高中数学《空间几何体的直观图》导学案

1．2.3空间几何体的直观图

课前自主预习

知识点一斜二测画法

斜二测画法的步骤和规则

知识点二空间几何体直观图的画法

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比□1多了一个z轴，直观图中与之对应的是□2z′轴．

(2)画底面：□3平面x′O′y′表示水平平面，□4平面y′O′z′和□5x′O′z′表示竖直平面．

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中□6平行性和长度都不变．

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．

1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画

法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直

观图还原为原图形．两者之间关系为：S直

S原＝

2

4.

2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．

1．(教材改编，P19，T2)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相等的角，在直观图中仍相等．()

(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．()

(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．()

答案(1)×(2)×(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.

(2)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.

(3)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.

答案(1)62(2)10(3)45°或135°

3．(教材改编，P19，T1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的()

答案 C

课堂互动探究

探究2 平面图形的直观图画法

例1 画水平放置的正五边形的直观图．

解 (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy ，再建立如图②所示的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.

(2)在图①中作BG ⊥x 轴于G ，EH ⊥x 轴于H ，在坐标系x ′O ′y ′

中作O ′H ′＝OH ，O ′G ′＝OG ，O ′A ′＝12OA ，O ′F ′＝12OF .

过F ′作C ′D ′∥x ′轴且C ′D ′＝CD ，C ′F ′＝F ′D ′.

(3)在平面x ′O ′y ′中，过G ′作G ′B ′∥y ′轴，且G ′B ′＝12GB ，过H ′作H ′E ′∥y ′轴，且H ′E ′＝12HE .

连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′，得五边形A ′B ′C ′D ′E ′为正五边形ABCDE 的直观图．

拓展提升

画平面图形直观图的技巧

(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．

(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶

点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．

【跟踪训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．

解(1)如下图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝1

2OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如上图②所示．

探究2空间几何体的直观图画法

例2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

解画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如下左图．

(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如上右图．

拓展提升

画空间几何体的直观图应遵循的原则

(1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．

(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z 轴，表示竖直方向．

(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．

(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．

【跟踪训练2】如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.

(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.

(3)画正四棱锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接P A′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

探究3直观图还原平面图形