华南理工大学概率论例题

概率论例题
例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。

而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。

试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。

解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=
!
k e k λ
λ-
Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k
P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=
!
k e k λ
λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k
当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布
P{Y = r }=∑+∞
===0
},{k r y k x P =∑+∞
====0
}/{}{k k x r y P k x P =∑
+∞
=--r
k r k r r k k
q p C e k λλ!
=∑+∞
=--+--r k r k r
q r r k k k k p e )(!)
1()1(!
1)
(λλλ =∑+∞=---r k r
k r
rq r k r p e )()!
(1!1)(λλ
=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律
∑+∞
==0
}{r r y P = 1 ？
例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时，
2()()
()
F y P y P y ηηξ=<=<
=
当
0y >时
2()()())
F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<
2
2
2
2
12()t t t dt dt dt ξ--===
2
20
u u y
y
e
-
-=
=⎰
⎰
所以
20
,0()0,0u y y F y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰
1
2
2,0()0,0y y y y y ηϕ--⎧>=≤⎩
例3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组,把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k 个人的血都呈阴性反应,这样,k 个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样, k 个人的血总共要化验是1k +次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k 取什么值时最适宜.
解 各人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ,k 个人的混合血呈阳性反应的概率为1-k q .
设以k 个人为一组时,组内每人化验的次数为X ,则X 是一个随机变量,其分布律为 11
(), ()1.k k k P X q P X q k k
+====-
X 的数学期望为
111()(1)(1)1.k k k E X q q q k k k
=
++-=-+ N 个人平均需化验的次数为 1
(1)k N q k
-+. 由此可知，只要选择k 使 111k q k
-+
<, 则N 个人平均需化验的次数N <.当p 固定时,我们选取k 使得1
1k L q k
=-+小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.
例如,0.1p =,则0.9q =,当4k =时, 1
1k L q k
=-+
取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若1000N =,此时以4k =分组,则按第二方案平均只需化验
41
1000(10.9 )594()4
-+=次.
这样平均来说,可以减少40%的工作量.
例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为
一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为
在上表中，例如
13
{70}()()(),66
P X P AB P A P B ====⨯
其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为
32132
()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636
E X =⨯⨯⨯⨯⨯（分）.
例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：
1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；
23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.
设寿命X 服从指数分布，概率密度为
10
1, 0 ()100 , 0x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤
试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望.
解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有
1
/10
0.10
1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰
≤ 2
0.20.310
1
1{12}d 0.086110
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤,
3/10
0.20.321{23}d 0.077910
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤, 0.310
3
1{3}d 0.0740810
x P X e x e ∞
-->===⎰
. 一台收费
得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □
例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.
由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有
{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.
又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤
即有
()()()m a x X Y F z F z F z =.
类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.
即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为
1, 0 ()0.0 , 0x e x f x x θθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩
，
≤，
若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.
解 (1,2)k X k =的分布函数为
1,0,()0,0.
x e x F x x θ-⎧⎪
->=⎨⎪⎩≤
由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为
22min 1, 0()1[1()] 0, 0
x
e x F x F x x θ-⎧⎪
->=--=⎨⎪⎩≤
因而N 的概率密度为
2min , 0
()2
0, 0x
e x
f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤ 于是N 的数学期望为
2/min 0
2()()d d 2
x x
E N xf x x e x θθ
θ
∞
∞
--∞
=
==
⎰⎰
.
例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。

如果到达一个车站没有人下车则不停车。

以X 表示停车的次数，求E X （设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立）。

解 引人随机变量
0, 1,2,,10.1,i i X i i ⎧==⎨⎩
在第站没有人下车，在第站有人下车，
易知 1210.X X X X =+++ 现在来求()E X .
按题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率为10
9
, 因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为(
109)20,在第i 站有人下车的概率为1－(10
9
)20，也就是 202099
{0}(),{1}1(),1,2,,10.1010
i i P X P X i ====-=
由此
209
()1(),1,2,10.10
i E X i =-=
进而 1210()()E X E X X X =+++
121020
()()()9 10[1()]8.784().
10
E X E X E X =++=-= 次。