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2021年高二上学期数学周考试题2 含答案

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山东济宁任城区2021-2022学年高二上学期统考数学试题 Word版含答案

山东济宁任城区2021-2022学年高二上学期统考数学试题 Word版含答案

第5题图第15题图高二模块考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟． 留意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目填涂在答题卡的相应位置．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 第Ⅱ卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置，答卷前请将答题纸密封线内的学校、班级、姓名、考试号填写清楚．考试结束，监考人员将答题卡和答题纸按挨次一并收回． 第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.设 ,,a b c R ∈，且a>b ，则 ( )A.11a b <B.22a b >C.a c b c ->-D.ac>bc 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S 8=-24，1a =4，则公差d 等于 （ ）A ．1 B. 53C. 3D. -23.ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===，，，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．64．在等比数列{}n a 中，221=+a a ，643=+a a ，则87a a +等于（ ） A ．52 B ．53 C ．54 D.555.如图所示，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A ，B 间距离的是（ ）A ．α，β，bB ．α，β，aC ． a ，b ，γD ．α，a ，b6.△ABC 满足：cos cos cos a b cA B C==，那么此三角形的外形是 （ ） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 任意三角形 D. 等腰三角形7.下列函数中，最小值为4的是A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x =+(0)x π<<C. 4x xy e e =+D. 3log 4log 3x y x =+ 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 （ ）A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元9．已知等差数列的前n 项和为n S ，且150S >，160S <，则此数列中确定值最小的项为（） A.第9项 B.第8项 C. 第7项 D.第6项10.当1x >时，不等式21mx mx x ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．)322,⎡-+∞⎣B ．)322,⎡++∞⎣C ．(,322-∞-D ．(,322-∞+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上). 11.2242M a b a b =+-+的值与5-的大小关系是M -5； 12.已知等差数列{}n a 中，满足2136=+a a ，则18S = ； 13. 设0>a ，0>b ，若3是a 3与b 3的等比中项，则ba 11+的最小值为 ； 14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)12(1-221n -⨯=+n nn a ）（， 则n S = ；15.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB = ． 三、解答题（本大题共6小题，满分共75分） 16.（本小题满分12分）第20题图在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且3=a ，3=b ，060=A ，求角B 和ABC ∆的面积．17.（本小题满分12分） 设函数2()f x x ax b =-+（Ⅰ）若不等式()0f x <的解集是{}|23x x <<，求不等式012>+-ax bx 的解集； （Ⅱ）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n b na n +=)21(，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为c b a ,,，且满足(2)cos cos 0c a B b A --= （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若7,13b a c =+=,求∆ABC 的面积.20、（本小题满分13分）如图，将宽和长都为x ，y （x<y ）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为45.（注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线相互垂直的图形） （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）当x ,y 取何值时，该正十字形的外接圆直径d 最小，并求出其最小值.21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，且数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1(1)1(1)22n nn n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． （III ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n R ． 高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分（Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分 （Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分 解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分 （Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分（Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分。

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则{}n a n S n 54a =4612a a ⋅=（ ）7S =A ．B ．C ．D ．1412217A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：d 54a =4612a a ⋅=()()4412d d -+=，又因为数列递增，所以，，所以．2d =±2d =4422a =-=74714S a ==故选：A ．2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）22214x y a +=2212x y a -=aA ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.0a >24a <242a a -=+a【详解】由双曲线知：且，2212x y a -=0a >(而其与椭圆有相同焦点，22214x y a +=∴且，解得，24a <242a a -=+1a =故选：A3．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆2221(02)4x y b b +=<<12,F F 1F l 于两点，若的最大值为5，则的值是,A B 22BF AF + bA ．1BC ．D 32D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可．【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2，解得b=故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列前项和为且 为非零常数则下列{}n a n .n S 11222n n a p S S pn -=-=≥，（）p （）结论中正确的是（ ）A ．数列不是等比数列B ．时{}n a 1p =415.16S =C ．当时，D ．12p =()*m n m n a a a m n N +⋅=∈，3856a a a a +=+C【分析】根据，利用数列通项和前n 项和的关系求解，再11222n n a p S S p n -=-=≥，（）逐项判断.【详解】解：因为，11222n n a p S S p n -=-=≥，（）所以，当时，，22pa =3n ≥1222n n S S p ---=两式相减得，又，120n n a a --=2112a a =所以数列是以p 为首项，以为公比的等比数列，故A 错误；{}n a 12当时，，故B 错误；1p =44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-当时，，所以，故C 正确；12p =12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N由得，故D 错误，112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 387332+=a a p 56451132232+=+=a a p p p ，故选：C5．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )221169x y -=A ． B ．216y x =216y x =-C ．D ．28y x=28y x=-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到22y px =，进而可求出结果.42p =【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，221169x y -=()4,0设所求抛物线方程为：，22y px =因为其以为焦点，所以，因此；()4,042p =8p =故抛物线方程为.216y x=故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.6．给出下列说法：①方程表示一个圆；222460x y x y +-++=②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；0m n >>221mx ny +=y ③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；(1,0)M -(1,0)N 2PM PN -=P ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程即不表示圆，故①错；222460x y x y +-++=()()22121x y -++=-若m >n >0，则方程，即，所以表示焦点在221mx ny +=22111011x y m n m nm n +=>>∴< ，，y 轴上的椭圆，故②对；已知点、，若，所以动点P 的轨迹是一条射线，()1,0M -()1,0N 2PM PN MN-==故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为AB直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（ ）A ．圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=B ．曲线与曲线，恰有四条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=实数的取值范围为m4m >C ．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切22:2C x y +=P 0x y ++=P C 线，其中为切点，则的最小值为PA A PA2D ．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两22:4C x y +=P :280l x y +-=P C 条切线，，为切点，则直线经过点PA PB ,A B AB 11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．(),82p n n -lAB 【详解】解：选项A ：圆的圆心为 ，半径，222x y +=()0,0Or 所以圆心到直线的距离，()0,0O :10l x y -+=12===d r所以圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=故选项A 正确；选项B ：方程可化为，故曲线 表示圆心为，2220x y x ++=()2211x y ++=1C 1(1,0)C -半径的圆，11r =方程可化为，22480x y x y m +--+=()()222420x y m -+-=-因为圆与曲线 有四条公切线，1C 2C 所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ，2C 2(2,4)C 220)rm =<同时两圆的位置关系为外离，有 ，即，1212||C C r r >+51>+解得，故B 错误；420m <<选项C ：圆的圆心 ，半径，22:2C x y +=()0,0C r =圆心到直线的距离，()0,0C 0x y ++=>d r 所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形，PAC ，当且仅当 与直线垂直时等号成||2=PA PC 0x y ++=立，所以的最小值为，故选项C 正确；PA2选项D ：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为(),82P n n -l O P ，即：，两圆的方()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭22820x nx y y ny -+-+=程相减得到直线方程为，即，AB 8240nx y ny +--=()()2840n x y y -+-=所以直线过定点，D 正确．AB 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，n a ()9,n n n *≤∈N若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ）11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数5A ．B ．713C ．D ．1622C【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.{}n a 5a 【详解】数列满足．且，{}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以，，，，.21211a a =-=32224a a =+=43217a a =-=542216a a =+=所以解下个环所需的最少移动次数为．516故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（ ）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确．故选：CD ．10．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点24y x =F F A B关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（ ）B xC l A ．以线段为直径的圆与直线相离AB 32x =-B ．的最小值为AB4C ．为定值11AF BF+D ．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点A C AC x l ABCD【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，AB AC AB 利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为M AB M =1x -，()1122AF BF AB +=于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A 正AB =1x -32x =-确；设，，直线方程为，()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+联立直线与抛物线方程可得，，则，．2440y my --=124y y m +=124y y =-于是，()21212444AB x x p m y y m =++=++=+当时，有最小值为，B 正确；0m =AB4由，，12pAF x =+22p BF x =+得为定值，()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++故C 对；，则直线的方程为，()22,C x y -AC ()121112y y y y x x x x +-=--令，得0y =12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D 正确．AC x ()1,0-l x 故选：ABCD ．11．已知等差数列的首项为1，公差，前n 项和为，则下列结论成立的有{}n a 4d =n S A ．数列的前10项和为100n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．若成等比数列，则1,a 3,a m a 21m =C ．若，则n 的最小值为6111625ni i i a a=+>∑D ．若，则的最小值为210mn a a a a +=+116m n +2512AB由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可43n a n =-22n S n n =-=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为,通过裂项11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D 错误.111ni i i a a=+∑12m n +=【详解】由已知可得:,,43n a n =-22n S n n=-,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A 正确;=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()10119=1002+成等比数列,则,即,解得故B 正确;1,a 3,a m a 231=,m a a a ⋅81m a ==4381m a m =-=21m =因为所以11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,解得,故的最小值为7,1111111116=1=455494132451ni ii n n n a an =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑ 6n >n 故选项C 错误;等差的性质可知,所以12m n +=,当且仅当()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D 错16=n m m n 48=45n m =*,m n ∈N 48=45n m =误.故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，()222:10x C y a a -=>()2221x y -+=C 则（ ）A ．双曲线的实轴长为C 6B ．双曲线的离心率C e =C ．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则P C P C 1d 2d 2134d d =D ．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原1y k x m =+C A B D AB OD O 点）的斜率为，则2k 1213k k =BCD【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB 选C a 项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的()00,P x y 220033x y -=正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，因为，则C 0x ay ±=1=0a >a =所以双曲线的实轴长为A 错误；C 2a =，所以，故B 正确；2c ==c e a ===设，则，C 正确；()00,P x y 220033x y -=12d d 设、，则，两式作差得()11,A x y ()2222,B x y 221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-所以，，D 对.121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+故选：BCD.三、填空题13．已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．{}n a n n S 11a =()12N n na S n *+=∈n a =.21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】利用求解即可.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时可得，1n =1222,2a a a =∴=当时，由，得，2n ≥12n n S a +=12n n S a -=两式做差可得，13n n a a +=因为，212,1a a ==所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，{}n a 所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．过点与圆相切的直线方程为______.()5,1B -2225x y +=或5x =125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由5x =1(5)y k x +=-直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答k 案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；5x =2225x y +=②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，1(5)y k x +=-510kx y k ---=要求直线与圆，解可得，2225x y +=5125k =此时要求直线的方程为：，125650x y --=综上可得：所求直线的方程为：或5x =125650x y --=故答案为或5x =125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．15．过抛物线C ：的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的24y x =最小值为____．32【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出AB (1)y k x =-AB 韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式||AB ||CD 结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．1·2S AB CD =ACBD 【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为F (1,0)AB ，(1)y k x =-将直线的方程代入抛物线的方程并整理得l ，2222(24)0k x k x k -++=所以，，所以，，12242x x k +=+122424AB x x k =++=+同理可得，244=+CD k 由基本不等式可知，四边形的面积为ACBD 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k．2218(2)32=++k k 当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．1k =±ACBD 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象Z 24x y =F F ()2214x y +-=Z 限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭l ()0x t t m =<<Z A l在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．F B m =FAB 2()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由分别与抛物线，与()02x t t =<<圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩2,1x y =⎧⎨=⎩∴2m =由，解得，24x t x y =⎧⎨=⎩24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭由，解得()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，(,1B t 由抛物线的定义得：∴，AF AC =∴周长，FAB FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+.4=，()0,2t ∈()44,6∈故2，．()4,6五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n 项和{}n a 236aa =3542a a a =-{}nb 为Sn ，且，，N ．11b =12n n n S b b +=n ∈*（1）求数列的通项公式；{}n a （2）证明数列是等差数列，并求数列的前n 项和Tn ．{}n b {}n n a b +（1）；（2）证明见解析，2nn a =21112222n n T n n +=++-（1）由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比1a q3a 4a 5a 6a 1a q 数列的通项公式表示出即可；n a （2）时，求出，时，由和的关系得到，进而求出1n =22b =2n ≥n S 1n S -112n n b b +--=，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，n b n ={}n b {}n a {}n b n 从而求出.n T 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，{}n a ()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩所以.112n nn a a q -==（2）由题意，当时，，又，所以，1n =1122S b b =11b =22b =当时，，2n ≥112n n n S b b --=所以，()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-所以，112n n b b +--=又，所以，，所以，11b =2121n b n -=-22b =22n b n =所以，，n b n =11n n b b +-=所以数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n b 11数列的前项和为，{}n a n ()()11121222112n n n a q q +-⨯-==---数列的前项和为，{}n b n ()()121112222n b b n n n n n++==+所以数列的前项和.{}n n a b +n 21112222n n T n n +=++-本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计n 算方法，属于中档题.18．如图，圆M ：，点为直线l ：上一动点，过点P 引圆()2221x y -+=()1,P t -=1x -M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（1）切线方程为，（2）1y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将弦长构造成角度的函数，求函数的最小值即可.AB 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，()11y k x -=+即，10kx y k-++=则圆心M 到切线的距离，1d 解得或，0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接，交于点N ，PM AB设，MPA MAN θ∠=∠=则，2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==因为，3PM ≥，()max 1sin 3θ∴=()min cos θ∴==min min 2(cos )AB θ∴=故的最小值为AB 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，()3,44且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求2.l 出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.l l 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点C ()221,0mx ny m n +=≠x 的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？()1,1P -l C A B P AB 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.答案见解析【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，①C x 根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意l 即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线②C x 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜l率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线，①C x 设，，所以的方程为，21m a =21(0,0)n a b b =->>C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由题设得，解得，，229161a b =⎪-=⎪⎩21a =22b =所以的方程为，C 2212y x -=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，l l =1x -C ()1,0-不符合题意；当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，2212y x -=()()()()222221230*k x k k x kk --+-++= 若，即有且仅有一解，不符合题意；220k -=k =()*若，即时，其判别式220k -≠k ≠，则，()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>32k >-所以方程有两个不同实数解时，()*32k k >-≠且于是，解得，与且1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--2k =-32k >-k ≠所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l C A B P AB 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆，②C x 设，，所以的方程为，21ma =21(0)n a b b =>>C 22221(0)x y a b a b +=>>由题设得，解得，，242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩24a =23b =所以的方程为，C 22143x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，l l =1x -22143x y +=32y =±不是线段的中点，不符合题意；()1,1P -AB 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，22143x y +=()()()22234814220k x k k x k k +++++-=其判别式，()()()()2222Δ[81]4·34·422169660k k k k k k k =+-++-=-+>于是，解得，()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+34k =故，即，()33711444y x x =++=+3470x y -+=所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l 3470x y -+=C A B P AB 方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，{}n a n n A {}n b n n B 314A =，．再从三个条件：12n n a a +=*N n ∈①；②，；③，中任选一组作221n B n n =-+12n n n B B b ++=+120b =2222log n n b a =-为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列的通项公式；{}n b （2）定义：．记，求数列的前项的和．,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩n n n c a b =*{}n c 100100T 选择见解析；（1）；（2）．222n b n =-7940-【分析】（1）根据已知条件可知数列是公比为的等比数列，根据求出{}n a 2314A =的值，可求得等比数列的通项公式.1a {}n a 选①，由可求得数列的通项公式；11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩{}n b 选②，推导出数列是公差为的等差数列，结合可求得数列的通项公{}n b 2-120b ={}n b 式；选③，由的通项公式结合对数运算可得出数列的通项公式；{}n a {}n b （2）求出数列的表达式，进而可求得的值.{}n c 100T【详解】（1）由已知得，为等比数列，公比为，则，{}n a 2q =231112214A a a a =++=，所以，.12a ∴=112n n n a a q -==选择①，当时，，1n =1120b B ==当时，.2n ≥()()()221212111222n n n b B B n n n n n-⎡⎤=-=-----=-⎣⎦满足，所以，；120b =222n b n =-()222n b n n N *=-∈选择②，，即，12n n n B B b +-=-12n n b b +=-所以是首项为，公差为的等差数列，；{}n b 202-()121222n b b n n ∴=--=-选择③，；2222log 2222nn b n =-=-（2），，，，11220a b =<=22418a b =<=33816a b =<=441614a b =>=当且时，令，4n ≥n N *∈()22222222n n n n n x a b n n =-=--=+-则数列为单调递增数列，且，即.{}n x 420n x x ≥=>n n a b >所以，，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q -+=++++++⋅⋅⋅+=+-．()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--方法点睛：已知求：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项，n S n a n n S n a {}n a 可用公式求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩21．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.()(),0P x y x ≥()1,0F y 1(1)求动点的轨迹的方程；P C (2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得()2,0Q l C A B x M 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AMQ BMQ ∠=∠M (1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等P ()1,0F y 1P F 于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得P =1x -P ()1,0F 轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入C ()11,A x y ()22,B x y (),0M t :2l x my =+可得，由根与系数的关系可得，，由24y x =2480y my --=124y y m +=128y y =-，可得，计算可求得的值，即可得结论．AMQ BMQ ∠=∠AM BM k k =t 【详解】(1)动点到定点的距离比到轴的距离大，()(),0P x y x ≥()1,0F y 1又，到的距离等于到直线的距离，0x ≥ P F P =1x -动点的轨迹为以为焦点的抛物线，∴P ()1,0F 轨迹的方程；∴C ()240y x x =≥(2)设，，，()11,A x y ()22,B x y (),0M t 直线过点，l ()2,0Q 设直线方程：，∴l 2x my =+代入， 可得，显然，24y x =2480y my --=216320m ∆=+>则，，124y y m +=128y y =- AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又，124y y m +=128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=，即2t ∴=-()2,0M -.故在轴上存在点使得x ()2,0M -AMQ BMQ∠=∠22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭22122:1(0)x y C a b a b +=>>2C (±圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜1C (2,1)P -1C ,A B PA PB 角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．AB ,x y ,MN （1）求椭圆和双曲线的方程；1C 2C （2）若的面积为，求直线的方程；PMN 54AB （3）若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．AB 2C ,Q R ||||NQ NR （1）；（2）；（3）．22221,18288x y xy +=-=20x y+=⎛ ⎝【分析】（1）解方程即得椭圆方程和双曲线的方程；22411a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩（2）联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，,A B 12AB k =-1:(0)2AB y x n n =-+>根据的面积为求出的值即得解；PMN 54n （3）先求出的范围求解.||1||QRx NQ NR x ==n 【详解】【解】（1）由题得，所以椭圆的方程为22,411a ab a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩221,82x y +=等轴双曲线的方程为.22188x y -=（2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去得：y 2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-=221616441A P k k x x k +-⋅=+因为，所以，并求出2P x =2288241A k k x k +-=+2244141A k k y k --=+将换成，得：，则可得k k -2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++12AB k =-设1:(0)2AB y x n n =-+>，消去得：221248y x n x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩y 222240x nx n -+-=，所以得：2248160n n ∆=-+>02n <<则，，:220(02)AB x y n n +-=<<(2,0),(0,)M n Nn d =，解得：21524PMN S n ===n =即:20AB x y +-=（3），消去得：221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩y 22344320x nx n +--=1,2x=||1||NQ NR ==，则204n << 2632n ∴>11->-，∴0<<||1||NQ NR ∴<<则的取值范围为．||||NQNR ⎛ ⎝。

四川省雅安中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案

四川省雅安中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案

雅安中学2021-2022学年高二上期10月月考数学试题命题人： 审题人：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

全部试题均在答题卷相应位置上作答，答在试卷上一律不得分。

第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B .a 2>b 2 C.21ac +>21b c +D.a |c |>b |c |2.不等式0432<++-x x 的解集为 （ ）A ．{}41<<-x xB ．{}14-<>x x x 或C ．{}41-<>x x x 或 D ．{}14<<-x x3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.54．设x >0，y >0，则下列不等式中等号不成立的是( )A ．x ＋y ＋2xy≥4 B ．(x ＋y )(1x ＋1y )≥4C ．(x ＋1x )(y ＋1y)≥4D.x 2＋3x 2＋2≥2 5．已知某个几何体的三视图如右图（主视图中的弧线是半圆）， 依据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积 是( )3cm ．A .π+8 B.328π+C.π+12D.3212π+6.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是（）A ．6：5 B ．5：4 C ．4：3 D ．3：27. 如图是正方体的平面开放图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ． ①②③B ． ③④C ． ②④D ．②③④8、假如一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

西安市第一中学2022-2021学年度其次次月考考试高二数学（文科）试题一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是( )A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠ D.若1tan ≠α，则4πα=2.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=5.抛物y ＝4x 2的焦点坐标是( )．A ．(0，1)B ．(0，116)C ．(1，0)D ．(116，0)6.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ） A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -=7.曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x yB. 32--=x yC. 12+-=x yD.12+=x y8．下列结论正确的是个数为（ ） ①y=ln2 则y ′=； ②y=则y ′=③y=e ﹣x 则y ′=﹣e ﹣x ； ④y=cosx 则y ′=sinx ．A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．10. 已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）=x 2+3xf ′（1），则f ′（1）的值等于（ ） A ．B ．C ．1D ．﹣1 11.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A ．D ．+=1B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于_______________ 14. 函数1()ln 2xf x xx-=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________ 15. 椭圆的左右焦点为F 1，F 2，b=4，离心率为，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．16函数f （x ）=xlnx 的递减区间是__________。

2021-2022学年福建师范大学附属中学高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年福建师范大学附属中学高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年福建师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l 的方程是（ ）32-A ．3x +2y －1＝0B ．3x +2y +1＝0C ．2x +3y +1＝0D ．x －2y －3＝0【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k 的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可.【详解】直线l 的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1），32-故直线l 的斜率k ＝，32-故直线方程为：y +1＝（x －1），即3x +2y －1＝0，32-故选：A.2．圆与圆的位置关系是（ ）()22:39A x y -+=22:812270B x y x y +--+=A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离【答案】C【分析】求出圆心距，与两半径的和差比较可得．【详解】圆心，圆心为，半径为，A (3,0)A 3r =圆标准方程为，圆心为，半径为．B 22(4)(6)25x y -+-=(4,6)B 5R =，所以两圆相交．=53<+故选：C ．3．已知直线与平行，则实数a 的值为1:(2)20l ax a y +++=2:10l x ay ++=A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1【答案】D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；4．设函数f （x ）＝sin2x ，，若，函数是偶函数，则的值为（ ）x ∈R π0,2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()f x θ+θA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】C【分析】由诱导公式和余弦函数为偶函数，可得（），再由的范围，可得所求值.ππ24k θ=+Z k ∈θ【详解】函数f （x ）＝sin2x ，x ∈R ，函数f （x +）＝sin2（x +）＝sin （2x +2），θθθ由于f （x +）是偶函数，可得2＝k π+（k ∈Z ），θθπ2即（k ∈Z ），ππ24k θ=+由∈[0，），可得的值为 .θπ2θπ4故选：C.5．正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任M 1DD O ABCD P 11A B 意一点，则直线与直线所成的角为OP AM A ．45B ．60C ．90D ．与点的位置有关P 【答案】C【详解】试题分析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，2(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，，∴，，(0,2,1)M (0,0,2)A (1,1,2)OP x =---(0,2,1)AM =- ∴，即，故夹角为，故选C.(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=OP AM ⊥2π【解析】异面直线的夹角.【名师点睛】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.x=6．直线y＝x+b与曲线b的取值范围是（）A．b＝B．－1＜b≤1或b＝C．－1≤b＜1或b D．－≤b【答案】C【分析】把曲线方程整理后可知其图像为半圆，进而画出图像来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第二象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和（－1，0），及与曲线交于点（0，－1），分别求出b，则b的范围可得.x=【详解】曲线x2+y2＝1 （x≤0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴左侧的部分）.如图，则A（0，1）、B（－1，0）、C（0，－1），当直线y＝x+b经过点C时，－1＝0+b，求得b＝－1；当直线y＝x+b经过点B、点A时，0＝－1+b，求得b＝1；1当直线y＝x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得b，或b ，故要求的实数b 的范围为－1≤b ＜1或b 故选：C.7．已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，平面ABC AD ⊥ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．π2π4π8π【答案】D【分析】由正弦定理可得外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体的外接球的ABC D ABC -半径，即可求出球O 的表面积.【详解】因为为等边三角形且其面积为，ABC 2212sin 60a =所以外接圆的半径为，ABC ABC r由正弦定理可得，，取底面中心为，即22r ==1r =1O 11O A =∵平面ABC ，AD ＝2，AD ⊥过作，且取，1O 1//O O AD 11=2O O AD 则即是四面体外接球的球心，半径，O D ABC -R OA =在中，，则1Rt O OA △2222211122AD OA O O O A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭R OA ==所以球O 的表面积为.24π8πR =故选：D.8．已知点F 是椭圆的上焦点，点P 在椭圆E 上，线段PF 与圆22221(0)y x a b a b +=>>相切于点Q ，O 为坐标原点，且，则椭圆E 的离心率为（ ）222(216c b x y +-=()0OP OF FP +⋅= ABC ．D ．2312【答案】B【分析】根据可得，结合圆的相切关系可得，然后利用椭圆的()0OP OF FP +⋅=1PF PF ⊥1PF b =定义及勾股定理可求离心率.【详解】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为，1F 222()216c b x y +-=A PF B 因为，所以，即；()0OP OF FP +⋅= ()()0OP OF OP OF +⋅-=OP OF c== 所以，由于，所以；OB PF ⊥1//OB PF 1PF PF ⊥因为线段PF 与圆相切于点Q ，222()216c b x y +-=所以，所以，所以；AQ PF ⊥1//PF AQ 11AQ AFPF FF =因为，所以；12,,42b cFF c AQ AF ===1PF b =根据椭圆定义可得，所以有，整理得，2PF a b =-()22224a b b c -+=23b a =所以离心率c e a ===故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，根据题意构建关于的关系式是求解的关键，侧,,a b c 重考查数学运算的核心素养.二、多选题9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则22195x y +=下列结论正确的是（ ）A ．的周长为10B ．面积的最大值为1PF F 1PF F C ．的最小值为1D ．椭圆C 的焦距为61||PF 【答案】AB【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.,,a b c 【详解】∵椭圆C 方程为：，22195x y +=3,2a b c ∴==的周长为，∴A 正确；12PF F ∴△1212||||||2210PF PF F F a c ++=+=∴△PF 1F 2面积的最大值为位于短轴的端点，∴B 正确；122c b ⋅⋅=P 在椭圆的左顶点时，|PF 1|的最小值为a －c ＝1，又P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，∴C 错误；P 椭圆C 的焦距为2c ＝4，∴D 错误.故选：AB.10．某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变()1f x =-形为）()f x =A ．函数B ．函数()f x ()f x C ．函数没有最大值D ．函数有最大值()f x ()f x 【答案】BC【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化求出最小值判断AB ，分析无最大值判断CD ．【详解】设可理解为动点到两个定点，()f x (,0)P x (0,1)A 的距离和．(1,0)B 如图：当点P 和点B 重合时，等号成立，无最大值，PA PB+所以函数.()f x 故选：BC11．已知点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上的一点（异于左、()222210x y a b a b +=>>右顶点）为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为（ ）12PF F △A B ．C ．D ．121314【答案】CD【分析】根据题意可得，从而可得，再化简转化为12122PF F S c b≤⨯⨯ ()1122222a c c b ⨯+≤⨯⨯关于的不等式，解不等式即可求解.e 【详解】由椭圆性质可得：的面积满足，12PF F △12122PF F S c b ≤⨯⨯为半径的圆内切于，12PF F △∴，()121122222PF F S a c c b=⨯+≤⨯⨯∴a +c ，∴（a +c ）2≤2b 2＝2（a 2－c 2），∴3c 2+2ac －a 2≤0，∴3e 2+2e －1≤0，∴113e -≤≤又，01e <<解得，103e <≤故选：CD.12．如图，矩形ABCD 中，，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△22AB AD ==A 1DE （点A 不落在底面BCDE 内），若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．四棱锥B ．线段BM 长度是定值1A BCDE -C ．MB ∥平面A 1DE 一定成立D ．存在某个位置，使1DE A C⊥【答案】ABC【分析】对选项A ，取的中点，连接，根据题意得到当平面平面时，到DE O 1AO 1A DE ⊥BCDE 1A平面的距离最大，再计算四棱锥体积即可判断A 正确.BCDE 1A BCDE -对选项B ，对选项B ，取的中点，连接，，根据等角定理得到，CD F MF BF 145A DE MFB ∠=∠=再利用余弦定理即可判断B 正确.对选项C ，首先根据题意易证平面平面，再利用面面//MBF 1A DE平行的性质即可判断C 正确，对选项D ，连接，根据在平面的射影在上，AC 1A C BCDE AC 与不垂直，即可判断D 错误.DE AC 【详解】对选项A ，取的中点，连接，如图所示：DE O 1AO当平面平面时，到平面的距离最大.1A DE ⊥BCDE 1A BCDE 因为，为中点，所以.1A D AE =O DE 1AO DE ⊥又因为平面平面，所以.1A DE ⋂BCDE DE =1A O BCDE ⊥DE ==1A O ==所以四棱锥体积最大值为A 正确.1A BCDE -()121132+⨯⨯对选项B ，取的中点，连接，，如图所示：CD F MF BF 因为分别为的中点，，,M F 1,A C AB 22AB AD ==所以四边形为菱形，所以，，DEBF 1//A D MF //DE BF 所以，，145A DE MFB ∠=∠=11122MF A D ==BF DE ==所以B 正确.MB ==对选项C ，因为，平面，所以平面，1//MF A D 1A D ⊂1A DE //MF 1A DE 因为，平面，所以平面，//FB DE DE ⊂1A DE //BF 1A DE 又因为，平面，所以平面平面，MF BF F ⋂=,MF BF ⊂MBF //MBF 1A DE 又因为平面，所以平面，故C 正确.MB ⊂MBF //MB 1A DE对选项D ，连接，如图所示：AC因为在平面的射影在上，1A C BCDE AC ，，所以与不垂直，45DEA =∠1tan 2CAB ∠=DE AC 所以与不垂直，故D 错误.DE 1A C 故选：ABC三、填空题13．求过点且与圆相切的直线方程为______.3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心 到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.(1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为______.【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面ABC 1的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可.【详解】以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()()()111,0,0,1,0,0,1,1,0,0,12A B B C ⎫⎪⎪⎭所以，，，11,12C A ⎫=-⎪⎪⎭ ()10,1,1C B =- ()110,1,0C B = 设平面ABC 1的法向量为，则，即，(,,)n x y z = 1100n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1020x y z y z +-=⎪-=⎩令，则，故，1x=y z =n =所以点B 1到平面ABC 1=..15．已知直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0与圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为______________．【答案】【分析】根据题意，分析圆C 的圆心与半径，将直线l 的方程变形为y ﹣2＝k （x ﹣2），恒过定点M （2，2），分析可得M 在圆C 内部，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB |最小，求出此时|CM |的值，由勾股定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0即（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，圆心C 的坐标为（1，3），半径r ＝2，直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0，即y ﹣2＝k （x ﹣2），恒过定点M （2，2），又由圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，则点M （2，2）在圆内，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB |最小，此时|CM |则|AB |的最小值为故答案为：四、双空题16．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直1x =线，那么在三维空间中，它表示______，过点且法向量为的平面的方程是(1,1,2)-P (1,2,3)=v ______．【答案】 一个平面 2350x y z ++-=【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为计算可得；(),,n A B C =()000,,x y z ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=【详解】解：依题意可得在三维空间中，它表示一个平面，在这个平面上所有点的横坐标都为1x =，1过点且法向量为的平面的方程为，整理得(1,1,2)-P (1,2,3)=v ()()()1121320x y z -+++-=2350x y z ++-=故答案为：一个平面；2350x y z ++-=五、解答题17．在①，②2c cos A ＝a cos B +b cos A ，③b 2+c 2＝a 2+bc ，这三个条件中任选一sin cos 6a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭个，补充在下面问题中，并解决该问题.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知b ＝6，，______，求a 的值.ABC S =【答案】选①：，选②：③：a =a =a =【分析】选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a 的值；选条件②时，直接利用三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a 的值；选条件③时，直接利用余弦定理及三角形的面积公式，求出结果.【详解】若选①：因为，πsin cos 6a C c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，πsin sin sin cos 6A C C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0所以，1sin cos sin 62A A A Aπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭即，所以3sin 2A A=tan A =因为0＜A ＜π，所以.π6A =所以，1113sin 62222ABC S bc A c c ==⨯⨯==所以，由余弦定理有c =，(222222cos 62612a b c bc A =+-=+-⨯⨯=所以.a =若选②：因为2c cos A ＝a cos B +b cos A ，所以2sin C cos A ＝sin A cos B +sin B cos A ，所以2sin C cos A ＝sin （A +B ）＝sin （π－C ）＝sin C 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以，1cos 2A =因为0＜A ＜π，所以，3A π=所以11sin 622ABC S bc A c ==⨯== 所以c ＝2，由余弦定理有，2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=所以a =若选③：因为b 2+c 2＝a 2+bc ，所以b 2+c 2－a 2＝bc ，所以，2221cos 22b c a A bc +-==因为0＜A ＜π，所以，π3A =所以11sin 622ABC S bc A c ==⨯== 所以c ＝2，由余弦定理有，2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=所以a =故答案为：18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q0），直线l：x ＝P 满足到点Q的距离与到直线l .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.【答案】(1)22163x y +=【分析】（1）设P 的坐标，由题意可得P 的横纵坐标的关系，进而求出P 的轨迹方程.（2）联立直线与曲线方程，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可可求弦|AB |的长.【详解】（1）设P （x ，y ）=整理可得：；22163x y +=所以P 的轨迹C 的方程为：.22163x y +=（2）设直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，消去y 得x 2+2（x －1）2＝6，整理得3x 2－4x －4＝0，2216310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩由()Δ163440=-⨯-⨯>所以x 1+x 2＝，x 1x 2＝，，4343-==19．如图，正方形的中心为O ，四边形为矩形，平面 平面，点G 为ABCDOBEF OBEF ⊥ABCD 的中点， .AB 2AB BE ==(1)求证： 平面 ；EG ∥ADF (2)求点D 到直线的距离.EG 【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取 的中点M ，连接 为线段 的中点，根据三角形的中位AD MG OD FM G ，，，AB 线定理、矩形的性质、平行四边形的判断定理、线面平行的判定定理即可证明结论.（2）连接 ，根据面面垂直的性质定理可得平面 ，建立空间直角坐标系，求得直ED EB ⊥ABCD 线EG 的单位方向向量，可得点D 到直线EG 的距离EG e EG = d 【详解】（1）证明：取的中点M ，连接 ，正方形的中心为O ，则AD ,,MG OD FM ABCD共线，,,B OD 又G 为线段的中点，则 ，AB MG BD MG OB =∥，∵四边形为矩形，则 ，OBEF ,,EF OB EF OB EF MG EF MG =∴=∥，∥∴四边形为平行四边形，EFMG ∴ ，而平面 ，而平面，EG FM ∥FM ⊂AFD EG ⊄AFD ∴平面.EG ∥AFD （2）连接 ,ED ∵四边形为矩形，则,平面平面 ，OBEF EB BO ⊥OBEF ⊥ABCD 平面平面,平面,OBEF ABCD BO =EB ⊂OBEF ∴平面，故以B 为坐标原点，以为轴， 建立如图所示的空间直角坐EB ⊥ABCD ,,BC BA BE ,,x y z 标系 ，B xyz -则，()()()2,2,0,0,1,0,0,0,2D G E ，，()2,2,2ED =-0,1,2)EG -=(直线EG 的单位方向向量，0,1,2)EG e EG-==∴ED e ⋅= ∴点D 到直线EG 的距离.d ===20．已知函数.()23sin cos 2f x x x x =+（1）求的单调递减区间；()f x（2），，求的取值范围.0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭a【答案】（1）()；（2）.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈()-+∞【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出单调递减区间；（2）先用诱导公式将函数化简，进而进行换元，然后通过参变分离解得答案.【详解】（1）()23sin cos 2f x x x x =+113cos 22222x x =-+.sin 226x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令，，222262k x k πππππ-+≤+≤+Z k ∈解得，.36k x k ππππ-+≤≤+Z k ∈故的单调递减区间是().()f x ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2），，()sin 226f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2sin 22cos 222cos 132f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则.2cos cos 2cos 103a x f x a x x π⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭令，，则，cos t x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01t <<即，可得.2210at t ++>12a t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭因为，当且仅当，即，时取等号，12t t +≥=12t t =t =4x π=所以.12t t ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭故的取值范围是.a >-a ()-+∞21．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，ABCD ABMN //MB AN 2NA AB ==，4BM =CN =(1)证明：平面；MB ⊥ABCD(2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角CM E E BN M --出的值，若不存在请说明理由.CEEM 【答案】(1)证明见解析.(2)存在；．12CE EM =【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；BC BM ⊥BM AB ⊥（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得CE CM λ= BEN BMN λ出.【详解】（1）正方形中，，ABCD BC AB ⊥平面平面，平面平面，平面，ABCD ⊥ABMN ABCD ⋂ABMN AB =BC ⊂ABCD平面，，且，又BC ∴⊥ABMN BC ∴⊥B M BC BN ⊥2,BC CN ==，BN ∴==2AB AN == 222BN AB AN ∴=+，又，，，AN AB ∴⊥//AN BM BM AB ∴⊥BC BA B = 平面；∴BM ⊥ABCD （2）由（1）知，平面，BM ⊥ABCD BM AB⊥以B 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，,,BA BM BC ,,x y z 则，，()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M设点，，，(),,E x y z CE CM λ=()(),,20,4,2x y z λ∴-=-，()04,0,4,2222x y E z λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==-设平面的法向量为，BEN (),,m x y z =，()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ 显然，平面的法向量为，BMN ()0,0,2BC =，cos ,BC mBC m BC m⋅∴<>====即，解得或（舍），23210λλ+-=13λ=1-则存在一点，且.E 12CEEM =22．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左右焦点分别为，，点P 为C ()222210x y a b a b +=>>1F 2F 椭圆上的动点，△C 12F PF 相切.3450x y -+=（1）求精圆C 的方程；（2）若直线过定点且与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M 是椭圆的右顶点，直线l ()1,0C C AM ，BM 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）是，.2214x y +=()T【分析】（1）由题设可得的距离为，即可求椭圆参数，进而写出c b ⋅=3450x y -+=b 椭圆方程.（2）法一：讨论斜率的存在性分别研究定点，且斜率存在时设、()1y k x =-、，联立椭圆方程，应用韦达定理求、；法二：设，联立椭()11,A x y ()22,B x y 12x x +12x x 1x my =+圆方程应用韦达定理求、；(两种方法后续过程)求直线、方程进而确定P ，Q 坐12y y +12y y AM BM 标，设定点坐标，则有，利用向量数量积的坐标表示列方程求坐标即可；N 0PN QN ⋅=N 【详解】（1）由△12F PF 相切.3450x y -+=∴，解得，，则椭圆的方程是.121221PF F S c b b ⎧=⋅⋅=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ 1b =c =2a =C 2214x y +=（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.PQ x 法一：当直线斜率不存在时，以为直径的圆的方程为：，恒过定点.l PQ 223x y +=()0当直线斜率存在时，设，.l ()1y k x =-()0k ≠由得：.()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=设，，则有，.()11,A x y ()22,B x y 2122814k x x k +=+21224414k x x k -=+又是椭圆的右顶点，则.M C ()2,0M 由题意知：直线为，故.AM ()1122y y x x =--11(0,2)2y x P --直线为：，故.BM ()2222y y x x =--2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭若以为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立.PQ x ()0,0N x 0PN QN ⋅=又，，1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭∴恒成立.21201222022y y PN QN x x x ⋅=+⋅=-- 又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k ---=-++=-⨯+=+++.()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫--=--=-++=-+= ⎪+++⎝⎭∴，解得()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+0x =故以为直径的圆过轴上的定点.PQ x ()0法二：设，代入得.1x my =+2214x y +=()224230m y my ++-=，12224m y y m +=-+12234y y m =-+直线：，令得，即，同理得AM ()1122y y x x =--0x =11112221y y y x my --==+-1120,1y P my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭2220,1y Q my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭设以线段为直径的圆过轴上的定点，有，即，则PQ x (),0T t PT QT ⊥0PT QT ⋅= ，()21221212401y y t m y y m y y +=-++将、代入得，.12y y +12y y 230t -=t =()T 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线及交点坐标，联立椭圆方程并整理，应用韦达定理求、12x x +或、，再根据已知确定P ，Q 坐标，并设坐标易知，利用向量数量积12x x 12y y +12y y N 0PN QN ⋅= 坐标公式求坐标即可.N。

天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)

天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)

天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线l 的斜率是（）ABC ．D ．2．已知()2,1,3=- a ，()4,2,b x =- ，且a b ∥，则x 的值为（）A ．103B ．103-C ．6D ．-63．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（）A ．8-B ．6-C ．10D ．04．已知ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）5．在三棱锥-P ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，PC ，AD 的中点，设PA a = ，PB b =，PC c = ，则EF =（）A ．111244a b c --B ．111+244a b c- C ．111+244a b c -D ．111++244a b c- 6．已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF = 3FB ，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．12C D7．直线:20l kx y --=与曲线1C x =-只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(-8．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±9．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题10．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________.11．已知C ：224630x y x y +---=，点()20M -，是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是__________．12．空间直角坐标系中，四面体ABCD 的各顶点(0,0,2)A ，(2,2,0)B ，(1,2,1)C ，(2,2,2)D ，则点B 到平面ACD 的距离是_______________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.14．设点P 是曲线221(0)3x y x -=>上一动点，点Q 是圆()2221x y +-=上一动点，点()20A -，，则PA PQ +的最小值是_____________15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．三、解答题16．（1）已知直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：(2)320a x y a -++=，若12l l ⊥，求a 值.（2）求与直线220x y --=平行且纵截距是2-的直线3l 的一般式方程.（3）若直线l 经过(2,1)A 、()21,B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角α的取值范围.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.18．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .(3)设{}n b 的前n 项和为n T ，求n a T 19．(1)若圆M 的圆心在直线1y x =-上，且圆M 过点(0,1)A ，B ，求圆M 标准方程(2)已知直线0mx ny c ++=和圆O ：221x y +=交于A ，B 两点，且O 到此直线的距离为12，求OA OB ⋅的值.(3)两圆1C ：222240x y ax a +++-=和2C ：2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，求2211a b +的最小值.20．如图，椭圆22221x y a b +=（0a b >>为A ，B ，C ，D ，且||2AB =.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线CP，DP与直线l：4x=分别交于G、H两点.若||4GH=，求点P的坐标；(3)直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点1,2M t⎛⎫⎪⎝⎭满足0t≠且t贡若BME面积是AMF面积的5倍，求t的值.参考答案：1．B【分析】由图中求出直线l 的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l 的斜率.【详解】如图，直线l 的倾斜角为30°，tan30°=l .故选：B.2．D【分析】由向量a b ∥可得21342x-==-，从而得出答案.【详解】由a b ∥，则21342x-==-，则6x =-故选：D 3．D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得23a =a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴23a =a1a4，∴21(22)a +⨯=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+982⨯×2=0，故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【分析】首先设点(),,2C x y x ≠±，根据条件列式，再化简求解.【详解】设(),,2C x y x ≠±，2AC BC k k ⋅=，所以222y y x x ⋅=+-，整理为：22148x y -=，2x ≠±，故选：A 5．B【分析】连接DE 由中位线性质可知12DE b =-；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE ,D ，E 分别是BC ,PC 的中点111222DE BP PB b∴==-=-()1111122444EF DF DE DA DE AD DE AB AC DE AB AC DE∴=-=-=--=-+-=---()()1111111144442244EF AB AC DE PB PA PC PA PB PA PB PC∴=---=----+=+-PA a = ，PB b =，PC c = 111111244244EF PA PB PC a b c∴=+-=+- 故选：B 6．D【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.【详解】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.∵AF = 3FB，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m .因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，得直线AB 的斜率k ＝tan 60°=故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.7．C【分析】确定直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，确定曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有2个交点，此时2k =，不满足题意，直线记为1l ，当直线l 经过点(1,2)时，l 与曲线C 有1个交点，此时4k =，满足题意，直线记为3l ，如图，当直线l1=，解得43k =，直线记为2l ，由图知，当24k <≤或43k =，l 与曲线C 有1个交点，故选：C 8．C【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解.【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是圆O 的切线，则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线，则22PF a =，且21PF PF ⊥，由双曲线定义可知14PF a =，由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为a y x b=±，所以渐近线方程为12y x =±．故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9．B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c ca c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，双曲线2213yx -=的渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式可得：d =11．20x +=或724140x y ++=【分析】按切线斜率存在不存在分类讨论，利用点到直线的距离求解.【详解】由题意得圆C ：22(2)(3)16x y -+-=，圆C 是以()23，为圆心，4为半径的圆．当直线的斜率不存在时，2x =-，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l 的方程为()2y k x =+．由圆C 到直线l的距离等于半径，可得4d ==．解得724k =-．所以切线方程为20x +=或724140x y ++=．故答案为：20x +=或724140x y ++=．12【分析】先求出平面ACD 的法向量n，则点B 到平面ACD 的距离是BA n n ⋅.【详解】由题可得()()121220,,，,,AC AD =-=，则设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20220n AC x y z n AD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()1,1,1n =--.又()222,,BA =-- ，则点B 到平面ACD的距离BA nd n ⋅===13．1-【分析】由椭圆离心率和,,a b c 关系可得,a b 关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得c e a ==a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122121226134y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+.故答案为：1-.14．1【分析】通过双曲线的定义得PA PQ PQ PF +=++【详解】解：设双曲线2213x y -=的右焦点为()20F ，，圆()2221x y +-=的圆心为()02M ，，如图所示：由双曲线的定义得PA PF -=，所以PA PF =，所以2221PA PQ PQ PF FQ FM MQ +=+++-+，当且仅当P ，Q 分别为线段FM 与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故PA PQ +的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决.15．4±【解析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±．则PFH ∆的面积为1242t ⨯⨯=±故答案为：4±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（1）12a =；（2）240x y --=；（3）ππ0,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】（1）根据两直线垂直的公式求解即可；（2）设3:l 20x y a -+=，再根据截距求解即可；（3）根据倾斜角与斜率的关系可得tan 1α≤，再根据倾斜角的范围求解即可.【详解】（1）因为12l l ⊥，故()1230a a ⨯-+=，解得12a =；（2）设3:l 20x y a -+=，因为纵截距是2-，故()0220a -⨯-+=，解得4a =-.故3:l 240x y --=；（3）直线l 的斜率为221112m m -=--，因为20m ≥，故211m -≤，则tan 1α≤.因为[)0,πα∈，故ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭17．(1)见解析(2)23(3)存在M ，且23DM DP =.【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ，N Q 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则11,22AN ⎫=-⎭ ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z = ，(0,1,1)BP =-，BC =，则00m BP y z M BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，，，令1y =，解得：()0,1,1m = .11022AN m =∴⋅=-+uuu r r ，即AN m ⊥uuu r u r ，又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，1,0)AD =- ，所以00AP n c AD n b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1a =，解得(1,n =r .所以2cos ,3m n m n m n⋅==⋅u r ru r ru r r .即平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(1,)(x y z λ-+=-Q，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC ，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =CM m CM m ⋅=uuu r uuu u r r u r ，化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈ ，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =.18．(1)2n n a =，21n b n =+；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+；(3)21222n n n n a T T +==+．【分析】（1）由等差数列的基本量法求得公比q 后可得n a ，再计算得n b ；（2）由错位相减法求和；（3）由等差数列的前n 项和公式计算．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则由已知得22222a a q a q =-，20a ≠，则220q q --=，2q =或1q =-（舍去），∴1222n n n a -=⨯=，212log 221nn b n =+=+；（2）(21)2nn n n c a b n ==+⋅，23252(21)2n n S n =⨯+⨯+++⋅ ，∴23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ，相减得231322(222)(21)2n n n S n +-=⨯++++-+⋅ 1114(12)62(21)22(12)212n n n n n -++-=+⨯+⋅=-+-⋅-，∴1(21)22n n S n +=-⋅+；（3）由（1）21n b n =+，2n n a =，2122(3221)35(221)222n n n n nn na T T ++⨯+==+++⨯+==+ ．19．(1)()2214x y ++=(2)12-(3)1【分析】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB =求出a ，可得圆心和半径，从而得到答案；（2）根据O 到此直线的距离为12，得到2π3AOB ∠=，再由数量积公式计算可得答案；（3）由圆和圆的位置关系判断出两圆外切，得到2249a b +=，再由基本不等式求解可得答案.【详解】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB ==，解得0a =，所以()0,1M -2=，圆M 标准方程为()2214x y ++=；（2）因为O 到此直线的距离为12，所以112sin 12∠==OAB ，所以π6∠=∠=OAB OBA ，即2π3AOB ∠=，1== OA OB ，所以1cos 2⋅=⋅∠=- OA OB OA OB AOB ；（3）圆1C ：()224x a y ++=，圆心()1,0C a -，半径为2，圆2C ：()2221x y b +-=，圆心()20,2C b ，半径为1，因为两圆1C 和2C 恰有三条公切线，所以两圆外切，所以123C C =3=，整理得2249a b +=，因为a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，所以()222222222211111145994⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a a b()11559419⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22224=a b a b即223,32==b a 时等号成立.所以2211a b+的最小值为1.20．(1)2214x y +=(2)()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)1t =±【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点P 的坐标，从而得到点,G H 的坐标，根据4GH =列出方程即可得到结果.（3）分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME 面积是AMF 面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可知22222c e a AB b a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>由()42x y k x =⎧⎨=+⎩得()4,6G k 联立直线CP 的方程与椭圆方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222214161640k x k x k +++-=设()00,P x y ，则()202164214k x k --=+，所以20022284,1414k kx y k k -==++，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又因为()2,0D ，所以2224142821414DPkk k k k k --+-+==，所以直线DP 的方程为()124y x k =--，由()1244y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩得14,2H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1642GH k k =+=，因为0k >，所以12k =或16从而得()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（3）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭,且0t ≠,∴直线AM 的斜率为112k t =-,直线BM 斜率为232k t=,∴直线AM 的方程为112y x t =-+,直线BM 的方程为312y x t=-,由2214112x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140t x tx +-=,∴0x =,241t x t =+,∴22241,11t E t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由2214312x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120t x tx +-=,∴0x =,2129t t x =+,∴222129,99t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；∵1sin 2AMF S MA MF AMF =∠ ,1sin 2BME S MB ME BME =∠ ,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S =△△,∴5MA MF MB ME =,即5MA MB MEMF=,又t 贡∴22541219t tt t t t tt =--++,整理方程得：()22519t t +=+,解得：1t =±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2021-2022学年山东省枣庄市薛城区高二(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省枣庄市薛城区高二(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省枣庄市薛城区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角α＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．不存在3．已知向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，则m+n＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣24．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线l过点P（3，3）且与点A（﹣2，2）、B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．3x﹣2y﹣3＝0或2x+3y﹣15＝0B．2x﹣3y+3＝0或3x﹣2y﹣3＝0C．2x﹣3y+3＝0或2x+3y﹣15＝0D．2x+3y﹣15＝0或2x+3y﹣2＝06．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．若过原点的直线l与圆x2﹣4x+y2+3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知圆O：x2+y2＝1上有三个不同的点A，B，C，其中，若存在实数a，b满足，则直线l：ax+by﹣1＝0与圆O的位置关系为（）A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l：x﹣my+m﹣1＝0，则下述正确的是（）A．直线l的斜率可以等于0B．直线l的斜率有可能不存在C．直线l可能过点（2，1）D．若直线l的横纵截距相等，则m＝±110．在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的图象可能正确的是（）A．B．C．D．11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0C．公共弦AB的长为D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为+112．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（）A．距离坐标为（0，0）的点有1个B．距离坐标为（0，1）的点有2个C．距离坐标为（1，2）的点有4个D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，﹣1，a），B（2，a，0），C（1，a，﹣2）满足：（﹣2）⊥，则实数a的值为．14．若实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则x2+y2的最大值是．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折至△A1DE的位置，使得面A1ED⊥面BCDE，则点A1到直线DB的距离为．16．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝4，T为圆C外的动点，过点T作圆C的两条切线，切点分别为M、N，使•取得最小值的点T称为圆C的萌点，则圆C的萌点的轨迹方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．若直线l的方程为ax+2y﹣a﹣2＝0（a∈R）．（1）若直线l与直线m：2x﹣y＝0垂直，求a的值．（2）若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程．18．如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若＝3，＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与____，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点、从①直线x+2y+7＝0相切；②圆（x﹣3）2+y2＝20关于直线2x﹣y﹣1＝0对称；③圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD．（1）证明：CD⊥面PAD；（2）求点M到平面PAC的距离；（3）求二面角B﹣AM﹣C的余弦值．21．某工厂M（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA与OB之间．已知M到高速公路OA的距离是9千米，到高速公路OB的距离是18千米，∠AOB＝60°．以O为坐标原点，以OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求直线OB的方程；（2）现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为该路段CD的中点，求CD的长度．22．直线BC经过定点N（0，2），点M在直线BC上，且．（1）当直线BC绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点T（﹣3，1），Q是轨迹E上一个动点，P是直线l：x﹣y﹣2＝0上的一个动点，求|TP|+|PQ|的最小值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角α＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．解：可得直线的斜率为k＝＝，由斜率和倾斜角的关系可得tanα＝，又∵0°≤α＜180°∴α＝30°故选：A．2．已知直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．不存在【分析】直接利用平行直线系的应用求出结果．解：已知直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+4＝0平行，所以a（a+1）﹣2＝0，整理得a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或1；故选：C．3．已知向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，则m+n＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】由∥，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m＝﹣6，n＝2，由此能求出m+n．解：∵向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，∴，解得m＝﹣6，n＝2，∴m+n＝﹣6+2＝﹣4．故选：B．4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离d＝，R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．5．已知直线l过点P（3，3）且与点A（﹣2，2）、B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．3x﹣2y﹣3＝0或2x+3y﹣15＝0B．2x﹣3y+3＝0或3x﹣2y﹣3＝0C．2x﹣3y+3＝0或2x+3y﹣15＝0D．2x+3y﹣15＝0或2x+3y﹣2＝0【分析】设出l的斜率，用点斜式写出直线l的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得结论．解：直线l过点P（3，3）且与点A（﹣2，2）、B（4，﹣2）等距离，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y+3﹣3k＝0，根据＝，求得k＝，或k＝﹣，故直线l的方程为3x﹣2y﹣3＝0或2x+3y﹣15＝0，故选：A．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），＝（﹣1，0，），＝（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．7．若过原点的直线l与圆x2﹣4x+y2+3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线l的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线l倾斜角的取值范围．解：由x2﹣4x+y2+3＝0，得（x﹣2）2+y2＝1，圆心为（2，0），半径为1，由题意可得，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx，由直线与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，得＜1，解得﹣＜k＜，由直线倾斜角的范围为[0，π），则直线l倾斜角的取值范围是．故选：C．8．已知圆O：x2+y2＝1上有三个不同的点A，B，C，其中，若存在实数a，b满足，则直线l：ax+by﹣1＝0与圆O的位置关系为（）A．相切B．相离C．相交D．不能确定【分析】根据题意，不妨设A（1，0），B（0，1），可推出C（﹣a，﹣b），由点C在圆O上得a2+b2＝1，再结合点到直线的距离公式，计算点O到直线l的距离，并与圆O 的半径比较大小，即可得解．解：因为，所以OA⊥OB，因为A，B均在单位圆上，所以不妨设A（1，0），B（0，1），因为，即＝﹣a﹣b，所以C（﹣a，﹣b），又点C在圆O上，所以（﹣a）2+（﹣b）2＝1，即a2+b2＝1，所以点O到直线l的距离d＝＝＝1＝r，所以直线l与圆O相切．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l：x﹣my+m﹣1＝0，则下述正确的是（）A．直线l的斜率可以等于0B．直线l的斜率有可能不存在C．直线l可能过点（2，1）D．若直线l的横纵截距相等，则m＝±1【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的截距．解：直线l：x﹣my+m﹣1＝0，直线斜率斜率不可能为0，故A错误，当m＝0时，直线的斜率不存在，故B正确；x﹣my+m﹣1＝0，即x﹣1＝m（y﹣1），直线恒过点（1，1），故C错误；若直线l的横纵截距相等，则1﹣m＝，解得m＝1或m＝﹣1，故D正确．故选：BD．10．在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出结论．解：由图A可得直线l1的斜率a＞0，在y轴上的截距b＜0；而l2的斜率b＜0，在y轴上的截距﹣a＜0，即a＞0，故A能成立．由图B可得直线l1的斜率a＞0，在y轴上的截距b＞0；而l2的斜率b＜0，矛盾，故B不能成立．由图C可得直线l1的斜率a＜0，在y轴上的截距b＞0；而l2的斜率b＞0，在y轴上的截距﹣a＞0，即a＜0，故C能成立．由图D可得直线l1的斜率a＜0，在y轴上的截距b＜0；而l2的斜率b＞0，在y轴上的截距﹣a＞0，即a＜0，矛盾，故D不能成立．故选：AC．11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0C．公共弦AB的长为D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为+1【分析】两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d＝＝．∴P到直线AB距离的最大值为+1，圆O1与圆O2公共弦AB的长为2＝，故C错误，D正确．故选：ABD．12．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（）A．距离坐标为（0，0）的点有1个B．距离坐标为（0，1）的点有2个C．距离坐标为（1，2）的点有4个D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若距离坐标为（0，0），即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为（0，0）的点只有1个，A正确，对于B，若距离坐标为（0，1），即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，P在直线l1上，到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，B正确，对于C，若距离坐标为（1，2），即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的交点，C正确，对于D，若距离坐标为（x，x），即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为（x，x）的点在2条相互垂直的直线上，D错误，故选：ABC．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，﹣1，a），B（2，a，0），C（1，a，﹣2）满足：（﹣2）⊥，则实数a的值为﹣．【分析】先求出＝（﹣1，0，﹣2），＝（﹣1，a+1，﹣4﹣a），再由（﹣2）⊥，能求出a．解：∵A（1，﹣1，a），B（2，a，0），C（1，a，﹣2），∴＝（1，a+1，﹣a），2＝（0，2a+2，﹣4﹣2a），＝（﹣1，0，﹣2），＝（1，﹣a﹣1，4+a），∵（﹣2）⊥，∴（）•＝﹣1﹣8﹣2a＝0，解得实数a＝﹣．故答案为：﹣．14．若实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则x2+y2的最大值是7+4．【分析】配方并三角换元，可得x2+y2＝7+4cosα，由三角函数的最值可得．解：∵实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，∴配方可得（x﹣2）2+y2＝3，令x﹣2＝cosα，y＝sinα，则x2+y2＝（2+cosα）2+（sinα）2＝7+4cosα，∴x2+y2的最大值为7+4．故答案为：7+4．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折至△A1DE的位置，使得面A1ED⊥面BCDE，则点A1到直线DB的距离为．【分析】利用菱形的性质可得DE⊥A1E，结合面面垂直的性质定理可得A1E⊥平面BCDE，EF⊥BD，进一步得到A1F⊥BD，并计算EF，最后利用勾股定理可得结果．解：在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，所以△ABD是边长为2的等边三角形，又因为E为AB的中点，所以DE⊥A1E，又面A1DE⊥面BCDE，面A1DE⋂面BCDE＝DE，A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥平面BCDE，作EF⊥BD交BD于点F，由A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF所以BD⊥平面A1EF，所以BD⊥A1F，，所以，故答案为：．16．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝4，T为圆C外的动点，过点T作圆C的两条切线，切点分别为M、N，使•取得最小值的点T称为圆C的萌点，则圆C的萌点的轨迹方程为．【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出•，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可．解：根据已知条件可得，•＝TM2•cos∠MTN＝（TC2﹣MC2）（1﹣2sin2∠MTC）＝＝＝＝，当且仅当时等号成立，由T在圆C外可知，TC的取值范围是（2，+∞），所以能成立，故的最小值为，由可知，萌点T的轨迹为以点C（2，5）为圆心，TC为半径的圆，故方程为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．若直线l的方程为ax+2y﹣a﹣2＝0（a∈R）．（1）若直线l与直线m：2x﹣y＝0垂直，求a的值．（2）若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程．【分析】（1）直线l与直线m：2x﹣y＝0垂直，可得2a﹣2＝0，解得a．（2）当a＝0时，直线l化为：y＝1．不满足题意．当a≠0时，可得直线l与坐标轴的交点（0，），（，0）．根据直线l在两轴上的截距相等，即可得出．解：（1）∵直线l与直线m：2x﹣y＝0垂直，∴2a﹣2＝0，解得a＝1．（2）当a＝0时，直线l化为：y＝1．不满足题意．当a≠0时，可得直线l与坐标轴的交点（0，），（，0）．∵直线l在两轴上的截距相等，∴＝，解得：a＝±2．∴该直线的方程为：x﹣y＝0，x+y﹣2＝0．18．如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若＝3，＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．【分析】（1）根据向量的运算性质求出即可；（2）根据向量的运算性质代入计算即可．解：（1）∵2＝，∴＝＝（﹣）＝（﹣），故＝+＝+（﹣）＝+，∵点E为AD的中点，故＝（+）＝++；（2）由题意得：•＝，•＝3，•＝3，故＝﹣，故•＝（++）•（﹣）＝﹣++•+•﹣•＝﹣×9+×9+×3×3×cos60°+×3×2cos60°﹣×3×2cos60°＝﹣．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与____，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点、从①直线x+2y+7＝0相切；②圆（x﹣3）2+y2＝20关于直线2x﹣y﹣1＝0对称；③圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程．【分析】（1）选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；（2）由已知弦长求出点A到直线l的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解．解：选①、（1）由直线与圆相切知圆A的半径为点A到直线x+2y+7＝0的距离，即，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20；（2）记线段MN的中点为Q，依据AM＝AN可得AQ⊥MN，且，，则，即点A到直线l的距离为1，若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，∴，解得，直线l的方程为3x﹣4y+6＝0．若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝﹣2，符合题意．综上直线l的方程为3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2．选②、∵与圆（x﹣3）2+y2＝20关于直线2x﹣y﹣1＝0对称知圆A的半径，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20．（2）记线段MN的中点为Q，依据AM＝AN可得AQ⊥MN，且，，则，即点A到直线l的距离为1，若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，∴，解得，直线l的方程为3x﹣4y+6＝0．若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝﹣2，符合题意．综上直线l的方程为3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2．选③、（1）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5的公切线长3，设圆A的半径为r，则，解得∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20．（2）记线段MN的中点为Q，依据AM＝AN可得AQ⊥MN，且，，则，即点A到直线l的距离为1，若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，∴，解得，直线l的方程为3x﹣4y+6＝0．若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝﹣2，符合题意．综上直线l的方程为3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD．（1）证明：CD⊥面PAD；（2）求点M到平面PAC的距离；（3）求二面角B﹣AM﹣C的余弦值．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面PAD；（2）由（1）知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD ⊥平面ABM，即PD⊥AM，进一步得到M为PD的中点，再由等体积法求M到平面PAC 的距离；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AM﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，又CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD∴CD⊥面PAD；（2）解：由（1）知，平面PAD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，又BA⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BA⊥面PAD，则BA⊥PD，又BM⊥PD，BA∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM，则PD⊥AM，∵PA＝AD，则M为PD的中点，∴＝＝，又，设点M到平面PAC的距离为h，则，解得h＝；（3）解：以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），M（0，2，2），＝（0，2，2），＝（2，0，0），，设平面AMB的一个法向量为，则，取z＝﹣1，得；设平面AMC的一个法向量为，则，取z1＝﹣1，得．∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣AM﹣C为锐二面角，故二面角B﹣AM﹣C的余弦值为．21．某工厂M（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA与OB之间．已知M到高速公路OA的距离是9千米，到高速公路OB的距离是18千米，∠AOB＝60°．以O为坐标原点，以OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求直线OB的方程；（2）现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为该路段CD的中点，求CD的长度．【分析】（1）求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；（2）利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度．解：（1）因为∠AOB＝60°，所以直线OB的斜率为k＝tan60°＝，所以直线OB的方程为y＝x；（2）设M（a，9），OB的方程为y＝x，所以点M到直线x﹣y＝0的距离为：＝18，解得a＝15或a＝﹣9（不合题意，舍去）；所以M（15，9）．设C（x1，0），D（x2，y2），所以M为CD的中点，D在OB上；所以，解得，所以CD的长度为|CD|＝＝36．22．直线BC经过定点N（0，2），点M在直线BC上，且．（1）当直线BC绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点T（﹣3，1），Q是轨迹E上一个动点，P是直线l：x﹣y﹣2＝0上的一个动点，求|TP|+|PQ|的最小值．【分析】（1）设M（x，y），由，转化为坐标求解．（2）圆心E（0，1），求出T（−3，1）关于直线l：x−y−2＝0的对称点T′（3，−5），|TP|+|PQ|+|QE|＝|T′P|+|PQ|+|QE|≥|T′E|＝，再减去圆的半径即可求解．解：（1）设M（x，y），因为，所以（x，y）⋅（0﹣x，2﹣y）＝0，即x2+y（y−2）＝0，所以M点的轨迹方程为：x2+y2−2y＝0；（2）圆E的方程为：x2+（y−1）2＝1，圆心E（0，1），设T（−3，1）关于直线l：x−y−2＝0的对称点为T′（x0，y0），则，解得，所以T′（3，−5），连接线段ET′交圆E于Q，交直线l于P，则|TP|+|PQ|+|QE|＝|T′P|+|PQ|+|QE|≥|T′E|＝，当且仅当E，Q，P，T′共线时，达到最小值3，因为|QE|＝1，所以．。

高二数学上学期周考试题理11.16,特色班,试题

高二数学上学期周考试题理11.16,特色班,试题

创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日 创作编者：聂明景总分：100分 时量：75分钟一、选择题〔每一小题5分一共40分，请将答案填写上在答题区。

〕 1．以下给出的赋值语句中正确的选项是〔 〕A ．3=AB ．M= —MC ．B=A=2D ．x+y=0 2．抛掷两个骰子,那么两个骰子点数之和不大于4的概率为〔 〕A ．61 B ．91 C ． 121 D ．1813．用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时4v 的值是〔 〕A. －845B. 220C. －57D. 344．①教育局到某检查工作，打算在每个班各抽调2人参加座谈；②某班期中考试有10人在85分以上，25人在60-84分，5人不及格，欲从中抽出8人参与改良教与学研讨；③某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者〞，那么适宜的抽样方法分别为〔 〕 A ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样B ．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样C ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样D ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 5. 读下面的程序： INPUT NI=1 S=1WHILE I<=NS =S*I I = I+1WEND PRINT S END上面的程序在执行时假如输入6，那么输出的结果为 〔 〕 A. 6 B. 720 C. 120 D. 16．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( ) A ．2 B .4 C. 8 D .167．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上〞为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，假设事件n C 的概率最大，那么n 的所有可能值为〔 〕 A ．3B ．4C ．2和5D ．3和48．甲、乙、丙三名射箭运发动在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运发动这次测试成绩的HY 差，那么有〔 〕Ａ．312s s s >>Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>9.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511B ．681 C ．3061 D ．408110．在区间[-1，1] 上：随机取一个数x ，cos2xπ的值介于0到21之间的概率为( )． A ．31 B ．π2 C ．21 D ．32二、填空题〔每一小题5分一共35分，请将答案填写上在答题区。

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案2020—2021学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题 ★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷(选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

） 1.若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，则直线l 的斜率为（ ）A. 13 B 。

13- C 。

32- D.232。

直线l 经过()2,1A ， 11,2B m m⎛⎫+-⎪⎝⎭两点()0m >，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3。

直线2130x my m -+-=,当m变化时,所有直线都过定点( ）A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。

1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。

1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭4。

下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ay b+=1表示D 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示5。

已知直线1l :70x my ++=和2l ：()2320m x y m -++=互相平行,则实数m = （ ）A. 1m =-或 3 B 。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市金山区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．半径为2的球的体积为__．【答案】.32π3【分析】由球体体积公式可得答案.【详解】.3432ππ33V R ==故答案为：32π32．直线的倾斜角是______．10x y +-=【答案】34π【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角【详解】解：由已知，则直线斜率，1y x =-+1k =-又倾斜角的范围为.[)0,p 故直线的倾斜角是.10x y +-=34π故答案为：.34π3．已知幂函数的图象过点，则实数__．k y x =12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =【答案】1-【分析】将点代入求解即可.12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =【详解】解：将点代入，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =可得，122k=即有，122k -=解得.1k =-故答案为：-14．已知，，则直线的两点式方程为__．(1,2)A (1,1)B -AB【答案】121(1)21x y --=---【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为，()11,x y ()22,x y 111212x x y y x x y y --=--则直线的两点式方程为，AB 121(1)21x y --=---故答案为：.121(1)21x y --=---5．正方体的棱长为1，､分别在线段与上，的最小值为______.1111ABCD A B C D -M N 11A C BD MN 【答案】1【分析】方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求；方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解；方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求解最值.【详解】方法一(定义转化法)：因为直线与是异面直线，所以当是两直线的共垂线段11A C BD MN 时，取得最小值.取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共垂MN 11A C P BD Q PQ 11A C BD 线段.下证明之.在矩形中，为中位线，所以，11BDD B PQ 1//PQ BB 又因为平面，所以平面1BB ⊥ABCD PQ ⊥ABCD又因为平面，BD ⊆ABCD 所以.PQ BD ⊥同理可证，11PQ A C ⊥而，，PQ BD Q ⋂=11PQ A C P ⋂=所以线段就是两异面直线与的共垂线段，且.PQ 11A C BD 1PQ =由异面直线公垂线段的定义可得，故的最小值为1.1MN PQ ≥=MN 方法二：(参数法)如图，取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共11A C P BD Q PQ 11A C BD 垂线段.由正方体的棱长为1可得.1PQ =连结，则，所以为两异面直线与所成角.AC 11//AC A C BQC ∠11A C BD 在正方形中，，所以.ABCD AC BD ⊥90BQC ∠=︒过点作，垂足为，连结，则，且.M MH AC ⊥H NH //MH PQ 1MH PQ ==设，，则.PM m =QN t =QH m =在中，，Rt QNH △22222HN QN QH n m =+=+在中，.Rt MHN 2222221MN MH HN n m =+=++显然，当时，取得最小值1，即的最小值为1.0m n ==2MN MN 方法三：(向量法)如图，以为坐标原点，分别以射线､､为､､轴建立空间直角坐D DA DC 1DD x y z 标系.设，.则，即；DN m =1A M n =()cos 45,sin 45,0N m m ︒︒,0N ⎫⎪⎪⎭，即.()1cos 45,sin 45,1M n n -︒︒1,1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以())222222112MN m n m n ⎤⎛⎫⎫=-++=+++⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦，221m n ⎛⎛=++ ⎝⎝故当取得最小值1，即的最小值为1.m n=2MN MN 故答案为：1.6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为．60︒【解析】圆锥的计算．7．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种,2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1 甲､乙两人都没有被选到的概率为.∴168．已知直线，，平面，，满足且，则“”是“”的___________条a b αβb αβ= αβ⊥a b ⊥a β⊥件.【答案】必要非充分条件【分析】根据线面垂直的性质以及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】如图长方体中，满足且， b αβ= αβ⊥取，满足，则，AB a =a b ⊥ a β⊂取，满足，则，AF a =a b ⊥ a A β⋂=取，满足，则，EF a =a b ⊥ //a β所以由“”得不出“，故充分性不成立，a b ⊥ a β⊥因为，所以，若，由线面垂直的性质可得，故必要性成立，b αβ= b β⊂a β⊥a b ⊥ 故答案为：必要非充分条件.9．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．2π3【答案】2【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.【详解】解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大，所以，最大截面面积为．12222S =⨯⨯=故答案为：210．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值为______.【分析】连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成//OEB ∠的角，在直角三角形EOB 中求解即可.【详解】如下图：连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成的角，连//OEB ∠接，因为面ABCD ，所以，又因为，，所以面PO PO ⊥PO DB ⊥AC DB ⊥AC PO O ⊥=BD ⊥，所以，所以直在角三角形EOB 中，设，则，POC BD OE ⊥PA a=,2a OE BE ==cos OE OEB BE ∠==11．若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为a ()F a a__．【分析】方法一由题意画出图，根据图由三棱锥的体积公式换元由二次函数求得最值时的值.a 方法二由三棱锥的体积可知，底面积一定，要使体积最大，只需高最大，即可得出垂直时最大，再由勾股定理即可求出的值.a 【详解】方法一：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =取、的中点分别为、，所以平面垂直，BC AD E F AED BC ，12AED S AD EF ∆=⋅E F =所以1111()133212AED F a S BC a ∆=⋅⋅=⨯⨯==令，，关于的二次函数，2t a =24233y a a tt =-=-t 当，即取得最大值，故32t =a =()F a a =方法二：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =要使三棱锥的体积最大，只需点到底面的距离最大，此时面面，取的A BCD -A ABC ⊥BCD BC 中点分别为，连接E ,AE ED.AD ===a =12．在棱长为3的正方体中，分别是棱、的中点，点在四边形1111ABCD A B C D -,E F BC 1CC G 内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围是__．11BCC B 1A G AEF CG 【答案】【分析】作出辅助线，证明平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），当1//A PQ AEF G PQ 与或重合时，最大，当时，最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.G Q P CG CG PQ ⊥CG 【详解】正方体的体积为27，所以正方体的棱长为3，1111ABCD A B C D -分別取线段、的中点、，连接、、，11B C 1B B P Q 1A P 1A Q PQ 分别是棱、的中点，,E F BC 1CC则，又平面平面，//PQ EF PQ ⊂/,AEF EF ⊂AEF 所以平面，，//PQ AEF 1//A P AE 又平面平面，所以平面，1A P ⊂/,AEF AE ⊂AEF 1//A P AEF 又平面，11,,PQ A P P PQ A P =⊂ 1A PQ 所以平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），1//A PQ AEF G PQ 当与或重合时，最大，G Q P CG 此时，CG CQ ====当时，最小，此时CG PQ ⊥CG 13344CG CB ===所以的取值范围为.CG故答案为：二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则l αl α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，且与c 都相交，则直线a 、b 、c 在同一平面上a b ∥【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若l αl α直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C 错误；l αl αD.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D 正确；//a b a b 、c a b 、a b c 、、故选：D.14．在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．直线与直线所成的角为B ．直线与平面所成的角为1B C AC 60︒1B C 1AD C 60︒C ．直线与直线所成的角为D ．直线与直线所成的角为1B C 1AD 90︒1B C AB 90︒【答案】B【解析】连接，求出可判断选项A ；连接找出点在平面的投影O ，设直线1AB 1ACB ∠11B D 1B 1AD C ⊥与平面所成的角为θ，由可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的1B C 1AD C 1cos OCB C θ=异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【详解】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选1AB 1AB C 160ACB ∠=︒1B C AC 项A 正确；连接，∵，∴四面体是正四面体，11B D 1111AB B C CD AD ===11AB CD∴点在平面上的投影为的中心，设为点O ，连接，，则，1B 1AD C 1AD C 1B O OC OC =设直线与平面所成的角为θ，1B C 1AD C则，故选项B 错误；11cos 2OC B C θ===≠连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C 正确；1BC 11AD BC 11B C BC ⊥1B C 1AD ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D 正确．AB ⊥11BCC B 1AB B C ⊥1B C AB 故选：B ．15．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>()0y b b A =<<坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（ ）()f x A ．B ．C ．D ．[]0,33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]3,693,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】D【分析】首先根据已知条件得到，再求其单调增区间即可.()2cos3f x A x π=-【详解】由题知函数的周期，解得．2413T πω==-=23πω=由知，当时，函数取得最大值，0b A <<12322x +==∴，解得，232322k ππϕπ⨯+=+22k πϕπ=-k ∈Z ∴，()22sin +2cos 323f x A x k A xππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，，222,3k x k k ππππ≤≤+∈Z3332k x k ≤≤+k ∈Z ∴当时，的增区间是．1k =()f x 93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D16．定义域在的函数图像的两个端点为A 、B ，向量，设[],a b ()y f x =()1ON OA OB λλ=+-是图像上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则(),M x y ()f x ()1x a bλλ=+-[]0,1λ∈MN k≤称函数在上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阈值.下()f x [],a b 列定义在上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）[]1,2A ．B ．C ．D ．2y x=2y x=1y x x=-sin3y xπ=【答案】C【分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后,M N N AB M NMN y y =-每个选项逐一求解即可.【详解】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，所以,M N N AB M NMN y y =-对于A ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,2,2,1A B AB 3y x =-+所以，因为，(),3N x x -+2,M x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，当且仅当22333M N MN y y x x x x =-=-+-=--≤-x所以；3k ≥-3-对于B ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,1,2,4A B AB 32y x =-所以，因为，(),32N x x -()2,M x x 所以，当且仅当时等号成立21324M N MN y y x x =-=--≤32x =所以，所以该函数的线性近似阈值为；14k ≥14对于C ，由函数，得，，1y x x =-(1,0)A 3(2,)2B 直线方程为∴AB 3(1)2y x =-，线性近似阀值为()1331312222x MN x x x x ⎛⎫∴=---=-+≤ ⎪⎝⎭32对于D ，由函数可得，，方程为sin3y xπ=A B AB y =由三角函数图象与性质可知1MN ≤1因为133142>->>1y x x =-故选：C三、解答题17．如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中111ABC A B C -1AB AC ==π2BAC ∠=14AA =M 1AA 点．(1)求三棱锥的体积；1A ABC -(2)求异面直线与所成角的大小．BM 11B C 【答案】(1)23V =(2)【分析】（1）根据求解.113ABC V S AA =⋅ (2) 或其补角即为异面直线与所成的角，根据余弦定理MBC ∠BM 11B C.222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅【详解】（1）因为，，所以，1AB AC ==π2BAC ∠=111122ABC S =⨯⨯=又因为直三棱柱中，所以平面111ABC A B C -1A A ⊥ABC即是三棱锥的高，1A A 1A ABC -则三棱锥的体积为1A ABC -1111243323ABC V S AA =⋅=⨯⨯= （2）因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，11//BC B C MBC ∠BM 11B C在中，，MBC BM CM ==BC =由余弦定理得，222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅所以MBC ∠=故异面直线与所成角的大小为BM 11B C 18．已知两条直线，，，判断两直线的位置关系．1:1l mx y m +=+2:2l x my m +=m R ∈【答案】答案见解析.【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判21m -210m -=断两直线平行或重合.【详解】令，解得，所以当时，与相交；210m -≠1m ≠±1m ≠±1l 2l 当时，与互相垂直；0m =1l 2l 令，解得；210m -=1m =±当时，的方程为，的方程为，与重合；1m =1l 2x y +=2l 2x y +=1l 2l 当时，的方程为，的方程为，此时；1m =-1l0x y -=2l 2x y -=-12l l //所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当1m ≠±1l 2l 0m =1l 2l 1m =1l 2l 时，．1m =-12l l //19．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆周长为C ．(1)求球冠所在球的半径R (结果用h ､r 表示)；(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面2S Rh π=65000S π=500C π=rR 积.【答案】(1)222h r R h +=(2)；5131690000π【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R 即可计算作答.【详解】（1）如图，点O 是球冠所在球面的球心，点O 1是球冠底面圆圆心，点A 是球冠底面圆周上一点，线段O 1B 是球冠的高，依题意，OB 垂直于球冠底面，显然O 1B =h ，OO 1=R -h ，O 1A =r ，在中，，即，整理化简得：，1Rt OO A △22211OA OO O A =+222()R R h r =-+222h r R h +=所以球冠所在球的半径R 有：.222h r R h +=（2）因球冠底面圆周长，则，500C π=2502Cr π==又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知，2S Rh π=65000S π=325002Sh R R π==222h r R h +=即，解得，2223250065000250R =+650R =于是得，球O 的表面积为，250565013r R ==22446501690000R πππ=⨯=所以的值是，球冠所在球的表面积是.rR 5131690000π20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是矩形，且AD ＝2，AB ＝PA ＝1，平面PA ⊥ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：；PF FD ⊥(2)求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；(3)求直线PE 与平面PFD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直证得，由此证得得平面DF AF ⊥DF PA ⊥DF ⊥PAF ，进一步得到；PF FD ⊥（2）利用线面垂直的性质证得，，，从而分别求出各面面积，PB BC ⊥PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥由此得到四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（3）连接EP 、ED 、EF ，由等体积法求点E 到平面PFD 的距离，即可求直线PE 与平面PFD 所成角的正弦值，则所求得解．【详解】（1）连结AF ，则在中，，同理：DF ，又AD ＝2，Rt ABF AF ==∴DF 2+AF 2＝AD 2，则，DF AF ⊥∵底面ABCD ，面ABCD ，∴，PA ⊥DF ⊂DF PA ⊥又PA ∩AF ＝A ，平面PAF ，∴平面PAF ，,PA AF ⊂DF ⊥而平面PAF ，则；PF ⊂PF FD ⊥ .（2）已知底面ABCD ，所以，PA ⊥PA BC ⊥因为在矩形中，，ABCD AB BC ⊥又面，所以面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB BC ⊥PAB 又面，所以，PB ⊂PAB PB BC ⊥同理：，又，PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥因此，，，1122PAB S PA AB =⋅= 112PAD S PA AD =⋅= 2ABCDS AB BC =⋅=，，12PBC S PB BC BC =⋅== 12PDC S PD CD CD =⋅==∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积1122S =++=（3）连接EP 、ED 、EF ，∵，EFD ABCD BEF ADE CDFS S S S S =---= 111324224---=∴＝，13P EFD EFD V S PA -=⋅ 1311344⨯⨯=又，PF ==DF =PE ==设点E 到平面PFD 的距离为h ，则由VE ﹣PFD ＝VP ﹣EFD ，得，解得11113324PFD S h PF FD h ⋅=⨯⋅⋅==h =设直线PE 与平面PFD 所成角的大小为θ，则sin h PE θ==则直线PE 与平面PFD 所成角的大小为21．已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数()f x [0,2]()f x ()f x 且，存在，使得，则称具有性质.m 02m <<0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+()f x ()P m（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；()f x =()f x 1()2P （2）求证：任取，函数，具有性质；(0,2)m ∈2()(1)f x x =-[0,2]x ∈()P m （3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.()sin f x x π=[0,2]x ∈()f x ()P m m 【答案】（1）具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）(0,1]【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；12m =001()()2f x f x =+0x （2）根据条件验证时的取值范围即可；00()()f x f x m =+m （3）考虑和两种情况，利用反证法即可求出取值范围．(0,1]m ∈(1,2)m ∈m 【详解】（1）具有性质，()f x 1(2P 设，令，则，03[0,2x ∈001()()2f x f x =+22001(1)()2x x -=-解得，又，所以具有性质；034x =33[0,]42∈()f x 1(2P （2）任取，令，则，0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+2200(1)(1)x x m -=+-因为，解得，又，所以，0m ≠012m x =-+02m <<0112m<-+<当，时，，02m <<012mx =-+0(2)(2)(1)11022m m m x m --=---+=-=-+>即，即任取实数，都具有性质；0122mm<-+<-(0,2)m ∈()f x ()P m（3）若，取，则且，(0,1]m ∈012m x -=102m - 132022m mm ----=>故，0[0,2]x m ∈-又，，所以具有性质；0()sin(22m f x ππ=-00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=()f x ()P m 假设存在使得具有性质，即存在，使得，(1,2)m ∈()f x ()P m 0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+若，则，，，，00x =0(1,2)x m +∈0()0f x =0()0f x m +<00()()f x f x m ≠+若，则，进而，，，，0[0,2]x m ∈-0(,2]x m m +∈0(0,1)x ∈0(1,2]x m +∈0()0f x >0()0f x m + ，所以假设不成立，所以．00()()f x f x m =+(0,1]m ∈【点睛】本题以函数的性质新定义为背景，考查函数基本性质及函数与方程的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。

江西省宜春市上高二中2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文

江西省宜春市上高二中2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文

江西省宜春市上高二中2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 2．已知抛物线的焦点坐标为（3,0-）则该抛物线的标准方程为( ) A ．y x 122-= B ．y x 122= C ．x y 122-= D ．x y 122=3.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3B.2 2C.32D.344.已知椭圆2221x y a+=的一个焦点在抛物线24y x =的准线上，则椭圆的离心率为（ ）A.12B.22C.13D.335．已知A (－4,2,3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．196．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203D ．8 7.P 是椭圆191622=+y x 上一点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，若1221=•PF PF ,则21PF F ∠的大小为( )A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1508.正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( ) A.12 B.32 C.63 D.62 9.已知P 为抛物线x y 42=上任意一点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A(4，5),则d PA +的最小值是（ ）A.34B.4C.134-D.510．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知椭圆E:)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点是F （0,3），过点F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，若AB 的中点M 的坐标为（1,1-），则椭圆E 的方程为( ) A ．1641622=+y x B ．191822=+y x C ．1182722=+y x D ．1364522=+y x 12.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BCA 是等边三角形；③三棱锥D ­ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆1922=+my x 总有公共点，则实数m 的取值范围为________．14. 过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 .15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为____.16.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ， PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________.三、解答题。

安徽省淮南市第二中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省淮南市第二中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

淮南二中2021届高二上学期文科数学其次次月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：(本大题共12题,每小题5分,共60分.只有一个选项正确.) 1.现要完成下列3项抽样调查： ①从15件产品中抽取3件进行检查;②某公司共有160名员工，其中管理人员16名，技术人员120名，后勤人员24名，为了了解员工对公司的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③电影院有28排，每排有32个座位，某天放映电影时恰好坐满了观众，电影放完后，为了听取意见，需要请28名观众进行座谈． 较为合理的抽样方法是（ ）A.①简洁随机抽样②系统抽样③分层抽样B.①分层抽样②系统抽样③简洁随机抽样C.①系统抽样②简洁随机抽样③分层抽样D.①简洁随机抽样②分层抽样③系统抽样 2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两大事是（） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 至少有一个黑球与至少有1个红球 D. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 3.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( )A. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB. 若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝AC. 若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠AD. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B4．已知两直线m 、n 和平面α，若m α⊥， //n α，则下列关系肯定成立的是（） A. m 与n 是异面直线 B. m n ⊥ C. m 与n 是相交直线 D ． //m n 5.在长为4的线段AB 上任取一点P ， P 到端点，A B 的距离都大于1的概率为（）A. 18B. 12C. 14 D. 136.设命题:,xp x R e x ∀∈>，则p ⌝是（ ） A. ,xx R e x ∀∈≤ B.000,x x R e x ∃∈< C. ,xx R e x ∀∈< D.000,x x R e x ∃∈≤7.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的确定值等于3的概率是（ ）A. 112B. 16C. 13D. 128.已知命题:p 若5+≤x y ，则32或≤≤x y .命题:q <a b ，11>a b .那么下列命题为真命题是（ ） A. p ∧q B.( ￢p )∧(￢q ) C. (￢p )∧q D. p ∧(￢q )9.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.22a b > B. 33a b > C. 1a b >+ D. 1a b >-10.已知椭圆2217525y x +=的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标（ ）A.11(,)22B. 13(,52)22+ C. 11(,)22- D. 13(,52)22-11.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A. 7B. 11C. 26D. 3012. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）。

山西省2024-2025学年高二上学期第二次月考试题 数学含答案

山西省2024-2025学年高二上学期第二次月考试题 数学含答案

山西省2024—2025学年第一学期第二次阶段性考试题（卷）高二年级数学（答案在最后）卷面总分值150分考试时间120分钟第I 卷（客观题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.直线10x ++=的倾斜角为（）A.π6B.5π6 C.π3D.2π32.已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A .1m <- B.1m < C.1m >- D.1m ≥-4.过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（）A.250x y +-=B.20x y -=C.230x y -+= D.20x y +=5.已知a ，b 都是正实数，且直线()2360x b y --+=与直线50bx ay +-=互相垂直，则23a b +的最小值为（）A.12B.10C.8D.256.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A.118B.98C.78D.587.直线:(2)(21)340l m x m y m -++++=分别与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，若三角形AOB 面积为5，则实数m 的解有几个（）A.B.2C.3D.48.若圆()()22:344C x y -+-=上总存在两点关于直线43120ax by ++=对称，则过圆C 外一点(),a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A.4B.2C.25D.27二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法一定正确的是（）A.过点(0,1)的直线方程为1y kx =+B.直线sin cos 10x y αα-+=的倾斜角为αC.若0ab >，0bc <，则直线0ax by c ++=不经过第三象限D.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为()()()()121121y y x x x x y y --=--10.已知直线:50l x y +-=与圆22:(1)2C x y -+=，若点P 为直线l 上的一个动点，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆C 相离B.圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(5)(4)2x y -++=C.若点Q 为圆C 上的动点，则PQ 的取值范围为)2,+∞D.圆C 上存在两个点到直线l 的距离为32211.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥P ABC -1+B.若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为77C.若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --的正弦值为3D.PM MA +的取值范围为4⎤⎥⎦第Ⅱ卷（主观题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则31y x -+的取值范围是__________.13.如图，已知点(8,0)A ，(0,4)B -，从点(3,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是__________.14.已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是_________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线1l 的方程为240x y +-=，若2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥．（1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程．16.已知圆C 的圆心在直线y x =上，且过点(3,0)A ，(2,1)B -（1）求圆C 的方程；（2）若直线:4390l x y -+=与圆C 交于E 、F 两点，求线段EF 的长度.17.已知线段AB 的端点B 的坐标是(6,8)，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点(1,0).（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形为曲线E ，若直线l 与曲线E 只有一个公共点，求直线l 的方程.18.已知三棱锥P ABC -满足,,AB AC AB PB AC PC ⊥⊥⊥，且3,AP BP BC ===（1）求证：⊥AP BC ；（2）求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值，19.在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()()4,0,1,0S T ，动点P 满足2PS PT =，设点P 的轨迹为C .如图，动直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （,A B 均在x 轴上方），且180ATO BTO ∠+∠= .（1）求曲线C 的方程；（2）当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（3）是否存在一个定点，使得直线l 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.山西省2024—2025学年第一学期第二次阶段性考试题（卷）高二年级数学卷面总分值150分考试时间120分钟第I卷（客观题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD第Ⅱ卷（主观题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】0k ≥或815k ≤-．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()2,1（2）20x y -=或250x y +-=【16题答案】【答案】（1）22(1)(1)5x y -+-=.（2）2.【17题答案】【答案】（1）()()22344x y -+-=（2）1x =或3430x y --=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）10【19题答案】【答案】（1）224x y +=（2）122y x =-+4,0（3）存在，定点为()。

2021-2022学年上海市徐汇区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市徐汇区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市徐汇区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间内，如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是______．a b a b 【答案】异面或平行【分析】由直线与直线的位置关系求解即可.【详解】如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是异面或平行.a b a b 故答案为：异面或平行.2．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽2:3:5出一个容量为的样本，那么其中A 种型号产品有______件.80【答案】16【分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列式求出种型号产品的件数.A 【详解】因为A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为，2:3:5所以样本中A 种型号产品有件.28016235⨯=++故答案为：16.3．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则1212,,,n V V V _________.()12lim n n V V V →∞+++= 【答案】87【详解】易知V 1,V 2,…,Vn ,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1128lim()1718n n V V V V →∞+++==- 4．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为_______.60︒【答案】12【分析】作出示意图，北纬纬线长和赤道长是两个圆的周长，其比等于半径比.60︒【详解】如图所示，赤道圆半径为，北纬圆半径为.R OA =60︒11r O A =由，可得.160AOA ∠=︒1111sin 302O A r OA R ︒===所以北纬纬线长和赤道长的比值为.60︒2π12π2rr R R ==【点睛】本题考查球体的结构特征，解答本题需要理解地理中纬线的概念.5．等比数列的前项和，，则实数______.{}n a n n S 1*7,N n n S k n -=+∈k =【答案】17-【分析】根据与的关系求，再利用等比数列的定义运算求解.n a n S n a 【详解】当时，则；1n =111a S k ==+当时，则，2n ≥()()11227767n n n n n n S a S k k ----==+=⋅+--故，21,167,2n n k n a n -+=⎧=⎨⋅≥⎩若为等比数列，且当时，，{}n a 2n ≥11267767n n n n a a --+⋅==⋅故，解得.21671a a k ==+17k =-故答案为：.17-6．等差数列中，，，且，使前项和的最小正整数______.{}n a 100a <110a >1110a a <n 0n S >n =【答案】21【分析】先利用条件得到，再利用等差数列的性质与前项和公式得到的正负情10110a a +<n 2021,S S 况，从而求得.21n =【详解】设等差数列的公差为，由，，得，{}n a d 100a <110a >0d >又，所以，111010a a a =-<10110a a +<故，，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<2111112212102a a S a +=⨯>=故使前项和的最小正整数.n 0n S >21n =故答案为：21.7．为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的学生数为，则的值为______.a b b【答案】78【分析】分别求第1，2两组的频数，再根据频率分布直方图结合等差、等比数列运算求解.【详解】由频率分布直方图得组距为0.1，间的频数为.4.3~4.41000.10.11⨯⨯=间的频数为.4.4~4.51000.10.33⨯⨯=又前4组的频数成等比数列，则公比为3，∴前3组的频数之和为，13913++=根据后6组频数成等差数列，且共有人.1001387-=从而间的频数最大，且为，所以，4.6~4.731327⨯=270.27100a ==设公差为，则，所以，从而.d 65627872d ⨯⨯+=5d =-43427(5)782b ⨯=⨯+-=故答案为：78.8．若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.45π【答案】45π【分析】设上下底的半径分别为，，由侧面积公式及勾股定理列关系式求，由此可求圆台r R ,r R 的上、下底面的面积之和.【详解】设上下底的半径分别为，，则母线，高，构成一个直角三角形，r R R r -母线为斜边5，高为直角边4，由勾股定理得，即，3R r -=3R r =+圆台的侧面积，π()S r R l =+5π(3)r r =++5π(23)r =+45π=所以，则，3r =6R =所以圆台的上、下底面的面积之和是.22π()45πR r +=故答案为：.45π9．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，{}n a q n n T 11a >9910010a a ->99100101a a -<-则下列命题正确的有__________．（填序号）（1）；01q <<（2）；9910110a a -<（3）的值是中最大的；100T n T （4）使成立的最大正整数数的值为．1n T >n 198【答案】（1）（2）（4）【分析】根据可知；由和，可确定，可知（1）正确；991001a a >0q >99100101a a -<-10a >991001a a >>利用等比数列性质和可知（2）正确；根据知（3）错误；根据10001a <<1009910099T T a T =<，可知（4）正确.()99198991001T a a =>1991991001T a =<【详解】对于（1），，，，9910010a a -> 991001a a ∴>0q ∴>，，又，，99100101a a -<- ()()99100110a a ∴--<10a >991001a a ∴>>，（1）正确；01q ∴<<对于（2），，又，，即，299101100a a a = 10001a <<21001a ∴<210010a -<，（2）正确；9910110a a ∴-<对于（3），，不是中最大的，（3）错误；1009910099T T a T =< 100T ∴n T 对于（4），，()()()()991981198219799100991001T a a a a a a a a =⋅⋅⋅=> ，()()()19919911992198991011001001T a a a a a a a a =⋅⋅⋅=<使成立的最大正整数数的值为，（4）正确.∴1n T >n 198故答案为：（1）（2）（4）10．定义为数列的均值,已知数列的均值,记数列11222n n n a a a H n -+++= {}n a {}n b 12n n H +=的前项和是,若对于任意的正整数恒成立,则实数k 的取值范围是________．{}n b kn -n n S 5n S S ≤n 【答案】712[,35【分析】因为,,从而求出,可得1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅2121()2212n n n b b b n --++⋯+=-⋅2(1)n b n =+数列为等差数列,记数列为,从而将对任意的恒成立化为,{}n b kn -{}n b kn -{}n c 5n S S ≤*(N )n n ∈50c ≥,即可求得答案.60c ≤【详解】 , 1112222n n n n b b b H n -++++== ,∴1112222n n n b b b n -++++=⋅ 故,2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+ ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅则,对也成立,2(1)n b n =+1b ,∴2(1)nb n =+则,()22n b kn k n -=-+数列为等差数列,∴{}n b kn -记数列为.{}n b kn -{}n c 故对任意的恒成立,可化为:,；5n S S ≤*N ()n n ∈50c ≥60c ≤即,解得,,5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩71235k ≤≤故答案为:．712[,]35【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的n 方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11．如图所示为一个半圆柱，已知为半圆弧上一点，若，直线与E CD CD 2DE CE =AD 所成角的正切值为，则点到平面的距离是______.BE 23D EAB【答案】67【分析】由异面直线夹角的定义确定直线与所成角的平面角，由条件可求，再由等体积AD BE BC 法求点到平面的距离.D EAB 【详解】因为，又，所以，.2DE CE =2225CE DE CD +==1DE =2CE =因为，平面，平面，//AD BC BC ⊥CDE CE ⊂CDE 所以为直线与所成角，且，CBE ∠AD BE BC CE ⊥即，2tan 3CE CBE BC ∠==所以，故，3BC =3AD BC ==所以AE BE ====所以，cos AEB ∠=sin AEB ∠，，1722AEB S == 131322ADE S =⨯⨯= 因为，，所以，BC CE ⊥//AD BC AD CE ⊥又，平面，DE CE ⊥,,AD DE D AD DE =⊂ ADE 所以平面，CE ⊥ADE 设点到平面的距离是，由等体积法得，D EAB h D EAB B ADE V V --=即，所以.1133AEB ADE S h S CE ⋅=⋅ 67h =故答案为：.6712．已知等差数列满足：{}n a 12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-，则正整数的最大值为________2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=n 【答案】62【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即2,n k k N +=∈d 100k k a a +>⎧⎨<⎩10,0a d <>10k a +≤，根据，得到即有，再根据等差数列的前n 项和公式，求得，从1k a ≤-110k a +-≥2d ≥22021k d =而得出，即可求解.220212k ≥【详解】解： 由题意知：等差数列满足{}n a 1212111n n a a a a a a +++=++++++ ，1211a a =-+-+ 12021n a +-=故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，{}n a 100n n a a ->⎧⎨<⎩100n n a a -<⎧⎨>⎩设，等差数列的公差为，不妨设，2,n k k N +=∈d 100k k a a +>⎧⎨<⎩则，且，即，10,0a d <>10k a +≤1k a ≤-由，则，即，110k a +-≥111kd a kd -+≥+≥2kd ≥即有，2d ≥则121212k k kn a a a a a a a a +----++++⋯=++ ，211(1)(1)[()202122k k d k k ka k a kd d k d --=-++++==可得，解得，220212k ≥31.7k ≤≈即有的最大值为，的最大值为.k 31n 62故答案为：.62二、单选题13．“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要D ．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】利用棱柱的结构特征和充分，必要条件的定义进行求解【详解】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性；故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件，故选:.C 14．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成n n n x y +x y +（ ）A ．假设当时成立，再推出当时成立()*21n k k N =+∈23n k =+B ．假设当时成立，再推出当时成立()*21n k k N =-∈21n k =+C ．假设当时成立，再推出当时成立()*n k k N =∈1n k =+D ．假设当时成立，再推出当时成立()1n k k =≥2n k =+【答案】B【分析】根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.【详解】第二步假设当时成立，再推出当时成立.()*21n k k =-∈N ()21121n k k =+-=+故选：B.15．在正方体中，分别为棱的中点，P 是线段上的动点1111ABCD A B C D -E F M ，，1BC CD CC ，，11A C (含端点)，则下列结论正确的个数（ ）①PM BD⊥②平面1//AC EFM③与平面所成角正切值的最大值为PE ABCD ④当P 位于时，三棱锥的外接球体积最小1C P CEF -A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】先判断与面是否垂直，进而判定①；BD 11ACC D 设AC 交BD 于Q ，先证明，进而判定②；1//AC QM 根据线面角的定义先找到线面角，进而求出其正切的最大值，从而判定③；取中点，易知为的外心，作面，交于，则三棱锥的外EF 1O 1O CEF △1O T ⊥ABCD 11A C T P CEF -接球球心在上，进而根据球的性质建立等式，最后判断答案④.O 1O T 【详解】设正方体棱长为2.对①，如图1，在正方体中，连接AC ,BD ，则，面，所以，而1111ABCD A B C D -AC BD ⊥1CC ⊥ABCD 1CC BD ⊥，所以面，而面，所以.①正确；1AC CC C = BD ⊥11ACC A PM ⊂11ACC A PM BD ⊥对②，如图2，设AC 交BD 于Q ，则Q 为AC 的中点，而M 为的中点，所以，而交平面1CC 1//AC QM QM 于M ，所以与平面不平行；EFM 1AC EFM 对③，如图3，易知点P 在面ABCD 上的投影点N 在线段AC 上，则与平面所成角为，PE ABCD PEN ∠，则当NE 最小时正切值最大，因为分别为的中点，所以2tan PN PEN NE NE ∠==,E F ,BC DC ，由于，则，此时点N 为点E 在线段AC 上的投影，且1//,2EF BD EF BD =AC BD ⊥AC EF ⊥1O为EF 的中点.所以，此时.故③正确；1O 1124NE EF BD ===tan PN PEN NE ∠==对④，如图4，易知为的外心，作面，交于，则三棱锥的外接球球心在1O CEF △1O T ⊥ABCD 11A C T P CEF -O上，记外接球半径为R ，，1O T OP OE R ==2+=，于是当时，R 最小，即外接球体积最小，2722PT =⇒+0PT =此时重合.故④错误.,P T 故选：B.16．已知数列的各项均不为零，，它的前n 项和为．且（）成{}n a 1a a =n S n a 1n a +*N n ∈等比数列，记，则（ ）1231111n n T S S S S =+++⋅⋅⋅+A ．当时，B ．当时，1a =202240442023T <1a =202240442023T >C ．当时，D ．当时，3a =202210111012T >3a =202210111012T <【答案】C【分析】结合等比性质处理得，再分和分类讨论，时较为简单，结合裂22n n a a +-=1a =3a =1a =项法直接求解，当时，放缩后再采用裂项即可求解.3a =【详解】由成等比数列可得，①，也即②，②-①得n a 1n a +12n n n S a a +=⋅1122n n n S a a +++=⋅，因为，所以，，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等()1122n n n n a a a a +++=-0n a ≠22n n a a +-=差数列，当时，，即，1a a=1122a a a =⋅22a =对A 、B ，当时，，此时数列为等差数列，前项和为1a =12341,2,3,4,n a a a a a n ===== n ，，()12n n nS +=()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭故，12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭当时，，故A 、B 错误；2022n =2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭对C 、D ，当时，，3a =1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯= ,当n 为偶数时，，2420222,4,,2022a a a === 232n n nS +=当n 为奇数时，，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=所以,,()()12,2n n n S n N*++≤∈()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+，故C 正确，D 错误.111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭ 故选：C三、解答题17．某商场为推销当地的某种特产进行了一次促销活动，将派出的促销员分成甲、乙两个小组分别在两个不同的场地进行促销，每个小组各6人.以下茎叶图记录了这两个小组成员促销特产的件数，且图中甲组的一个数据已损坏，用表示，已知甲组促销特产件数的平均数比乙组促销特产件数的x 平均数少1件.(1)求的值，并求甲组数据的第80百分位数；x (2)在甲组中任选2位促销员，求他们促销的特产件数都多于乙组促销件数的平均数的概率.【答案】(1)，第80百分位数为40；8x =(2).15【分析】（1）根据茎叶图求出乙组促销特产件数的平均数，进而可得甲组平均数，由平均数可求出的值，再由百分位数的定义求第80百分位数；x （2）求出基本事件的总数以及组促销员促销的特产件数都多于包含的基本事件的个数，由古236典概率公式即可求解.【详解】（1）乙组同学促销特产件数的平均数为（件）.283236384141366+++++=则甲组同学促销特产件数的平均数为35件，由，解得.283934(30)4041635210x ++++++=⨯=8x =将甲组同学促销特产件数按从小到大排列可得，28,29,34,38,40,41因为， 所以甲组数据的第80百分位数为其第5个数，680% 4.8⨯=所以甲组数据的第80百分位数为40.（2）乙组促销特产件数的平均数为36件.甲组同学促销的件数分别为28，29，34，38，40，41.若从中任取两个数字，所有的基本事件为，，，，(28,29)(28,34)(28,38)(28,40)，，，，，，，，(28,41)(29,34)(29,38)(29,40)(29,41)(34,38)(34,40)(34,41)，，，共15个基本事件.(38,40)(38,41)(40,41)其中符合条件的基本事件有，，，共3个基本事件.(38,40)(38,41)(40,41)所求概率为.31155P ==18．已知，为两条异面直线，为平面，且，，.a b αa b ⊥a α⊥b α⊄(1)若直线，通过直线与平面垂直的判定定理，证明；//c a c α⊥(2)用反证法证明：.//b α【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设平面，且，根据线面垂直的性质可得，，从而得到⊂m,n αm n A = a m ⊥a n ⊥，，即可得证；c m ⊥c n ⊥（2）假设与不平行，即与相交，不妨设与相交于点，过点在平面内作直线，b αb αb αB B αBC 设直线与确定平面，可以证明，即可得到与重合，从而得到，与题设矛盾，b BC β//αβαβb α⊂即可得证；【详解】（1）证明：因为，设平面，且，所以，，因为，a α⊥⊂m ,n αm n A = a m ⊥a n ⊥//a c 所以，，又平面，且，c m ⊥c n ⊥⊂m ,n αm n A = 所以平面c ⊥α（2）证明：假设与不平行，即与相交，b αb α不妨设与相交于点，过点在平面内作直线，b αB B αBC 设直线与确定平面，b BC β因为，面，所以，又，，所以平面，又因为，a α⊥BC ⊂αa BC ⊥ab ⊥BC b B = a ⊥βa α⊥所以，又，所以与重合，即，与矛盾，故假设不成立，所以；//αβBC αβ= αβb α⊂b α⊄//b α19．已知数列中，.{}n a 111,31n n a a a +==+(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭{}n a (2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成{}n b ()1312n n n n n b a +=-⋅⋅{}n b n n T ()(8)42252n T n n λλ+-≤-+立的自然数恰有4个，求正整数的值.n λ【答案】(1)证明见解析，；312n n a -=(2)4.【分析】（1）构造，根据等比数列的定义及通项公式即可求解；111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（2），利用错位相减法求出，故成立的自然数恰有4个，当时，不2n n nb =n T 12582n n λλ--≤+n 1,2n =等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个. 令，根据其单调性即可3n ≥n 1252n n n c --=求解.【详解】（1）因为，所以，111,31n n a a a +==+111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又，所以是等比数列，，11322a +=12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭113322n n a -+=⋅所以；312n n a -=（2），()13122n n n nn n nb a +=-⋅=⋅所以，，1212222n n n T =+++ 2311122222n n n T +=+++两式相减，得，121111111121122222222n n n n n n n n n T ++++=+++-=--=- 所以，222n n n T +=-因为成立的自然数恰有4个，()(8)42252n T n n λλ+-≤-+n 即成立的自然数恰有4个，18252n n λλ-+≤-n 由于为正整数，当时，不等式显然成立，λ1,2n =故当时，不等式成立的自然数恰有2个，3n ≥n 即成立的自然数恰有2个，令，12582n n λλ--≤+n 1252n n n c --=则，所以严格减，112325270222n n n n n n n n c c -+---+==--<{}n c 所以，且，4388c λλ≤=+55816c λλ>=+解得，故正整数的值为4.4024115λ<≤λ20．在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面平面ABCD ，点M 在线段PB 上，P ABCD -PAD ⊥平面MAC ，.PD ∥PA PD =(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面PAC 的交点为K ，求的值；DKKM(3)若异面直线CM 与AP ，求二面角的平面角的正切值.M CD A --【答案】(1)M 为PB 中点，理由见解析(2)2DKKM =(3)13【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连OM ，由平面平行的性质可得答案；（2）连接OP ，则，可得点K 为重心，由三角形重心的性质，可得答案；K OP DM =⋂PBD △（3）取AD 中点H ，连接PH ，HB ，取HB 中点G ，连接MG ，GC ，可得，取AB 中点MG PH ∥N ，可知，或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，由面面垂直的性质可得MN PA ∥CMN ∠平面ABCD ，平面ABCD ，令，，由余弦定理可得，在直角PH ⊥MG ⊥PH t =2AD =CG 中，求出，，由余弦定理得，从而得到，解方MCG △CM 12MN PA =cos ∠CMN 42328250t t -+=程求出，过G 作交CD 于Q ，连接MQ ，可得平面MGQ ， ，在直角t GQ CD ⊥CD ⊥CD MQ ⊥中可得.MQG tan ∠MQG 【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OM ，因为平面MAC ，平面PBD ，PD ∥OM ⊂平面平面，则，MAC ⋂PBD OM =PD OM ∥又因为O 为BD 中点，所以M 为PB 中点.（2）如图所示，连接OP ，则平面平面，，PAC =PDB PO K OP DM =⋂因为O 为BD 的中点，M 为PB 的中点，所以点K 为重心，PBD △由三角形重心的性质，可得.2DK KM =（3）取AD 中点H ，连接PH ，HB ，取HB 中点G ，连接MG ，GC ，可得.MG PH ∥取AB 中点N ，连接MN ，NC ，可知，MN PA ∥所以或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，如图所示，CMN ∠因为平面平面ABCD ，平面平面ABCD ，PAD ⊥PAD ⋂AD =又，所以，PA PD =PH AD ⊥所以平面ABCD ，因此平面ABCD ，令，，PH ⊥MG ⊥PH t =2AD =由，且M 为PB 的中点，可得，PH MG ∥1122MG PH t ==在中，可得，BCG 2BC =BG =cos CBG ∠=CG =在直角中，MCG △CM ==又由M ，N 分别是PB ，AB 的中点，可得12MN PA ==所以，222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠==⋅解得，解得或，即，42328250t t -+=21t =2531t=过G 作交CD 于Q ，连接MQ ，由，且，GQ CD ⊥MG CD ⊥ GQ MQ 可得平面MGQ ，所以，CD ⊥CD MQ ⊥所以就是所求二面角的平面角，如图所示，MQG ∠在直角中，可得MQG 1tan 33MG t MQG GQ ∠===21．对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符{}n A 1A 2A 3A n A 1A 2A 3A n A 号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、{}n a {}n A 123、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列4512-3-45{}n a 的生成数列，为数列的前项和.()12n n N *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n S {}n a n （1）写出的所有可能的值；3S （2）若生成数列的通项公式为，求；{}n a ()1,3121,312nn nn k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩n S （3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为n N *∈n S .121,,22n n m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭【答案】（1）、、、；（2）；（3）证明见解析.18385878()111,3372151,3172131,3272n n n n n k S n k k N n k ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+=+∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩【分析】（1）根据生成数列定义，可知当时，，、分别为、中取值，由此3n =112a =2a 3a 14±18±给出的所有可能的情况，即可计算出的所有可能值；{}n a 3S（2）利用，分、、三()1,3121,312nn n n k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩()3n k k N *=∈()31n k k N =+∈()32n k k N =+∈种情况讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得；n S （3）利用数学归纳法证明：①当时命题成立；②假设当时，1n =()n k k N *=∈，证明出，结合归纳原理即可证明出结论()121,22k k k m S m N m *--=∈≤()1121,22k k k m S m N m *++-=∈≤成立.【详解】（1）由题意得，，112a =()1,22n n a n N n *=∈≥根据生成数列的定义，可得，，214a =±318a =±又，，，，11172488++=11152488+-=11132488-+=11112488--=因此，所有可能的取值为、、、；3S 18385878（2），()1,3121,312nn nn k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩ 当时，()3n k k N *=∈312345632313111111111222222222n k k k S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 14322531363111111111222222222k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；3333331111111112242828111111111117824878111222k k kk k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--=---=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---11172n ⎛⎫=-⎪⎝⎭当时，；()31n k k N =+∈111111271511172272272n n n n n n n n S S a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，.()32n k k N =+∈1111111111171311172272272n n n n n n n nS S a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上所述：；()111,3372151,3172131,3272n n n n n k S n k k N n k ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+=+∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩（3）利用数学归纳法证明：①当时，，命题成立；1n =112S =②假设当时，命题成立，即所有可能值的集合为.()n k k N *=∈k S 121,,22k k m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭由假设得.()121,22k k km S m N m *--=∈≤则当时，1n k =+1123111211111112222222k k k k k k k k S S S +++++±=±±±±±=±=.()()112211,22k k m m Nm *-+-±=∈≤即或，()1122112k k m S ++--=()111221,22k k k m S m N m *-++⨯-=∈≤即，()1121,22k k k m S m N m *++-=∈≤当时，命题成立.∴1n k =+由①②知，对于给定的，的所有可能值组成的集合为.n N *∈n S 121,,22n n m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查等比数列生成数列定义的理解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列问题，着重考查对数列新定义的理解，考查推理、转化、抽象思维与创新思维的综合应用能力，属于难题.。

2021-2022学年上海市杨浦高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市杨浦高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市杨浦高二上学期期中数学试题一、填空题1．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________．【答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.【详解】由题可得该正四棱柱的体积为.22416⨯⨯=故答案为：16.2．已知为等差数列，若则______.{}n a 1237893,6,a a a a a a ++=++=5a =【答案】32【分析】由等差中项的性质，再把已知两个等式两边分别相加求即51928372a a a a a a a =+=+=+5a 可.【详解】由等差中项性质得51928372a a a a a a a =+=+=+故，所以.123789569a a a a a a a +++++==532a =故答案为：.323．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正棱锥的侧棱长为______．45︒【答案】【分析】先求出，再根据勾股定理求出即可.AO PA 【详解】如图所示，是一个正四棱锥，P ABCD -，且有，2PO =PO AO ⊥侧棱与底面所成角为，PA 45PAO ∠=︒所以，所以侧棱2AO =PA ==故答案为：二、概念填空4．教材 10.3.4 两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的________与另一个平面平行，那么这两个平面平行.【答案】两条相交直线【详解】略三、填空题5．圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为__________.（结果保留）π【答案】48π【分析】根据圆柱的轴截面面积及底面半径求得圆柱的高，再求其体积【详解】如图，平面是圆柱的轴截面，是一个矩形，过圆柱的轴AB ，DEFG在矩形中，，，DEFG 24S =28GD r ==所以，3h GF ==所以.2π48πV S h r h ===圆柱底故答案为：.48π6．正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有____条.1111ABCD A B C D -AB 【答案】4【分析】根据正方体的图形以及异面直线的定义，观察即可得出答案.【详解】由图象可知，与直线垂直且异面的直线有、、、，共4条.AB 1CC 1DD 11A D 11B C 故答案为：.47．计算：___________.111=3i i -+∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】##32 1.5【分析】根据无限递缩等比数列前n 项和公式可得结果.【详解】12111113=1+1333213i i -+∞=⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑ 故答案为：328．已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角l αβ--a α⊥b β⊥,a b 60︒的大小为_________.l αβ--【答案】或60︒120︒【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小【详解】设点是二面角内的一点，过P 分别作直线的平行线，且垂直于P l αβ--,a b ,PA PB PA 于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，αA PB βB PAB l O OA OB PA α⊥，，，PB β⊥l ⊂αl β⊂故，，又，平面，PA l ⊥PB l ⊥PA PB P = ,PA PB ⊂PAB 故平面，又，平面，故，，l ⊥PAB OA OB ⊂PAB l OA ⊥l OB ⊥所以为二面角的平面角，AOB ∠l αβ--因为直线所成角的大小为，所以或，,a b 60︒60APB ∠=︒120︒当时，如图120APB ∠=︒因为，所以；180APB AOB ∠+∠=︒60AOB ∠=︒当时，60APB ∠=︒如图因为，所以;180APB AOB ∠+∠=︒120AOB ∠=︒综上，二面角的大小为或l αβ--60︒120︒故答案为：或60︒120︒9．如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，111ABC A B C -，则该斜三棱柱的侧面积是_________．1145A AB A AC ∠=∠=︒【答案】##2+2【分析】过点作于，证出≌，得出，证得平面，B 1BM AA ⊥M CAM BAM 1CM AA ⊥1AA ⊥BCM 得出，结合再证明出，得出平行四边形为矩形，即可计算出斜1AA BC ⊥11//AA CC 1CC BC ⊥11BCC B 三棱柱的侧面积．【详解】过点作于，如图所示，B 1BM AA ⊥M，，，45CAM BAM ∠=∠=︒ CA BA =AM AM =≌，CAM ∴△BAM，MC MB ∴==，即，90CMA BMA ∠=∠= 1CM AA ⊥又，M CM BM ⋂= 平面，1AA ∴⊥BCM 又平面，BC ⊂ BCM ，1AA BC ∴⊥又，11//AA CC ，1CC BC ∴⊥∴平行四边形为矩形，11BCC B∴该斜三棱柱的侧面积为：，22122+⨯=故答案为：．210．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若S SA SB 78SA的面积为__________．SAB △【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，SA SB 78SA SB的面积为所以SAB △,l 212l l ⨯==因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，SA πcos 4l =因此圆锥的侧面积为．2πrl l ==【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．11．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，P ABCD -ABCD PB ⊥,3,5ABCD BC PC ==与之间的距离为___________.PA =BC PD【答案】【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即,PD BC 可.【详解】因为平面，所以，PB ⊥ABCD ,5,3PB BC PC BC ⊥==所以，4,PB PA ==4AB =因为,,,4,3PB BA PB BC AB BC PB AB BC ⊥⊥⊥===因此我们将四棱锥构建成长方体.P ABCD -EPGH ABCD -接下来我们寻找异面直线的公垂线,PD BC在平面上的投影为，，PD GCDH GD CH GD ⊥易证平面，故得，，CH ⊥PGD CH PD ⊥CH BC ⊥连接，与相交于，则为的中点，BH BH PD O O BH 作的中点，连接，则，，，BC F OF //OF HC OF BC ∴⊥OF PD ⊥所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离.OF ,PD BC OF BC PD且12OF HC ==故答案为：12．正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3+【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则是三棱锥的中截面，EFG A BCD -可得平面平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，//EFG 、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个A ∴平面；正四面体ABCD 中，象这样的三角形截面共有4个．EFG正四面体ABCD 的棱长为2，可得，1EF FG GE ===是边长为1的正三角形，可得EFG ∴ 1sin602EFG S EF FG =⋅⋅= 取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，、GH 分别是、的中位线，EI ABC ADC ,得∴1//2EI AC 1//2GH AC //EI GH 四边形EGHI 为平行四边形；∴又且，，AC BD = AC BD ⊥1//2EI AC 1//2HI BD 且，四边形EGHI 为正方形，其边长为，EI HI ∴=EI HI ⊥∴112AB =由此可得正方形EGHI 的面积；1EGHI S =的中点I 在平面EGHI 内，、C 两点到平面EGHI 的距离相等；BC B ∴同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，A ∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，∴且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于．434313EFG EGHI S S +=⨯=．3+【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．四、单选题13．对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（ ）l αl αl α∕∕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面之间的关系即可得解.【详解】直线不在平面上或与相交，l αl α⇔∕∕l α故"直线不在平面上"是""的必要不充分条件.l αl α∕∕故选：B.14．已知数列，下列说法正确的是（ ）10(1)(11n n a n =+-A ．有最大项，但没有最小项{}n a B ．没有最大项，但有最小项{}n a C ．既有最大项，又有最小项{}n aD ．既没有最大项，也没有最小项{}n a 【答案】C【分析】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果.【详解】当2,N n k k *=∈，22(1)22(1)1010(21)(),(23)()1111k k k k a k a k ++=+=+，22(1)2421791012111kk k k a a +-+⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭当时，，递增；当时，，递减，故最大，4k ≤2(1)20k k a a +->2k a 5k ≥2(1)20k k a a +-<2k a 10a 当时，21,N n k k *=-∈，2121212(1)110102(),(22)()1111k k k k a k a k -+-+-=-⋅=-+，212121422001012111k k k k a a -+--⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭当时，，递减；当时，，递增，故最小，4k ≤21210k k a a +--<21k a -5k ≥21210k k a a +-->21k a -9a 综上，既有最大项，又有最小项.{}n a 故选：C.15．用平面截正方体，截面不可能是（ ）A ．菱形B ．等腰梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】C【分析】举例即可说明A 、B 、D 正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C 项.【详解】对于A 项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A 项正确；对于B 项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，1111C E C F B C =≠//EF BD BD EF ≠EFDB 故B 项正确；对于C 项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误；对于D 项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为,,,,,E F G H J K ,,,,,E F G H J K EFGHJK 正六边形，故D 项正确.故选：C.16．四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相ABCD t 同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（ ）t A ．B ．()0,∞+C ．D．⎫∞⎪⎪⎭+(【答案】B 【分析】根据题意分成两种情况，再结合正四面体的性质求解即可.【详解】分为两种情况：当，如图所示：,1EA EB EC t AB AC BC ======在平面的投影为正三角形ABC 的中心D ，，EABC 213CD CE t =<=所以，t >当，如图所示：1,EA EB EC AB AC BC t ======在平面的投影为正三角形ABC 的中心D ，E ABC ，所以，213CD t CE =<=t <综上：.t ∈故选：B五、解答题17．已知长方体中，分别是和的中点.1111ABCD A B C D -,M N 1BBBC(1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由）MN 1111D C B A K (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小2,1AB AD ==1B D ABCD 60︒1B D MN （精确到）.0.01︒【答案】(1)作图见解析(2)26.57°【分析】（1）在平面中，延长与即可得到交点；（2）由线线平行确定为11BCC B NM 11C B 1DB C ∠所求角，再由线面垂直找到与平面所成的角，代入数值结合余弦定理计算可求出余弦值，1B D ABCD 反三角函数求出所求角.【详解】（1）（2）连接，则，又平面，所以1B C 1//B C MN DC ⊥11BCC B 1DC B C⊥所以是异面直线与所成角.1DB C ∠1B D MN 连接，平面，为与平面所成的角，故BD 1BB ⊥ ABCD 1B DB ∴∠1B D ABCD 160B DB ∠=︒在中，，所以，1Rt B DB 160BD B DB =∠=︒1B B =在中，，1B DC 114,2B D B C DC ===1cos DB C ∠==由余弦定理得.126.57DB C ∠=≈︒18．已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为P ABCD -，且满足.1111A B C D ABCD -1112A B AB =(1)求证：平面11A B ∕∕11DCC D (2)求棱台的体积和表面积.V S 【答案】(1)证明见解析(2)V =5S =+【分析】（1）根据面面平行的性质可得，，则有，再根据线面平11AB A B ∕∕11CD C D ∕∕1111A B C D ∕∕行的判定定理即可得证；（2）由题意得是正四棱锥，根据正棱锥的结构特求出棱长和高，再根据棱锥1111,P ABCD P A B C D --和棱柱的表面积公式体积公式即可得解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，//ABCD 1111D C B A ABCD ⋂PAB AB =平面平面，1111A B C D 11PAB A B =所以，同理，11AB A B ∕∕11CD C D ∕∕又，所以，AB CD ∕∕1111A B C D ∕∕又平面，平面，所以平面；11C D ⊂11DCC D 11A B ⊄11DCC D 11A B ∕∕11DCC D （2）由题意得是正四棱锥，1111,P ABCD P A B C D --故在平面上的投影为正方形的中心，P ABCD ABCD O12AO AC ==在中，，Rt APO 2,PA AO ==PO =，13P ABCD ABCD V S PO -=⋅=因为平面平面，，ABCD ∕∕1111D C B A 1112A B AB =所以111118P A B C D P ABCD V --==V=由已知的四个侧面为全等的等腰梯形，作BC 的中点E ，连结PE ，为等边三角形，故PBC1114PBC PB C PBCPE S S S ==== ，44,1S S S=⋅===侧下底上底所以5S =+【点睛】19．已知公比大于1的等比数列满足{}n a 24320,8a a a +==(1)求的通项公式；{}n a (2)求2111(1)ni i i i a a -+=-∑【答案】(1)2nn a =(2)438255n +-【分析】（1）设数列的公比为，然后得到关于的方程，即可求解；{}n a (1)q q >q （2）通过（1）可得是首项为，公比为的等比数列，然后用等比的求和公式进行{}11(1)n n n a a -+-84-求解即可【详解】（1）设数列的公比为，因为，{}n a (1)q q >24320,8aa a +==所以，解得所以，248820a a q q +=+=2,q =3122a a q ==所以；2nn a =（2）因为，所以是首项为，公比为的等比数列，1211(1)4(1)n n n n n n a a a a ++-+-=--{}11(1)n n n a a -+-128a a =4-所以()()243211181482(1)1455nn ni i i i a a +-+=---==-+∑20．如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的ABCD BC MBC ,B C 点.(1)求证：平面平面；ACM ⊥ABM (2)当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小（精确到0.01）.A CM B --60︒CA ABM 【答案】(1)证明见解析；(2).35.26︒【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理可得平面AB MC ^BM MC ⊥MC ⊥.然后根据面面垂直的判定定理，即可得出证明；ABM （2）由已知可推得，即为二面角的平面角，即.进而求出BMA ∠A CM B --60BMA ∠=︒AM =然后在中，即可得出，进而得出答案.Rt AMC △cos MAC ∠=【详解】（1）由已知可得，平面平面，平面平面，ABCD ⊥MBC ABCD ⋂MBC BC =，平面，AB BC ⊥AB ⊂ABCD 所以平面.AB ⊥MBC 又平面，所以.MC ⊂MBC AB MC ^由圆的性质可得，.BM MC ⊥因为，平面，平面，= AB BM B AB ⊂ABM BM ⊂ABM 所以平面.MC ⊥ABM 又平面，所以平面平面.MC ⊂ACM ACM ⊥ABM （2）因为平面，所以在平面上的投影为，CM ⊥ABM CA ABM MA 故直线与平面所成角为.CA ABM CAM ∠因为二面角的大小为，，，A CM B --60︒AM MC ⊥BM MC ⊥所以.60BMA ∠=︒又因为，90ABM ∠=︒所以，.sin 60AB AM ==︒AC =因为平面，平面，所以，MC ⊥ABM AM ⊂ABM 90AMC ∠=︒所以，cos AM MAC AC ∠==所以.35.26MAC ∠==︒21．设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为.ABCD k a 6k -1(1)时，求的取值范围；1k =a (2)时，求的取值范围；2k =a (3)时，求的取值范围.4k =a【答案】(1)a ∈(2)a ∈(3).)a ∈+∞【分析】（1）不妨设可折叠三角形，观察的长度即可；,AB a =AB （2）分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围；a （3）时，剩余两边相等且为1，类比（2）讨论剩余两边的情况可得结果.4k =【详解】（1）设固定，让绕转动，,AB a =BCD △ACD CD当接近时，接近于0；当与接近于共面时，a A B a ACD BCD △故.a ∈（2）第一种情况，两边在一个三角形内时：假设时，E 为D 在底面射影，0,1AB AC a DA DB DC BC ==>====由题意得，假设中点为，连结，假设EA EB EC ==BC O EO 1,EA EC x ==<则，即，222EO AO x AO CO AC ==+=2214x a ⎛+= ⎝解得：，则且，4222(41)410a a x a ⎧=-⎨->⎩1x =<12a >即，故，42410a a -+<222a <<+a <<；a <第二种情况，两边不在一个三角形内时：假设，,1AC BD a AB AD CB CD ======发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故.0︒a 0a >假设，取中点，连接，,1AC BD a AB AD CB CD ======ACG ,DG BG 则，解得：.DG BG ==a>a <a ∈综上，.a ∈（3）第一种情况：长度为1的两边在同一个三角形中：假设时，记顶点在底面射影为E ，1,ABAC DA DB DC BCa ======D 由题意得，假设中点为，连结，假设EA EB EC ==BC O EO ,EA EC x a ==<则，即，解得222EO AO x AO CO AC ==+=2214a x ⎛+= ⎝，则且，222(4)140a x a ⎧-=⎨->⎩x a =<02a <<即，故；42410a a -+<222a <<+a <<第二种情况：长度为1的两边不在同一个三角形中：假设，1,AC BD AB AD CB CD a ======发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，趋向正无穷.0︒a 假设，取中点，连接，1,AC BD AB AD CB CD a ======AC G ,DG BG则，由两边之和大于第三边知：，解得.DG BG ==1>a >)a ∈+∞综上，.)a ∈+∞。

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2021年高二上学期数学周考试题2 含答案
班级 姓名 考号
一、选择题(每小题5分)
1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ＝2∶5，则b ∶a 等于( ) A ．2∶5或4∶25 B ．5∶2 C ．25∶4 D ．2∶5
2．△ABC 周长为7.5 cm ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，则下列结论：( )
①a ∶b ∶c ＝4∶5∶6；②a ∶b ∶c ＝2∶5∶6；③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，
c ＝3 cm ；④A ∶B ∶C ＝4∶5∶6
其中成立的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3．根据下列条件，确定△ABC 有两解的是( ) A ．a ＝18，b ＝20，A ＝120° B ．a ＝60，c ＝48，B ＝60° C ．a ＝3，b ＝6，A ＝30°
D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°
4．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3
2
，则边BC 的长为( )
A. 3 B ．3 C.7 D ．7 6．在△ABC 中，
a cos A ＝
b cos B ＝c
cos C
，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 7．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC
的外接圆的直径为( )
A ．4 3
B ．5
C ．5 2
D ．6 2
8．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为( )
A ．(π2，π)
B ．(π4，π
2)
C ．(π3，π2)
D ．(0，π2
)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝3
5，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →
＝________.
10．在△ABC 中，BC ＝3，AB ＝2，且
sin C sin B ＝2
5
(6＋1)，则A ＝________. 11．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝
3
2
.则角C ＝________. 12．临沂市新建滨河公园，为测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .如图所示测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米．
三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.
(1)求角C ；
(2)求AB的长度．
14.如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．
高二数学周考试题（2）参考答案
1.解析：由正弦定理可知sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝2∶5，故选B.
2.解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，设a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x (x >0)，则4x ＋5x ＋6x ＝7.5，解得x ＝0.5，
∴a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm ，故①③正确，故选C.
3.解析：在D 中，b sin A ＝16×sin45°＝82<a <b ，故有两解．可判定A 中无解，B 、C 中都有一解，故选D.
4.答案：D
5.解析：由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32
，得AC ＝1，
∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝3 ∴BC ＝ 3. 答案：A
6.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C ，∴tan A ＝tan B
＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形，故选D.
7.解析：∵S △ABC ＝1
2ac sin B ，∴c ＝42，
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5. 由正弦定理2R ＝
b
sin B
＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C. 8.解析：cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc >0，∴A <90°.又a >b >c ，∴A >B >C ，
∴A >60°，故选C.
9.解析：由余弦定理的推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .
∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 2
2a ＝2，
∴a ＝2，即|BC →|＝2.又∵b ＝1，∴|AC →
|＝1，
∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－4
5，
∴AC →·BC →＝85或AC →·BC →＝－85.答案：85或－8
5
10.解析：由题意a ＝3，c ＝2，且
sin C sin B ＝c b 知b ＝2
2
5
(6＋1)＝6－1 ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2，∴A ＝120° 答案：120°
11.解析：∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0. 又sin C ＝
32，∴A ＝2π3. 答案：2π3
12.解析：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 又∠BDC ＝30°，CD ＝30，由正弦定理得
30sin135°＝BC
sin30°
，
则BC ＝152，在△ABC 中，又∠ACB ＝60°，∠ABC ＝90°， 所以AB ＝BC ·tan60°＝152×3＝156，即塔高AB 为156米． 答案：15 6
13.解：(1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，
∴C ＝120°.
(2)由题意知：a ＋b ＝23，ab ＝2， ∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB 的长度为10. 14.解：(1)由余弦定理， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝4＋1－2×2×1×34
＝2.
那么AB ＝ 2.
(2)由cos C ＝3
4且0<C <π，得sin C ＝
1－cos 2C ＝
74
. 由正弦定理得
AB sin C ＝BC
sin A
， 解得sin A ＝BC sin C AB ＝14
8.
所以，cos A ＝528.由倍角公式得sin2A ＝2sin A ·cos A ＝57
16
，且cos2A ＝1－2sin 2A ＝9
16
，
故sin(2A ＋C )＝sin2A cos C ＋cos2A sin C ＝37
8
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