第三章-单自由度系统的受迫振动(4)(1)

3.1 简谐激励作用下的受迫振动
2、支承谐波
如图所示系统，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量
为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动
为Biblioteka Baidu=bsinwt，求物块的运动规律。
解：选取y=0时物块的平衡位置为坐标原点，建立固定坐标轴ox铅直向
上为正，如图所示，物块m的受力分析为：
性非齐次常微分方程。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.1 振动微分方程
简谐激励的响应－全解
有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程
meq x ceq x keq x F0sin t
x(0) x0和x(0) x0
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
一、积极隔振 用隔振器将振动着的机器与地基隔离。
将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑
制振源对周围环境的影响。
隔振器的组成：弹簧和阻尼器模型系统。
F (t )
如图所示，作用在质量m上的激振力F（t）=Hsinwt
x
在采用隔振器前，传递到地基上的动压力为Fmax=H 采用隔振器后，系统的受迫振动方程为：
3.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ的讨论

1
1 2 2 2 2
arctan 2 1 2
, n
ceq 2meqn
－曲线族－幅频特性曲线 －曲线族－相频特性曲线
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ的讨论 －曲线族－幅频特性曲线;－曲线族－相频特性曲线
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.1.1 振动微分方程 3.1.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论 3.1.3 受迫振动系统力矢量的关系 3.1.4 受迫振动系统的能量关系 3.1.5 等效粘性阻尼 3.1.6 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 3.1.7 隔振系统
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
所以：( 2 j2n n2 )Be jt ( jc k )b B k jc b n2 2 j2n
21
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
B B b n2 (2n )2 (n2 2 )2 (2n )2
b 1 (2)2
F (t )
x
根据两个同频率简谐振动的合成，得出系统
m
传递到地基上的最大动压力为HT：
HT (kB)2 (cB)2 kB 1 (2)2
k
c
x B sin( t ), 其中
B H
1
k (1 2 )2 (2)2
F kx R cx
令a HT / H
x
2nx
n2 x

m M
e 2
sin(t

π)
n2

k M
，2n

c M
,
m e 2 = h
M
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
电机作受迫振动的运动方程为 x B sin(t π )
B me
2
b
2
M (1 2 )2 4 22
(1 2 )2 4 22
x x1(t) x2 (t)
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.1 振动微分方程
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x x1(t) x2 (t)
x1(t)－有阻尼自由振动运动微分方程的解：
x1 Ae－pntsin dt
x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰 减的稳态响应：
2、 >>1的区域(高频区或惯性控制区)，β 0 ，ψ π ，响应与
激励反相；阻尼影响也不大。
3、 ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 ＝1略为偏左
处有峰值。通常将＝1，即 ＝ pn 称为共振频率。阻尼影响
显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，
无论阻尼大小， ＝1时，总有， ＝ /2 ,这也是共振的重要
x2(t)＝ Bsin ω t ψ
第2章 单自由度系统的自由振动
利用复指数法求解系统的系统的特解：
x x2 (t)＝Bsin t Be jt
其中，复振幅为： B Be j
x j Be jt x 2 Be jt
将上式带入方程中：x 2nx n2 x h sin t
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ的讨论
幅频特性与相频特特性
1、 ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 ，＝0，
响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2nω
tanψ n2 ω2
B
h / n2

B0
[1 ( )2 ]2 4( n )2 ( )2
(1 2 )2 4 22
n
n n
若令
B0

h
n2

F0 keq
＝ B －振幅放大因子 B0
则有
1
1 2 2 2 2
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
n2

k m
tg

2n n2 2
2 1 2
10
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.1 振动微分方程
x2 (t)＝Bsin t
这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。
B F0
1
－稳态受迫振动的振幅,
keq 1 2 2 2 2
现象。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
例 质量为M的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，
偏心质量为m。转子以匀角速转动如图
示，试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。
解：取电机的平衡位置为坐标原点O，
受迫振动 －系统在外界激励下产生的振动。
激励形式
－外界激励一般为时间的函数，可以是周 期函数，也可以是非周期函数。
简谐激励是最简单的激励。一般的周期性 激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的 叠加。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.1 振动微分方程
简谐激振力 FS F0 sint
F0为激振力的幅值，为激振力的圆频
1 (2 )2 , 称为力传递率，也叫隔 振系数 (1 )2 (2 )2
27
3.1.7 简谐激励受迫振动理论的应用
二、消极隔振 振源来自于地基，将需要保护的设备与振源隔离，
防止或减小地基运动对物体的影响，其隔振效果也用传 递率表示，它表示隔振后传递到物体上的振动幅值与地 基运动的振动幅值之比，即有：
x轴铅直向下为正。作用在电机上的力 有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚 加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
根据达朗贝尔原理，有 cx Mg k(x st ) Mx me 2 sin t 0
Mx cx kx me 2 sint
B
(1 2 )2 (2)2
tg
23 1 2 4 22
令 B
1 (2)2
b (1 2 )2 (2)2
22
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成
无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激 励无关。
有：
(2 j2n n2 )Be jt he jt
B

2

h
j2n
n2
9
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
有：
B B
h
(n2 2 )2 (2n)2

h / n2
(1 2 )2 (2)2
根据： h F m
F
1
k (1 2 )2 (2)2
利用复指数法求解系统的系统的特解：
x x2 (t)＝Bsin t Be jt
x j Be jt , x 2 Be jt ( 2 j2n n2 )Be jt cbe j(t / 2) kbe jt
又：e j（ / 2） j
伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其 振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。
以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－ 稳态受迫振动。
第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd； 由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
arctan 2 －滞后相位差 1 2
, n
ceq 2meqn
稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件 无关，仅仅取决于系统和激励的特性。
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ的讨论
B
h
(n2 2 )2 (2n)2
率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅 直向下为正，物块运动微分方程为
mx cx kx F0 sint
meq x ceq x keq x F0sin t
x 2nx n2 x h sin t
n2

k ，2n m

c ，h m

F0 m
，
具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线
meq x ceq x keq x 0
x(0) x0和x(0) x0
meq x ceq x keq x F0sin t
x(0) x0和x(0) x0
齐次解: x1(t) 特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
振动理论与应用
第3章 单自由度系统的受迫振动
Theory of Vibration with Applications
第3章单自由度系统的受迫振动
3.1 简谐激励作用下的受迫振动 3.2 周期激励作用下的受迫振动 3.3 任意激励作用下的受迫振动 3.4 响应谱
第3章单自由度系统的受迫振动
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
B
h / n2
[1 ( )2 ]2 4( n )2 ( )2
n
n n
arctg 2 1 2

me
b
M
B
b

2
(1 2 )2 4 22
当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率wn 时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。
过渡阶段的响应
24
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存 在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动 不会随时间衰减。
因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动， 一般总是 n和 两个不同频率简谐振动的叠加。
25
3.1.7 简谐激励受迫振动理论的应用
mg
m
k(x y st ) c(x y)
mx
mx c(x y) k(x y st ) mg 0
mx cx kx cy ky
20
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
x 2nx pn2 x cb cost k sin t
3.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
阻尼比 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。 由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0； 当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的
固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 me 。
M
幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲 线
m
0
x B sin( t ), 其中
k
c
B H
1
k (1 2 )2 (2)2
F kx R cx
26
3.1.7 简谐激励受迫振动理论的应用
传递到地基上的动压力为：
N F R kx cx kBsin(t ) cB cos(t )