分式的性质与运算
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
专题 分式性质与运算(知识点精讲)(学生版)
专题08分式性质与运算重难突破知识点一分式有意义及值为0的条件1、分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．注意：三要素（1）形如A B 的式子；（2）A ，B 均为整式；（3）分母B 中含有字母.2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母0B =时，分式A B无意义；（2）当分母0B ≠时，分式A B 有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为0：分子为0且分母不为0，即00A B =⎧⎨≠⎩；（2）分式值为正：分子分母同号，即00A B >⎧⎨>⎩或00A B <⎧⎨<⎩；（3）分式值为负：分子分母异号，即00A B >⎧⎨<⎩或00A B <⎧⎨>⎩．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2020•姑苏区一模）若分式3x x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为()A ．3x >B ．0x ≠且3x ≠C ．0x D ．3x ≠典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知分式2(3)(1)1x x x -+-的值为0，那么x 的值是()A ．1-B ．3C ．1D ．3或1-知识点二分式基本性质1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用字母表示：a a m b b m ⋅=⋅，a a m b b m÷=÷（0m ≠）其中m 是不等于0的整式．注意：（1）分式的符号法则将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．约分通常要把分式化为最简分式或整式．典例1（2021春•光明区期中）若把分式3xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍典例2（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是()A ．632x x x=B ．a x a b x b +=+C ．1()x y x y x y -+=-≠-D ．22a b a b a b+=++知识点三分式的运算1、分式的乘除法（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子可以表示为：b d bd a c ac⋅=．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子可以表示为：b d b c bc a c a d ad÷=⋅=．（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子可以表示为：(n n n b b a a =（n 是正整数，b ≠0）2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
分式知识点
分式知识点一、分式定义形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。
三、最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
和分数不能化简一样，叫最简分数。
四、最简公分母（1）最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）一般方法①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。
五、分式有、无意义的条件1、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零。
（2）分式无意义的条件是分母等于零。
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。
2、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。
注意：“分母不为零”这个条件不能少3、分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六、分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。
化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
分数不能化简一样，叫最简分数。
七、分式的通分与约分通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定最简公分母。
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。
分式基本性质与分式的运算
分式基本性质与分式的运算教学目标1. 了解分式定义，掌握分式基本性质；2. 掌握分式约分；3. 会进行简单的分式的乘除运算；4. 会找几个异分母分式的最简公分母；5. 会用分式的基本性质将异分母分式进行通分；会进行简单的分式的加减运算。
教学重难点掌握分式基本性质；分子与分母为多项式的分式的乘除运算； 找异分母分式的最简公分母、分式的通分； 异分母的加减运算。
透析定义：1. 对于分式的概念，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商式，分数线起除号和括号的作用。
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母一定含有字母。
（3）分母不为零是分式概念的组成部分，不论是分数还分式，分母为零都没有意义。
例题：判断下列各式，哪些是整式，哪些是分式？x 1 3ay x x - a ab 22-+x x π1+x ()y x -41， 0， 12-a整式有： 分式有：① 【注意】：判断一个代数式是否是分式，关键是 。
② 一些特殊的符号，如π，不能看做字母，π2c不是分式．2. 理解下面题目的意义 （1）当x 为何值时，分式322-+x x 有意义？ 【分母不等于0】（2）当x 为何值时，分式32-+x x 无意义？ 【分母等于0】（3）当x 为何值时，分式22-+x x 的值为零？ 【分子等于0且分母不等于0】例题：若分式11--x x 的值为零,则x =________.若分式()()23312+---m m m m 的值为零,则m=________.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。
即注意 ： 如果分式的分子、分母是多项式，必须先使用括号，把分子、分母括起来，再乘以（或除以）某一个整式．1. 下列等式从左到右变形错误的是（ ）A. x y x y --=B.2xxyx y = C.x a y a x y 22= D.()()x a y a x y 1122++=2. 把分式yx x+中的x,y 都扩大3倍,则分式的值（ ） A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.扩大为原来的9倍3. 不改变分式23.015.0+-x x 的值,把分子、分母中的各项系数都化为整数,则所得的结果是（ ）A. 3315+-x xB.203105+-x xC.2312+-x xD.2032+-x x4. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母中都不含“-”号（1）=-y x 23 ； （2） =--xyz3 ； 5. 填空（1）()z xy xy 21= ； （2）()2332x x y = ； （3）()m n mn =32369；（4）()aa ca +=+21 ； （5）()22y x y x m -=-； （6）()()1=-y x x x。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
分式的基本性质
分式方程
XVI.分式方程的意ຫໍສະໝຸດ :分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
XVII.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程 的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未 知数的取值范围,可能产生增根).
X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按 照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.
四则运算
XI.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减. XII.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算. XIII.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母. XIV.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘.
注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母 的最小指数,即为它们的公因式.
VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为 最简分式.
IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
基本性质和变形应用
V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。字母表示为 a/b=ac/bc=（a/c）/（b/c）
VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．
VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约 去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
分式的计算
分式的计算分式的计算分式作为数学中的一种常见表达式形式，常常被用于描述各种数学关系和实际问题中。
分式的计算是数学中的基本技能之一，也是学习和应用分式的前提。
本文将从分式的定义、基本性质和计算方法等方面为读者深入解析分式的计算技巧。
一、分式的定义与性质分式是指形如a/b的表达式，其中a和b是整数，b不为0。
我们称a 为分子，b为分母。
分式通常表示两个数的商或比率，也可表示一个量的部分、百分数或小数。
如：1/2表示1除以2，或50%。
分式有诸多性质，它们是理解和应用分式的基础。
以下是其中几个常见的性质：1.分式的值域为所有实数由于分式可以表示任何两个非零实数的比率，因此分式可以表示任何实数。
同时，由于分母不能为0，因此b=0时分式即无意义。
2.相同分母的分式相加，分母不变，分子相加如：1/2+1/3=(3+2)/6=5/6。
3.不同分母的分式相加，需要先通分，然后才能相加如：2/3+3/4=8/12+9/12=17/12。
二、分式的计算方法在进行分式的计算时，我们需要注意以下几点：1.化简分式分式的化简就是将分式的分子和分母按照一定的规则进行约分，并写成最简分式的形式。
化简的目的是简化运算，方便后续的计算。
化简的方法包括分解质因数、约分和因式分解等。
如：12/18=2/3，16/24=2/3，(a2+b2)/(a2-b2)=(a+b)/(a-b)等。
2.加减分式若二分式分母相同，则它们可以直接相加、相减，分母不变，分子相加、相减即可。
如：1/2+1/3=(3+2)/6=5/6。
若二分式分母不同，则需要先通分，然后才能相加，通分的方法是将每个分式的分母分解质因数，相同的项乘入结果中，不同的项取最小公倍数，并按比例乘入结果中。
通分后，相加减的结果就是分子的和、差，分母不变。
如：1/2+1/3=3/6+2/6=5/6；1/3-1/4=4/12-3/12=1/12。
3.乘除分式乘除分式的计算比加减分式更简单，只需按照一定的规则进行乘、除即可。
分式的运算与性质
分式的运算与性质一、引言分式是数学中常见的一种表达形式，它是数的比的记法。
分式的运算是数学中的基本操作之一，通过对分式进行加、减、乘、除等运算可以得到一个新的分式。
同时，分式还具有一些独特的性质和规律。
本文将深入探讨分式的运算与性质，通过几个实例来帮助读者掌握和理解分式的运算方法和特点。
二、加法和减法运算1. 加法运算：分式加法的基本原则是分母必须相同，即只有当两个分式的分母相同，我们才能进行相加。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子加起来，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式1/2 + 2/3的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，1/2 = 3/6，2/3 = 4/6；b) 将分子加起来，得到3/6 + 4/6 = 7/6；c) 结果7/6无法再化简，因此最终结果为7/6。
2. 减法运算：分式减法与加法类似，同样要求两个分式的分母相同。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子相减，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式3/4 - 1/2的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，3/4 = 6/8，1/2 = 4/8；b) 将分子相减，得到6/8 - 4/8 = 2/8；c) 结果2/8可以化简为1/4，因此最终结果为1/4。
三、乘法和除法运算1. 乘法运算：分式乘法可以简单地将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到一个新的分式。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分子相乘，分母相乘；b) 化简结果。
例如：求解分式2/3 × 4/5的结果。
解：a) 将两个分式的分子相乘，得到2 × 4 = 8；b) 将两个分式的分母相乘，得到3 × 5 = 15；c) 结果8/15无法再化简，因此最终结果为8/15。
2. 除法运算：分式除法可以将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，得到一个新的分式。
分式基础知识讲解
分式基础知识讲解分式，也称为有理数，是指一个整数除以另一个非零整数所得的数。
在数学中，分式是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。
本文将对分式的基础知识进行讲解。
一、分式的定义和表示方式分式可以看作是两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。
分式的一般表示方式为“a/b”，其中a为分子，b为分母。
例如，2/3、5/8都是分式。
分式可以用于表示一个数量相对于另一个数量的比值，比如“5个苹果中有3个是红色的”，可以表示为分式5/3。
二、分式的性质和运算法则1. 分式的相等性质对于任意两个分式a/b和c/d，如果ad=bc，则a/b=c/d，即分式相等性质。
2. 分式的相反数和倒数对于任意一个分式a/b，它的相反数是- a/b，它的倒数是b/a。
3. 分式的加减法当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。
例如，对于分式a/b和c/b，它们的和为(a+c)/b，差为(a-c)/b。
当两个分式的分母不同时，可以通过求公共分母的方法将它们进行相加或相减。
具体方法可以参考通分的原理。
4. 分式的乘除法两个分式相乘时，只需将它们分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如，分式a/b和c/d的乘积为ac/bd。
两个分式相除时，可以将第二个分式的倒数乘以第一个分式。
即，分式a/b和c/d的商为(a/b) * (d/c) = (ad)/(bc)。
三、分式的简化和约分当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
约分后的分式与原分式表示相同的数。
四、分式的应用1. 倒数的表示当需要表示一个数的倒数时，可以使用分式。
例如，数x的倒数可以表示为1/x。
倒数在分数的求解和比较中起到重要作用。
2. 比例问题在比例问题中，分式被广泛使用。
比如“苹果的单价是2元/个，芒果的单价是3元/个，求苹果和芒果价格的比值”，可以表示为2/3这个分式。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
分式性质及运算
分式性质及运算考点一 分 式形如AB (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式． (1)分式有无意义：B ＝0时，分式无意义；B ≠0时，分式有意义． (2)分式值为0：A ＝0且B ≠0时，分式的值为0.考点二 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ①a·m b·m ＝a b ，a÷m b÷m ＝a b (m ≠0)； －b a ＝b －a＝－b a . ②通分的关键是确定n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母．③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．考点三 分式的运算 1．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c ±b c ＝a±bc .异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a b ±c d ＝ad±bcbd .2．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝acbd .分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .3．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(n m )k ＝n km k (k 是正整数)． 4．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．考点四 分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下，才能获得简易的解法．(1)要使分式a ＋2a 有意义，a 的取值范围是( )A ．a ≠0B ．a>－2且a ≠0C ．a>－2或a ≠0D ．a ≥－2且a ≠0(2)(2009·台州)化简(－b a )÷ba 2－a的结果是( )A ．－a －1B ．－a ＋1C ．－ab ＋1D ．－ab ＋b(3)(2010·黄冈)化简(1x －3－x ＋1x 2－1)·(x －3)的结果是( )A ．2 B.2x －1C.2x －3 D.x －4x －1计算： (1)m m －n －n m ＋n ＋2mn m 2－n 2；(2)先化简，再求值：(1＋1a 2－1)÷a a －1，其中a ＝－3.分式性质及运算综合练习一、选择题1．若分式2x －5有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠5B ．x ≠－5C ．x>5D ．x>－52．函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是( )A ．x ≥3B ．x ≥3且x ≠－1C ．x ≠－1D ．x>33．化简a 2－b 2a 2＋ab 的结果为( )A.ba B.a －b a C.a ＋b a D ．－b4．化简a 2a －b －b 2a －b的结果是( )A ．a 2－b 2B ．a ＋bC ．a －bD ．15．若分式b 2－1b 2－2b －3的值为0，则b 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．26．化简a －1a ÷a －1a 2的结果是( ) A.1a B ．a C ．a －1 D.1a －17．下列各式是最简分式的是( ) A.x 2－4y 2(x ＋2y )2 B.x 2＋y 2x ＋y C.－2ab 9a 3 D.x 2＋x x 2－18．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ÷a －ba ＝( )A.a ＋b bB.a －b bC.a －b aD.a ＋b a9．已知1a －1b ＝4，则a －2ab －b 2a －2b ＋7ab 的值等于( )A ．6B ．－6 C.215 D ．－2710．化简(a a －2－a a ＋2)·4－a2a 的结果是( )A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a11．学完分式运算后，老师出了一道题“化简x ＋3x ＋2＋2－xx 2－4”，小明的做法是：原式＝(x ＋3)(x －2)x 2－4－x －2x 2－4＝x 2＋x －6－x －2x 2－4＝x 2－8x 2－4；小亮的做法是：原式＝(x ＋3)(x －2)＋(2－x)＝x 2＋x －6＋2－x ＝x 2－4；小芳的做法是：原式＝x ＋3x ＋2－x －2(x ＋2)(x －2)＝x ＋3x ＋2－1x ＋2＝x ＋3－1x ＋2＝1，其中正确的是( ) A ．小明 B ．小亮C ．小芳 D ．没有正确的12．下列等式中，不成立的是( ) A.x 2－y 2x －y ＝x －y B.x 2－2xy ＋y 2x －y＝x －y C.xy x 2－xy ＝y x －yD.y x －x y ＝y 2－x 2xy 13．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为m 克，再称得剩余电线的质量为n 克，那么原来这卷电线的总长度是( )A.n ＋1m 米 B ．(nm ＋1)米C ．(m ＋n m ＋1)米D ．(mn ＋1)米14．化简a a －b －b 2a (a －b )的结果是( )A.a ＋b aB.a －b aC.b －a aD ．a ＋b15．分式b ax ，c －3bx，a5x 3的最简公分母是( )A ．5abxB ．15abx 5C ．15abxD ．15abx 3二、填空题16．当x ＝______时，分式x ＋1x ＋2没有意义．17．若a ＝12，则a (a ＋1)2＋1(a ＋1)2的值为________． 18．化简：(1－1a ＋1)÷a ＝________.19．已知ab ＝－1，a ＋b ＝2，则式子b a ＋ab ＝________.20．已知a b ＝34，则a ＋b a －b＝________.三、解答题21．(6分)化简．(1)2a a 2－4＋12－a ；(2)y －34y －8÷(y ＋2－5y －2)．22．先化简，再求值．(1) (1－1x )÷x 2－2x ＋1x 2－1，其中x ＝2.(2))(x －2－12x ＋2)÷4－xx ＋2，其中x ＝－4＋ 3.(3)已知x －3y ＝0，求2x ＋yx 2－2xy ＋y 2(x －y)的值．23．观察下面的变形规律： 11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14；…… 解答下面的问题：(1)若n 为正整数，请你猜想1n (n ＋1)＝________；(2)证明你猜想的结论；(3)求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 009×2 010.例一：【点拨】(1)由题意得a ＋2≥0且a ≠0，即有a ≥－2且a ≠0.(2)原式＝－b a ·a (a －1)b＝－(a －1)＝－a ＋1.(3)原式＝[1x －3－x ＋1(x ＋1)(x －1)]·(x －3)＝(1x －3－1x －1)·(x －3)＝1－x －3x －1＝2x －1.【解答】(1)D (2)B (3)B例二、【解答】(1)原式＝m (m ＋n )(m －n )(m ＋n )－n (m －n )(m －n )(m ＋n )＋2mn(m －n )(m ＋n )＝m 2＋2mn ＋n 2(m －n )(m ＋n )＝(m ＋n )2(m －n )(m ＋n )＝m ＋n m －n.(2)原式＝a 2(a ＋1)(a －1)×a －1a ＝aa ＋1.当a ＝－3时，原式＝－3－3＋1＝32.练习题1-10AABBA BBAAA 11—14CABAD9、【解析】原式＝1b －2－1a2b －2a＋7＝－4－2(－4)×2＋7＝－6－1＝6.10、【解析】原式＝a (a ＋2)－a (a －2)(a －2)(a ＋2)·4－a 2a ＝4a(a －2)(a ＋2)·(2－a )(2＋a )a ＝－4.13、【解析】1米质量为m 克，则每克长1m 米，n 克是n m 米，则原来这卷电线的总长度是(nm ＋1)米．17、【解析】原式＝a ＋1(a ＋1)2＝1a ＋1 当a ＝12时，原式＝112＋1＝ 1 32＝23. 18、【解析】原式＝a ＋1－1a ＋1·1a ＝a a ＋1·1a ＝1a ＋1.19、【解析】原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab 当ab ＝－1，a ＋b ＝2时，原式＝22－2×(－1)－1＝4＋2－1＝－6.20、【解析】由a b ＝34得a ＝34b ，则a ＋b a －b ＝34b ＋b 34b －b ＝74×(－4)＝－7.21、解：(1)原式＝2a (a ＋2)(a －2)－1a －2＝2a (a ＋2)(a －2)－a ＋2(a －2)(a ＋2)＝2a －a －2(a ＋2)(a －2)＝a －2(a ＋2)(a －2)＝1a ＋2(2)原式＝y －34(y －2)÷y 2－4－5y －2＝y －34(y －2)·y －2(y ＋3)(y －3)＝14(y ＋3)＝14y ＋1222、解：(1)原式＝x －1x ÷(x －1)2(x ＋1)(x －1)＝x －1x ·x ＋1x －1＝x ＋1x 当x ＝2时，原式＝2＋12＝32(2)原式＝(x －2)(x ＋2)－12x ＋2÷4－x x ＋2＝x 2－16x ＋2·x ＋24－x ＝(x ＋4)(x －4)x ＋2·x ＋24－x＝－x －4 当x ＝－4＋3时，原式＝－(－4＋3)－4＝4－3－4＝－ 3(3)原式＝2x ＋y (x －y )2·(x －y)＝2x ＋yx －y当x －3y ＝0时，x ＝3y ，原式＝2×3y ＋y 3y －y＝7y 2y ＝72(4)原式＝x (x －1)x －(1＋x )(1－x )x ＋1＝x －1－(1－x)＝x －1－1＋x ＝2x －2 当x ＝2时，原式＝2×2－2＝4－2＝2注意：x 的值需满足所有分式都有意义，即x ≠0且x ≠－1.23、解：(1)1n －1n ＋1(2)证明：1n －1n ＋1＝n ＋1n (n ＋1)－n n (n ＋1)＝n ＋1－n n (n ＋1)＝1n (n ＋1)(3)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 009－12 010＝1－12 010＝2 0092 010。
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分式的性质与运算
1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念：
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【例1】 ⑴代数式1312,,,,
34
a b m n
b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
⑵ 当x = 时，分式
2x x +有意义；当x 时，分式21
1
x +有意义．
⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？
①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216
41x x x -+- ④288x x + ⑤()
22
255x x --
⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1
21
x x -+的值为1-，则x 的值是 ．
⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x
x
--的值为负数．
【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x
-
有意义？
⑵ 使代数式32
34
x x x x ++÷
--有意义的x 值是 ．
⑶若不论x 为何值，分式
21
2x x c
++总有意义，则c ．
经典例题
1.2 分式的基本运算
注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．
【例3】 ⑴计算：()222
2
2x xy y x y
xy x xy x -+--÷；
⑵计算：2
21
11
x x x -
--； ⑶计算：
22
12239a a
a a a a
-+÷---； 经典例题
知识导航
⑷计算:2233x y x y
x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷
⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦;
⑸计算：()22
221031525965a a a a a a
-+÷--+-．
【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --⎛
⎫-÷
⎪+⎝
⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．
⑵已知：2
380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+--
-++的值．
【例5】 化简：2
22222
2
2112
22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【例6】 化简22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-．
1.3 分式的拆分
分式计算技巧--------分式的拆分
分式拆分的基本模型11
a b ab a b
+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。
而复杂的题型通常将
这种形式包容在其中。
如：()()b c
a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出
现基本模型。
()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()
11
a c a
b a b a
c a b c a ---=+----
【例7】 ⑴化简：
222
111
3256712
x x x x x x ++++++++； ⑵
化简
：
222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---
--+--+--+---．
经典例题
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⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么
abc
ab bc ca
++的值为 ．
【例8】 仿照例子解题：
例子：若2
15111
M N x
x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2
15111
M N x
x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，
则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，
51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩
解得：32M N =-⎧⎨=-⎩
请你按照上面的方法解题： 若
2
8
224
M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．
【例9】 已知()()
237231111x x A B
x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．
1.4 课后练习【演练1】 ⑴当x 时，分式
2335x x ++有意义，当x 时，分式23
35
x x ++无意义．
⑵当x 时，分式11
x x -+的值为零．
⑶当x 时，分式1
2x
-的值为正． ⑷分式2
3
a a
b +++的值为零，则a ，b ．
⑸已知分式()()
811
x x x -+-的值为0，求x 的值．
⑹若分式221
23
b b b ---的值是0，则b 的值是（ ）
A.1
B.1-
C.1±
D. 2
【演练2】 化简：
()
()
()
()
22222
2
2
2
a b c b c a a c b
a b a
----+
+-+-
【演练3】 ⑴ 化简：()42243216424
2416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
⑵ 化简：()23332322211+1
2212211
x x x x x x x x x x +-+-+++-+--
⑶化简：()()
42242233664224
12b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭．
【演练4】 ⑴ 化简：()()()()()()
a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．
⑵ 化简：
222222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++
--+--+--+．
【演练5】 已知()22221111
x x A B C
x x x x x +-=++
--，其中A B C 、、为常数，求A B C ++的值．
【演练6】 已知：1,2,3xy yz zx
x y y z z x
===+++，
求x y z ++的值．
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