(高等数学英文课件)8.2 Subsequences Bounded Sequences
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8.1
Limits of Sequence of Numbers
(数列的极限)
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Example 1. Applying the definition to show that
e0
1
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Example 10. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
lim
n
n n
1 1
n
n 1n n 1
eln
n1n n1
n ln n 1
e n1
lni mnn11n
e e limnlnn1 n n1
lim ln n1 n n1
Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
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Introduction
1 1 1 1 1
2 4 8 16
1 1 1 1 1 1
n
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Example 8. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
ln n lim n n
lim ln x lim 1 0
x x
x x
lim ln n 0 n n
lnn 1n 1 lim lim lim0 n n n 1 n n
lim 1 0 n n
Solution.
We must find the integer N such that
for all n
n N 1 0
n
10 1 n 1
n
n
It is obvious that we can obtain N as
N1
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Example 2. Applying the definition to show that
limlnn1lnn1 1
1 n
en
n
lim2n2 n21
en
e2
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ExeБайду номын сангаасcises
P617 14, 18, 24, 26, 29, 30, 32, 35, 43, 56.
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Example 9. Applying the L’Hospital Rule
limn41n4
n
Solution.
e n4 e 1n4 lnn41n4
1 lnn4
n4
e limn41n4
lim1lnn4
en n4
lnn4
lim n n4
n
lim 1
e n n4
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional
Solution. Suppose the sequence converges to some number L.
nN1n1L
For 1 , we have
2
1n1 L 1
2
L 1 1 1 L1 1 1 L 3
2
2
22
2
L 1 1 1 L11 3 L1
2
2
22
2
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Solution.
1n
lim n n
0
1n
n
1 n
, lim 1 0. n n
1n
lim
0
n n
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Example 6. Applying the Sandwich Theorem
cosnsinn
lim
n
3n2 n
Solution.
0
cos n sin n 3n2 n
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Example 4. Applying the limit rules
lim
n
1 n
Solution.
lim n 1 n n 1
4 4n6
lim
n
n6 3
lim
n
1 n
lim 1 1
n
n
lim1lim1 10
n
n n
0
lim n 1 n n 1
lim 1 1 n n 1 1 n
lim 1 1 n
n
lim 1 1 n
1 1
1
n
lim
n
4 4n6 n6 3
lim 4 4n6 n n6 3
4 4n6
lim
n
n6 3
4
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Example 5. Applying the Sandwich Theorem
1 3n2 n
,lim 1 0. n 3n2 n
lni mco3snn2sinnn0
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Example 7. Applying the Theorem 3
1
lim 2 n
n
Solution.
1
lim 1
li m 2 n 2 n n 2 0 1
lim C C
n
Solution. We must find the integer N such that for all n
nNCC
It is obvious that we can obtain N as
N 1
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Example 3. Show that 1 n1 diverges.
8.1
Limits of Sequence of Numbers
(数列的极限)
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Example 1. Applying the definition to show that
e0
1
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Example 10. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
lim
n
n n
1 1
n
n 1n n 1
eln
n1n n1
n ln n 1
e n1
lni mnn11n
e e limnlnn1 n n1
lim ln n1 n n1
Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
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Introduction
1 1 1 1 1
2 4 8 16
1 1 1 1 1 1
n
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Example 8. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
ln n lim n n
lim ln x lim 1 0
x x
x x
lim ln n 0 n n
lnn 1n 1 lim lim lim0 n n n 1 n n
lim 1 0 n n
Solution.
We must find the integer N such that
for all n
n N 1 0
n
10 1 n 1
n
n
It is obvious that we can obtain N as
N1
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Example 2. Applying the definition to show that
limlnn1lnn1 1
1 n
en
n
lim2n2 n21
en
e2
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ExeБайду номын сангаасcises
P617 14, 18, 24, 26, 29, 30, 32, 35, 43, 56.
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Example 9. Applying the L’Hospital Rule
limn41n4
n
Solution.
e n4 e 1n4 lnn41n4
1 lnn4
n4
e limn41n4
lim1lnn4
en n4
lnn4
lim n n4
n
lim 1
e n n4
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional
Solution. Suppose the sequence converges to some number L.
nN1n1L
For 1 , we have
2
1n1 L 1
2
L 1 1 1 L1 1 1 L 3
2
2
22
2
L 1 1 1 L11 3 L1
2
2
22
2
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Solution.
1n
lim n n
0
1n
n
1 n
, lim 1 0. n n
1n
lim
0
n n
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Example 6. Applying the Sandwich Theorem
cosnsinn
lim
n
3n2 n
Solution.
0
cos n sin n 3n2 n
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Example 4. Applying the limit rules
lim
n
1 n
Solution.
lim n 1 n n 1
4 4n6
lim
n
n6 3
lim
n
1 n
lim 1 1
n
n
lim1lim1 10
n
n n
0
lim n 1 n n 1
lim 1 1 n n 1 1 n
lim 1 1 n
n
lim 1 1 n
1 1
1
n
lim
n
4 4n6 n6 3
lim 4 4n6 n n6 3
4 4n6
lim
n
n6 3
4
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Example 5. Applying the Sandwich Theorem
1 3n2 n
,lim 1 0. n 3n2 n
lni mco3snn2sinnn0
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Example 7. Applying the Theorem 3
1
lim 2 n
n
Solution.
1
lim 1
li m 2 n 2 n n 2 0 1
lim C C
n
Solution. We must find the integer N such that for all n
nNCC
It is obvious that we can obtain N as
N 1
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Example 3. Show that 1 n1 diverges.