方阵的特征值和特征向量
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4-2 方阵的特征值与特征向量
1 2 2 2
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则 推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、 特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明 则
(E A) E A
E A E A
E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。
4
当 2 时, 解 2E A X
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则 推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、 特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明 则
(E A) E A
E A E A
E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。
4
当 2 时, 解 2E A X
方阵的特征值与特征向量
解 由A 的特征值全不为0知，A 可逆，故 A A A1 。 又由 A 123 2 ，所以
A 3A 2E 2A1 3A 2E
把上式记作 A
，有
2 3 2
。
A 的特征值为 1 1 2
定理1 设1,2, ,m 是方阵A 的m 个特征值，p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量。如果 1,2, ,m 各不相
x1 p1 x2 p2 xk1 pk1 xk pk 0
(1.2)
用A 左乘上式，得 x1Ap1 x2 Ap2 xk1Apk1 xk Apk 0
即
4 1 1 4 1 1
A
2E
0 4
0 1
0 1
r
0 0
0 0
0 0
得方程组的基础解系为
0 1
p2
1
,
p3
0
1
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3，其中k2, k3
为任意常数且 k2, k3不同时为0。
例4 设λ 是方阵A 的特征值，证明:
A 的二重特征值。
当 1 2 1 时，解特征方程组 A E x 0 。由于
3 2 3 1 0 1
A
E
2 1
0 2
21
r
0 0
1 0
0 0
得同解方程组为
x1 x2
x3 0
取 x3 1，得方程组的基础解系，即A 的对应于 1 2 1 的特
征向量为
1
p1
0
1
5
p2
2 3
所以A 的对应于3 3的全部特征向量为k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
2 1 1
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
4.2 方阵的特征值与特征向量
特征向量的求法 齐次线性方程组(A i E)x0的非零解，
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0
4_1方阵的特征值与特征向量
《线性代数》 返回
(l+2)2(l-4)0， 矩阵A的特征值为 l1l2-2, l34 .
对于特征值l1l2-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo, 1 -1 得其基础解系 1 及 0 ， 0 1 于是，A的对应于l1l2-2 的全部特征向量为 1 -1 c1 1 +c2 0 (c1,c2不全为0) . 0 1
A 2Ｘ ＝ l A Ｘ ,
把AＸ＝lＸ代入上式得
A2Ｘ＝l(lＸ) l2Ｘ，
依次类推可得
AmＸ＝lmＸ，
即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．
《线性代数》
返回
下页
结束
性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是
一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
推论 设l是方阵A的一个特征值，则
1 c1 1
矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .
《线性代数》 返回
(c1不为0) .
下页
结束
方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A 3 1 5 -1 的特征值与特征向量.
| lE-AT | | (lE-A)T | | (lE-A) |， 所以它们的特征值相同． 即A与AT 有相同的特征多项式，
《线性代数》
返回
下页
结束
例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.
证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质
4之推论可得l 2- l =0，解得，l 1＝0， l 2＝1. 证毕.
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(l+2)2(l-4)0， 矩阵A的特征值为 l1l2-2, l34 .
对于特征值l1l2-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo, 1 -1 得其基础解系 1 及 0 ， 0 1 于是，A的对应于l1l2-2 的全部特征向量为 1 -1 c1 1 +c2 0 (c1,c2不全为0) . 0 1
A 2Ｘ ＝ l A Ｘ ,
把AＸ＝lＸ代入上式得
A2Ｘ＝l(lＸ) l2Ｘ，
依次类推可得
AmＸ＝lmＸ，
即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．
《线性代数》
返回
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结束
性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是
一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
推论 设l是方阵A的一个特征值，则
1 c1 1
矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .
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(c1不为0) .
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方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A 3 1 5 -1 的特征值与特征向量.
| lE-AT | | (lE-A)T | | (lE-A) |， 所以它们的特征值相同． 即A与AT 有相同的特征多项式，
《线性代数》
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例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.
证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质
4之推论可得l 2- l =0，解得，l 1＝0， l 2＝1. 证毕.
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第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
方阵的特征值和特征向量
A 的三特征值： 1 , 2 3 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无 穷多个特征向量 性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ） 性质3 若 是方阵A 的特征值，x 是A 对应于 的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值 证：∵ A ~ B 则 存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化 这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无 穷多个特征向量 性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ） 性质3 若 是方阵A 的特征值，x 是A 对应于 的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值 证：∵ A ~ B 则 存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化 这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1
4方阵的特征值和特征向量的计算
3
4 5
8.168
8.157 8.157
19.60
19.57 19.57
43.92
43.88 43.88 10
0.1860
0.1859 0.1859
0.4463
0.4460 0.4460
1
1 1
三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。 设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变 得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的 各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了 改进的乘幂法。 二、改进的乘幂法
设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
| 1 || 2 |
| n1 || n |
相应的特征向量为
则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,
1 | n | 1 | n1 |
, xn
1 | 1 |
只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的 特征值，及其相应的特征向量。 任取初始非零向量向量v0，构造向量序列
6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量 解 计算结果见下表
k 0
1 2
vk
1 12.00 8.357 1 27.00 19.98 1 56.00 44.57 1 0.2143 0.1875
uk
1 0.4821 0.4483 1 1 1
vk Avk 1 =
=A v0
3
产生的向量序列
方阵的特征值和特征向量
9
2 1 2 例 8 A 5 3 3 , 求 A 的特征值与特征向量. 1 0 2
解 A 的特征多项式为
2 A E 5 1 1 3 0 2 3 2
( 1)3 ,
所以，A 的特征值为
1 2 3 1.
故 A* = | A | A1 . 而 | A | = 123 = 2，所以
( A) B A* 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E .
( ) 2 / 3 2 ,
可得 B 的特征值为 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3.
16
例 11 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,
p 为对应的特征向量, 证明:
1 与 A
p 分别为 A1 与 A* 对应的特征向量.
分别为 A1 与 A* 的特征值,
证明 P.征值.
(1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + … + amm ,
10
当 1 2 3 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
2 1 2 3 1 2 x1 5 2 3 x2 0, A 5 3 3 1 0 2 1 0 1 x 3 1 解之得基础解系为 p1 1 , 1
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
1 1 解之得基础解系为 p2 1 , p3 0 , 0 1 所以 k2 p2 k3 p3 是对应于 2 3 1 的全部特征向量.
方阵的特征值与特征向量
例2 若λ是矩阵A的特征值，证明
证 因λ是A的特征值，故有p≠0使Ap= λp，于是
1) A2 p = A( Ap ) = A(λ p ) = λ ( Ap) = λ 2 p， ( 故 λ 2 是矩阵A2的特征值， 且 p 是 A2 对应于λ 2的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
2 ) 当A可逆时，由Ap = λ p，有p = λ A−1 p， ( 因p ≠ 0，知λ ≠ 0，故A−1 p = λ −1 p 所以λ −1是矩阵A−1的特征值， 且p是A−1对应于λ −1的特征向量。
2.若pi是方阵A的对应于特征值λi的特征向量， 则kpi (k ≠ 0)也是对应于λi的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
求方阵特征值与特征向量的步骤： 求方阵特征值与特征向量的步骤
1. 计算A的特征多项式 A − λ E ；
2. 求特征方程 A − λ E = 0的全部根λ1 , λ2 , L , λn， 就是A的全部特征值；
§2
一般情况: 一般情况:
方阵的特征值与特征向量
(1)若λ是A的特征值，则λ k 是Ak的特征值； (2)若λ是A的特征值，则ϕ (λ )是ϕ ( A)的特征值。 (其中ϕ (λ ) = a0 + a1λ + L + amλ m是λ的多项式，
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + L + am Am是A的多项式)
§2
方阵的特征值与特征向量
当λ2 = 4时，由 3 − 4 −1 x1 0 x = ， −1 3 − 4 2 0 −1 −1 x1 0 即 x = ， −1 −1 2 0 解得x1 = − x2， −1 所以对应的特征向量可取为 p2 = 。 1
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
5.一个特征值具有的特征向量不唯一。
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
方阵的特征值与特征向量
计算Aα并观察它与α的关系。
3 3 2
1
A 1 1 2
1
3
1
0
1
解
3 3 2 1 4
1
A 1 1 2 1 4 4 1 4
3 1 0 1 4
1
我们看到，列向量α用矩阵A左乘后
得到的向量β正好是4α.这样的向量α具有
特别的意义.由此引入下列定义
例5.1.3 设
1 2 2
A 2 1 2
2
2
1
为实数域R上的矩阵, 求A的特征值与特征
向量.
解 A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5)
2 2 1
故A的特征值是－1(二重特征根)和5. 把特征值－1代入齐次线性方程组
E AX 0
得
2x1 2x2 2x3 0, 2x1 2x2 2x3 0, 2x1 2x2 2x3 0.
设α i是A的属于特征值λi的特征向量，
则
Aα i = λiα i, (i=1, 2, …,n),
此式左乘A-1得 即
α i = λi (A-1α i ),
A1i 1 i i
从而2/λi是A-1的特征值.故A-1的全部 特征值恰为 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn . 证毕.
例5.1.5 证明若λ是正交矩阵Q的特
全体特征值之和等于tr(A)，全体特征值之 积等于｜A｜.
推论2 复数域方阵A可逆的充分必要 条件是A的特征值全不为零.
定理5.1.3 若n阶可逆阵A的特征值
为λ1, λ2,…, λn,则A－1的特征值恰为 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn .
证 由于A可逆，由定理5.1.2知 λi≠0(i=1, 2, …,n)，因此 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn 有意义.
3 3 2
1
A 1 1 2
1
3
1
0
1
解
3 3 2 1 4
1
A 1 1 2 1 4 4 1 4
3 1 0 1 4
1
我们看到，列向量α用矩阵A左乘后
得到的向量β正好是4α.这样的向量α具有
特别的意义.由此引入下列定义
例5.1.3 设
1 2 2
A 2 1 2
2
2
1
为实数域R上的矩阵, 求A的特征值与特征
向量.
解 A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5)
2 2 1
故A的特征值是－1(二重特征根)和5. 把特征值－1代入齐次线性方程组
E AX 0
得
2x1 2x2 2x3 0, 2x1 2x2 2x3 0, 2x1 2x2 2x3 0.
设α i是A的属于特征值λi的特征向量，
则
Aα i = λiα i, (i=1, 2, …,n),
此式左乘A-1得 即
α i = λi (A-1α i ),
A1i 1 i i
从而2/λi是A-1的特征值.故A-1的全部 特征值恰为 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn . 证毕.
例5.1.5 证明若λ是正交矩阵Q的特
全体特征值之和等于tr(A)，全体特征值之 积等于｜A｜.
推论2 复数域方阵A可逆的充分必要 条件是A的特征值全不为零.
定理5.1.3 若n阶可逆阵A的特征值
为λ1, λ2,…, λn,则A－1的特征值恰为 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn .
证 由于A可逆，由定理5.1.2知 λi≠0(i=1, 2, …,n)，因此 1/λ1, 2/λ2,…, 2/λn 有意义.
方阵的特征值与特征向量
15
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
xA
1
Ax A x A
1
1
x
A1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
16
矩阵
A 和 AT 的特征值相同。
3．
f AT E AT 证明
22
四、思考题 1、满足Ax=λx的x一定是A的特征向量. 2、如果x1 , , xs是A对应于特征值λ的特 征向量,则 k1 x1 k s xs也是A对应于λ的 特征向量. 3、设 1 , , n 是矩阵A的特征值, 1 ,, n是矩阵B的特征值,则1 1 ,, n n 是矩阵A+B的特征值.
( 2) 当A可逆时, 1是A 1的特征值.
证明
1 Ax x A2 x 2 x A Ax Ax Ax x
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
4
1 0 2 所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2时, 解方程( A 2 E ) x 0.由
6
3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0 得基础解系
所以k
1
p (k 0)是对应于
1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 0 p1 0 , 1
23
思考题解答
1、不一定,如果x≠0,则x是A的一个特征 向量.
2、不一定,如果 k1 , k 2 ,, k s不全为零时, 是A对应于λ的特征向量.
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
xA
1
Ax A x A
1
1
x
A1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
16
矩阵
A 和 AT 的特征值相同。
3．
f AT E AT 证明
22
四、思考题 1、满足Ax=λx的x一定是A的特征向量. 2、如果x1 , , xs是A对应于特征值λ的特 征向量,则 k1 x1 k s xs也是A对应于λ的 特征向量. 3、设 1 , , n 是矩阵A的特征值, 1 ,, n是矩阵B的特征值,则1 1 ,, n n 是矩阵A+B的特征值.
( 2) 当A可逆时, 1是A 1的特征值.
证明
1 Ax x A2 x 2 x A Ax Ax Ax x
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
4
1 0 2 所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2时, 解方程( A 2 E ) x 0.由
6
3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0 得基础解系
所以k
1
p (k 0)是对应于
1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 0 p1 0 , 1
23
思考题解答
1、不一定,如果x≠0,则x是A的一个特征 向量.
2、不一定,如果 k1 , k 2 ,, k s不全为零时, 是A对应于λ的特征向量.
第四章 方阵的特征值和特征向量
4.1.3 反幂法 由Axi=ixi易推得A-1xi=(1/i)xi ,若有
| 1 | | 2 | | 3 | | n |,
则1/n是A-1的按模最大的特征值,我们只要求出A-1的按模最大的 特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.为了避免求逆阵,我们 用解方程组的方法构造如下算法：
5 结束
2. 我们假设在(4.3)中α1≠0,这在选择u0时,也无法判断,但这往往不 影响幂法的成功使用.因为若选u0,使α1=0,由于舍入误差的影响, 在迭代某一步会产生uk,它在x1方向上的分量不为零,这时以后的 迭代仍会收敛. 3. 我们假设了 | 1 | | 2 | | 3 | | n |,
u k 1 1 x1
k
2 1
1
Au k
k 1 1
1 x1 1 1 x1 1 u k ,
k 1
不是零向量，
即uk为1的近似的特征向量. 2 结束
实际计算时,为防止uk的模过大或过小,以致产生计算机运算的 上下溢出,通常每次迭代都对uk进行归一化,使‖ uk ‖∞=1,因此 以上幂法公式改进为：
y k 1 u k 1 u k Ay k 1 u k 1
k 1, 2 ,
( 4 .4 )
此时uk仍收敛于1对应的特征向量。1可用如下公式计算：
1
ak a k 1 (4 .7 )
其中ak 是uk 的绝对值最大的分量，a k 1 是yk-1 的绝对值最大 的分量。
cos 为实对称阵， U sin sin cos
1. 二阶实对称矩阵的对角化
设
为二阶旋转矩阵，容易验证U正交。 12 结束
方阵的特征值与特征向量
§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
第二十三讲方阵的特征值与特征向量
,
2 =
0 3
.
解：
A 1=
2 1
1 2
2 2
=
6 6
=3
2 2
= 3 1,
所以 1 =
2 2
是 A 的特征向量，对应的特征值为3.
ห้องสมุดไป่ตู้又
A 2=
2 1
1 2
0 3
=
3 6
k
0 3
,
所以 2 =
0 3
不是 A 的特征向量.
2
例2. 已知矩阵 A 可逆，l( 0) 为矩阵 A的特征
所以A的特征值为 l1 = 2, l2 = 4.
9
当 l1 = 2时, 对应的特征向量应满足
32 1
1 32
x1 x2
=
0 0
,
即
x1 x2 = 0,
x1
x2
=
0.
1
解得 x1 = x2 , 当l2 = 4时,
所以对应的特征向量可取为 由
p1
=
.
1
314
314
x1 x2
=
00,即
(1) 由 A x = l x 推得 ( A l E)x = 0
即n 阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组
( A l E)x = 0 有非零解的 l 值.
也即满足方程 | A lE |= 0 的 l都是矩阵A 的
特征值.
4
(2) A lE = 0
a11 l a12
也即 a21 a22 l
属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的. 当然这一结论并不是偶然的,它在一般情况下也 是成立的.
11
结论1： 设 l1 , l2 , … , ln 是 n 阶矩阵 A = (aij)
方阵的特征值与特征向量
（其中可能有重根）， 1, 2 ,, n 就是 A 的全部特征值。
3. 对每个特征值 i ，求解属于它的特征向量，
即解齐次线性方程组（i E A)x 0 的基础解系
若求得基础解系为1 , 2 ,, t ，则 A 的属于特征值 i
的全部特征向量即为 x k11 k22 ktt .
其中
k
（
1 1
4 0 2
0 0 0
0 0 0
1 r2 2r1 0
3 6
1 3
r2(16)
1 0
3 1
1 1
0 0 0
0
0
2 0
1 0 1
2
r13r2 0 1 1
2
0 0 0
得对应的方程组
x1 x2
故当 k1x1 k2 x2 0 时， k1x1 k2 x2 是矩阵 A 的属于特 征值 0 的特征向量。
为讨论方阵的特征值与特征向量的计算方法，把式（4.2）
改写为
（E A)x 0
（4.3）
这是 n 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组， n 阶矩阵 A
的特征值就是使该齐次线性方 E A 0 的单根时，则称其为
单特征值，否则称为重特征值。
求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的步骤：
1. 求出矩阵 A 的特征多项式 f () E A ,
即计算行列式 E A
2. 解特征方程 E A 0 ，求出它的全部解（根） 1, 2 ,, n
1
2
1 (3 )
1 2( 3 )
4 2
4 0 2
令 A E 0 ，解得 A 的特征值为 1 2 0, 3 3
对应于 1 2 0 ，求解齐次线性方程组 (A 0E)x 0 的基础解系
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的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
线性无关.
例如书上P119，例7中的：
1
l1
1
p1
0
;
1
0 1
l2
l3
2
p2
1
,
p2
0
1
4
由上面的定理可知：p1, p2, p3 线性无关
例10：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
§2 方阵的特征值与特征向量
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例1：
3 1
1 1 1
3
1
0
,
p3
0
．1
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
定理: 若 p1和 p2都是A的属于特征值 l0 的特征向量, 则 c1 p1 c2 p2也是A的属于l0 的特征向量(其中c1, c2
是任意常数,但 c1 p1 c2 p2 0 )
j ( A) p (2A1 3A 2E) p 2( A1 p) 3( Ap) 2 p
2
l
p
3l
p
2p
2
l
3l
2
p
j(l) p
A 3A 2E的特征值是j (1) 1;j (1) 3;j (2) 3
练习：设三阶方阵A的特征值为 1， 2， 3，
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ．
当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足方程组 ( A 2E)x 0
32
1
1 32
x1 x2
0 0
1
即
1
1 1
x1 x2
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量．
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E
0
0
0
r
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0．
解得基础解系
p2
1
A* +3A−2E
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ，所以 A 是可逆矩阵.
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令
j(l ) 2 3l 2 l
2. 若 n 阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一 定各不相同, 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根. 在计算特征值的个数时，重根按重数计算. k重根叫 做k重特征值。
3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.
一个特征向量不能属于不同的特征值.
反证法：若p 同时是A的属于特征值l1, l2（l1 l2）
证：j ( A) p (a0 a1A L am Am ) p a0 p a1Ap L am Am p a0 p a1l p L aml m p (a0 a1l L aml m ) p j (l ) p
例 5 设 A 为可逆矩阵, l 为 A 的特征值,
是 p．
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
（2）Q Ap l p A1Ap l A1 p A1 p 1 p l
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 推广：lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
0 0
解得基础解系
p1
1
1
,
k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
例2：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解（续）：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
0 0
解得基础解系
p2
11，
k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例3：求矩阵A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
2 l 1
解： A l E 0
2 l 0 (2 l) 4 3 l
a1n a2n 0 M
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann （称为矩阵A的迹,TrA） ✓ l1 l2 … ln = |A|
因此, A和AT有完全相同的特征值.
定理 2： 设 l1 , l2 , … lm 是方阵 A 的 m 个各
不相等特征值, p1 , p2 , … , pm 依次是与之对应的 特征向量. 则 p1 , p2 , … , pm 线性无关. 证 用数学归纳法（课上不讲证明过程）
当 m = 1 时，A 的属于特征值 l1 的特征向量 p1 0，
证明：由于 p1, p2 是齐次线性方程组 ( A l0E ) x 0
的解. 因此 c1 p1 c2 p2 也是方程组的解。
故当 c1 p1 c2 p2 0 时,
c1 p1 c2 p2 是A的属于l0 的特征向量.
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
4 1 3 l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
线性无关.
例如书上P119，例7中的：
1
l1
1
p1
0
;
1
0 1
l2
l3
2
p2
1
,
p2
0
1
4
由上面的定理可知：p1, p2, p3 线性无关
例10：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
§2 方阵的特征值与特征向量
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例1：
3 1
1 1 1
3
1
0
,
p3
0
．1
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
定理: 若 p1和 p2都是A的属于特征值 l0 的特征向量, 则 c1 p1 c2 p2也是A的属于l0 的特征向量(其中c1, c2
是任意常数,但 c1 p1 c2 p2 0 )
j ( A) p (2A1 3A 2E) p 2( A1 p) 3( Ap) 2 p
2
l
p
3l
p
2p
2
l
3l
2
p
j(l) p
A 3A 2E的特征值是j (1) 1;j (1) 3;j (2) 3
练习：设三阶方阵A的特征值为 1， 2， 3，
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ．
当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足方程组 ( A 2E)x 0
32
1
1 32
x1 x2
0 0
1
即
1
1 1
x1 x2
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量．
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E
0
0
0
r
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0．
解得基础解系
p2
1
A* +3A−2E
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ，所以 A 是可逆矩阵.
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令
j(l ) 2 3l 2 l
2. 若 n 阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一 定各不相同, 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根. 在计算特征值的个数时，重根按重数计算. k重根叫 做k重特征值。
3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.
一个特征向量不能属于不同的特征值.
反证法：若p 同时是A的属于特征值l1, l2（l1 l2）
证：j ( A) p (a0 a1A L am Am ) p a0 p a1Ap L am Am p a0 p a1l p L aml m p (a0 a1l L aml m ) p j (l ) p
例 5 设 A 为可逆矩阵, l 为 A 的特征值,
是 p．
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
（2）Q Ap l p A1Ap l A1 p A1 p 1 p l
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 推广：lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
0 0
解得基础解系
p1
1
1
,
k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
例2：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解（续）：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
0 0
解得基础解系
p2
11，
k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例3：求矩阵A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
2 l 1
解： A l E 0
2 l 0 (2 l) 4 3 l
a1n a2n 0 M
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann （称为矩阵A的迹,TrA） ✓ l1 l2 … ln = |A|
因此, A和AT有完全相同的特征值.
定理 2： 设 l1 , l2 , … lm 是方阵 A 的 m 个各
不相等特征值, p1 , p2 , … , pm 依次是与之对应的 特征向量. 则 p1 , p2 , … , pm 线性无关. 证 用数学归纳法（课上不讲证明过程）
当 m = 1 时，A 的属于特征值 l1 的特征向量 p1 0，
证明：由于 p1, p2 是齐次线性方程组 ( A l0E ) x 0
的解. 因此 c1 p1 c2 p2 也是方程组的解。
故当 c1 p1 c2 p2 0 时,
c1 p1 c2 p2 是A的属于l0 的特征向量.
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
4 1 3 l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2