点的加速度合成定理
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牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
a 30° e
A
120°
aan
arn
η
ae
=
aa
cos 60o + arn cos 30o
= 1579× 0.5 +1579 3/2
= 2740 cm/s2 = 27.4 m/s2
7-4 加速度合成定理及其应用
点的合成运动加速度分析的解题及分析步骤 1、正确的选择动点和动系，动系为转动有科氏加速度。
的速度和加速度。
解 ： 动 点 A(OA) ， 动 系 BCD(平移)。
ω = nπ = 4π rad/s
30
va
ve n
O
vr
B
A
ϕ
O1
D
vva = vve + vvr
ϕ
R
C
va = ω ⋅OA = 125.6 cm/s
ve = vr = va = 125.6 cm/s vBCD = ve = 125.6 cm/s
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一 直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
va
vr
的速度和加速度。
A
解：动点A点(AB) ，动系凸轮(定轴转 ve
动)
θ
vva = vve + vvr
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
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第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
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第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
点的加速度合成定理
va ve vr
va
vO
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
aa
dv a dt
dv O dt
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
d2 dt
z
2
k
dv O dt
aO
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平动时，点的加速度
求：BD
,
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点）
相对运动：直线运动（BC）
牵连运动：平动
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ? 方向 √ √ √
vr ve va rO
BD
ve BD
rO
l
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
方向指向圆心Ｏ点。
aa ae ar 2vr
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae 和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？
下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
(1)动系：O’x’y’z’；定系：Oxyz，
合成定理 。 aa aan ae aen ar arn
Example 7-5 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度 ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
点的加速度合成定理
静系取在地面上动系取在杆上则?1rlve??21?rlae???222rlve??2222?rlae??oo????1m2m1ev?1ea?2ev?2ea?重点要弄清楚牵连点的概念82点的速度合成定理rmrormmojkiyzxxyzomo????rrrxyz?????????rijkmm??rrddrxyzt?????????rvijk动系上与动点重合的点牵连点在定系中的矢径记为rm在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度因此ijk是常矢量
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
点的加速度合成定理（精品）
点的加速度合成定理点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。
即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理设O ´x ´y ´z ´为平移参考系，由于x ´、y ´、z ´各轴方向不变，可使与定坐标轴x 、y 、z 分别平行。
其中动点M 相对于动系的相对坐标为 x ´、y ´、z ´，由于 i ´、j ´、k ´ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M 的相对速度和相对加速度为（１） （２）利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：两边对时间求导，并注意到因动系平移 ，故i ´、j ´、k ´ 为常矢量，于是得到其中e O O a a V==11/，所以有：r e a a a a += （３）这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例 题 １如下图所示，铰接四边形O 1A=O 2B=100mm ， O 1O 2=AB ，杆O 1A 以等角速度 ω=2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
试求:当 ϕ=60º时，CD 杆的加速度。
k j i v ''+''+''=z y x rk j i a ''+''+''=z y x r k j i vv ''+''+''+='z y xO a k j i v a ''+''+''+='zy x O a解：1. 运动分析动点：CD 上的C 点； 动系：固连于AB 杆于是三种运动分别为：绝对运动：Ｃ点的上下直线运动； 相对运动：Ｃ点沿AB 直线运动；牵连运动：随AB 杆铅垂平面内曲线平移2.加速度分析：其中由于动系作平移，故动系AB 杆上各点的加速度相同，因此动系AB 杆上与动点套筒C 相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:22!1/4.0s m A O a a a A c e =*===ω由平行四边形法则，得2/346.0sin s m a a a e a CD =*==ϕ二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。
理论力学.
相对运动：沿O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
7-3-3 点的加速度合成定理习题(2)
3）速度分析
速度合成v定a理=： ve + vr
大小 √ × × 方向 √ √ √
ve = vr = va = ωR
ω1
=
ve O1C
=
ωR
2R
=
ω
2
方向如图
α1 y′ ω1
O1
x′ A
ve R
va vr
C ω
θ
O
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vr = ωR ω1 = ω 2
3）速度分析（速度合成定理） va = ve1 + vr1 = ve2 + vr2 ve1 + vr1 = ve2 + vr 2
大小 √ × √ × 方向 √ √ √ √
4 ) 速度计算
x1′ 投影
− ve1 sin 300 = −ve2 sin 300 + vr2 cos 300
y2′ 投影 ve1 + vr1 cos 300 = ve2
vr2 = −0.4 m / s vr1 = −0.8 m / s
3）加速度分析 对动系1：相对加速度：
牵连加速度： ae1 = ω12 ⋅OM = 92 ⋅ 0.1/ cos300 = 5.4 3(m / s2 )
科氏 加速度：
ac1 = 2ω1 ⋅ vr1 = 2 ⋅9 ⋅ (−0.8) = −14.4(m / s2 )
曲柄滑块导杆机构
例题 图示曲柄OA绕轴O转动，丁字形杆BC沿水平
方向往复平动，铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆
的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度 ω作匀速转动。
OA=r，试求杆BC的加速度。
y′
工程力学-加速度合成定理
10
例题
例 题6
§3 复合运动
解：1. 运动分析: 杆OA定轴转动，杆AB一般平面
O
运动，滑块B水平平动。
OA
2.动点动系选择: 动点----滑块B，
l
r
Bve
va
动系----固连于杆OA 动系的牵连运动—绕O轴定
A
3l
轴转动
vr
动点绝对运动轨迹--水平直线，
动点相对运动轨迹—以A为圆心，AB为半径的圆周
3.速度分析: va
方向 ✓
大小 ？
v由e 动点vB的r 速度合成由关于系vr 3lr 故得：
✓
✓
va vr tan lr ()
OB·OA? AB·r
OA
ve 2l
vr
2l cos
r
()
11
例题
例 题6
§3 复合运动
3. 加速度分析： 由动点加速度合成关系
aa
ae
aen
a0r
arn
牵连点为套筒上C点(动系定轴转动转轴)
a科
aeC' 0
C’ earCv' ac' vrc'
故动点C’的 加速度： aaC' arC' a科
26
牵连加速度 ae ----动系中与动点M重合的m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度 科氏加速度 ac ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
动ac系及动 点在科科同氏氏一加加平速速面度度内的的作方大平向小面：运由a动vcr时的:2方e向vr随 e 的转
e vr
动方向旋转90º后得到
60º
OA，O1B杆为定轴转动，CD杆水平 平移，AB杆一般平面运动，套筒C复 合运动。
加速度合成定理
例8-5 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运 动，且O、A、B 共线。凸轮上与点A接触的点为A`， 图示瞬时凸轮上点A`曲率半径为ρA ，点A`的法线与 OA夹角为θ，OA=l。 求：该瞬时AB的速度及加速度。
已知： 常数, O, A, B共线, OA l , A A , CAO , 求：v AB , a AB
点1的牵连加速度与相对加速度在同一直 2 线上，于是得 aa ae ar 1700 mm s 点２的牵连加速度
相对加速度大小为
科氏加速度大小为
ae 0 , 2 2 ar R1 1250 mm s , aC 2 e vr sin 90 1500 mm s 2 ,
2 1 2 2 2
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
3 加速度
l r
2
2
aan aet aen
2 2
ar ac
√ √
大小 r ? 1 O1 A ? 21vr 方向 √
√ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
va ve tan l tan
3 加速度 a a a t a e r
vr
arn aC
ve
cos
l
cos
? l 方向 √ √ 大
2
? v A √ √
2 r
21vr √
沿 轴投影
aa cos ae cos arn aC
第四节牵连运动为转动的加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
第
ar
v At t
四 节
ve
vr
M
At
牵
r
vr
连
运 动 为 转 动 的 加
lim
2vr sin
2
t 0
t
vr
相对速度 沿角速度 方向转900
ve
O
r1veMv vr
速 度
— 由牵连运动引起的相对速度的附加变化
合
成 定
科氏加速度的大小为相对速度与牵连角速度的乘积的
加
速 度
即： 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连
合
成 加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运
定
理 动为转动时的加速度合成定理。
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第 在北半球的河流
四 节
牵 连
运 动
vr
为 转
aC
vr
动
的 加
aC
速
牵
aC aet ar
连
运
aa
动 为
aen
转 动
ω1
ar : 大小未知， aen = r ω 0 2 /8，
的 加
ae t = (O1A) ，
速
度
合 成 定 理
aC
2ω1vr
2
ve O1 A
3 2
r0
3 4
r02
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第
由加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
7.3、加速度合成定理
ak 0.4
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
第9章 点的合成运动速度和加速度
y
ω
ϕ
M
理论力学电子教程
第九章 点的合成运动
例9-3说明动点、动系及绝对运动、牵连运动和相对运动。 说明动点、动系及绝对运动、牵连运动和相对运动。 动和相对运动
ve
x′
M
y ′ va
O
v
ω
vr
ω
M
(a)
( b)
理论力学电子教程
第九章 点的合成运动
绝对轨迹, 牵连轨迹, 相对轨迹; 绝对轨迹 牵连轨迹 相对轨迹 绝对速度, 牵连速度, 相对速度; 绝对速度 牵连速度 相对速度 (
d 2 z′ a rz ′ = 2 dt
牵连运动:在某一瞬时与动点 重合而与动坐标系固结 牵连运动:在某一瞬时与动点M重合而与动坐标系固结 在一起的点M 对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹 对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹。 在一起的点 ‘对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹。 在某一瞬时与动点M重合的点 相对于静坐标系的速 在某一瞬时与动点 重合的点M ‘相对于静坐标系的速 重合的点 度和加速度, 称为动点M 在这一瞬时的牵连速度 牵连速度和 度和加速度, 称为动点 在这一瞬时的牵连速度和牵连加 称为牵连点 速度。 称为牵连点。 速度。M ‘称为牵连点。
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第九章 点的合成运动
点的复合运动 — 速度分析例子
思考：如果动点是顶杆上的A点，动系与凸轮固结，试对 动点进行速度分析，画出速度图。
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第九章 点的合成运动
第二节 点的速度合成定理
本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、 本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、相对速度三者 之间的关系 r r r
动点： 动点：AB杆上A点 动系： 动系：固结于偏心凸轮C上 静系： 静系：固结在地面上
点的加速度合成定理
2
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
《理论力学》第三章点的合成运动(三)
求：摆杆O1B角速度1
解：A-动点，O1B-动系，基座-静系。
绝对速度va = r
相对速度vr = ? 牵连速度ve = ?
由速度合成定理 va= vr+ ve
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
ve O1 A
1 r 2 l2
A
cR
O
u
x
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
[例] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点A，动系-圆盘， 静系-基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
例图示平面机构，已知：OA=r，0为常数，BC=DE， BD=CE=L，求：图示位置，杆BD的角速度和角加速度。
解： 动点：A点(OA杆)
动系：BC杆
va ve vr
D
E
大小： 方向：
？？
B
600 A
vr
300 C
0 O
根据速度合成定理 va ve vr va
ve
做出速度平行四边形, 如图示
E
投至y轴：
0 O aa
aa ae
si
n (
300 ae n aa aen ) sin
sin 60 0
sin 30 0
解：A-动点，O1B-动系，基座-静系。
绝对速度va = r
相对速度vr = ? 牵连速度ve = ?
由速度合成定理 va= vr+ ve
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
ve O1 A
1 r 2 l2
A
cR
O
u
x
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
[例] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点A，动系-圆盘， 静系-基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
例图示平面机构，已知：OA=r，0为常数，BC=DE， BD=CE=L，求：图示位置，杆BD的角速度和角加速度。
解： 动点：A点(OA杆)
动系：BC杆
va ve vr
D
E
大小： 方向：
？？
B
600 A
vr
300 C
0 O
根据速度合成定理 va ve vr va
ve
做出速度平行四边形, 如图示
E
投至y轴：
0 O aa
aa ae
si
n (
300 ae n aa aen ) sin
sin 60 0
sin 30 0
加速度合成定理公式
加速度合成定理公式加速度合成定理公式是物理学中一个重要的概念，在我们理解物体运动的变化方面发挥着关键作用。
咱先来说说啥是加速度合成定理公式。
简单来讲，就是当一个物体同时参与几个不同方向的运动时，它总的加速度等于各个分加速度的矢量和。
这就好比你在操场跑步，同时有风在吹，你实际感受到的加速的感觉，就是你自己跑步的加速度加上风的影响产生的加速度。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别有意思。
当时我在黑板上写下公式，开始讲解，大家都听得挺认真，可就这个小家伙一脸懵。
我问他是不是没听懂，他挠挠头说：“老师，这感觉好复杂，我脑子都乱了。
”我就笑了，跟他说：“别着急，咱们来举个例子。
”我就拿他喜欢的足球来说事儿。
假设一个足球在操场上，被一个小朋友用力往前踢，这时候足球有一个向前的加速度。
可同时呢，操场上还有侧风在吹，这风又给足球一个侧向的加速度。
那足球实际运动时的加速度，就是这两个加速度合成之后的结果。
我一边说，一边在纸上画图给他看。
这小家伙眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像懂啦！”在实际生活中，加速度合成定理公式的应用可不少。
比如开车的时候，车辆本身在加速前进，要是突然来个急转弯，这时候车辆的加速度就不是单纯的直线加速了，而是直线加速和转弯产生的向心加速度的合成。
再比如说飞机飞行，飞机既要向前飞，又可能因为气流的影响有上下左右的晃动，那飞机实际的加速度就是各种方向加速度的总和。
对于我们研究物体的运动，加速度合成定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解复杂运动的大门。
通过这个公式，我们能更准确地预测物体的运动轨迹，也能更好地控制和设计各种运动系统。
总之，加速度合成定理公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多结合实际例子去理解，多去思考生活中的各种运动现象，就能发现它其实就在我们身边，而且特别有用。
希望大家都能把这个公式掌握好，让它成为我们探索物理世界的有力工具！。
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ak 2 r
2r j
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动
求三个点的科氏加速度。 M1 点的科氏加速度
ak 2 r
2r sin 450 j
2r j M2 点的科氏加速度
ak 2 r 0
M3 点的科氏加速度
得出点的加速度合成定理：
aa ae ar
30
以AB杆上的B
为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
aτr anr
aa
a a a a 先求出
a=
n r
+
n
r。
τ
r
2 r
R
4U
2 0
3R
再由
a
a
cos
30
a
n r
求得
aa
U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
x1
di1 dt
y1 j1
y1
dj1 dt
Hale Waihona Puke z1k1z1
dk1 dt
因为
d dt有
泊桑公式
, dr
dt
e
r
, di1 dt
×i1,...
aa r (e r ) ar (x1i1 ....)
aa r e r ar r
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
第七章
点的加速度合成定理
aτ e
ane ar
aK
点的加速度合成定理---动系平动情况
动点M，动系O1 X1Y1Z1平动
a e r ，e O1
有
a O1 x1i1 y1 j1 z1k1
对时间t求导，有
aa aO1 x1i1 y1 j1 z1k1
aa ae ar 2 r
aa ae ar ak 此中ak 2 r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aa ae ar ak
其中 ak 2 r 称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
设动系X1Y1Z1绕Z轴转动，，动点M的牵连速度
Z
e r
ε
X1 ω XO
Z1 M
r
Y Y1
r 相x对1i1速度y1 j1 z1k1
由速度合成定理
a r x1i1 y1 j1 z1k1
对t求导，有
aa
d
dt
r
dr dt
x1i1
2r j
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动
求三个点的科氏加速度。 M1 点的科氏加速度
ak 2 r
2r sin 450 j
2r j M2 点的科氏加速度
ak 2 r 0
M3 点的科氏加速度
得出点的加速度合成定理：
aa ae ar
30
以AB杆上的B
为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
aτr anr
aa
a a a a 先求出
a=
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+
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再由
a
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求得
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U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
x1
di1 dt
y1 j1
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Hale Waihona Puke z1k1z1
dk1 dt
因为
d dt有
泊桑公式
, dr
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e
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, di1 dt
×i1,...
aa r (e r ) ar (x1i1 ....)
aa r e r ar r
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
第七章
点的加速度合成定理
aτ e
ane ar
aK
点的加速度合成定理---动系平动情况
动点M，动系O1 X1Y1Z1平动
a e r ，e O1
有
a O1 x1i1 y1 j1 z1k1
对时间t求导，有
aa aO1 x1i1 y1 j1 z1k1
aa ae ar 2 r
aa ae ar ak 此中ak 2 r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aa ae ar ak
其中 ak 2 r 称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
设动系X1Y1Z1绕Z轴转动，，动点M的牵连速度
Z
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ε
X1 ω XO
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由速度合成定理
a r x1i1 y1 j1 z1k1
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