初等几何研究第一章习题的答案(3)
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
解析几何第一章习题及解答
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
初等几何研究第一章习题的答案(1)
初等几何研究试题答案一、线段与角的相等 P4911. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=12BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠=︒=∴∆≅∆∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三角形且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180º－3α ∴A 、B 、D 、E 共圆同理A 、C 、D 、E 共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4.设H 为锐角△ABC 的垂心,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60º 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90º, ∴CD 是直径,则∠CAD=90º 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥AC∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□ ∴AH=BD 又∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30º ∴∠BDC=60º 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的高,过BE 、CD 之交点0且平行于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, 又∵△FCO ∽△COG,∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.6. 在△ABC 中,先作角A 、B 的平分线,再从点C 作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.证明:如图所示 设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD 和△FCE 是等腰三角形 ∴AF=DF,EF=CF ∴同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三角形7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三角形．证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等∴S △OFB =S △OEC 即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21 (CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE 又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的切圆相等DBC证明:该四边形为菱形.证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++⨯=++⨯OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++--∴四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的切圆,求证:该四边形是菱形 .证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2又∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切 ∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三角形△AOB 与△COD 中 ∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自B 作BF ⊥DE 于F,自C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,又因为∠BEC=∠BDC=︒90 所以BCDE 四点在以BC 为直径的圆上, 因为OM ⊥DE,所以OM 平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG .11. △ABC 中,M 是BC 的中点,I 是心,BC 与切圆相切与K. 求证:直线IM 平分线段AK.证明:作出∠A 的旁切圆O,设它与BC 边和AB,BC连接AD 交接圆于L,则因接圆和旁切圆以A 为中点成位似,BDCIL ⊥BC,即K,I,L 共线 于是原题借中位线可如下转化MI 平分AK, ∴M 平分DK ∴BD=KC 后者利用圆I 与圆O 两条外公切线相等 ∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM 平分线段AK.12．在△ABC 中,M 是BC 的中点,I 是心,A H ⊥BC 于H,AH 交MI 于E,求证:AE与切圆半径相等. 证明:如图所示 作△ABC 的切圆,∴切点分别交于BC 于点K 、AB 于点F 、AC 于点G ,连接KL 与AC ∴ KL 是直径, 又∵M 为BC 的中点,I 为心,则A L ∥ＭＩ 又∵A H ⊥BC ∴A H ∥LK 又∵点E 点I 分别都在AH 、LK 上 ∴A E ∥LI ∴四边形AEIL 为平行四边形 ∴A E ＝LI 命题得证.13. 在矩形ABCD 中,M 是AD 的中点,N 是BC 的中点,在CD 的延长线取P 点,记Q 为PM 与AC 的交点,求证:∠QNM ＝∠MNP证明:利用矩形的中心 设O 是矩形ABCD 的中心,则O 也是MN 的中点, 延长QN 交OC 的延长线于R,如图,则O 又是PR 的中点,故NC 平分∠PNR.,而NM ⊥NG . ∴NM 平分∠PNQ14. 给定以O 为顶点的角,以及与此角两边相切于A 、B 的圆周,过A 作OB 的平行线交圆于C,连结OC 交圆于E,直线AE 交OB 于K,求证:OK=KB.证明:如图所示,过C 作圆的切线交OB 延长线于D. ∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且A C ∥CD∴四边形ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO ∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直角∆ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC 至E'使CE'=CE,再连BE'交AE 的延长线于H. ∵∆ABC 是等腰直角三角形 ∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°E LK M HG FIB C又∵CE=CE' ∴∆BCE'≌∆ACE ∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴∆BHE ∽∆ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL ∥CK ∥E'B 及DC=CE' ∴KL=LB.16. 点M 在四边形ABCD,使得ABMD 为平行四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证明:作AN ∥BC 且AN=BC,连接DN 、NC∵ABMD 为平行四边形,AN ∥BC 且AN=BC∴ABCN 、DMCN 为平行四边形,AD=BM ∴DN=CM 、AN=BC ∴△ADN ≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A 、C 、N 、D 共圆（视角相等） ∴∠5=∠7（同弧AD ） ∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM17. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-21∠BDC,求证:△ABC 是等腰的证明:延长CD 使得BD ＝DE,并连结AE ∵∠ADB ＝90°－21∠BDC ∴2∠ADB ＋∠BDC ＝180° 又∠BDC ＋∠ADB ＋∠ADE ＝180° ∴∠ADB ＝∠ADE 又∵BD ＝DE,AD ＝AD ∴△ADB ≌△ADE ∴∠ABD ＝∠AED ＝60°,AB ＝AE 又∵∠ACD ＝60°∴△ACE 为正三角形 ∴AC ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 为等腰三角形18.⊙O 1、⊙O 2半径皆为r,⊙O 1平行四边形`过的二顶A 、B,⊙O 2过顶点B 、C,M是⊙O 1、⊙O 2的另一交点,求证△AMD证明:设O 为MB 的终点 连接CO 并延长⊙O 1于E则由对称知O 为CE 的中点 ∵O 平分MB O ∴MEBC 是平行四边形 ∴ME ∥BC ∥AD∴MEAD 亦是平行四边形 ∴△MAE ≌△∴△AMD 的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE 中,有∠ABC =∠ADE ,∠AEC =∠ADB,求证:∠BAC =∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F 四点共圆. ∴∠DAE=∠DFE. 又∠ABC=∠ADE=∠AFE. ∴A,B,C,F 四点共圆 ∴∠BAC=∠BFC. 又∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.20. 在锐角△ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N,设BD 是△ABC 的高（D 为垂足）,求证:BD 平分∠MDN.证明:如上图,m 、n 分别表示过M 、N 的切线长,再自M 作MM ’⊥AC 于M ’, 作NN ’⊥AC 于N ’,则有 ∵∠N ＝∠B ＝∠NCN ’ ∴△MAM ’∽△NCN ’ ∴AM ’/’CN ’=AM/CN=m/n 又∵MM ’∥BD ∥NN ’ ∴M ’D/DN ’=MB/BN=m/n 由等比性质知m/n=(M ’D －AM ’)/(DN ’-CN ’)=AD/DC ∴△ADM ∽△CDN ∴DM/DN=m/n 即DM/m=DN/n ∴BD 平分∠MDN21.已知:AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条角平分线.证明:连结DF 、FE 、DE ∵C F ⊥AB AD ⊥BC ∴B 、D 、H 、F 共圆∴∠1＝∠3 ∵AD ⊥BC BE ⊥AC ∴B 、D 、E 、A 共圆 ∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD 平分∠EDF 同理,CF 平分∠EFD BE 平分∠FED即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条角平分线22.已知AD 是△ABC 的高,P 是AD 上任意一点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF. 证明:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG ∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI FG EH = 又∵GDHDPJ EP =∴△EIP ∽△JFP ∴PJEPFJ EI = ∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠AD 即DA 平分∠EDF23.圆三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三角形.解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1, 则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=nc mb=na mc=n 三式相加得m=n 所以a=b=c 即△ABC 是正三角形24.H 为∆ABC 的垂心,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、 AB 的中点,一个以H 为心的圆交DE 于P 、Q, 交EF 于R 、S,交FD 于T 、V . 求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC` AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在∆KR 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）=r 2+AH ·(AK-HK) 在∆ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC∴AK=KA` ∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA` 同理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`25、在锐角三角形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的高,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等.求证:AP 平分∠FPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 接于圆 ∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ ∴∠ARQ=∠AQR 又AQPR 接于圆 ∴∠APQ=∠ARQ ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠∆∆BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三角形， BC HDEFR S T QK C`A `B ` RFD EABCPQ27．已知:凹四边形ABCD 中,︒=∠=∠=∠45D B A .求证:AC=BD. 证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F.∵︒=∠=∠45D A ,DE AE =∴且︒=∠90AED 又︒=∠45B ︒=∠∴45ECBDBAC DEB S AEC S EBEC =∴∆≅∆∴=∴。
初等几何研究第一章习题的答案（5）
五、关于平行与垂直五、关于平行与垂直 1、I 是△是△ABC ABC 的内心的内心,AI ,AI ,AI、、BI 和CI 的延长线分别交△的延长线分别交△ABC ABC 的外接圆于的外接圆于D 、E 和F.F.求证求证求证:EF :EF :EF⊥⊥AD.AD. 证明证明::已知I 是△是△ABC ABC 的内心的内心, ,∴AD AD、、BE 和CF 是∠是∠BAC BAC BAC、∠、∠、∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB 的角平分线的角平分线 ∴⌒∴⌒BD=BD=BD=⌒⌒CD CD，⌒，⌒，⌒BF=BF=BF=⌒⌒AF AF，⌒，⌒，⌒AE=AE=AE=⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒BD+BD+BD+⌒⌒BF+BF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒CD+⌒AF+AF+⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒DF+DF+DF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒DE+DE+⌒⌒AF∴∠∴∠AIF=AIF=AIF=∠∠AIE=AIE=∠∠DIF=DIF=∠∠DIE DIE ∴∴EF EF⊥⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS. 证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点的中点 ∴⌒∴⌒AP=AP=AP=⌒⌒PB ,⌒BQ=BQ=⌒⌒QC ,⌒CR=CR=⌒⌒RD ,⌒DS=DS=⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒AP+AP+AP+⌒⌒QC+⌒CR+CR+⌒⌒SA=SA=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS DS又∵⌒又∵⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS , DS , ⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ=RQ=⌒⌒AP+AP+⌒⌒QC+QC+⌒⌒CR+CR+⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ RQ ∴SQ SQ⊥⊥PR PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证求证:ABCD :ABCD 是平行四边形。
初等几何研究第一章习题地问题详解(3)
三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD. 证明:(1)∵AE ⊥BD DH ⊥AC ∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等）∴∠OEH=∠OAD同理 ∠OGF=∠OCB 又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GH ∴四边形EFGH 为平行四边形（ⅱ）∵△OEH ∽△OAD ∴.OD OHOA OE =∴BDFH AC EG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。
求证：AE ·BF=2AF ·ED 证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即DE ∥BH 且DE= 21BH ∵DE ∥BH ∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH∴△AFE ∽△BFH∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED DACBEFGG H4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。
求证：AGACAF AD AEAB =+ 证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB ==SS SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFADAE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+5. AB 证明：作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH 作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBP DAC APH CBAD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.求证：AD 3=BC •BE •CF证明:∵ AD 2=BD •DC, BD 2=BE •BA, CD 2=CF •CA,B∴ AD 4=BE •CF •AB •AC=BE •CF •BC •AD 约去AD,得AD 3=BC •BE •CF7.在△ABC 中，∠A=60°，∠B=80°。
初等数学研究第一章到第十三章全部答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈' 又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
初等几何研究第一章习题的答案(6)
六、关于共线点与共点线1、 证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线 证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) ∵E.H 分别是AB.AD 的中点，F,G 分别是BC.CD 的中点 ∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ≅△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正方形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的角 平分线，自E,F 作AC 的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ 的外心与B ，C 共线 证明:∵FQ ⊥AC ∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45°∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得 AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即ADAP=AFAE∴AQ AB =AB AP利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在BC 上， 等价于AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在BC3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任一割线交☉A 于D 、E ，交 CH 于F(D 在B 、F 之间),又作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。
求证：（1）A 、H 、D 共圆。
（2）E 、H 、G 共线。
（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例 证明：如图所示：连结AE 、AD (1)∵BC 2=BH ·BA(摄影定理）BC 2=BD ·BE(割线定理) ∴BD ·BE=BH ·BA ∴A 、H 、D 、E 四点共圆(2)∵∠ABD=∠ABG ∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角）∠AHE=∠EDA （同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶角） ∴E 、H 、G 三点共线(3)∵∠ABD=∠ABG ∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线 ∴HC 平分∠DHE ∴HC 、HB 是∠DHE 的内外角平分线∴FE DF =HE HD =BE BD4..设P 是正方形ABCD 内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝 着BC 旋转90BP 至Q. 求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3 设AP=1 则 BP=2 CP=3∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45° ∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2ADC FBE PQ又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC ② ∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90° ∴∠ABP=∠CBQ ③ ∴△ABP ≌△CBQ(由①②③可得到) ∴PA=QC=1又∵PQ 2+QC 2=(2√2)2+12=32=PC 2 ∴∠PQC=90°, ∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°又∵∠APB=180°-45°=135° ∴∠BQC=∠APB=135° 即A 、P 、Q 共线（∠APB 、∠BQP 是邻补角）5. 在∆ABC 中，D,E,F 分别在AB.BC.CA 上，使得DE=BE,EF=CE.求证：∆ADF 的外心O 在∠DEF 的角平分线上。
初等数学研究答案第一章到第六章
大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
初等数学研究课后答案习题三
习题三1解：（1）由.222r x AE AB AE AD =⋅=得则.2)(22rx r AE r CD -=-= 则)20.(2422r x r x x r x AB CD y <<-+=++= (2) .5.5)(124max 22r y r x r r x r r x x r y ==+--=-+=时，当 2证明：（1）令时，0n m ==).0()0()0(f f f =即或者0f(0)=1;f(0)= 当时0f(0)=0)0()()(==f m f m f ，又当时0m ≠f(0).f(m)≠则 1.f(0)= （2）时，，当0n n m >-=即,1)()()(=-=+-n f n f n n f )(1)(n f n f -=则)(1)(x f x f -=；又当，则时1f(x),0x >>1)(1>-x f ，即1)(0<-<x f 由此得;0;1)(001)(0;1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<<==>>x x f x x f x x f ； 则对于任意.0f(x)R,x >∈均有3答：（1）是；（2）不是4解：（1）由}45,088|{01||80||054≠≠≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≠≠-x x x x x x x 且得：.(2) 由}132|{112012023≠>⎪⎩⎪⎨⎧≠->->-x x x x x x 且得：(3) 由].1,22()22,1[001log 0)1(log log 222225.0⋃--∈⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥+x x x x 得： (4) 由}.8log 25|{0)39lg(0390|2|73≠<≤-⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥--x x x x x x且得：(5) }21|{0)31(112≥≥--x x x 得：由(6) 由.)25,1[00250lg ∈⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥x x x x 得：(7) }.121|{1212≤≤-≤-≤-x x x x 得：由 (8) 由]2,51(015111∈⎩⎨⎧>-≤-≤-x x x 得：(9) 由}2,1,0,22|{0sin 101sin ±±=+=⎩⎨⎧≥-≥-k k x x x x ππ得：（10）由得：03cos >x }2,1,0,326326|{ ±±=+<<+-k k x k x ππππ5. (1)解：}.121211|{4112≤≤-≤≤-≤≤x x x x或得：由(2)解：}.40|{22≤≤≤≤-x x x 得：由(3) 解：}.1010|{3lg 213≤≤≤≤x x x 得：由6证明：⇒f(x)的定义域为实数集R ，则0.1-k 1k 4k 4kx -x 22>+++ 即.1,0144)114(41622><---=-++-=∆k k k k k k k 则 ⇒当时1>k ,0144)114(41622<---=-++-k k k k k k 则 即0.1-k 1k 4k 4kx -x 22>+++故f(x)的定义域为实数集R 7解：（1）-=+++=11x x y 22x x-=++11x 12x 43)21(x 12++；而,3443)21(x 102≤++<则).1,31[1x x 22-∈+++=x x y （2）]23,23[3)6sin(23sin cos +-∈++=++x x x π，则].23,23[3sin cos 7+-∈++=x x y（3），则由1076312≤++-≤x x .1)763lg(02≤++-≤x x(4) 133212122-+-=-+-=x x x x x y ,则0)3()3(22=+++-y x y x , ,01522≥--=∆y y 得.35-≤≥y y 或法二：=-+-=1212x x y 1)1(212+-+-x x ；则 =-+-|)1(212|x x 4|)1(|2|12|≥-+-x x 即或4)1(212≥-+-x x 4)1(212-≤-+-x x 则]3,(),5[1212--∞+∞∈-+-=或x x y (5) 令,413t x =-则44)1(21413322≤+--=-+-=t x x y（6）=-++-=344342x x x y 4)12(342-++-x x当).,23[,2343min +∞∈==y y x 则时， (7) ,11ln 21y yx e e e e y xx x x -+=+-=--得由即.11,011<<->-+y y y 则 （8）)23lg ,45(lg )211lg(212lg 11122lg 1∈+=+=-++=x x x x x y y 得，由则).54lg 1,32lg 1++∈（y (9) ]3,0[)21arccos(3π∈-=x y ;(10) ∴∈-],3,0[12x]2,6[12ππ∈-=x arcctgy8 解：令t x =+14，则即,112t 11t 5)(2--+=t t f ∆≡--+=112x 11x 5)(2x x f y 则.01111)52(2=--+-y x y yx当0=y 时，有意义；当0≠y 时，.,0R y ∈>∆即9解：（1）2x 2y +--=由得反函数为212x y -=.其定义域和值域为.1,0≤≤y x（2）由1x 5x 2y +=得反函数为x x y 52-=.其定义域和值域为.51,52-≠≠y x 10证明：对使,1,00Mx M =∃>∀M M >+=+=1x 11y 2，则2x 11y +=无上界.但对,0≠∀x 2x 11y +=>1,则任何小于1的数都是2x 11y +=的下界.11 证明: 由于f(x)是有界函数,则.|)(|,,0M x f D x M <∈∀>∃有对而g(x)没有上界,则对.)(,,0N x g D x N >∈∃>∀有则W M N x g x f ∆≡->+)()(对使,,0x W ∃>∀W x g x f >+)()(，则f(x)与g(x)的和在定义域D 上无上界. 12 解:.),0[,2.822y 2上单调递增当，令+∞∈=++-==u y x x u u u在上单调递增当而.)1,2[.822-∈++-=x x x u .]4,1[上单调递减∈x 则8x 2x 22y ++-=在上单调递增当.)1,2[-∈x .]4,1[上单调递减∈x13. (1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)偶函数 (6)偶函数14解: )211a 1g(-x)(f (-x)x-+-=)21a-1a g(-x)(x x +=f (x))211a 1g(x)(x =+-= 则)(x f 是偶函数. 15解: 则-f (x),x 1x 1lgf (-x)=-+=.它是奇函数)1,1(,0x1x 1-∈>-+x 得定义域为而 .)1,1(x 1x 1上单调递减在而-∈-+x 则x1x 1lg y +-=.)1,1(上单调递减在-∈x 16解:(1) =++==)1lg(-x f(-x)y 2x =++)1lg(-x 2x ).()1lg(x -2x f x -=++则f(x)的定义域为R x ∈,它是奇函数.（2）由和)1lg(x y 2++=x ,110110)1lg(-x y -222⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++=++=-xx x x x y y 得 则即y y x 1021102⋅-=.102110)(21xx x f ⋅-=- (3) 则由于,11x 2≥++x ),0[)1lg(x f(x)y 2+∞∈++==x(4) 对),()(,2121x f x f x x <<∀.f(x)在其定义域上是增函数则 17解：当0x <时，0x ->即.2x x f(-x)2++=又f(x)是奇函数，则)()(x f x f -=-则.2x x f(x)2---= 18解：则,cosx sinx 1cosx -sinx 1f (-x)+--=++++=+cosx sinx 1cosx -sinx 1f (x)f (-x)cosxsinx 1cosx-sinx 1+--=0则.cosxsinx 1cosx-sinx 1f (x)是奇函数函数+++=19解：（1）a,632z y x ===令 1.a ,R z y,x,>∈+则由于.log ,log ,log 632a z a y a x ===即6log log 6log 66,3log log 3log log 33,log 22226223332aa z a a a y a x ======。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究期末试题及答案
初等几何研究期末试题及答案第一题：已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。
求四边形ABCD的面积。
解析：由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。
首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。
根据正弦定理可以得到：sin∠BAC/AB = sin∠ABC/ACsin∠BAC/6 = sin90°/ACsin∠BAC/6 = 1/ACAC = 6/sin∠BAC接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。
根据余弦定理可以得到：AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABCAC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°AC² = 100AC = √100AC = 10再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。
根据正弦定理可以得到：sin∠ADC/AC = sin∠CAD/ADsin60°/10 = sin∠CAD/AD√3/10 = sin∠CAD/ADAD = 10sin∠CAD/√3最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。
四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。
面积公式为：四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3= 30 + 50sin∠CAD/√3综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。
第二题：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，AC = 12cm。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C =证明：()x A B C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x A B A C x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以与前后关系有“x A ∈或x B C ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x A B C A B C A B A C ∈⇒⊇ 所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C 有2个元素，那么()B A C -有几个元素？解：集合()B A C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=，图1CBA从而1028(())r B A C -=-=， 即()B A C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x AB C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x AB AC x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x BC ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x AB C A B C A B A C ∈⇒⊇所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C有2个元素，那么()BA C -有几个元素？解：集合()BA C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()BA C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
图1CBA{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
初等数学研究课后题
现代远程教育《初等数学研究》课程学习指导书课程学习方法指导1、为什么要学习初等数学研究？作为一个中学数学教师，仅仅具备中学中所涉及到的知识，是远远不够的。
为了更好地掌握并处理好中学数学教材，必须懂得更多的数学。
好比用一桶水去斟一杯水，才显得胸有成竹，游刃有余。
大学里学习那么多高等数学，目的即在于此。
但是高等数学知识怎样和初等数学相结合？如何指导中学数学教学？也就是说怎样用高等数学的方法去处理中学数学问题？怎样使教师的知识更加现代化？怎样用最新的数学观念去理解中学数学中的有关内容？其次，中学数学的重要任务之一，是培养学生运用数学知识解决问题的能力。
因此，教师本身就应具备这方面的较强的能力。
学习高度数学可以提高数学修养，提高解题能力。
但是怎样结合中学实际，运用中学生可以接受的方法，特别是运用初等的方法来处理初等数学中的问题。
这方面有许多技能与技巧，还必须作专门的训练。
这就是我们要学习初等数学研究的目的。
2、怎样阅读教材？阅读教材时，应边阅读边作笔记。
把重要的、不懂的、难理解的记录下来，以便和录像中的讲解进行对比学习。
每天看书不要太多，以免贪多嚼不烂，要循序渐进。
要结合录像看书学习，对每道例题，要亲自动手再作一作，理解了，会了，再向下学习。
学贵有恒，贵在坚持。
3、怎样观看录像？观看录像时，应先看书，后看录像。
对每个例题、定理的证明，要先思考，后看录像，以验证自己的思维。
要充分理解领会每个例题的解证思路与方法，并运用数学方法论思想去审视每道题目的解证方法。
既要理解数学的概念和原理，更要理解数学的本质、数学的价值；既要理解数学的探究过程，又要了解数学发展的历史和方法。
每次观看录像不宜太多，每次观看一节课为宜。
4、怎样解题？学习数学，必须学会解题。
要以波利亚的“怎样解题表”为指南进行解题训练，要注意解后回顾，要注意提炼、总结数学方法。
附波利亚怎样解题表和解题思考步骤、程序表：怎样解题表第一你必须弄清的问题1、未知数是什么？已知数数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？2、画张图，引入适当的符号。
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后的习题集答案.doc
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
初等数学研究答案第一章到第六章
大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴，假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
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三、关于比例相似形1.从.KBCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G H,求证: (j )EFGH 是 Q (ii) ZEFGH S Z ^ABCD.证明:(1) V AEIBD DH 丄 AC∙∙∙ A 、D E 、H 四点共圆(视角相等)∙∙∙∠ OEH ∠ OAD同理 ∠ OGF ∠OCB 又 V AD// BC ∙∠ OAD ∠ OCB ∙∠ OEH ∠ OGF∙ EH// GF 同理EF // GH ∙四边形EFGH为平行四边形EFGH与」BCD 对角线夹角相等且对角线又成比例∙ ^EFGH S^BCD3.已知：AD 是厶ABC 的中线，过C 的一直线分别交 AD 、AB 与E 、F 。
求证：AE ∙BF=2A F ED证明：延长CF 至点H,使得CE=El 连结BHV 点D 是BC 上的中点∙ DE >△ CBH 的中位线 即 DE // BH a DE= - BHV DE// BH2∙∠ CED ∠ CHB ∠ AEF ∠ AFE=∠BFH• △ AFE sA BFHOE OH(H)V △ OE SA OADOA ODEG 二 £H ∙AC BDAE AF∙竺=AF ,且BH=2ED ∙AE ∙BF=2A∙ED BH BF4.直线I与□ ABCD勺边AB AD和对角线AC依次相交于E、F和G求证：型•如=MAE AF AG证明：连结BF、BE、CF 禾口CE, V ABAEFFCEAASS-F F B E A A S SAD= S ADE= S ACEAF S AEF S AEFAB AD---- +-------AE AFS ACF ' S ACES AEFS AEF S CEFS AEFAG GC AC^^AG^ AG5・AB、CD是等腰梯形ABCD的二底，求证：AC^AD2AB ∙ DC证明：作CD的延长线到点H ,使得AH垂直CH作点C的延长线，使得CP垂直ABAC2=AH 2CH2 2 2=(AD -DH ) CH9 9 9= AD2 (CH -DH 2)2=AD (CH DH )(CH -DH )= AD2 CP (CH DH )又AHD= CPB =90AD =CBAPH= DAC= CBP，AHD = CPBCH=AP DH =BPCH DH =AP BP=AB2 2AC =AD CP (CH DH ) 故有AC2=AD2 CP AB6. AD是Rt A ABC斜边上的高，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 求证：AD3=BC -BE CF证明：V AD2=BD ∙DC,BD2=BE *BA, CD2=CF-CA, ∙∙∙ AD4=BE QF 4B OC=BE QF ∙BC AD约去AD,得AD3=BC ∙BE CF7.在△ ABC 中，∠ A=60°, ∠ B=80°° 求证：AC2- AB2=AB -BC证明：AC2=AB(AB+BC),延长AB 至D,8厶ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB 于D、E、F, P在^ ABC 内，若PD 平分BPC，证明：因为PD平分.BPC,所以由角平分线定理有P B=匹⑴同理，P C .Ci (2),PC DC PA AEPB BD CE BF DC BF(1) *(2)得* * -PA DC AE DC AF AF 贝S PF平分.APB10在厶ABC 中，已知A=2 B.求证：BC2=AC (AC+BC) 证明；延长CA至D,使AD=AB ,如图所示AD=ABD= ABD 又A=2 B= D+ ABDD^ ABD= ∙B ABD的外接圆切BC于BBC2=CA QD=AC(AC+AB)使得BD=BC O如图,于是,容易得出∠ ACB=40 =∠ ADC△ ACD ABCAC = ABAD ACAC2=AB ∙AD=AB(AB+BC)PE平分.CPA,求证：PF平分.APB二O1MO2 =90 O1O2—MT・ 2 2・・ AIA2 4MT 4 r∣丁2 = d i d?BC1 1 111、 在厶 ABC 中，已知： E A: E B:.Z C =4:2:1.求证：-a b C证明：延长BC 至D 使CD =b ,则BD .a b 。
过C 作射线CE 交BA 的延长线于E,使.BE -B设.BCA 八贝L Bf BAC =4， 贝U . CAE=/CEA =3 ,CE = b = CD ,1CDE =/CED BCEh ,2 .AC // ED,则有 BC BA,BD BEa CMIII ；. --- =—,即:_ = — + -O ab b C a b三、关于比例相似形BA I CB 1 AC 112在厶 ABC 中，A 1B 1C 1 分别在 BC 、CA 、AB 上使得 AC=BA^ = CB^ 且∠ BAC= ∠ B 1A 1C 1,求证：△ A 1BC 1s^ ABC.证明:在BC 上去一点A 2 ,使得C A ^ = C BA ?B AB 1 ・・CA 2 _ CB 1 BC 1 _ A 2B・ 一 , —A 2B AB 1 AC 1 CA 2• ∙ B 1A 2 // AC 1, A 2C 1 // AB 1二AB 1A 2C 1是平行四边形∙∠ A — ∠ C 1A 2B 1, ∠ B — ∠ B 1A 2A 1∙∠ B 1C 1A 1— ∠ B 1A 2A 1— ∠ B （共弦）A 1BC 1ABC13在非菱形的平行四边形 ABCD 中，AC:BD —k,M 是这样的点：射线 AM 与射线AD 关 于AC对称，射线BM 与射线BC 关于BD 对称，求AM:BM.证明：T +∠ 2' —∠ 1 + ∠ 2—∠ AOB∙∠ C 1A 2B 1— ∠ B 1A 1C 1 • B 1C 1A 2A 1四点共圆EL-D __________________________ C∠ 1' +∠ 2' +∠ AOB∠ AMB—360 • 2∠ AOB∠ AMB—2∠ AOB∠ AOD）∙∠AOD—∠ AMB作O 到AD?AM?MB?BC 的高分别为H1?H2?H3?H4V OA平分∠ DAM.O平分∠ MBC 二h1=h2 h3=h 又τ O是□ ABCD勺中心V M是D关于AC的对称点• h i=h4 • hi=h2=h3=h4 • OM平分∠ AMBAM AO MO AO•••△ AMOi A AOD 综上有△ OM^A AM 二有OM=OB ,1MB =QBAM AO AC• BM =(OB)2 =(而)2=k213把厶ABC绕其外接圆圆心小于180°的某一角度旋转得△ A i B i C i,对应边AB、A i B i 交于C2，BC、B i C i 交于A2，CA、C i A i 交于B2，求证：△ A2B2C2ABC .证明：△ ABC绕其外接圆圆心旋转θ度，得到△ A i B i C ii i连接BB i,CC i Ni=^(AB _AAi)=ZACB —尹(AC -CCi) .∙×ABC -i V∠ ABC= ∠ A i B i C i• C2A2B i B四点共圆即∠ i z=∠ iV∠ A i C i B i= ∠ ACB • C i B2A2C 四点共圆∙∠3/ = ∠3= θ ∠2=∠2z V∠ C2A2B2=i80°- (∠i + ∠2+∠3)∙∠C2A2B2=i80°- (∠ACB+ ∠ABC+ θ - θ ) ∙∠C2A2B2=i8O —(∠ACB+ ∠ABC)∙∠C2A2B2=∠ A 同理可得，∠ B2C2A2= ∠ ACB A2B2C2S^ ABCi5.四边形ABCD内接于O 0,将它绕圆心0旋转小于i80o的某一角度而得四边形A iB iC iD i.求证：四边形对应边AB、行四边形之顶点。
证：∠ MOA2= ∠ NOB2故∠ A2OB2+ ∠ D=i80°于是有O、A2、D、B2四点共圆因此∠ i = ∠ ODB2,∠ 5=ODA2同理：O、A2、C、D2四点共圆因此∠ 3=∠ OCD2,∠ 4= ∠ ACO同理：O、D2、B、C2四点共圆A iB i；BC、B iC i；CD、C iD i；DA、D i A i;的父点是平因此∠ 6=∠ OBC 2,∠ 7= ∠ OBD 2 同理：0、C 2、A 、B 2 四点共圆因此∠ 8=∠ OAB 2,∠ 9= ∠ OAC 2又因为：∠ ODB 2= ∠ 0AB 2,∠ ODA 2= ∠ ACO, ∠ OCD 2= ∠ OBD 2,∠ OBC 2= ∠ OAC 2∠ 7+ ∠ 8= ∠ OBD 2+ ∠ OAB 2,∠ 1 + ∠ 3= ∠ ODB 2+ ∠ OCD 2 所以：∠ 7+∠ 8= ∠ 1 + ∠ 3,即：∠ B 2C 2D 2= ∠ B 2A2D 2 又：∠ 9+∠ 5= ∠ OAC 2+ ∠ ODA 2,∠ 6+∠ 4=∠ OBC 2+∠ ACO 所以：∠ 9+∠ 5= ∠ 6+∠ 4,即：∠ C 2B 2A 2= ∠ C 2D2A 2 所以：四边形A 2B 2C 2D 2为平行四边形，四边形对应边C 1D 1，DA 、D 1A 1的交点是一平行四边形之顶点。
16已知：I 是厶ABC 的内心，延长 AI 交BC 于D, △ ABC中三顶点A ,B ，C 的对边为a ，b, c.求证:AI:ID =(b+c):a 证明：利用角平分线的性质。
T I 是内心，BI 平分∠ B,∙∙∙ AI:ID=AB:BD二 AI:ID=AB:BD=AC:DC由等比性质得：AL = A^^C=L^ID BD +DCa17.在下图中，用阴影标出的4个三角形面积相等。
求证：没有阴影的 3个四边形之面积也相等。
如果一个三角形的面积为 1,那么一个四边形的面积等于多少? 证明：如图所示，连接AA 2, C 1C 2。
假设，如=a,竺=b, 2=c,B 2C 2C 2A 2A 2B 2∙/ S AC I A^ S AA 2C 2∙ C1G//AA 21 1 1 —1 <∙..∙.⅛a =1 ,b=1 ,c=1 =a=b=c =b Ca2(2). V C 1G//AA 2.C 1B 2 C 2B 2 1 ・ ・ 由已知c-a 可得CA 21:AR : B C =a : 1 ：-B 2A 2B 2A a A 2C 1a ∙ CA2 =I・A 是CC 的中点同理，B, G 分别是AA , BB 的中点。
AB 、A ιB i ， BC 、B 1C 1， CD∙ △ BCiG sA BAAAB 2 AA 2 BA 2 BC 2 C 2A 2 , C 2A 2 1 — ------ =--------- = ------- = ----------------- =1 + -------- =⅛ a=1+一=⅛(3) V A2是CG的中点S 5+S=S+S ∙Ss=S s （已知S=S）同理，S=S即，S=S=S⑷由CC/AA2知竺LAA2、= I=AB2—----- —a∙AB a• . , ——C i B V C1C2J B2C2 AC1 a -1∙S i + S5 AB AC 2 a C 1、1 +—I = a +1 ∙S5 _2 -2^√5+1——S i AC i AB 2 a —1< a丿 a —1 S1 a -1故当S=I 时，S=S=S= •、5 118.已知：R、r分别为△ ABC之外接圆和内切圆的半径,于D.求证：AI ∙ID=2Rr.证：连接BI、BD 如图，则有∠ IBD=∠ IBC+∠ CBD= ∠ B+1∠ A=∠ BID 2 2 ∙∙∙ ID=BD 作IF丄AB于F,贝S IF=r ,再过D的直径DE=2R连接BE则有∠ E=∠ BAD ∙Rt △ BDE^ Rt △ FIA∙型二旦即AI ∙BD=2RDE AII是内心，AI的延长线交外接圆DA2C2。