方阵的特征值和特征向量

1 1 1 1 0 1
A l1E

A
E


0
3
0

r
~

0
1
0

4 1 4 0 0 0
解方程组 (A + E) x = 0．
1
解得基础解系
p1


0

1
；
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例3：求矩阵
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34

1
1 34


x1 x2



0 0



1 1
1 1


x1 x2
（2）Q Ap l p A1Ap l A1 p A1 p 1 p l
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 推广：lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
因此, A和AT有完全相同的特征值.
定理 2： 设 l1 , l2 , … lm 是方阵 A 的 m 个各
不相等特征值, p1 , p2 , … , pm 依次是与之对应的 特征向量. 则 p1 , p2 , … , pm 线性无关. 证 用数学归纳法（课上不讲证明过程）
当 m = 1 时，A 的属于特征值 l1 的特征向量 p1 0，
A


0 4
2 1
0 3

的特征值和特征向量．
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E


0
0
0

r
~

0
0
0

4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0．
解得基础解系
p2
1
求 A 及A1，A，A2 2A E的特征值。 解： A 6
A1的特征值 : 1, 1 , 1 ; 23
A的特征值为 A : 6, 3, 2;
l
A2 2A E的特征值l 2 2l 1 : 4,1, 4.
关于矩阵的特征值的几点说明
1. 由于 n 阶矩阵的特征方程是一元 n 次方程， 所以在复数域上，n 阶矩阵一定有 n 个特征值，但 不一定有 n 个实特征值.

4
1

则
l
=
4
为
3

1
31的特征值，
1
1

为对应于l
=
4
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
4 1 3 l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 1 1
例3：求矩阵
A


0 4
2 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu0 3

的特征值和特征向量．
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
征向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量．
证明： 由已知Ap1 l1 p1, Ap2 l2 p2 , 且l1 l2
反证法： 若 p1 p2 是 A的特征向量， 则存在数l， 使 A( p1 p2 ) l( p1 p2 ) Ap1 Ap2 l p1 l p2 l1 p1 l2 p2 l p1 l p2 (l l1 ) p1 (l l2 ) p2 0 Q p1, p2线性无关， (l l1 ) (l l2 ) 0 l1 l2，这与题设相矛盾，
证明：由于 p1, p2 是齐次线性方程组 ( A l0E ) x 0
的解. 因此 c1 p1 c2 p2 也是方程组的解。
故当 c1 p1 c2 p2 0 时,
c1 p1 c2 p2 是A的属于l0 的特征向量.
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
无关组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
而单个的非零向量是线性无关的.
设 m = s – 1 时，结论成立. 只需证明 m = s 时, 向量 p1 , p2 , … , ps 线性无关.
定理 2的推广： 设 n 阶矩阵 A 的相异特征值为 l1 , l2 , … lm . A 的属于 li 的线性无关的特征向量为
pi1 , pi2 , L , pisi (i 1, 2, L , m) , 则向量组 p11 , p12 , L , p1s1 , p21 , p22 , L , p2s2 ,L , pm1 , pm2 , L , pmsm
的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
是 p．
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
j ( A) p (2A1 3A 2E) p 2( A1 p) 3( Ap) 2 p


2
l
p

3l
p
2p



2
l

3l

2

p
j(l) p
A 3A 2E的特征值是j (1) 1;j (1) 3;j (2) 3
练习：设三阶方阵A的特征值为 1， 2， 3，
a1n a2n 0 M
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann （称为矩阵A的迹,TrA） ✓ l1 l2 … ln = |A|
证：j ( A) p (a0 a1A L am Am ) p a0 p a1Ap L am Am p a0 p a1l p L aml m p (a0 a1l L aml m ) p j (l ) p
例 5 设 A 为可逆矩阵, l 为 A 的特征值,
2. 若 n 阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一 定各不相同, 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根. 在计算特征值的个数时，重根按重数计算. k重根叫 做k重特征值。
3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.
一个特征向量不能属于不同的特征值.
反证法：若p 同时是A的属于特征值l1, l2（l1 l2）
p 为对应的特征向量, 证明:
A
l
为 A* 的
特征值, p 为 A* 对应的特征向量.
证明 由已知条件可知：Ap l p A1 p 1 p l
故 A* p A A1 p A 1 p A p .
ll
因此结论成立.
例6（书上例9）：设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求



0 0

解得基础解系
p1

1

1

,
k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
例2：求矩阵
A


3 1
1
3

的特征值和特征向量．
解（续）：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ．
当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足方程组 ( A 2E)x 0
32

1
1 32


x1 x2



0 0

1
即

1
1 1


x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L


0

,
p3
0

．1

4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
定理: 若 p1和 p2都是A的属于特征值 l0 的特征向量, 则 c1 p1 c2 p2也是A的属于l0 的特征向量(其中c1, c2
是任意常数,但 c1 p1 c2 p2 0 )
无关组．
例4（书上例8）：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值． 证明：（1）Q Ap l p A2 p A( Ap) A(l p)
l( Ap) l(l p) A2 p l 2 p
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
线性无关.
例如书上P119，例7中的：
1
l1

1
p1


0

;
1
0 1
l2

l3

2

p2


1

,
p2


0

1
4
由上面的定理可知：p1, p2, p3 线性无关
例10：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
§2 方阵的特征值与特征向量
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例1：

3 1
1 1 1
3

1

结论：
当 A 0时, A的特征值全为非零数;
当 A 0时, A至少有一个特征值等于零.
[注意]：A可逆 A 0
例2：求矩阵
A


3 1
1
3

的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)



0 0

解得基础解系
p2


11，
k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例3：求矩阵A

0
2
0

的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
2 l 1
解： A l E 0
2 l 0 (2 l) 4 3 l
A* +3A−2E
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ，所以 A 是可逆矩阵.
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令
j(l ) 2 3l 2 l