数学物理方程-第1章-讲义2012
合集下载
数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
数学物理方程 教学课件
数学物理方程
初边值问题（混合问题）：既有初始条件，又有边 界条件；
初始问题（Cauchy问题）：只含初始条件； 边值问题：只含边界条件。
从数学角度，主要研究定解问题的三个性质： ① 解的存在性 定解问题至少存在一个解； ② 解的唯一性 定解问题至多有一个解； ③ 解的稳定性 定解问题的解对定解条件或方程 中的参数等的连续依赖性。 适定：定解问题的解存在、唯一、稳定。
数学物理方程
线性方程：方程中关于未知函数及其偏导数都是一 次的；
拟线性方程：方程不是线性的，但其最高阶导数仍 是一次的；
非线性方程：除了线性、拟线性方程之外的方程。
k 阶偏微分方程的一般形式
数学物理方程
经典解（古典解）：
在 中有定义且k
次连续可微，代入方程能使其在 中恒成立。
例1. 求二阶线性偏微分方程的解
解：固定 ，对方程两边关于 积分，得
再固定 ，对其两边关于 积分，得到方程的解为
其中
是任意的可微函数。
数学物理方程
定解条件：对微分方程所表征的物理量附加的一些 特定条件。
1. 初始条件：关于初始时间的物理量限制条件； 2. 边界条件：关于区域边界上的物理量限制条件。 定解问题：寻求方程满足定解条件的解的问题。
微分方程系列课程之
数学物理方程
数学物理方程
数学物理方程
课程主要内容：
1. 典型方程的推导和常用建模方法； 2. 定解问题解的性质（存在性、唯一性和稳定
性）； 3. 数理方程的应用举例。
第一章 绪论
数学物理方程
§1.1 偏微分方程及基本概念
偏微分方程：含有多元未知函数及其偏导数的等式。
பைடு நூலகம்
阶：方程中关于未知函数的最高阶偏导数的阶数。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
温 度 分 布 满 足2u F f k
特 别 ， 如 果 f0,则2u 0
位 势 (Poisson)方 程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我 们 就 称 其 为 齐 次 边 界 条 件 ， 反 之 ， 称 非 齐 次 的 。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件
第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
数学物理方程第一节
2 2
v 所满足的方程：
v v v LC 2 ( RC GL) GRv 2 x t t
2 2
上两方程称为传输线方程.
若在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的 效应忽略不计，就是说令 G R 0
2i 1 2i 2 t LC x 2
，
v 1 v 2 t LC x 2
S
n
M
S
V
热 场
图1-3
设在时刻 t 物体 内任一点M ( x, y, z ) 处的温度为
u ( x, y, z, t )．现在要建立u ( x, y, z , t ) 所满足的
微分方程．
热学中的付里叶（Fourier）定律
u dQ k dSdt k ( gradu )ndSdt n
2
2 2
u u u 2 f ( x , y , t ) a 2 2 2 t x y
2
2
2
3.由声波在介质中传播，可推导介 质的压强所满足的三维波动方程
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 2 y z t x
第一章 一些典型方程和定解条件的 推导
§1.1 基本方程的建立 例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线 拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及 弦本身的重力外，不受外力影响．下面研 究弦作微小横向振动的规律．
• 1. 所谓“横向”是指全部运动出现在同一平面上， 而且弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动. • 2. 所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置 处切线的倾斜角都很小，以至它们的高于一次方的 项都可以忽略不计．
2
2
a
2
T
v 所满足的方程：
v v v LC 2 ( RC GL) GRv 2 x t t
2 2
上两方程称为传输线方程.
若在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的 效应忽略不计，就是说令 G R 0
2i 1 2i 2 t LC x 2
，
v 1 v 2 t LC x 2
S
n
M
S
V
热 场
图1-3
设在时刻 t 物体 内任一点M ( x, y, z ) 处的温度为
u ( x, y, z, t )．现在要建立u ( x, y, z , t ) 所满足的
微分方程．
热学中的付里叶（Fourier）定律
u dQ k dSdt k ( gradu )ndSdt n
2
2 2
u u u 2 f ( x , y , t ) a 2 2 2 t x y
2
2
2
3.由声波在介质中传播，可推导介 质的压强所满足的三维波动方程
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 2 y z t x
第一章 一些典型方程和定解条件的 推导
§1.1 基本方程的建立 例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线 拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及 弦本身的重力外，不受外力影响．下面研 究弦作微小横向振动的规律．
• 1. 所谓“横向”是指全部运动出现在同一平面上， 而且弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动. • 2. 所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置 处切线的倾斜角都很小，以至它们的高于一次方的 项都可以忽略不计．
2
2
a
2
T
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数学物理方程数学物理第一章
偏分方程中所有最高阶 偏导数都是线性的，而 其系数
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式 一阶线性偏微分方程的一般表达形式
u u a( x, y ) b( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u 2u 2u A( x, y ) 2 2 B( x, y ) C ( x, y ) 2 x xy y u u D( x, y ) E ( x, y ) F ( x, y )u G ( x, y ) 0 x y
在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到 的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意 味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都 能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么 困难。
正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与 否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严 格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路， 这是本课程中应该注意的。
2
2u
二阶线性非齐次的
三阶非线性
2
3u x y
2
ln u 0
§2方程及定解问题的物理推导
2.1、弦振动方程 2.1.1、物理模型
设有长为 l一 根 拉 紧 的 均 匀 柔 软 弦 细， 两 端 被 固 定 在 O, A 两 点 ， 且 在 单 位 长 度受 上到 垂 直 于 OA向 上 的 力 F作 用 当 它 在 平 衡 位 置 附 近垂 作直 于 OA方 向 的 微 小 横 向 振 动
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
弦振动的研究先驱
数学物理方程第一章
2 u 2u 2u 2 u a 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2u 2u 2u u a2 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2
utt x, y, t a uxx x, y, t u yy ( x, y, t ) f x, y, t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
在空气中的传播，一般写成：
2
utt x, y, z, t a uxx x, y, z, t uyy ( x, y, z, t) uzz ( x, y, z, t) f x, y, z, t
4.定解条件与定解问题： 一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
u 即： ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的位移） u t ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的速度） 这里 ( x), ( x) 为已知函数。 2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移 变化。
且弦在 M 1 , M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为 1 , 2 由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T ( x1 ) cos1 T ( x2 ) cos 2
u x 1
cos 1 1 ux
2
T ( x1 ) T ( x2 )
2u 2u 2u u a2 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2
utt x, y, t a uxx x, y, t u yy ( x, y, t ) f x, y, t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
在空气中的传播，一般写成：
2
utt x, y, z, t a uxx x, y, z, t uyy ( x, y, z, t) uzz ( x, y, z, t) f x, y, z, t
4.定解条件与定解问题： 一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
u 即： ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的位移） u t ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的速度） 这里 ( x), ( x) 为已知函数。 2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移 变化。
且弦在 M 1 , M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为 1 , 2 由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T ( x1 ) cos1 T ( x2 ) cos 2
u x 1
cos 1 1 ux
2
T ( x1 ) T ( x2 )
数学物理方程课件
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 断方程的类型；
a122 a11a22 ，根据判别式判
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11 ( dy 2 dy ) 2a12 a22 0 dx dx (2)
称为方程（1）的特征方
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 dx a11 (3)
第二节一维齐次波动方程的cauchy问题
一、D’Alembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
Hale Waihona Puke 定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为
偏微分方程。 一般形式：
F ( x1 , x2 ,, xn , u, ux , ux ,, uxn , ux x , ) 0
1 2 1 1
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 ,, xn , u u的有限个偏导数的已知函数。
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
ut a uxx f ( x, t )
2
位势方程
f ( x, y ) 0, Laplace方程 u xx u yy f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Poisson方程
第二节二阶线性偏微分方程的分类
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
1 偏微分方程定解问题
(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数 研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻 牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
17
数学物理方程 翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）
数学物理方程---_1_数学建模与基本原理介绍 105页PPT文档
学
定解问题的完整提法：
建 模
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在及其
给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
基 本
原
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
理 介
特殊性，即个性。
绍
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
西安交通大学理学院它反映了问题的共性。
T （ u xx d x u xx ） f 0 (x ,t) d x (d x ) u tt
数 学 物 理 方 程
T u xx d d x x u xx f0 (x ,t) T u x x f0 (x ,t)u tt
令 a2 T /
f(x,t)f0(x,t)/
学
建
模
及
其
基
本
原
理
介
绍
8
西安交通大学理学院
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近
产生振幅极小的横振动
数
第
学 物 理 方
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
一 章
程
求：细弦上各点的振动规律
数 学
建
以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦
模 及
线的一个端点的直线为u轴建立坐标系。
u(x)
F
u+u
如考虑弦的重量： T2 2 沿x-方向，不出现平移
u
数
1
B
学
物 理
T1
gdx
0 方
程
x
x+x
T 2co s2 T 1co s10 （1第）
数学物理方程第一章 基础概念
∂u ( x, t ) 2 ) dx ≈ dx ∂x
ds = 1 + (
弧段 M ′ M 在 t 时刻，沿 u 方向运动的加速度近似为 以
∂ 2 u ( x, t ) ， x 为弧段 M ′ M 的质心。所 ∂t 2
− T sin α + T ′ sin α ′ − ρgdx = ρdx
即
∂ 2 u ( x, t ) ∂t 2
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
式中， c 为物体的比热， ρ 为物体的密度。 如果物体内部没有热源，则由热量守恒可得 Q1 = Q2 ，则
Ω
（1.2.3）
∫
t2 t1
⎡ ∂u ⎤ ⎢ ∫∫ k dS ⎥dt = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV ⎢∑ ∂n ⎥ Ω ⎦ ⎣
（1.2.4）
假设函数 u 关于 x, y, z 具有二阶连续导数，关于 t 具有一阶连续导数，则利用 Gauss 公 式有
t2 ⎡ ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ⎤ Q1 = ∫ ⎢ ∫∫∫ ⎢ ⎜ k ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂z ⎜ k ∂z ⎟⎥dV ⎥dt ⎜ k ∂y ⎟ t1 x x y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣Ω ⎣ ⎦
次方程，若 f ( x, t ) = 0 ，则称为齐次方程。式（1.1.3）称为非齐次一维波动方程。
1.1.2 定解条件 一般弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦线两端所受外界的影响。 为了确定一个具体的弦振动的规律， 除了列出方程外， 还需要写出它满足的初始条件和边界 条件，我们称之为定解条件。 初始条件，即初始时刻 t = 0 时，弦上各点的位移和速度。
ds = 1 + (
弧段 M ′ M 在 t 时刻，沿 u 方向运动的加速度近似为 以
∂ 2 u ( x, t ) ， x 为弧段 M ′ M 的质心。所 ∂t 2
− T sin α + T ′ sin α ′ − ρgdx = ρdx
即
∂ 2 u ( x, t ) ∂t 2
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
式中， c 为物体的比热， ρ 为物体的密度。 如果物体内部没有热源，则由热量守恒可得 Q1 = Q2 ，则
Ω
（1.2.3）
∫
t2 t1
⎡ ∂u ⎤ ⎢ ∫∫ k dS ⎥dt = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV ⎢∑ ∂n ⎥ Ω ⎦ ⎣
（1.2.4）
假设函数 u 关于 x, y, z 具有二阶连续导数，关于 t 具有一阶连续导数，则利用 Gauss 公 式有
t2 ⎡ ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ⎤ Q1 = ∫ ⎢ ∫∫∫ ⎢ ⎜ k ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂z ⎜ k ∂z ⎟⎥dV ⎥dt ⎜ k ∂y ⎟ t1 x x y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣Ω ⎣ ⎦
次方程，若 f ( x, t ) = 0 ，则称为齐次方程。式（1.1.3）称为非齐次一维波动方程。
1.1.2 定解条件 一般弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦线两端所受外界的影响。 为了确定一个具体的弦振动的规律， 除了列出方程外， 还需要写出它满足的初始条件和边界 条件，我们称之为定解条件。 初始条件，即初始时刻 t = 0 时，弦上各点的位移和速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
x x x
t t
从而有
t t x x
[
tx
2 u (tx 2,t) T 2 u ( x x 2 ,t)]ddx t0
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u (tx 2,t)a22 u ( xx 2,t)0 , a2T/
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u (x ,0 )(x ), u (x ,0 )(x ) ( 0 x l) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方 程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
精品jing
数学物理方程-第1章-2012
数学物理方程
定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 2u(tx2,t)a22u (xx2,t)0
特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于
空间变量的导数之间的制约关系。
xx
s
1(u)2dx
x
x
由基本假设2可知， ( u ) 2 与1相比可以忽略不计，所以 sx x
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t) T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即
T ( x x ) co 2 T s ( x ) co 1 0 s
段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
F(x,t)dx
x
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
tt xx
F(x,t)dd x t
t
x
于是有： tt tx x x [ 2 u ( tx 2 ,t) T 2 u ( x x 2 ,t) F (x ,t)d ] dx 0 t
进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：
sintan, cos1
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。
基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a F∆t=m*a* ∆t 冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
2u( x, t )
t 2
a2
2u( x, t ) x2
f
( x, t ),
1.19
t 0 : u (x), u (x),
t
1.20
x 0 : u 0,
1.21
预测自然现象变化 （气象预报等）
各种工程设计 （机械强度计算等）
数学物理方程
数学
偏微分方程理论
历史悠久
对象、 内容、
方法
纯粹数学
偏微分 方程理论
多复 样杂
分支
新课题、新方法
自然现象 实际问题
泛函分析 复变函数 微分几何 计算数学
解决问题的工具
数学物理方程
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
1. 方程导出、定解条件
2 u ( x ,t ) a 2 2 u ( x ,t ) f( x ,t ),a 2 T /,f( x ,t ) F ( x ,t ) /
t2
x 2
二维波动方程（如薄膜振动）
t2u 2 a2( x2u2 y2u2)f(x,y,t)
三维波动方程（如电磁波、声波的传播）
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2)f(x,y,z,t)
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. 弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，
弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
由基本假设2可知，co2sco1s1，所以 T(xx)T(x)
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方 向的分量看成常数Ｔ。
（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
T (si2 n si1 )n T [ u (x x x ,t) u (x x ,t)]
范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
本方程都属于数学物理方程的范围。
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，
接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”
力学问题 弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、 热传导、电磁作用、
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程 （基本规律）
偏微分方程 求解数学物理方程 （基本规律） 定解问题
2. 定解条件
弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一 般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因 为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体 的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。
在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT[u(x x,t)u(x,t)]dt
t
x
x
（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
x x[u(x,t t)u(x,t)]dx
x
t
t
（5）因此，根据冲量定理，得到：
t tT [ u ( x x ,t ) u ( x ,t ) ] d x t x[ u ( x ,t t ) u ( x ,t ) ] dx
一、波动方程 （双曲型） 2. 初值问题求解
3. 初边值问题求解
课 程 二、热传导方程（抛物型） 概 三、调和方程 （椭圆型） 览 四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
第一章 波动方程
➢ 物理背景：波的传播和弹性体振动。 §1-1 一维波动方程的导出、定解条件
首先，考察下面的物理问题：