线性代数16方阵的行列式

a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42
a13 a14 a23 a24 a33 a34 a43 a44
a11 a13 a14
中a32的余子式为 M32=
a21 a41
a23 a43
a24 a44
,
代数余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.
第一章 矩阵
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a133a1a 12a 33.2
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
称列）的数表
a11a12
a21a22
(*)
表 达 式 a11a22a12a21称 为 数 表 （ *） 所 确 定 的 二 阶
行 列 式 ， 并 记 作a11 a12 a21 a22
(**)
即
Da11 a21
a a1 22 2a1a 122 a1a 22.1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
第一章 矩阵
回忆: ①§1.5一开始提出的问题.
② 一阶方阵a可逆 a 0.
③ 习题1(B)第17题:
A=
awk.baidu.com1 a21
a12 a22
可逆
a11a22 a12a21 0
D=
a11 a21
a12 a22
0.
§1.6 方阵的行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
§1.6 方阵的行列式
历史上, 行列式因线性方程组的求解而被发明
第一章 矩阵
1 2 4
例2. 2 2 1
3 4 2
= 14.
§1.6 方阵的行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行 和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素
aij的余子式(minor), 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式(cofactor). 例如, 四阶阶行列式
a12 a11a22a12a21.
a 22
对于二元线性方程组 a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
若记
Da11 a12,
系数行列式
a21 a22
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
记D =
a11 a21
a12 a22
,
D1 =
b1 b2
a12 a22
a13的余子式:
M13 =
a21 a31
a22 a32
代数余子式: A13 = (1)1+3M13
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 3阶方阵A = a21 a22 a23 的行列式|A|定义为
a31 a32 a33
a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11A11 + a12A12 + a13A13
,
D2 =
a11 a21
b1 b2
,
则当D = a11a22a12a21 0时,
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
有唯一确定的解
x1=
b1a22a12b2 a11a22a12a21
=
D1 , D
x2=
a11b2b1a21 a11a22a12a21
=
D2 . D
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 2
D
3(4)70,
21
12 D1 1
2
3
1 14, D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有 9个数排3行 成3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a 11 a 12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a 21 a 22
a31 a32 a33 a 31 a 32 D a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 a 1 3 3 a 2 1 a 2 a 2 3 1 a 3 1 a 2 a 3 3 2 .1
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
§1.6 方阵的行列式
a11的余子式:
M11 =
a22 a32
a23 a33
代数余子式: A11 = (1)1+1M11
a12的余子式:
M12 =
a21 a31
a23 a33
代数余子式: A12 = (1)1+2M12
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= =
b1a22a12b2 a11b2b1a21
当a11a22a12a21 0时,
x1=
b1a22a12b2 a11a22a12a21
,
x2=
a11b2b1a21 a11a22a12a21
.
由方程组的四个系数确定.
一. 行列式(determinant)的定义
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
G. W. Leibniz[德]
(1646.7.1~1716.11.14)
S. Takakazu[日]
(1642?~1708.10.24)
第一章 矩阵
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
§1.6 方阵的行列式
消元法
(a11a22a12a21)x1 (a11a22a12a21)x2