中北大学高数习题 第十一章-2答案

机动
的部分.
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(1)计算 ① 解: 依题意画图. ①
其中
②
②
机动
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(2)求均质(μ=1)的薄壳的重心 解: 由于对称性 由①知


zds
2 Dxy
[2 ( x y )] 1 4x 4 y dxdy
2 2 2 2 2
Dxy

被题设圆周Γ所围部分的上侧,
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总习题十一 一.填空题 1.设L是圆: x 2 y 2 a 2 逆时针一周,则 解: 原式即为:
1 a
2
xdy ydx x y
2 2
2 _____ .
L
1 a
2

xdy ydx
2
L
利用格林公式有:
2 .

2dxdy
重心为
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5.设半径为R的球面上, 每点的面密度为该点到球面 的某一直径的距离, 求此球面的质量M. 解: 依题意画图. 曲面的方程为: 该曲面的面密度为:
z

由于对称性
(利用极坐标)
o
y
令
x
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11.5对坐标的曲面积分 1.计算曲面积分 I zdxdy, 其中是部分曲面 2 2 z x y ( z 1)的上侧. 解: 依题意画图.
4
2
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2.计算曲面积分
其中为锥面
解:
被柱面
所截得的部分 （例子）
所截曲面在xoy面上的投影区域为D: 其图形如右图:
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3.计算曲面积分
其中为球面
（例子）
解: 由于被积函数关于 y 是奇函数, 积分域关于xoz面 左右对称, 所以有: 4.设为旋转曲面
第十一章
第十一章曲线积分与曲面积分
习题答案(二)(48)
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11.4对面积的曲面积分 1.计算曲面积分 ( x y )ds,其中为: (1)平面 x 0, y 0, z 0, x 1, y 1, z 1 所围立体的表面. z 解: 依题意画图. 1 在平面z = 0 ,z =1上, ds 1 z z dxdy dxdy
2 2
cos
2
2x 4x 4 y 1
2
, cos
2
2y 4x 4 y 1
2
, cos
2
1 4x 4 y 1
2
.
I

2 xP 2 yQ R 1 4x 4 y
2 2

ds.
5.计算曲面积分
其中f (x,y,z)为连续函数, 是平面x-y+z=1在第四卦限 部分的上侧.
a
o
a
a
y

2 3 2 ( cos ) |0
1 5
r |0
5 a
x

6 5
a
5
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2. 计算曲面积分 其中为曲线
ze
x0
y
(0 y a )绕
z 轴旋转而成的曲面的下侧.
a
解: 依题意画图.补一平面 1 : z e
原式=

( x y a ) 取其上侧.
'2 '2
1 1
( x y )ds
2
Dxz
x dxdz dz
2
0
x dx
2 1 1
1 3
2
0

4
( x y )ds
2 2
Dxz
( x 1)dxdz dz ( x 1)dx
2
0 0
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4 3
.
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在平面

L
y
1
( x y )ds ds
L
x y 1
2
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o
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x
1
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4
7.设:
3 x y z R , 则 z ds _____ .
2 2 2 2
2
R
4
解: 由于对称性 z 2 ds x2 ds y2 ds.
(2 r ) 1 4r rdrd 2
1 8

2
0
d
2
1 4r d (1 4r )
2 2
0
2 1 1 2 2 2 2 d (1 4r 1) 1 4r d (1 4r ) 0 8 4 0 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 4r ) |0 (1 4r ) 2 |0 (1 4r ) |0 16 5 16 3 2 3
2 c
1
c ]dy
2
2(cb
1 2
x
2
1 2
cb x
2
1 2
c bx) |0 cba2 cb2 a c2 ba abc(a b c)
2
a
(应填)
2 ( x y) ds ____ .
L
4.设L是从A(1,0)到B(0,1)的直线段,则
解: 依题意画图.

3.设是长方体 的外侧,则
的整个表面
2 2 2 abc(a b c) x dydz y dzdx z dxdy ____________ .
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解: 依题意画图.由高斯公式可得: 原式=
2 dx dy ( x y z) dz
2 2
'2 '2 x y

1
( x y )ds
2 2
Dxy
( x y )dxdy dx ( x y )dy
2 2
2 2 0 0
1
1
2 3
.1
o
1
y
同理

2
2
( x y )ds
2 2
2 3
x
.
在平面 y 0, y 1上,
3
ds 1 yx yz dxdz dxdz
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解:平面的法向量为
由平面 可得:
则其单位法向量为:
由两类曲面积分的关系可得: 原式=
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11.6 高斯公式 1.计算曲面积分

( x az )dydz ( y ax )dzdx ( z ay )dxdy
3 2 3 2 3 2
解: 依题意画图.为计算 xdydz 将表示为 : x R y z

2
2
2
其中
:x 1
R y z ,
2 2 2 2 2 2
2 : x R y z
取前侧. , 取后侧.
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xdydz xdydz xdydz
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4.设
试证: 证:
满足
其中
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(题设知此项为零)
由高斯公式有:
证毕.
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11.7 斯托克斯公式
计算 其中Γ为圆周
若从 z 轴正向看去,这圆周取逆时针方向.
解:记为平面 而的单位法向量为 由斯托克斯公式 原式=
1 1 1 0 n (cos , cos , cos ) ( , , ) 3 3 3
5
上,
2
2 Dyz
ds 1 x y xz dydz dydz
'2 '2
1 1 2
( x y )ds
2 2 2 ( x y )ds
y dydz dz y dy
0 0
1 3
3
6
1 1 2 (1 y )dydz dz (1 y 2 )dy 4 . Dyz 0 0
2 2 2
取下侧.

1
3dxdydz 0

3

dxdydz 3
2 3
R 2 R 3 .
3
(多简单!)
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3. 计算曲面积分
2 2
e
2
z
x y
dxdy, 其中为由z 2
x y ,
2 2
x y 4及z 1 所围立体的边界曲面的外侧.
2 2 2
由高斯公式可得:
z
e
a
(4 z 2 z 2 z )dv
1
z e
x y
2
2
o x
a
y
3.计算曲面积分
其中是上半球面
的上侧.
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解: 曲面的方程即为 代入积分式化简得: 原式= 为使用高斯公式补一平面, 原式=
1 R 1 R
3
1 2
Dyz 2 2 2 R y z dydz D R y z dydz
2 2 2
yz

3 2 1 2 3 2 2 2 R 2 2 2 ( ) ( R r ) |0 R 2 d R r rdr 0 0 3 2 3 2 3 ydzdx R .为计算 zdxdy, 类似可得: 3
2
2
dxdy
0
d
1
r
rdr 2 e |1 2 (e e).
2

e
2
z
2
x y
2
2
dxdy

e x y
2 2
Dxy
dxdy

2
0
d
e r
rdr 2 e.
1
3 : x y 4 在xoy面的投影为圆周, 投影的面积为零,
z

解: 依题意画图.其中: : z x y 取上侧.
2 2 1
2 : z 1
1
取下侧.

2
3
1
2
3 : x y 4
2 2
取外侧. 原式=

e
x y
2 2
o
y
2
2

e
r
x
3
其中:
r 2
2

e
2
z
1
x y
dxdy 2
Dxy
x y
2

e
2
z
3
dxdy 0.
2
x y

e
2
z
dxdy 2 (e 2e).
2 2
x y
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4.把对坐标的曲面积分
化为对面积的曲面积分,其中 解: 令 则有 n ( F , F , F ) (2 x, 2 y,1).
x y z
取上侧.
F x, y, z x y z 8
0 0 0 a b c
z
c
o
a
b
y
2 dx [( x y ) z
0 0
a
b
1
x
a b
0 0 2 2 a a 1 2 1 2 1 2 1 2 b 2 [cxy c y c y ] |0 dx 2 [cbx cb c b]dx 0 0 2 2 2 2
z ] |0 dy 2 dx [( x y )c
2 a
D
a 2 . 2
2
应填
2.设:
x y z a ,则
2 2 2
2 2 2


( x y z ) ds ______ .
2

解: 原式=
2 2 2 ( x y z 2 xy 2 xz 2 yz )ds ( x y z )ds
原式=
Dxy
z
1
o x
1y
( x y )dxdy
2 2
2
0
d r rdr 2
2 0
1
1 4
r |0
4 1


2
.
2.计算曲面积分 xdydz ydzdx zdxdy 其中为部分 曲面 x y z R ( z 0) 的上侧.
2 2 2 2
其中为上半球面 z
a x y
2 2
2
的上侧.
取其下侧.
z
a
z a x y
2 2 2
解: 依题意画图. 补一平面 原式= 由高斯公式可得:
2

2
3
0
d sin d r r dr
2 2 0 0
a
2
0
d a r sin rdr
2 2 0
( x y )ds
2 2
2 3

2 3

1 3

4 3

1 3

4 3
(2) 锥面 解: 依题意画图.
( x y )ds
2 2

( x y ) 5dxdy Dxy
2 2
5
2
0
d r rdr
2 0
2

5 2
1 4
r |0 8 5 .

R
将表示为:
z
2
R x y , 取上侧.
2 2 2


zdxdy
3

2 3
Dxy
R x y dxdy
2 2
2
0
d
R
R r rdr
2 2
2 3
R
3
0
原式=
3 R 2 R .
3
解法二:(高斯公式) 补一平面: 原式=
1
1 : z 0( x y R )
1 R
3


xdydz ydzdx zdxdy
2 2 2
1 : z 0, ( x y R ) 取下侧.
z
R z R2 x2 y 2
( 3dxdydz 0)

o
R
3
3
2 3
R 2 .
3
x
1
R
y
此题用积分曲面方程化简积分式,再用高斯公式.否则, 由于 在原点偏导不连续, 不能直接用高斯公式.