初等几何研究第一章习题的答案(3)

三、关于比例相似形

1.从.KBCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂

线，垂足为

E 、

F 、

G H,求证: (j )EFG

H 是 Q (ii) ZEFGH S Z ^ABCD.

证明:(1) V AEIBD DH 丄 AC

∙∙∙ A 、D E 、H 四点共圆(视

角相等)

∙∙∙∠ OEH ∠ OAD

同理 ∠ OGF ∠OCB 又 V AD// BC ∙∠ OAD ∠ OCB ∙∠ OEH ∠ OGF

∙ EH// GF 同理EF // GH ∙四边形EFGH

为平行四边形

EFGH

与」BCD 对角线夹角相等且对角线又

成比例

∙ ^EFGH S^BCD

3.已知：AD 是厶ABC 的中线，过C 的一直线分别交 AD 、AB 与E 、F 。求证：AE ∙BF=2A F ED

证明：延长CF 至点H,使得CE=El 连结BH

V 点D 是BC 上的中点

∙ DE >△ CBH 的中位线 即 DE // BH a DE= - BH

V DE// BH

2

∙∠ CED ∠ CHB ∠ AEF ∠ AFE=∠

BFH

• △ AFE sA BFH

OE OH

(H)V △ OE SA OAD

OA OD

EG 二 £H ∙

AC BD

AE AF

∙竺=AF ,且BH=2ED ∙AE ∙BF=2A∙ED BH BF

4.直线I与□ ABCD勺边AB AD和对角线AC依次相交于E、F和G求证：型•如=M

AE AF AG

证明：连结BF、BE、CF 禾口CE, V AB

AE

F

F

C

E

A

A

S

S

-F F B E A A S S

AD= S ADE= S ACE

AF S AEF S AEF

AB AD

---- +-------

AE AF

S ACF ' S ACE

S AEF

S AEF S CEF

S AEF

AG GC AC

^^AG^ AG

5・AB、CD是等腰梯形ABCD的二底，求证：AC^AD2AB ∙ DC

证明：作CD的延长线到点H ,使得AH垂直CH

作点C的延长线，使得CP垂直AB

AC2=AH 2CH

2 2 2

=(AD -DH ) CH

9 9 9

= AD2 (CH -DH 2)

2

=AD (CH DH )(CH -DH )

= AD2 CP (CH DH )

又AHD= CPB =90

AD =CB

APH= DAC= CBP

，AHD = CPB

CH=AP DH =BP

CH DH =AP BP=AB

2 2

AC =AD CP (CH DH ) 故有

AC2=AD2 CP AB

6. AD是Rt A ABC斜边上的高，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 求证：AD3=BC -BE CF

证明：V AD2=BD ∙DC,BD2=BE *BA, CD2=CF-CA, ∙∙∙ AD4=BE QF 4B OC=BE QF ∙BC AD

约去AD,得AD3=BC ∙BE CF

7.在△ ABC 中，∠ A=60°, ∠ B=80°° 求证：AC2- AB2=AB -BC

证明：AC2=AB(AB+BC),延长AB 至D,

8厶ABC的内切圆分别切三边BC、CA、

AB 于D、E、F, P在^ ABC 内，若PD 平分BPC，

证明：因为PD平分.BPC,所以由角平分线定理有P B=

匹⑴同理，P C .Ci (2),

PC DC PA AE

PB BD CE BF DC BF

(1) *(2)得* * -

PA DC AE DC AF AF 贝S PF平

分.APB

10在厶ABC 中，已知A=2 B.求证：BC2=AC (AC+BC) 证明；

延长CA至D,使AD=AB ,如图所示AD=AB

D= ABD 又A=2 B= D+ ABD

D^ ABD= ∙B ABD的外接圆切BC于B

BC2=CA QD=AC(AC+AB)

使得BD=BC O如图,于是,

容易得出∠ ACB=40 =∠ ADC

△ ACD ABC

AC = AB

AD AC

AC2=AB ∙AD=AB(AB+BC)

PE平分.CPA,求证：PF平分.APB

二O1MO2 =90 O1O2—

MT

・ 2 2

・・ AIA2 4MT 4 r∣丁2 = d i d?

B

C

1 1 1

11、 在厶 ABC 中，已知： E A: E B:.Z C =4:2:1.求证：-

a b C

证明：延长BC 至D 使CD =b ,则BD .a b 。过

C 作射线CE 交BA 的延长线于E,使.BE -B

设.BCA 八贝L Bf BAC =4， 贝U . CAE

=/CEA =3 ,

CE = b = CD ,

1

CDE =/CED BCEh ,

2 .AC // ED,则有 BC BA,

BD BE

a CMIII ；. --- =—,即:_ = — + -O a

b b C a b

三、关于比例相似形

BA I CB 1 AC 1

12在厶 ABC 中，A 1B 1C 1 分别在 BC 、CA 、AB 上使得 AC=BA^ = CB^ 且∠ BAC= ∠ B 1A 1C 1,

求证：△ A 1BC 1s^ ABC.

证明:在BC 上去一点A 2 ,使得C A ^ = C B

A ?

B AB 1 ・・

CA 2 _ CB 1 BC 1 _ A 2B

・ 一 , —

A 2

B AB 1 A

C 1 CA 2

• ∙ B 1A 2 // AC 1, A 2C 1 // AB 1

二AB 1A 2C 1是平行四边形

∙∠ A — ∠ C 1A 2B 1, ∠ B — ∠ B 1A 2A 1

∙∠ B 1C 1A 1— ∠ B 1A 2A 1— ∠ B （共弦）A 1BC 1

ABC

13在非菱形的平行四边形 ABCD 中，AC:BD —k,M 是这样的点：射线 AM 与射线AD 关 于AC

对称，射线BM 与射线BC 关于BD 对称，求

AM:BM.

证明：T +∠ 2' —∠ 1 + ∠ 2—∠ AOB

∙∠ C 1A 2B 1— ∠ B 1A 1C 1 • B 1C 1A 2A 1四点共圆

E

L-

D __________________________ C