要熟练掌握二项式定理，属于中档题.25．（1）30（2）39（3）8【解析】试题分析：（1）合理分类或分步，做到不重不漏；（2）正难则反，注意间接法的应用．试题(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数； 当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有C A ＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有C A ＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A ＝6个五位数；故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．(2)可分为两类：末位数是0，个数有A ·A ＝4；末位数是2或4，个数有A ·C ＝4；故共有A ·A ＋A ·C ＝8个满足条件的五位数． 26．（1）4358x （2）12- 【分析】（1）由二项展开式通项公式得出2a ，然后由27a =求出n ，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；（2）在展开式中令0x =可得0a ，令2x =再结合0a 可得结论．【详解】（1）因为22222321124n n T C x C x a x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，且27a =， 所以21(1)7(8)(7)048n n n C n n -==⇒-+=，解得8n =或7n =-（舍）， 故112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为4544813528T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； （2）令0x =，可知01a =，令2x =，得23401234022222n n a a a a a a =++++++， 所以2341234222221n n a a a a a +++++=-， 故()231234123412341122222222222n n n n a a a a a a a a a a -+++++=+++++=-. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．。
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B.-1 D.第一章计数原理单兀测试题、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号 码共有（）2 4B . A 26A 10 个D . A^104个5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期 五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（A ）40 种（B ） 60 种（C ） 100 种 （D ） 120 种6. 由数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有（）B.607. 用0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的全部五位数中， 若按从小到大的顺序排列， 则数字12340 应是第（）个数•B.9和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合， 则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是（）C 1 A. C mC 2 C 1C 2C n C mBC1 C2 m CnC 1C 2C n1C mC1 2 1 2 1 2 1 2C m 1C nC n C mp C m 1C nC n 1C m 19.设2 10xa °a 1x 2a ?x10a^x则1 . 有 A . 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共 （ ）10 种 B . 20 种 C . 25 种 甲、乙、丙3位同学选修课程，从 D4门课程中, .32种甲选修 2门，乙、丙各选修 3门，则不同的选修方案共有 A . 36 种B. 48 种3.记者要为5名志愿者和他们帮助的 端，不同的排法共有（）A. 1440 种B. 960 种.96 种D . 192 种2位老人拍照，要求排成一排， 2位老人相邻但不排在两C. 720 种D. 480 种 4.某城市的汽车牌照号码由124A. C 26A 10 个 C .C26 2 104个22a。
a2a10a1a2比的值为（）B.-1 D.10. 2006年世界杯参赛球队共 32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小 组出线）,这16个队按照确定的程序进行淘汰赛 ，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三 名、第四名，则比赛进行的总场数为 （）.72C11. 用二项式定理计算，精确到 1的近似值为（）B.9900212. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）.240 C二、 填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分）13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这 9个球排成一列有_种不同的方法（用数字作答）.14. 用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的五位数， 则其中数字1，2相邻的偶数有 _______ 个（用数字作答）.16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 ________ 种。
（用数字作答） 三、解答题（本大题共 6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17. 如图，电路中共有 7个电阻与一个电灯 A ,若灯A 不亮，分析因电阻断路的可能性共有多 少种情况。
18. 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问:15.若（2x 3+ 1 ）n的展开式中含有常数项, J x则最小的正整数①能组成多少个没有重复数字的七位数n 5②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个19．把1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251 是这个数列的第几项（2）这个数列的第96 项是多少（3）求这个数列的各项和.20. （本小题满分12 分）求证：能被25 整除。
m等差数列的首项为c 5n2n R2n 3；,公差为 — -V1X 2 展开2x 515除以19的余数，则此数列前多少项的和最大并求出这个最大单元测试卷参考答案21.（本小题满分14分）已知式中的常数项，求 33aJ a的展开式的各项系数之和等于n展开式中含的项的二项式系数43b 1展开 v'5b22.（本小题满分14分）若某式中的常数项，其中m 是7777 值.n 5排列、组合、二项式定理一、选择题：（每题5分，共60分）1、D解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D2、C解析•甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门,2 3 3则不同的选修方案共有C4 C4 C4 96种，选C53、解析：5名志愿者先排成一排，有A5种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右5顺序，共有2 4 A s =960种不同的排法，选B4、A解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有c；6 2A4）个，选A5、B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有60种, 选B6、B 解析：只考虑奇偶相间，则有2A3A3种不同的排法，其中0在首位的有A?A?种不符合题意所以共有2A3A3360种.7、C 解析：比12340小的分三类：第一类是千位比2小为0,有A 6个；第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有A 2个；第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个，所以12340是第10个数•8、D 解析:在一条线上取2个点时，另一个点一定在另一条直线上，且不能是交点•9、C解析:由210x a0a1x2a?x10a^x可得：当x1时，2101a。
a11a21210a101a0a1 a2a101时，2101a0a1a2a3 ai0a0a1 a2a10当x2 2a0a2a10 a1 a2a9a。
a〔a?a i0 a°a i a? a3a10210一1 2110、2 1 ,2- 10> 1 1.10、A解析:先进行单循环赛，有8C248场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负，两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名，共举行:48+8+4+2+1+1=64 场.50.0211、C解析：9.98510105C5 1040.02C521030.02 2 3 2 3C3 1020.021051034 0.0699004.12、A 解析：先取出一双有C；种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双，而后从每双中各取一只,有C I C2C2种不同的取法,共有C5 cfc2c2 120种不同的取法.二、填空题(每小题4分，共16分)13、1260 解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C^gc l gd 126014、24 解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3,34，各为1个数字，共可以组成2 A 12个五位数；② 若末位数字为2,则1与它相邻，其余23个数字排列，且0不是首位数字，则有2 A2 4个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2,为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2 (2 A2) =8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个1 115、7解析：若(2 x3+ )n的展开式中含有常数项，T r 2C；；r(2x3)n r( )r为常数项，即V x V x3n *=0,当2兰n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.16、36 种解析．从班委会5 名成员中选出3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31A423 4 3 36 种三、解答题（共六个小题，满分74 分）17. 解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c,支线a, b中至少有一个电阻断路情况都有22—1=3种；................ 4分支线c中至少有一个电阻断路的情况有22—1=7种，......................... 6分每条支线至少有一个电阻断路,灯 A 就不亮,因此灯A不亮的情况共有 3 X 3X 7=63种情况................................ 10分18. 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C：种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有Cs种情况；第三步 3 个偶数, 4 个奇数进行排列,可有A77种情况, 所以符合题意的七位数有C4 C4A7100800个. ....... 3分②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个. C^C I A S A]14400……6分③上述七位数中, 3个偶数排在一起, 4个奇数也排在一起的有C：5760 个. .................................... 9 分④上述七位数中, 偶数都不相邻, 可先把4个奇数排好, 再将3个偶数分别插入5个空档，共有A；C：A3 ........... 28800 个................. 12 分19. 解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以 5 打头的有：A44=24第二类：以45 打头的有：A33=6第三类：以435打头的有：A： =2 ............................................. 2分故不大于43251 的五位数有：A55A44A33A2288 （个）即43251是第88项.. ................................................ 4分⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321. - 8分⑶因为1 , 2 , 3 , 4 , 5各在万位上时都有A 个五位数，所以万位上数字的和为：(1+2+3+4+5) • A • 10000 .................................................................................... 10 分 同理它们在千位、十位、个位上也都有 A 个五位数，所以这个数列各项和为：(1+2+3+4+5) • A • (1 + 10+100+1000+10000)=15X 24X 1111仁3999960 ........................................................................................... 12 分20. 证明：因 2n 2 3n 5n 4 .......................................... 4 6n 5n 4 4 5 1 n 5n 4r10 5r 1 _____________45r c 5 b 6 ,r 0,1,2,3,4,5其二项式系数是35.11 2n 5n 22.由已知得：，又n N, n 2, 2n 211 3n n J n 1 _ 2 n 2 亠n 2 4.5 C n 5 C n 5 C n 5 ,-n 1 «_n 1 2 n 2n 24. 5 C n 5 C n 5 C n 5 显然5n C n 5n 1 C ?5? 2 C n 252 er ? 15 1 5n 4 ............................................ 8 分25n ......................................................... 10 分能被25整除,25n 能被25整除，5n 4能被25整除. 12分5的展开式的通项为 T r 1C 5 43 b 5 r r 1 5b 若它为常数项，则6 0, 2，代入上式 T 3 27 .即常数项是27,从而可得 3 、、n3 a 中 n=7, 10分 同理7 3 a 由二项展开式的通项公式知，含的项是第 4项,14分所以2n 2 3n 21.设 43 b3所以首项a 1 100. ............................................................................................. 77 77 1 5 76 1 77 1 5 7 6 77 C ；7 7676 N ,所以7777 15除以19的余数是5,即m 5m 5 r r223 x 2的展开式的通项T r1 C 5r —23 x 22x 5 2x 55 2r 5” r r 5 3r 5 1 C 5 x 3 , r 0,1,2,3,4,52 若它为常数项，则5r 5 0, r 3,代入上式 T 44 d .3 从而等差数列的通项公式是： a n 104 4n , .......................................................... 10分104 4 n 0设其前k 项之和最大，则，解得k=25或k=26， 104 4 k 1 0故此数列的前 25 项之和与前 26 项之和相等且最 c c 100 104 4 25 八 S 25 S 26 25 1300 . ............................................................. 14 分 2 11 2n 2n 2 C 5n P l1 3n Cw P 5 Cw P 52 10 9 85 4 1003 2 1 C 77 76 1 1576M 14, M。