圆中常用辅助线的作法ppt课件

（1）、证明：过O作
OM⊥AB，ON⊥CD，
M
垂足为M、N。
∵PO平分∠BPA，
N
∴OM=ON
∴AB=CD。
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三、尝试练习一
1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆 心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证： （1）、AB = CD （2）、PB =PD。
（2）、∵AB=CD，OM⊥AB， ON⊥CD ∴AM=MB=CN=ND 又∵OM=ON， ∴RtΔPMO≌RtΔPNO ∴PM=PN ∴PM+MB=PN+ND 即：PB=PD
在解决有关中点和圆心的问题时，可先连 结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角 形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结 论。
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例6、如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别是AB、 CD的中点，并且∠ AMN = ∠ CNM 。求证：AB = CD 。
证明：连结OM、 ON
∵M、N分别是AB、CD的中点 ∴OM⊥AB，ON⊥CD
∴∠AMO = ∠CNO = 90 ° 又∵∠ AMN = ∠ CNM ∴ ∠OMN =∠ ONM
∴ OM = ON
即：AB = CD
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三、尝试练习一
1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以 O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、 D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。
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例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、 CD分别交⊙O 和⊙1O 于A、2C 和B 、D。求证： AC∥BD 。
证明：过T点作两圆的内公切线MN
在⊙O 1 中，∠A= ∠CTN
M
在⊙O2 中， ∠B= ∠DTM
又∵ ∠CTN = ∠DTM
∴∠AΒιβλιοθήκη Baidu ∠B
∴AC∥BD
N
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2.6、中点圆心线 ---有中点和圆心，可连结中点与圆心。
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二、常用辅助线作法的应用
•2.1、弦心距 ----有弦，可作弦心距。
• 在解决与弦、弧有关的问题时，常作 弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、 推论及勾股定理解决问题。
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例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC =BD。
证明：过O作OE ⊥ AB， 垂足为E。
∴ ∠BPC =
= 65°
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2.4、两圆相交公共弦 ----两圆相交，可作公共弦。
在解决两圆相交的问题时，常作两圆的 公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接 四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从 而寻找两圆之间的等量关系。
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例4、如图，已知：⊙O1 和⊙O2 相交于A、B两点， 过A点的直线CD分别交⊙O 1和⊙O 2 于C 、D；过 B点的直线EF分别交⊙O 1 和⊙O 2于E 、F 。求证： CE∥DF 。
由垂径 定理得：
AE = EB， CE = DE
E
∴ AE - CE = BE - DE
即：AC = BD
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2.2、直径圆周角 ----有直径，可作直径上的圆周角.
在解决有关直径的问题时，常作直 径上的圆周角，构成直径所对的圆周角 是直角，寻找隐含的条件，从而得到所 求结论。
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例2、已知：MN 切⊙O于A点，PC是直径，PB ⊥ MN于B点， 求证：
•一、添设圆的辅助线的常用思想
• 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。 在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设 和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助 线起到“搭桥铺路”的作用。
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•圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”
弦与弦心距，亲密紧相连。 中点与圆心，连线要领先。 两个相交圆，不离公共弦。 两个相切圆，常作公切线。 圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。
证明：连结AB
四边形ACEB是⊙O 的内接四边形
1
∴ ∠DAB = ∠E
四边形ABFD是⊙O 的内接四边形
2
∴ ∠DAB +∠F = 180° ∴ ∠E +∠F = 180°
∴CE∥DF
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2.5、两圆相切公切线
---两圆相切，可作公切线.
在解决两圆相切的问题时，常作两圆的 公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两 圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦 切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起 来。
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2、如图，以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边 AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD， 切点为D。求证：
证明：连结CP， AC是⊙O的直径， ∴∠APC =90° ∵∠ACB=90°， ∴ΔAPC∽ΔACB
又∵AD是大⊙的切线
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3、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB垂足为O，P是OB上 任意一点，AP交⊙O于Q，过Q点的切线交OB的延长线 于C。求证：CP = CQ。
证明：连结OQ
∵QC是⊙O的切线， ∴∠OQC=90°
∵OA=OQ，∴∠OAQ=∠OQA 又OA⊥OB，∴∠APO=90°-∠OAP ∠CQP=∠90°-∠OQA ∠APO=∠CQP ∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP = CQ。
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例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点， ∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的 度数。
解：连结 OB、 OC ，
∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB， AC⊥OC，
∴∠ABO = ∠ACO = 90°
在四边形ABOC中，∠A = 50°
∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130°
分析：
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证明：连结AC、AP ∵ PC是⊙O的直径 ∴ ∠CAP = 90 °
∵ PB ⊥ MN ∴ ∠PBA = 90 °
∴ ∠CAP = ∠PBA
∵ MN 是⊙0的切线
∴ ∠BAP = ∠ ACP
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2.3、切线径 ----有切点，可作过切点的半径。
在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的 弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。
圆的常用辅助线及作法
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圆的常用辅助线及作法
常用思想 作法及应用
尝试练习
数学歌诀
弦心距 直径圆周角 切线径 两圆相交公共弦 两圆相切公切线 中点圆心线
尝试练习一 尝试练习二
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圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的 有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学 生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问 题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。