线性代数16方阵的行列式

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线性代数Ⅰ—行列式

9
例:
a b 0 0 d a d e b e c 0 =? f c f
1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 2 3 4 =? 4 6 8
2 1
3 2
4 3
ka kb kc = ?
a1 + 2 a2 + 3 a3 + 4 = ?
例:计算
10
几个特别的行列式
(1)
22
(五) (B) 第一行公因数 2
1 2 D=2 3 4 1 x 3 4 1 3 x 4 1 r2 2r1 3 r3 3r1 2 4 r4 4r1 x 1 1 1 1 0 x2 1 1 =0 0 0 x3 1 0 0 0 x4
得 2( x 2)( x 3)( x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4
1 5
16 9 49 25 64 27 343 125
15
例题和习题
0 0 0 λ1 (一) 行列式 0 0 λ2 0 的值为[ λn 0 0 0
]
n ( n 1) 2
(A) 0
1 4 (二) 设 A = 2 5
(B) λ1λ2 λn (C) (1)
2 3 0 1 3 2 1 1
λ1λ2 λn (D) λ1λ2 λn
]条,则 Dn = 0
(A) Dn 中0元素个数多于 n 个 (C) D中有一列元素是另外二列之和 (D) D中每个元素均为两数之和
a2 b2 (十五) D = 2 c d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 =[ 2 (c + 3) (d + 3) 2

线性代数方阵的行列式

a21 b2 j a2n a21 c2 j a2n
an1 bnj ann an1 cnj ann
§2 n阶行列式的性质
➢例
1025 1025 1025
2 D
1
0 0
1 3
0 2 41
0 0
1 3
02
41
0 0
1 3
0 2D
4
2042 2042 2042
D 0.
➢ 推论行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列式的值为零. ➢ 证设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.
1201
120 1
r1 r2
1 3 5 0 0 r1 r4 1 5 1
D
0156
015 6
1234
003 3
120 1
120 1
0 r2 r3 1 5 1 r3 r4 0 1 5 1
000 7
003 3
003 3
000 7
11 3 7 21
§2 n阶行列式的性质
➢ 例2
3 1 1 1 6 r2 r1 6 6 6
a11 a12
即
ai1
ai 2
aj1 aj2
an1 an2
a1n
a11
ain kri rj
ai1
aj2
a j1 kai1
ann
an1
a12
ai 2
a j2 kai2
an2
a1n ain a jn kain ann
§2 n阶行列式的性质
➢或
a11 a1i a1 j a1n
a11 a12
即 ai1 ai2

线性代数讲解习题课

place定理 place定理是一个n阶行列式中取某K行或列或列), 是一个阶行列式，中取某定义设D是一个阶行列式，在D中取某行(或列则含于此k阶行或列)中的所以阶行(或列中的所以k阶子式与其代数余子则含于此阶行或列中的所以阶子式与其代数余子式的乘积之和恰好等于D.即式的乘积之和恰好等于即
设排列该排列中在 ai右边比 (i=1,2,---,n). 于是
ai小的数有 ai −1− ki个
τ (anan−1 ⋯a2a1 ) = (a1 −1− k1 ) + (a2 −1− k2 ) +⋯+ (an −1− kn )
= (a1 + a2 +⋯+ an ) − n − (k1 + k2 +⋯+ kn )
1 对、角行式列 λ1 D= λ2 ⋱ λn
λ1 D= λn λ2 ⋰ = (−1)
n(n−1) 2
= λ1λ2 ⋯λn ;
λ1λ2 ⋯λn.
2、上、下三角行列式。 a11 a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann a11 0 ⋯ a21 a22 ⋯ 0 0
D = N 1 A1 + N 2 A2 + ⋯ + N t At
其中 N1 , N 2 ,⋯ N t是D的被选定的k行(或列)所含的K阶的被选定的k 或列)所含的K 子式, 子式, A1 , A2 ,⋯ At 分别是它们的代数余子式. t = C k 分别是它们的代数余子式.
n
二.几个重要的公式
3.设 3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则阶方阵，阶方阵，
a11 ⋯ a1m ⋮ ⋮ am1 ⋯ amm D= c11 ⋯ c1m ⋮ ⋮ cn1 ⋯ cnm 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮

线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算

a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
a11 ka1 j a1 j a1n a21 ka2 j a2 j a2 j an1 kanj anj anj
推论如果行列式有两行（列）完全相同， a11 a12 a1n 则此行列式为零. 证明设行列式为 D 互换相同的两行，有
D D
D0
1 7 5 6 6 2 0
6 6 2
a21 a22 b1 b1 b2 b2 a n1 a n 2 ann bn bn a2 n

4 0 0
r4 2 r5
3 0 0 0
5
0 0 0 1 4 0 0 0
0 0 2 0 3 0 5 0 0

0 r 3r 0 0 2 5 1 0 0 3 0 1 2 5 0 0
r2 r1
0 16 2 7
0 16 2 7
r3 4r2 0 2 1 1 D 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15
0 2 1 1
1
3
1
2
1 3 1
2
1 3 1 2 5 r4 r3 0 2 1 1 2 8 5 40. 4 2 0 0 8 10 5 0 0 0 2
a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn

同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式教学文稿

同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01121212()12(1)n n np p p p p np p p p a a a τ-∑L L L称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M O M L，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑L L L LL M M O M L.其中12np p p ∑L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L LM M O M L A ，则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n na ⨯或ij na .二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑.三阶行列式: 123123123111213()212223123313233(1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122a a a a授课序号02授课序号03授课序号04精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

线性代数课件第三节行列式

0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形行列式
a11a22 L
下三角形行列式之值等于 ann 主对角线元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形行列式
a11a22 L
上三角形行列式之值等于 ann 主对角线元素之积
计算
观察哪一行或列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33

线性代数-行列式(完整版)

01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及将系数矩阵的某一列替换为常数项列后得到的新矩阵的行列式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用

线性代数第2讲方阵的行列式

□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
□
3、按一行(列)展开公式设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 ( n 2) ，则
| A | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, 2, , n .
上式称为行列式的 Laplace 按一行展开公式. 定理 2′设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 (n 2) ，则 □
i j
的 (i, j ) 元素 aij [或 (i, j ) 位置]的余子式 M ij 、代数余子式 Aij (1) 阵. k 阶子方阵的行列式即为 k 阶子式. 定理 1
M ij .
在 m n 矩阵中，k l 子矩阵的余子阵为 ( m k ) ( n l ) 子矩阵，二者互为余子在 n 阶方阵 A [ aij ] 中选定第 i1 i2 ik 行( 1 k n 1 )，则
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
注 2(三角行列式)
a12 a22 a32

线性代数1.6行列式按行(列)展开

感谢您的观看
THANKS
某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素都是两数之和，则这个行列式可以拆分为两个行列式的和，这两个行列式分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行列式中两行（列）的位置，行列式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的一种重要方法，特别是当行列式的阶数较高时，直接计算往往比较困难，而按行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03

《线性代数》课件-第2章方阵的行列式

教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.

线性代数2-2节_方阵行列式的性质

3 1 1
1 3 1 1
1 r1 r2 1 1 r1 r3 0 1 r1 r4 0 0 3
例3 计算 a b c d a ab abc abcd 。 D a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
注:
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 b b b 1 2 3 0 0 0 0 0 0
1 bn 0 0
习题课教程P44例16对本题有另一解法.
三、小结
1.行列式的5个性质及三个推论 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).
推论2.3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.
例如
1 7 5 1 7 5
6 6 2 0, 6 6 2 性质5 消法变换不改变行列式的值。即若 B=P(i,j[k])A或B= A P(i,j[k])，则|B|=|A|.
此性质由性质1及推论2.3即得。
6 6 2 0, 3 3 1
a11b1n a12b2 n a1nbnn a21b1n a22b2 n a2 nbnn an1b1n an 2b2 n annbnn
D=
O
即
D
A
C
E O
,
从而有
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有 E O n D (1) , A C

方阵的行列式计算公式

方阵的行列式计算公式方阵的行列式计算公式是线性代数中的重要概念之一，它在解决线性方程组、计算矩阵的逆和判断矩阵的可逆性等问题时发挥着重要的作用。

本文将介绍方阵行列式的定义、性质、以及用于计算行列式的方法，旨在帮助读者全面理解和掌握这个概念。

首先，我们要了解什么是方阵的行列式。

方阵是指行数和列数相等的矩阵，它可以用一个尺寸为n×n的矩阵表示，其中n表示方阵的阶数。

而方阵的行列式就是一个对应于这个方阵的数值。

通常用det(A)或|A|表示方阵A的行列式。

行列式在数学中可以用一个数值来表示，这个数值可以是正数、负数或零。

接下来，我们将介绍一些方阵行列式的性质。

首先，方阵行列式与矩阵的转置无关，即det(A) = det(A^T)。

其次，如果方阵中存在一行或一列的元素全为0，那么它的行列式就等于0。

此外，如果交换方阵的两行或两列，那么行列式的值会改变符号。

最后，如果方阵的某一行或某一列的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也会乘以k。

在计算方阵行列式时，我们可以使用几种方法。

一种常用的方法是采用拉普拉斯展开定理，该定理可以将方阵的行列式表示为代数余子式的和，其中每个代数余子式是将方阵的某一行与某一列的交叉元素删去后剩余方阵的行列式。

通过递归的方式，我们可以将方阵的行列式的计算转化为对一个更小的子方阵行列式的计算。

这种方法可以在不过多计算的前提下，得到方阵行列式的值。

另一种常用的方法是使用初等行变换将方阵化为上三角矩阵，再利用上三角矩阵行列式的性质来计算行列式的值。

这种方法也被称为高斯消元法，通过不断进行行变换，将方阵化为某个特殊的形式，在这种形式下，矩阵的行列式可以简化为对角元素的乘积。

利用这个性质，我们可以通过简单的计算得到方阵行列式的值。

综上所述，方阵的行列式是通过对方阵的元素进行计算得到的一个数值，它具有一些特定的性质，并且可以通过不同的方法进行计算。

掌握方阵行列式的定义、性质和计算方法能够帮助我们更好地理解线性代数的基本概念，进一步应用于解决实际问题。

线性代数中的行列式理论

线性代数中的行列式理论在数学的各个领域中，线性代数无疑是重要的一部分，而其中行列式理论则是线性代数中的重要理论之一。

它以对矩阵和线性方程组的解的探究为主要研究对象，是线性代数中不可或缺的理论基础。

行列式的定义行列式是一个方阵的标量函数，它把一个 n 行 n 列的矩阵 M 映射到一个实数上。

行列式的记法通常是 det(M) 或者 |M|。

行列式的定义需要用到一些基本概念。

首先，我们需要了解“代数余子式”的概念。

设一个 n 行 n 列的矩阵为 M，则它的一个元素 M(i,j) 的代数余子式 A(i,j) 定义为删去第 i 行和第 j 列后剩余行列式的相反数。

例如，对于三阶矩阵 M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}，其中元素 4 的代数余子式 A(2,1) =\begin{vmatrix}2 & 3\\8 & 9\end{vmatrix} = 18。

接着，对于一个 n 行 n 列的矩阵 M，它的行列式 det(M) 定义为 M 的元素按照一个特定的顺序相乘的和，其中顺序为 M 的第一行元素和它们对应的代数余子式的乘积加上第二行元素和它们对应的代数余子式的乘积减去第三行元素和它们对应的代数余子式的乘积加上第四行元素和它们对应的代数余子式的乘积……即：$\det(M) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} \prod_{i=1}^nM_{i,\sigma(i)}$其中 S_n 表示集合 {1,2,...,n} 上的所有置换，$\sigma$ 为 S_n 中的一个置换，$\sigma(i)$ 表示置换 $\sigma$ 所作用在 $i$ 上的结果，而 $(-1)^\sigma$ 则表示置换 $\sigma$ 的奇偶性。

行列式的性质行列式有许多重要的性质，它们构成了行列式理论的基础。

01第一讲行列式(1-11)

第二篇线性代数目录第一讲行列式（1-11）第二讲矩阵及其运算（12-31）第三讲向量（32-51）第四讲线性方程组（52-75）第五讲矩阵对角化（76-99）第六讲二次型（100-118）第一讲行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.问题1.1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，这个数从不同的角度反映了方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用，请看下面的定理.定理1 设A为n阶方阵，则下列命题等价：⑴0A≠（A非奇异）；⑵A可逆；⑶存在方阵B，使得A B EB A E；=或者=⑷A可表示为有限个初等方阵的乘积；⑸()r n（A满秩）；A=⑹A的特征值全不为零；⑺A的行（列）向量组线性无关；⑻A x=0只有零解；⑼A x b=有惟一解；⑽TA A为正定矩阵.定理2设A为n阶方阵，则下列命题等价：A=（A奇异）；⑴0⑵A不可逆；⑶()r nA；<⑷0是A的一个特征值；⑸A的行（列）向量组线性相关；⑹A x=0有非零解；=有无穷多解或者无解.⑺A x b▲上述定理反映了行列式与矩阵的可逆性、矩阵的秩、矩阵的特征值、向量组的线性相关性、线性方程组之间的联系，随着复习的深入，要加深对定理的理解，理顺知识间的关系，打开解题思路.问题1.2 余子式、代数余子式答划去n 阶行列式中元素ij a 所在的第i 行、第j 列留下的1n -阶行列式称为元素ija 的余子式，记作ij M ，并称(1)i jij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式. 由定义知，余子式ij M 和代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例题设4521011130112101--=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++解（方法一）根据定义计算（略）.（方法二）41424344A A A A +++是将行列式第四行的元素全部改为1，然后按第四行展开的展开式，得414243441012101210111031103110111101110111111101--+++===-=-A A A A ，类似可得414243444142434410121103511101111-+++=-+-+==---M M M M A A A A .问题1.3 行列式的性质答行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来；⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变.▲⑴由性质⑴知，行列式对行成立的性质，对列也成立. ⑵利用行列式的性质，可以简化行列式的计算.问题1.4 行列式按一行（列）展开公式答 1122i i i i in in a A a A a A =+++A （按第i 行展开）1122j j j j nj nj a A a A a A =+++A （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ；一列元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ .问题1.5 如何计算数字、字母型行列式？答数字、字母型行列式的计算方法有⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷数学归纳法； ⑸公式法. ▲常用公式有：公式1 上（下）三角形行列式 112212************n nna a a a a a a a a ==.公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式 11(1)22212******(1)******n n n nna a a a a a a a a -==-.公式3 范德蒙德行列式 12111112111()n i j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤---=-∏.▲计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）；⑵把其余各行（列）的倍数加到某一行（列）； ⑶把上一行（列）的倍数加到下一行（列）.例题1.设方阵3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且0λ-=A E ，求λ的值. 解【求矩阵的特征值，关键是计算特征多项式λ-A E 】322122101423123k k k λλλλλλλλ-----=---=-------A E212201(1)(1)001k λλλλλ--=--=---=--，故1231,1λλλ==-=.2.求方程0347534453542333322212223212=---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 的根.解【关键是计算左端四阶行列式】212321012221222322101333245353312244357434373x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ------------=-------------210022100212155033121221764376x x x x x x x x x x xx ()-----===--+=---------，故0x =或者1x =.3.设63121024221421)(++--=x x xx x xx f ，证明0)(='x f 有小于1的正根.解【用罗尔定理】f x ()是一个多项式，它在01[,]上可导，且01241224002012136f ()==，112411*********147f ()==，由罗尔定理知，0)(='x f 有小于1的正根.4.计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D .解【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111111c c c c x xx x x x D x x x x x+++-----+--+-==----+----2131414334211111001111100(1)111110011111c c c c c c x x x x xx x x x x x +-⨯+---+-===⋅-=----.5.计算43211001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .解【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角行列式】112342233441111111111000001000001a a a a a a a D a a a a ---==2341234111a a a a a a a ()=---.6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D .解【除对角元外，各行元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】12341234123412341234112120031030414a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a +++-==+-+-32414!(1)234a a a a =++++.▲除对角元外，各行元素成比例的行列式，都可以化为爪形行列式.7.计算22221111000000c d a b d c b a D =.解（方法一多零，按第一行展开）111111111212222222220000000000000a b c d c d c d D a a b b b a d c d c d c ==+ 12121212121212121212()()()()a a c c d d b b c c d d a a b b c c d d =---=--.（方法二）23231111111111222222112222220000000000000000000c c r r a b a b a b cd c d b a D b a b a c d d c d c d c ↔↔==-=12121212()()a a b b c c d d =--.8.计算12564271625169454321111=D .解【利用行列式的拆分性质和范德蒙德行列式】1111111101112345234503454916254916250916251627641258276412582764125D ==+32425243535484353544()()()()()()()()()=----------=-.9.计算abbb a b b b a D n=.解（方法一）各行元素之和相等，各列加到第一列，再化为上三角形行列式：1111n a b b b b b a b a b D a n b bba ba[()]==+-1100110n bb a b a n b a n b a b a b[()][()]()--=+-=+---.（方法二）各行减去第一行，化为爪形行列式：n a b b b a b D bba =1010n a b b b a a b a n b a b b aa b[()]()---==+----.10.设()ij a =A 为n 阶矩阵，其中ij a i j =-，求A .解从第n 行开始，依次用下面一行减去上面一行，再把第n 列加到前面各列，化为上三角行列式：01221012211013211111210431111123401111111231011111A ---------------==--------n n n n n n n n n n n n n n12112310222100221(1)(1)200021001---+---------==-----n n n n n n n n .11.abcdb a dc cd a b d c b a D ------=.解【T DD 为对角行列式】T0000000000ab c d a b c d k b a d cba d c k D Dc d a b c d a b k dcba dcba k------==------，其中2222k a b c d =+++，故222224()D a b c d =+++，又D 的展开式中4a 的系数为1，所以22222()D a b c d =+++.12.计算aa a a a a a a a D ---------=111100011000110001.解【这是一个三对角行列式，可以用下面三种方法计算】（方法一）按第一行展开（这是计算三对角行列式的基本方法）5111243(1)(1)D D a A aA a D aD ==-+=-+一般地，有递推公式12(1)n n n D a D aD --=-+，11D a =-，221D a a =-+，23321(1)1D a D aD a a a =-+=-+-，234432(1)1D a D aD a a a a =-+=-+-+， 2345543(1)1D a D aD a a a a a =-+=-+-+-.（方法二）化为三角形行列式，为此，先将行列式拆分成两个行列式之和：510000001100010001100110001100110001100011aa a aa a a D D a a a a a a a a a a----==+------------1000000010010000100110000100110010011a a a a a a a a a a a a a--=+------2234543211(1)1(1)1aD a aD a a aD a a a a a =-=--=-+-=-+-+-.问题1.6 如何计算抽象行列式？答计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论：⑴若A 为n 阶矩阵，则nk k=A A .⑵若A 为n 阶矩阵，则T =A A ，1*n -=A A .⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11--=A A.⑷若A ，B 为n 阶矩阵，则AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,)i i n λ= 是A 的特征值，则12A λλλ= n . ⑹设A ，B 分别为m 阶，n 阶矩阵，则==⋅A C A O A B OB CB，(1)m nC A O A A B BO BC ==-⋅.例题1.设123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，1232,,,γααα= .解【用拆分性质】123,,,a αααβ=，321321321,,,,,,,,,bβγαααβαααγααα+=+=321321,,,,,,b b a γαααβααα⇒=-=-，故1231232,,,2,,,2()a b γαααγααα==-.2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .解【用倍加性质】1121231223,2,23,2,23αααααααααα+++=+123123,2,36,,12αααααα===.3.设123,,ααα都是3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，那么B = .解【用倍加性质】123123123,24,39B =++++++ααααααααα1232323123233,3,28,3,2ααααααααααααα=++++=+++12323312231232,3,2,,2,,2=+++=+==ααααααααααααα.4.设A 与B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12A B -= .解 2111*1*122223A BABA B -----===-n n nn.5.设A 为3阶方阵，且2A =，则1*(2)A A --= .解 1*1*1(2)2A A A A ---=-**112A A A=-2*3*333327()()44416A A A=-=-=-=-.6.设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则B = . 解 3=A ，**3===AA A A A E E ，用A 右乘**2ABA BA E =+，得36A B B A =+，(36)A E B A -=，36A E B A -=，030363002703A E --=-=-，故19B =.7.设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2A B A B -==+=，则1A B -+= .解【用矩阵乘积的行列式】111()()---+=+=+=+B A B B A E B A A A B A A ，取行列式，得11--+=+B A B B A A ，将13,2,2A B A B -==+=代入上式，得13-+=A B .8.设A 为3阶方阵，且,2,2A E A E A E --+均不可逆，则A = .解【用特征值】,2,2A E A E A E --+均不可逆⇒10,20,2802A E A E A E A E -=-=+=+=，11由特征方程0A E λ-=知，A 的特征值为11,2,2-，故112()12A =⨯⨯-=-.9.设4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为51,41,31,21，则1B E --= . 解 A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值⇒B 的特征值为51,41,31,21⇒1B E --的特征值为1,2,3,4，故1123424B E --=⨯⨯⨯=. 10.设A 与B 相似，001020300B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A E -＝ . 解（方法一）A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值201020(2)(3)30B E λλλλλλ-⎛⎫⎪-=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭， B的特征值为故A的特征值为2,A E -的特征值为1,1故11)(1)2A E -=⨯⨯=-.（方法二）A 与B 相似，则A E -与B E -相似，故A E -101010231B E -=-==--. 11.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求12()3OAB C--.解【关于副对角线的分块下三角行列式】33131321127(1)()(1)22238()()333⨯---=--=--==O A A B AAB CBB.。

线性代数行列式的计算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。

矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。

绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。

不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。

此外，矩阵的绝对值是没有定义的。

因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。

例如，一个矩阵： A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A=i h gf e dc b a，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：其中，是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对全部元素的求和，即对于每个，在加法算式中出现一次；对于每一对满足的数对，是矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。