高等电磁场作业

15-1 试证一维、二维标量波动方程的标量Green 函数分别为

0(,)2jk x x j G x x e

k

'

--'=-

)(4

),()

2(00ρρρρ'-=' H j G

式中，ρ'' ,x 为源点坐标，ρ

,x 为场点坐标。 证明：在一维中，有

()2

2

2d G k G R dR

δ+=-

()

'

1234,jkx jkx jkx jkx c e c e G x x

c e c e

--⎧+⇒=⎨+⎩ '

'

x x x x -∞<≤<<∞ 因为场不可能无限大，可以推得：230c c == 又从源点条件可以得到：

'

'

'

'

1414,1jkx

jkx

jkx

jkx

c e

c e

jkc e

jkc e ---=+=

'

'

14,22jkx

jkx

j j c e

c e

k

k

-⇒=-

=-

()

()()

'''

2,2jk x x jk x x j e k

G x x

j e k

---⎧

-⎪⎪∴=⎨

⎪-⎪⎩ ''x x x x -∞<≤<<+∞ '

2j k x

x

j e k -=-

在二维中，问题对新坐标原点对称，所以()0,0G ρ仅是R 的函数，在圆柱坐标系中：

()()2

1d dG R k G R dR dR δρδϕ⎛⎫+=- ⎪

⎝⎭

（1） 相应的齐次方程为：

2

10d dG R k G R dR dR ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

上式为零阶柱贝塞尔方程，其解为零阶贝塞尔函数()()10H k ρ和()

()20H k ρ的线性组合，其

中，仅有()

()20

H k ρ满足辐射条件，故()()

()200

,0G AH k ρρ=

对（1）取体积分以'O 为圆

心半径ερ的单位长度小圆区域，于是，：

2

221R dG R

k

G RdR dR

ε

ε

ρρππ=+=-⎰

代入，并考虑到0ερ→在线源有奇点，故取：

()

()20

2

ln

,2

k H k j ρρπ

=

-可得：14

A j =

，于是有： ()()

()200

,04

j G H k ρρ=

或()()

()2'

00

,04j G H k

ρρρ

=

-

15-2 设算子2

2dx

d L -

=，它的Green 函数),(x x G '满足边界条件 01

====x x G

G

]1,0[∈x

试证明， ⎩

⎨⎧'-''

'-='x > x )1(x < x )1(),(x x x x x x G

证明：找出对应齐次方程特解为：a G C =，b G x =

()

'

,A Bx G x x

C D x +⎧⇒=⎨

+⎩

,

'01x x

x x ≤<≤≤ 代入0100,G G A C D ==⇒==-

()

(

)'

,1B x G x x

D x ⎧⇒=⎨-⎩ ,

'01x x x x ≤<≤≤

源条件中()''

11Bx D x B D ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩

''

1,B x D x ⇒=-=-

,

'

01

x x

x x ≤<≤≤

()

()()

''

'1,1x x G x x

x x ⎧-⎪∴=⎨

-⎪⎩